Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas
Spis treści 9 Fale elektromagnetyczne 3 9.1 Fale w jednym wymiarze................. 3 9.2 Fale elektromagnetyczne w próżni............ 13 9.3 Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym.... 23 9.4 Absorpcja i dyspersja................... 47
9 Fale elektromagnetyczne 9.1 Fale w jednym wymiarze 9.1.1 Równanie falowe f f(z, 0) f(z, t) v vt z f(z, t) = f(z vt, 0) = g(z vt)
2 f z 2 = 1 2 f v 2 t 2 równanie falowe f(z, t) = g(z vt) + h(z + vt) rozwiązanie ogólne
9.1.2 Fale sinusoidalne (i) Terminologia maksimum centralne f(z, 0) A v δ/k λ z f(z, t) = A cos[k(z vt) + δ] λ = 2π k, λ długość fali, k liczba falowa T = 2π kv = λ v, okres
ν = 1 T = kv 2π = v λ, częstość ω = 2πν = kv, częstość kątowa f(z, t) = A cos(kz ωt + δ) f(z, t) = A cos( kz ωt + δ) fala biegnąca w prawo fala biegnąca w lewo, k k
(ii) Notacja zespolona e iθ = cos θ + i sin θ wzór Eulera f(z, t) = Re[Ae i(kz ωt+δ) ] f(z, t) Ãei(kz ωt) zespolona funkcja falowa à = Ae iδ zespolona amplituda f(z, t) = Re[ f(z, t)]
(iii) Liniowe kombinacje fal sinusoidalnych f(z, t) = Ã(k)e i(kz ωt) dk każdą falę można przedstawić w postaci kombinacji liniowej fal sinusoidalnych Amplitudę Ã(k) można wyznaczyć z warunków początkowych f(z, 0) i f(z, 0) przy wykorzystaniu teorii transformat Fouriera.
9.1.4 Polaryzacja v fala podłużna
x v y z fala poprzeczna: polaryzacja pionowa, fv (z, t) = Ãei(kz ωt) ˆx
x v y fala poprzeczna: polaryzacja pozioma, fh (z, t) = Ãei(kz ωt) ŷ z
ˆn x θ v y z fala poprzeczna: polaryzacja ukośna, f(z, t) = Ãe i(kz ωt) ˆn ˆn = cos θ ˆx + sin θŷ, θ kąt polaryzacji f(z, t) = (Ã cos θ)ei(kz ωt) ˆx + (Ã sin θ)ei(kz ωt) ŷ
9.2 Fale elektromagnetyczne w próżni 9.2.1 Równanie falowe dla E i B (i) E = 0, (iii) E = B t, (ii) B = 0, (iv) B = µ 0 ɛ 0 E ( E) = ( E) E = t, ( B t równania Maxwella w obszarach bez ładunków i prądów ) = t ( B) = µ 2 E 0ɛ 0 t 2 ( B) = ( B) B = ( = µ 0 ɛ 0 t ( E) = µ 2 B 0ɛ 0 t 2 µ 0 ɛ 0 E t )
E = 0 i B = 0 w obszarach bez ładunków E = µ 0 ɛ 0 2 E t 2, B = µ 0ɛ 0 2 B t 2 f = 1 v 2 2 f t 2 v = 1 µ0 ɛ 0 = 3, 00 10 8 m/s każda składowa pól E i B spełnia trójwymiarowe równanie falowe prędkość fali elektromagnetycznej w próżni
9.2.2 Fale monochromatyczne płaskie Ẽ(z, t) = Ẽ0e i(kz ωt), x B(z, t) = B0 e i(kz ωt) v y z fala płaska E = 0 i B = 0 (Ẽ0) z = ( B 0 ) z = 0 fale są poprzeczne
E = B t k(ẽ0) y = ω( B 0 ) x, k(ẽ0) x = ω( B 0 ) y B 0 = k (ẑ Ẽ0) ω B 0 = k ω E 0 = 1 c E 0 pola E i B są zgodne w fazie i wzajemnie prostopadłe amplitudy pola elektrycznego i magnetycznego są ze sobą związane
x E 0 E c y E 0 /c B z Jeśli Ẽ(z, t) = Ẽ0e i(kz ωt) ˆx, to B(z, t) = 1 c Ẽ0e i(kz ωt) ŷ
E(z, t) = E 0 cos(kz ωt + δ) ˆx B(z, t) = 1 c E 0 cos(kz ωt + δ)ŷ pola rzeczywiste Kierunek pola elektrycznego określa polaryzację fali elektromagnetycznej.
r ˆk r c k dowolny kierunek propagacji Ẽ(r, t) = Ẽ0e i(k r ωt) ˆn B(r, t) = 1 c Ẽ0e i(k r ωt) (ˆk ˆn) = 1 c ˆk Ẽ(r, t) ˆn k = 0 fala poprzeczna ˆn wektor polaryzacji, k wektor falowy
E(r, t) = E 0 cos(k r ωt + δ) ˆn B(r, t) = 1 c E 0 cos(k r ωt + δ)(ˆk ˆn)
9.2.3 Energia i pęd fal elektromagnetycznych u = 1 2 (ɛ 0 E 2 + 1µ0 B 2 ) B 2 = 1 c 2 E2 = µ 0 ɛ 0 E 2 dla płaskiej fali monochromatycznej u = ɛ 0 E 2 = ɛ 0 E 2 0 cos 2 (kz ωt + δ) wkład elektryczny i magnetyczny są równe S = 1 µ 0 (E B) gęstość strumienia energii S = cɛ 0 E 2 0 cos 2 (kz ωt + δ)ẑ = cuẑ dla płaskiej fali monochromatycznej
= 1 c 2 S gęstość pędu = 1 c ɛ 0E 2 0 cos 2 (kz ωt + δ)ẑ = 1 c uẑ dla płaskiej fali monochromatycznej u = 1 2 ɛ 0E 2 0 S = 1 2 cɛ 0E 2 0ẑ średnie po okresie = 1 2c ɛ 0E 2 0ẑ I S = 1 2 cɛ 0E 2 0 natężenie fali
9.3 Fale elektromagnetyczne w ośrodku materialnym 9.3.1 Rozchodzenie się fal w ośrodkach liniowych (i) D = 0, (iii) E = B t, (ii) B = 0, (iv) H = D t, D = ɛe, H = 1 B w ośrodku liniowym µ (i) E = 0, (iii) E = B t, (ii) B = 0, (iv) B = µɛ E t, µ 0 ɛ 0 µɛ jeśli nie ma ładunków i prądów swobodnych w ośrodku liniowym i jednorodnym
v = 1 ɛµ = c n n ɛµ ɛ 0 µ 0 współczynnik załamania µ/µ 0 = 1, n = ɛ r dla większości materiałów Poprzednie wyniki pozostają słuszne po zamianie ɛ 0 ɛ, µ 0 µ, c v u = 1 2 (ɛe 2 + 1µ B2 ) gęstość energii
S = 1 (E B) µ wektor Poyntinga I = 1 2 ɛve2 0 natężenie fali Co się dzieje, gdy fala przechodzi z jednego ośrodka do drugiego? (i) ɛ 1 E 1 = ɛ 2E 2, (iii) E 1 = E 2, (ii) B 1 = B 2, (iv) 1 µ 1 B 1 = 1 µ 2 B 2, warunki brzegowe
9.3.2 Odbicie i przejście przy padaniu prostopadłym x 1 2 B I E I v 1 E T v 1 E R v 2 B R B T z y powierzchnia graniczna
Ẽ I (z, t) = Ẽ0 I e i(k 1z ωt) ˆx B I (z, t) = 1 v 1 Ẽ 0I e i(k 1z ωt)ŷ Ẽ R (z, t) = Ẽ0 R e i( k 1z ωt) ˆx B R (z, t) = 1 v 1 Ẽ 0R e i( k 1z ωt)ŷ Ẽ T (z, t) = Ẽ0 T e i(k 2z ωt) ˆx B T (z, t) = 1 v 2 Ẽ 0T e i(k 2z ωt)ŷ fala padająca fala odbita fala przechodząca
Ẽ 0I + Ẽ0 R = Ẽ0 T z (iii) ( 1 1 Ẽ 0I 1 ) Ẽ 0R µ 1 v 1 v 1 = 1 µ 2 ( 1 v 2 Ẽ 0T ) z (iv) Ẽ 0I Ẽ0 R = βẽ0 T, β µ 1v 1 = µ 1n 2 µ 2 v 2 µ 2 n 1 ( ) ( ) 1 β 2 Ẽ 0R = Ẽ 0I, Ẽ 0T = 1 + β 1 + β ( ) ( v2 v 1 2v2 Ẽ 0R = Ẽ 0I, Ẽ 0T = v 2 + v 1 v 2 + v 1 E 0R = v 2 v 1 v 2 + v 1 E 0 I, E 0T = 2v 2 v 2 + v 1 Ẽ 0I ) E 0 I Ẽ 0I dla µ 1 = µ 2 = µ 0 amplitudy rzeczywiste
E 0R = n 1 n 2 n 1 + n 2 E 0 I, E 0T = 2n 1 n 1 + n 2 E 0 I amplitudy rzeczywiste I = 1 2 ɛve2 0 natężenie fali R I R I I = ( E0R E 0I ) 2 = ( n1 n 2 n 1 + n 2 ) 2 współczynnik odbicia T I T I I = ɛ 2v 2 ɛ 1 v 1 ( E0T E 0I ) 2 = 4n 1n 2 (n 1 + n 2 ) 2 współczynnik przejścia R + T = 1 zasada zachowania energii
9.3.3 Odbicie i przejście przy padaniu ukośnym k R k T θ R θ I θ T z 1 2 k I płaszczyzna padania
Ẽ I (r, t) = Ẽ0 I e i(k I r ωt) B I (r, t) = 1 v 1 [ˆk I ẼI(r, t)] Ẽ R (r, t) = Ẽ0 R e i(k R r ωt) B R (r, t) = 1 v 1 [ˆk R ẼR(r, t)] Ẽ T (r, t) = Ẽ0 R e i(k T r ωt) B T (r, t) = 1 v 2 [ˆk T ẼT(r, t)] fala padająca fala odbita fala przechodząca k I v 1 = k R v 1 = k T v 2 = ω k I = k R = v 2 v 1 k T = n 1 n 2 k T
(... )e i(k I r ωt) + (... )e i(k R r ωt) = (... )e i(k T r ωt) dla z = 0 k I r = k R r = k T r dla z = 0 x(k I ) x + y(k R ) y = x(k R ) x + y(k R ) y = x(k T ) x + y(k T ) y (k I ) y = (k R ) y = (k T ) y dla x = 0 (k I ) x = (k R ) x = (k T ) x dla y = 0 Wektory falowe fali padającej, odbitej i przechodzącej leżą w tej samej płaszczyźnie płaszczyźnie padania wyznaczonej przez wektor falowy fali padającej i normalną do powierzchni
k I sin θ I = k R sin θ R = k T sin θ T θ I kąt padania, θ R kąt odbicia, θ T kąt załamania Kąt padania jest równy kątowi odbicia θ I = θ R Prawo załamania, prawo Snella sin θ T sin θ I = n 1 n 2 n 1 < n 2, θ T < θ I ; n 1 > n 2, θ T > θ I n 1 > n 2, dla θ I > θ gr arcsin ( n2 n 1 ) całkowite wewnętrzne odbicie
k R θ R θ I z k I 1 2 płaszczyzna padania całkowite wewnętrzne odbicie (n 1 > n 2 )
k R x B R E R ET k T B T θ R θ I θ T z E I k I B I 1 2 płaszczyzna padania fala spolaryzowana w płaszczyźnie padania
(i) (ii) (iii) ɛ 1 (Ẽ0 I + Ẽ0 R ) z = ɛ 2 (Ẽ0 T ) z ( B 0I + B 0R ) z = ( B 0T ) z (Ẽ0 I + Ẽ0 R ) x,y = (Ẽ0 T ) x,y (iv) 1 µ 1 ( B 0I + B 0R ) x,y = 1 µ 2 ( B 0T ) x,y na granicy ośrodków Dla polaryzacji równoległej do płaszczyzny padania: ɛ 1 ( Ẽ0 I sin θ I + Ẽ0 R sin θ R ) = ɛ 2 ( Ẽ0 T sin θ T ) z (i) (Ẽ0 I cos θ I + Ẽ0 R cos θ R ) = Ẽ0 T cos θ T z (iii) 1 µ 1 v 1 (Ẽ0 I Ẽ0 R ) = 1 µ 2 v 2 Ẽ 0T z (iv)
Ẽ 0I Ẽ0 R = βẽ0 T z praw odbicia i załamania β µ 1v 1 µ 2 v 2 = µ 1n 2 µ 2 n 1 Ẽ 0I + Ẽ0 R = αẽ0 T α cos θ T cos θ I ( α β Ẽ 0R = α + β ) Ẽ 0I, Ẽ 0T = ( 2 ) α + β Ẽ 0I równania Fresnela
1 0.8 0.6 E 0T E 0I 0.4 0.2 θ B 0 0.2 0.4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 E 0R E 0I n 2 n 1 = 1.5 θ I
α = sin 2 θ B = 1 sin 2 θ T cos θ I = 1 [(n1 /n 2 ) sin θ I ] 2 cos θ I 1 β 2 (n 1 /n 2 ) 2 β 2 kąt Brewstera µ 1 = µ 2 β = n 2 /n 1, sin 2 θ B = β 2 /(1 + β 2 ) typowo tg θ B = n 2 n 1
I I = 1 2 ɛ 1v 1 E 2 0 I cos θ I I R = 1 2 ɛ 1v 1 E 2 0 R cos θ R I T = 1 2 ɛ 2v 2 E 2 0 T cos θ T natężenie fali padającej natężenie fali odbitej natężenie fali przechodzącej ( E0R ) 2 = ( α β ) 2 współczynnik odbicia R I R I I = E 0I T I T I I = ɛ 2v 2 ɛ 1 v 1 ( E0T E 0I α + β ) 2 cos θt cos θ I = αβ ( 2 ) 2 współczynnik α + β przejścia
1 0.8 0.6 T 0.4 0.2 R θ B 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 n 2 n 1 = 1.5 θ I
k R x E R B R E T k T B T θ R θ I θ T z E I 1 2 k I B I płaszczyzna padania fala spolaryzowana prostopadle do płaszczyzny padania
Dla polaryzacji prostopadłej do płaszczyzny padania: (i) (ii) (iii) ɛ 1 (Ẽ0 I + Ẽ0 R ) z = ɛ 2 (Ẽ0 T ) z ( B 0I + B 0R ) z = ( B 0T ) z (Ẽ0 I + Ẽ0 R ) x,y = (Ẽ0 T ) x,y (iv) 1 µ 1 ( B 0I + B 0R ) x,y = 1 µ 2 ( B 0T ) x,y Ẽ 0I + Ẽ0 R = Ẽ0 T z (iii) na granicy ośrodków Ẽ 0I Ẽ0 R = αβẽ0 T z (iv) Ẽ 0R = ( ) 1 αβ 1 + αβ Ẽ 0I, Ẽ 0T = ( 2 ) 1 + αβ Ẽ 0I równania Fresnela
1 0.8 0.6 E 0T E 0I 0.4 0.2 0 0.2 0.4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 E 0R E 0I θ I 0.6 0.8 1 n 2 n 1 = 1.5
R (Ẽ0R Ẽ 0I T ɛ 2v 2 ɛ 1 v 1 α ) 2 = (Ẽ0T Ẽ 0I ( ) 2 1 αβ współczynnik odbicia 1 + αβ ) 2 ( ) 2 2 = αβ współczynnik przejścia 1 + αβ
1 0.8 0.6 T 0.4 0.2 R 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 n 2 n 1 = 1.5 θ I
9.4 Absorpcja i dyspersja 9.4.1 Fale elektromagnetyczne w przewodnikach J sw = σe prawo Ohma (i) E = 1 ɛ ρ sw, (iii) E = B t, (ii) B = 0, (iv) B = µσe + µɛ E t, J sw = ρ sw t równanie ciągłości równania Maxwella ρ sw t = σ( E) = σ ɛ ρ sw ρ sw (t) = e (σ/ɛ)t ρ sw (0) Ładunek swobodny szybko rozpływa się na brzegi
(i) E = 0, (iii) E = B t, (ii) B = 0, (iv) B = µɛ E t + µσe, E = µɛ 2 E t 2 B = µɛ 2 B t 2 Ẽ(z, t) = + µσ E t + µσ B t Ẽ0e i( kz ωt) B(z, t) = B 0 e i( kz ωt) równania Maxwella zmodyfikowane równania falowe rozwiązania k 2 = µɛω 2 + iµσω zespolona liczba falowa k = k + iκ
k ω ɛµ 2 κ ω ɛµ 2 [ [ 1 + ( σ ɛω 1 + ( σ ɛω ) 2 + 1 ] 1/2 ) 2 1 ] 1/2 Ẽ(z, t) = Ẽ0e κz e i(kz ωt) B(z, t) = B 0 e κz e i(kz ωt) rozwiązania d 1 κ głębokość wnikania λ = 2π k, v = ω k, n = ck ω
Ẽ(z, t) = Ẽ0e κz e i(kz ωt) ˆx B(z, t) = k ω Ẽ0e κz e i(kz ωt) ŷ k = Ke iφ z równań Maxwella pola są prostopadłe K k = k 2 + κ 2 = ω ( ) κ φ arctg k ɛµ 1 + ( ) σ 2 ɛω B 0 e iδ B = Keiφ ω E 0e iδ E pola nie są w fazie δ B δ E = φ
B 0 E 0 = K ω = ɛµ 1 + ( ) σ 2 rzeczywiste amplitudy ɛω E(z, t) = E 0 e κz cos(kz ωt + δ E ) ˆx B(z, t) = B 0 e κz cos(kz ωt + δ E + φ)ŷ rozwiązania rzeczywiste x E y B z
9.4.2 Odbicie na powierzchni przewodzącej (i) ɛ 1 E 1 ɛ 2E 2 = σ sw, (iii) E 1 = E 2, (ii) B1 = B 2, (iv) 1 µ 1 B 1 1 µ 2 B 2 = K sw ˆn, Ẽ I (z, t) = Ẽ0 I e i(k 1z ωt) ˆx B I (z, t) = 1 v 1 Ẽ 0I e i(k 1z ωt)ŷ Ẽ R (z, t) = Ẽ0 R e i( k 1z ωt) ˆx B R (z, t) = 1 v 1 Ẽ 0R e i( k 1z ωt)ŷ Ẽ T (z, t) = Ẽ0 T e i( k 2 z ωt) ˆx B T (z, t) = k 2 ω Ẽ 0T e i( k 2 z ωt)ŷ fala padająca fala odbita fala przechodząca
Ẽ 0I + Ẽ0 R = Ẽ0 T z (iii) 1 µ 1 v 1 (Ẽ0 I Ẽ0 R ) k 2 µ 2 ω Ẽ0 T = 0 z (iv) przy K sw = 0 Ẽ 0I Ẽ0 R = βẽ0 T β µ 1v 1 µ 2 ω k 2 ( 1 β ) ( 2 ) Ẽ 0R = 1 + β Ẽ 0I, Ẽ 0T = 1 + β Ẽ 0I Ẽ 0R = Ẽ0 I, Ẽ 0T = 0 dla doskonałego przewodnika ( k 2 = )
9.4.3 Zależność przenikalności elektrycznej od częstości v = ω k prędkość fazowa v g = dω dk prędkość grupowa Elektron związany można potraktować jak tłumiony oscylator harmoniczny. m d2 x dx + mγ dt2 dt + mω2 0x = qe 0 cos(ωt) d 2 x dt 2 + γ d x dt + ω2 0 x = q m E 0e iωt w zmiennych zespolonych
x(t) = x 0 e iωt x 0 = q/m ω 2 0 ω2 iγω E 0 p(t) = q x(t) = P = Nq2 m j amplituda drgań q 2 /m ω 2 0 ω2 iγω E 0e iωt f j ω 2 j ω2 iγ j ω Ẽ moment dipolowy polaryzacja ośrodka P = ɛ 0 χ e Ẽ ɛ = ɛ 0 (1 + χ e ) zespolona podatność elektryczna zespolona przenikalność elektryczna
ɛ r = 1 + Nq2 mɛ 0 Ẽ = ɛµ 0 2 Ẽ t 2 j f j ω 2 j ω2 iγ j ω zespolona względna przenikalność elektryczna równanie falowe dla danej częstości w ośrodku dyspersyjnym Ẽ(z, t) = Ẽ0e i( kz ωt) rozwiązanie k ɛµ 0 ω = ω c ɛr zespolona liczba falowa k = k + iκ Ẽ(z, t) = Ẽ0e κz e i(kz ωt)
α = 2κ współczynnik absorpcji n = ck ω k = ω c współczynnik załamania ɛr = ω c 1 + Nq2 2mɛ 0 n = ck ω = 1 + Nq2 2mɛ 0 α = 2κ = Nq2 ω 2 mɛ 0 c j j j f j ω 2 j ω2 iγ j ω f j (ω 2 j ω2 ) (ω 2 j ω2 ) 2 + γ 2 j ω2 f j γ j (ω 2 j ω2 ) 2 + γ 2 j ω2
1 0.8 0.6 κ(ω) κ(ω j ) 0.4 0.2 0 0.2 0.8 1 1.2 1.4 ω/ω j 0.4 [n(ω) 1] ω j κ(ω j )c 0.6 dyspersja anomalna γ j /ω j = 0.2
n = 1 + Nq2 2mɛ 0 1 ω 2 j ω2 = 1 ω 2 j n = 1 + n = 1 + A j ( Nq2 2mɛ 0 ( f j ωj 2 daleko od rezonansów ω2 ) 1 ( ) 1 ω2 1 = ωj 2 ωj 2 1 + ω2 ωj 2 dla ω < ω j j f j ω 2 j + ω 2 Nq2 2mɛ 0 j f j ω 4 j 1 + B λ 2 ) wzór Cauchy ego dla gazów w obszarze optycznym