Uniwerstet Śląski Insttut Chemii Zakład Krstalografii Laboratorium Krstalografii Strukturalne element smetrii. Krstalograficne grup prestrenne. 2 god. Cel ćwicenia: aponanie się diałaniem elementów smetrii makroskopowej wkorstaniem programu komputerowego KRYS, predstawienie projekcji cklograficnch i stereograficnch wżej wmienionch elementów. Pomoce naukowe: program komputerowm KRYS. Wstęp teoretcn. Elementami smetrii translacjnej (mikroskopowmi) są osie śrubowe ora płascn pośligu. Prekstałcenie smetrcne wkonane a pomocą translacjnch elementów smetrii nie doprowada prekstałcanej figur do położenia wjściowego. Translacjne element smetrii są elementami smetrii tw. figur nieskońconch. Figurami takimi są sieci prestrenne c sieci krstalicne. Translacja jest prekstałceniem smetrcnm polegającm na presuwaniu punktu lub bioru punktów (np. dowolnej figur) o stale ten sam, ściśle określon odcinek t (nawan odcinkiem translacji), po drogach równoległch do siebie. Osie śrubowe (smbol n p ) Oś śrubowa jest łożonm elementem smetrii utworonm pre sprężone diałanie n- krotnej osi smetrii i równoległej do niej translacji. Osie śrubowe o tej samej krotności różnią się wielkością translacji motwu, która wnosi: p/n t, gdie: p licba naturalna mniejsa od n (p<n) n krotność osi t wielkość wektora translacji sieci równoległego do osi smetrii W strukturach krstałów wstępuje osi śrubowch: 2 (wielkość wektora translacji /2t), 3 i 3 2 (wielkość wektora translacji wnosi odpowiednio: /3t i 2/3t), 4, 4 2, 4 3 (wielkość wektora translacji wnosi odpowiednio /4t, /2t, 3/4t),, 2, 3, 4, 5 (wielkość wektora translacji wnosi odpowiednio /t, /3t, /2t, 2/3t, 5/t). Nawa osie śrubowe" pochodi stąd, że pod ich diałaniem wsstkie punkt prekstałcanej figur presuwają się po liniach śrubowch, lewo- lub prawoskrętnch. Oś śrubowa jest prawoskrętna, gd kierunek prowadenia linii śrubowej od dołu do gór" jest preciwn do kierunku ruchu wskaówek egara. Osie neutralne nie mają wróżnionego kierunku skrętu. Osie śrubowe prawoskrętne od lewoskrętnch można roróżnić na podstawie ich smbolu, gd: p/n ½ - oś obojętna (nie mają wróżnionego kierunku skrętu), p/n < ½ - oś prawoskrętna (preciwnie do ruchu wskaówek egara), p/n > ½ - oś lewoskrętna (godnie ruchem wskaówek egara).
Tablica. Smbole międnarodowe osi wstępującch w strukture krstału Smbole międnarodowe Cfrow 2 2 3 3 3 2 Graficn() Graficn(2) Smbole międnarodowe Cfrow Graficn() 4 4 4 2 4 3 Smbole międnarodowe Cfrow 2 3 4 5 Graficn() () Oś prostopadła do płascn projekcji (2) - Oś równoległa do płascn projekcji
Rs.. Rut ortogonaln osi śrubowch, 2 i 3 na płascnę prostopadłą do osi, współrędne punktów obraują odległość punktu od płascn rsunku, mieroną w ułamkach stałej sieciowej. Płascn pośligu Płascna pośligu jest łożonm elementem smetrii, utworonm pre sprężone diałanie płascn smetrii i równoległej do niej translacji. Roróżniam płascn pośligu osiowe, diagonalne i diamentowe. Płascn pośligu osiowe (smbol a, b, c) Diałanie płascn pośligu osiowej polega na tm, że po wkonaniu odbicia wierciadlanego figur w płascźnie smetrii figura ostaje presunięta równolegle do płascn smetrii o połowę odcinka translacji w kierunku jednej osi krstalograficnch. Jeżeli presunięcie wkonwane jest w kierunku osi X, Y lub Z, to płascna śligowa ma odpowiednio smbol a, b lub c. a translacja o ½ a w kierunku osi X [] b - translacja o ½ b w kierunku osi Y [] c - translacja o ½ c w kierunku osi Z [] Rs. 2. Schemat diałania płascn pośligu a (b) predstawion w prestreni trójwmiarowej. Rs.3. Schemat diałania płascn pośligu a w rucie ortogonalnm na płascnę rsunku.
Rs. 4. Schemat diałania płascn pośligu c predstawion w prestreni trójwmiarowej. Rs. 5. Schemat diałania płascn pośligu c w rucie ortogonalnm na płascnę rsunku. Płascn pośligu diagonalne (smbol n) Diałanie płascn pośligowej diagonalnej polega na tm, że po wkonaniu odbicia wierciadlanego figur w płascźnie smetrii ostaje ona presunięta równolegle do płascn smetrii o wektor równ sumie dwóch wektorów następującej trójki: a /2, b /2, c /2. m ½(a b ) n m ½(b c ) n m ½(a c ) n Rs.. Schemat diałania płascn diagonalnej n predstawion w prestreni trójwmiarowej. Rs. 7. Schemat diałania płascn diagonalnej n w rucie ortogonalnm na płascnę rsunku. Płascn pośligu diamentowe (smbol d) Diałanie płascn pośligowej diamentowej polega na tm, że po wkonaniu odbicia wierciadlanego figur w płascźnie smetrii ostaje ona presunięta równolegle do płascn smetrii o wektor równ sumie dwóch wektorów następującej trójki: a /4, b /4, c /4.
m /4(a b ) d m /4(b c ) d m /4(a c ) d. Rs.8. Schemat diałania płascn diamentowej d predstawion w prestreni trójwmiarowej. Rs.9. Schemat diałania płascn diamentowej d w rucie ortogonalnm na płascnę rsunku. Rs.. Płascn pośligu możliwe orientacje
Tablica 2. Płascn smetrii ich smbole literowe i graficne. Płascna Smbole międnarodowe Wektor translacji literowe graficne Płascna prostopadła do płascn projekcji Płascna równoległa do płascn projekcji Płascna smetrii m Osiowe płascn śligu a b ½ a wdłuż [] ½ b wdłuż [] c ½ c wdłuż [] Diagonalne płascn śligu n lub lub Diamentowe płascn śligu d lub lub Element smetrii strukturalnej w rachunku macierowm. Do opisu elementów smetrii mikroskopowej stosuje się maciere cterowmiarowe, które awierają macier smetrii punktowej S ora wektor translacji t R. W celu utworenia cterowmiarowch macier opisującch diałanie osi śrubowch należ określić trójwmiarową macier smetrii charakterstcną dla danej krotności osi (generator) ora ustalić odpowiednią dla tej osi wielkość wektora translacji t R. S S t ~ R Prkład: Utworć cterowmiarową macier smetrii opisującą diałanie osi śrubowej 4 3, równoległej do kierunku osi Z []. Cterowmiarowa macier smetrii tej osi awiera generator smetrii osi 4 [] ora wektor translacji t R [ ¾]. Dla osi smetrii 4 równoległej do osi Z [] macier smetrii (generator) ma postać: 4 [] :
Biorą pod uwagę wektor translacji t R [ 3/4], cterowmiarowa macier smetrii dla osi śrubowej 4 3[] ma postać: Tablica 3. Prkładowe maciere smetrii dla osi śrubowch Prkład: Korstając rachunku macierowego podaj współrędne punktów smetrcnie równoważnch generowanch pre oś śrubową 5 równoległą do kierunku []. Oś śrubowa Macier smetrii (Generator) 2 [] 3 2[] [] / 2 / [ ] [ ] 4 3/ 4 4 3 t R 3 2 / Rs.. Kierunki w układie heksagonalnm
5[] : Współrędne punktów smetrcnie równoważnch: 5 : -,, 5/ -, -, 2/3 -, -, ½ -, -, /3, -, / 5 / 5/ 3 2 / / 5/ 5/ 2 / 5/ / 5/ 3 / 2 / 5/ 5/ / 25/ 2 / 5/
W celu utworenia cterowmiarowch macier opisującch diałanie płascn pośligu należ określić trójwmiarową macier smetrii punktowej dla płascn smetrii m ora ustalić odpowiedni dla tej płascn wektor translacji t R. Prkład: Utworć cterowmiarową macier smetrii opisującą diałanie płascn pośligu osiowej b (). Trójwmiarową macier smetrii repreentuje macier, w której płascna smetrii m jest prostopadła do kierunku []. m (): Płascnę osiową b charakteruje wektor translacji t R /2 w kierunku osi Y []. Macier repreentująca tę płascnę ma postać: Tablica 4. Prkładowe maciere smetrii dla płascn pośligu Płascna pośligu Macier smetrii (Generator) c () n ()] d () ( ) ( ) 2 / t R m b 2 / 2 / 2 / 4 / 4 /
Krstalograficne grup prestrenne W ujęciu makroskopowm smetria ewnętrnch postaci krstałów jest opisana a pomocą elementów smetrii makroskopowej i 22 dowolonch kombinacji - cli 32 grupami punktowmi. W wniku kombinacji 32 grup punktowch 4 tpami sieci prestrennch Bravais go powstają tw. proste grup prestrenne. W ujęciu mikroskopowm smetria wewnętrna krstałów jest opiswana w oparciu o element smetrii makroskopowej i element smetrii translacjnej. Połącenie elementów smetrii punktowej 32 klas krstalograficnch translacją generuje 23 grup prestrenne. Każda grupa prestrenna, posiada swój międnarodow smbol, w którm na pocątku umiescona jest litera odpowiadająca sieci Bravais go. Kolejność apisu elementów smetrii w smbolach grup prestrennch jest podawana według tch samch asad, jak dla grup punktowch. Najcęściej stosuje się smbole skrócone, awierające wstarcające informacje o smetrii grup prestrennej, potrebne do wgenerowania wsstkich elementów smetrii danej grup prestrennej,. Na podstawie smboli grup prestrennch możem wnacć smetrię grup punktowej pre odrucenie tpu sieci Bravais a i amianę wsstkich elementów translacjnch na odpowiadające im element punktowe. Grup prestrenne ostał ebrane i opisane w Międnarodowch Tablicach Krstalograficnch (International Tables for Crstallograph)
Tablica 5. Smbole międnarodowe 23 grup prestrennch. * 47* 93 4 22 39 4/ 85 2* 48 94 4 2 2 4 4/ 8 3* 2 49 95 4 22 4 4 / 87* 2 4 2 5 9 4 2 2 42 4 / 88 2 5 2 5 97 422 43* 3 89 2 * 52 98 4 22 44 3 9 2 7 53 99* 4 45 3 9* / 8 54 4 4 3 92 / 9 55 4 47 3 93 / * 2/ 5 2 4 48 3 94 / 2 / 57 3 4 49* 32 95* 23 2 2/ 58 4 4 5 32 9 23 3 2/ 59 5 4 5 3 2 97 23 4 2 / 4 52 3 2 98 2 3 5 2/ 7 4 53 3 2 99 2 3 * 222 2 8 4 54 3 2 2* 3 7 222 3 9 4 55 32 2 3 8 2,2,2 4 4 5* 3 22 3 9 2 2 2 5 * 42 57 3 23 3 2 222 2 42 58 3 24 3 2 222 7 3 42 59 3 25 3 22 222 8 4 42 3 2 3 23 222 9 5 42 3 27* 432 24 2 2 2 7 42 2* 3 28 4 32 25* 2 7 7 42 3 3 29 432 2 2 72 8 42 4 3 2 4 32 27 2 73 9 42 5 3 2 432 28 2 74 2 42 3 22 4 32 29 2 75* 4 2 42 7 3 23 4 32 3 2 7 4 22 42 8* 24 4 32 3 2 77 4 23* 4/ 9 25* 43 32 2 78 4 2 24 4/ 7 2 43 33 2 79 4 25 4/ 7 27 43 34 2 8 4 2 4/ 72 28 43 35 2 8* 4 27 4/ 73 29 43 3 2 82 4 28 4/ 74* 22 43 37 2 83* 4/ 29 4/ 75* / 22* 3 38 2 84 4 / 3 4/ 7 / 222 3 39 2 85 4/ 3 4 / 77* 22 223 3 4 2 8 4 / 32 4 / 78 22 224 3 4 2 87 4/ 33 4 / 79 22 225 3 42 2 88 4/ 34 4 / 8 22 22 3 43 2 89* 422 35 4 / 8 22 227 3 44 2 9 42 2 3 4 / 82 22 228 3 45 2 9 4 22 37 4 / 83* 229 3 4 2 92 4 2 2 38 4 / 84 23 3
Wkonanie ćwicenia: Cęść I. Zaponanie się diałaniem elementów smetrii mikroskopowej wkorstaniem programu komputerowego KRYS.. Nacisnąć ikonę napisem KRYS..2. Wbrać opcję Smetria i dalej podopcję Preentacja elementów smetrii..3. Korstając programu komputerowego aponać się prekstałceniem motwu wględem elementów smetrii mikroskopowej: płascn śligowch a, b, c, n i d ora osi śrubowch 2, 3, 3 2, 4, 4 2, 4 3,, 2, 3, 4, 5..4. Obserwować prekstałcanie motwu dla poscególnch elementów smetrii. Cęść II. Tworenie cterowmiarowch macier opisującch strukturalne element smetrii. 2.. Utworć macier smetrii opisującą osie śrubowe: 3 i 2. 2.2. Utworć macier smetrii opisującą płascn śligowe: a () i n (). Problem i adania Zadanie Podanm płascnom śligowm prporądkuj właściw wektor translacji. A. płascna a. ½(a b ) B. płascna b 2. ½ b C. płascna n 3. ½ a D. płascna d 4. ¼ (a b ) Zadanie 2 Na poniżsch rsunkach predstawiono schemat diałania wbranch płascn śligowch. Określ jakie to płascn. Zadanie 3 Korstając rachunku macierowego podaj współrędne punktów smetrcnie równoważnch generowanch pre osie śrubowe 3, 4 3, 2 równoległe do kierunku []. Zadanie 4 Korstając rachunku macierowego podaj współrędne punktów smetrcnie równoważnch generowanch pre płascnę pośligu c ().
Zadanie 5 Jakie nowe element smetrii generują osie 2, 3 2, 4, 4 3,, 2 i 3 powielone translacjnie w grupach prestrennch: P2, P3 2, P4, P4 3, P, P 2 i P 3. Zadanie Wmień proste grup prestrenne układu regularnego, tetragonalnego i trgonalnego. Zadanie 7 Dla każdej poniżej podanch grup prestrennch podaj układ krstalograficn i grupę punktową: C2/c; P3m; Cc; I4 cd; Ia3d; Cmca; P3 2; Im 3 Zadanie 8 Podaj, co onacają poscególne pocje w poniżsch smbolach grup prestrennch ( uwględnieniem licb i romiescenia w prestreni poscególnch elementów smetrii): Pmc2 ; P2 /m2/m2/a ; Ccc2; P4 3 22; P4 2 /n; P2 /c; P4 2 22; P/m2/m2/m; P23 Literatura. Z.Traska-Durski, H.Traska-Durska, Podstaw krstalografii strukturalnej i rentgenowskiej, PWN Warsawa 994. 2. Z. Traska-Durski i H. Traska-Durska Podstaw krstalografii, Oficna Wdawnica Politechniki Warsawskiej, Warsawa 23. 3. Z.Bojarski, M.Gigla, K.Stróż, M.Surowiec, Materiał do nauki krstalografii podręcnik wspomagan komputerowo PWN Warsawa 99. 4. Z. Kosturkiewic, Metod krstalografii, Wdawnictwo Naukowe UAM, Ponań 24. 5. Z.Bojarski, M.Gigla, K.Stróż, M.Surowiec, Krstalografia, PWN, Warsawa 27.. M. Van Meerssche i J. Feneau-Dupont, Krstalografia i chemia strukturalna, PWN, Warsawa 984.