Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Wydział MIiM UW, 2/ 24 października 22 ostatnie poprawki: 9 czerwca 23 Szanowni Państwo, zgodnie z zapowiedzią, na każdym kolokwium w pierwszym semestrze co najmniej 3 4 zadania zostaną wybrane z poniższej jawnej puli. W drugim semestrze co najmniej 3 4 zadania będą pochodzić z tego zestawu lub będą drobnymi modyfikacjami zadań z tego zestawu. Wśród zamieszczonych niżej zadań są łatwiejsze i trudniejsze. Podkreślamy: proszę się nie zrażać, jeśli nie będą Państwo umieli zrobić wszystkich od razu. Materiał jest obszerny i dla większości z Państwa trudniejszy, niż w szkole, szczególnie na samym początku studiów. Ponadto, w matematyce jest rzeczą normalną, że człowiek pewnych rzeczy nie potrafi zrobić. Skuteczna nauka wymaga czasu, regularnego treningu i cierpliwości, a także bieżącego kontaktu z materiałem z wykładu. Taka inwestycja przynosi praktycznie zawsze pozytywne skutki. Liczby rzeczywiste. Kresy zbiorów. Indukcja.. Udowodnić, że dla wszystkich x zachodzi nierówność x 3 5x 2 + 4x + 7. 2. Udowodnić, że liczba 7 + 2 jest niewymierna. 3. Wykazać, że równanie x/ = ( x)/x na liczbę złotego podziału x (, ) nie ma pierwiastków wymiernych. 4. Płaszczyznę parametrów a, b R podzielić na podzbiory odpowiadające stałej liczbie pierwiastków równania abx 2 + (a + b)x + =.
5. Rozstrzygnąć, czy liczba 5 + 3 + 5 2 jest wymierna. Wskazówka. Zbadać sumę i iloczyn liczb 5 + 3 ± 5 2. 6. Niech A R będzie zbiorem ograniczonym i λ R. Zbiór λa określamy wzorem λa := {λa: a A}. Oznaczmy sup A = M i inf A = m. Wyznaczyć kresy zbioru λa. 7. Udowodnić, że dla każdego n N zachodzi nierówność n + n + + + 2n 2. 8. Udowodnić, że dla każdego n N zachodzi nierówność n + n + + + 2n 7 2. 9. Wykazać, że dla każdego n naturalnego liczba 3 n 7 jest podzielna przez 6.. Wykazać, że jeśli n jest liczbą naturalną parzystą, to liczba n 3 + 2n dzieli się przez 48 (= 3 2 4 ).. Udowodnić, że dla liczb całkowitych k < l n/2 mamy ( n k ) < ( n l ). 2. Czy zbiór A = {2 n /3 k, gdzie k, n naturalne i k n} jest ograniczony z góry? A z dołu? Proszę uzasadnić obie odpowiedzi. Jeśli któraś z nich jest twierdząca, wyznaczyć odpowiedni kres zbioru A. 3. Dane są liczby a n [, ], gdzie n =, 2,.... Udowodnić, że zbiór { an } A = n : n =, 2,... jest ograniczony i inf A =. 4. Udowodnić, że (n!) 2 n n+ dla n 7. 5. Udowodnić, że zbiór { } n n : n =, 2,... (n!) 2 jest ograniczony. Wyznaczyć jego kresy. 6. Wyznaczyć kresy zbiorów A = { x + x + : x R oraz x < 2}, B = { x x + : x R}. 2
7. Znaleźć inf A i sup A, gdzie A = {x + y + z : x, y, z >, xyz = }. 8. Zbiór niepusty A R ma tę własność, że dla każdego a A istnieje element b A taki, że b a +. Wykazać, że inf A 2. 2 9. Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru {(x + y)(x + y ) x, y > }. 2. Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru { } n k 2 A = n 2 + k : n, k N. 3 2. Wyznaczyć kres górny i dolny zbioru { } m 2 n : n, m N, m > n. m 2 + n 2 22. Zbiór niepusty A (, ) ma tę własność, że jeśli a A, to a jeśli A jest ograniczony z góry, to inf A sup A =. A. Wykazać, że 23. Ciąg (a n ) jest określony rekurencyjnie: a = 2, a 2 = 7, a n+2 = 7a n+ a n dla,2,... Udowodnić, że a n = 2 n + 5 n dla wszystkich n N. 24. Wykazać, że dla każdego n N zachodzi nierówność + 4 2 + 4 3 + + 4 n 2. 4 n 25. Znaleźć wzór na i udowodnić go. n ( ) n k k k= 26. Udowodnić, że prawdziwy jest następujący wzór: ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n + + + + 2 4 2 [n/2] = 2 n. 27. Wykazać, że ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n 2 + 2 + 2 2 + + n 2 = n( + n) 2 n 2. 2 n Wskazówka. Zauważyć, że k 2 = k(k ) + k i obliczyć dwie sumy. 3
28. Załóżmy, że (s k ) jest ciągiem liczb rzeczywistych nieujemnych, s, i dla każdego k spełniona jest nierówność s k+ 2k + 3 k s j. j= Wykazać, że s k < 7 k dla wszystkich k naturalnych. Wskazówka. 2k < + 2k ( + 2) k na mocy nierówności Bernoulli ego. 29. Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Udowodnić nierówność (n + ) n+ > (n + 2) n. 3. Znaleźć kres górny zbioru { a 22 + b 22 + c 22 a + b + c =, a, b, c > }. 2 Ciągi i granice. 3. Obliczyć granice następujących ciągów: a n = + 2 + + n n 2, b n = 32. Obliczyć granice następujących ciągów: a n = 9 + 6 + + (7n + 2) n 2. 3 + ( ) n + 9 n 7n 5 2[ 3 n ]n (3n )(n 2)(2n 3)(n 4)(4n 5) + 2 n, b n = 3n 3 + ( 9n 6 + 7n 3 + ( ) n + ) n n 2. 33. Obliczyć granicę ( n n 2 + 2 + ) n 2 + 4 +... n. n 2 + 2n 34. Obliczyć granice następujących ciągów: 35. Znaleźć granicę ciągu a n = n2 7, b n n = 3 n 2. n a n = ( n + n ) 2n +. 4
36. Obliczyć granicę ( n n + n + 22 n + ) n + 2. n 37. Obliczyć granicę n 38. Niech, dla wszystkich k naturalnych, Wykazać, że n + n + 22 n + n + 2 3 n 3/2 + 22 3. n 3/2 + 2 s k = 2k n=k n 2 n. s k = (2k + 2)2k 4k 2 2 2k dla k N i obliczyć granicę ciągu (s k ). 39. Niech, dla wszystkich k naturalnych, Wykazać, że k ( ) n 4 s k = n. 3 n= s k = 2 + (3k 2) i obliczyć granicę ciągu c k = s k /2 k/2. ( ) k 4 dla k N 3 4. Niech a n będzie ciągiem zadanym rekurencyjnie: a jest pewną liczbą rzeczywistą, a ponadto a n+ = a 2 n dla n =, 2,... Udowodnić, że gdy a ( + 5)/2, to ciąg (a n ) jest ograniczony, a gdy a > ( + 5)/2, to ciąg (an ) jest rozbieżny (do +.) 4. Udowodnić, że ciąg jest zbieżny i znaleźć jego granicę. a = 3, a 2 = 3 2 3,..., a n = 3 2 a n,... 5
42. Dany jest ciąg (a n ) n taki, że a = a 2 = oraz 2a n+2 = 2a n+ +a n dla n =, 2, 3.... Wykazać, że a n = [( + 3 ) n ( 3 ) n ]. 3 2 2 Obliczyć n n a n. 43. Niech (F n ) n będzie ciągiem spełniającym warunki F =, F =, F n+2 = F n+ + F n, n. Udowodnij, że dla n 2 prawdziwa jest równość 44. Obliczyć granicę 45. Obliczyć granicę 46. Obliczyć granicę 47. Obliczyć granicę 48. Obliczyć granicę 49. Obliczyć granicę gdzie b n = ( n + n ) 2. F 4 n = + F n 2 F n F n+ F n+2. (n!) n. n n n2 ln(3n 2 + 2n + 5) n ln(n 9 3n + 2). n n( n ln n). ( n ln(n 2 + ) 2n(ln n) n ) ln n. n ( + 2 + 3 3 + + n n) ln 2n +. n n n 5. Ciąg (a n ) jest określony rekurencyjnie: ( ) bn n, n + a = 2, a 2 =, a n = 2 a n + a n 2 dla n 3. Wykazać, że ciąg (a n ) jest rosnący i ograniczony, a następnie znaleźć jego granicę. 5. Ciąg (x n ) jest określony rekurencyjnie: x = 2, x n+ = f(f(x n )) dla n =, 2,..., gdzie + x. Wykazać, że x n jest monotoniczny i ograniczony i obliczyć jego granicę. 6
52. Ciąg {a n } ma wyrazy dodatnie i jest ograniczony. Wykazać, że jeśli ciąg (c n ) ma granicę równą, to ciąg dany wzorem b n := c n n ln( + a ) ln( + a 2 )... ln( + a n ) też ma granicę równą. Wskazówka. Wykorzystać nierówność ln( + x) x dla x >. 53. Obliczyć granicę n ( + n n 2 ) n ln n. 54. Wykazać, że jeśli ciąg liczb rzeczywistych (a n ) spełnia jednocześnie dwa warunki: a ponadto (a n+ a n ) =, n ε> N N n,m>n a 3m a 3n ε, to (a n ) jest zbieżny. Podać przykłady świadczące o tym, że żaden z powyższych warunków z osobna nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności ciągu a n. 55. Wykazać, że jeśli A = {a n : n N} jest zbiorem wyrazów zbieżnego ciągu liczb rzeczywistych (a n ), to sup A A lub inf A A. Podać przykład takiego ograniczonego ciągu rozbieżnego (b n ), dla którego ani sup B, ani inf B nie są elementami zbioru B wszystkich wyrazów ciągu (b n ). 56. Obliczyć granicę 4 7... (3n + ) n 2 5 8... (3n + 2). Wskazówka: przydatne mogą być (ale nie muszą) różne własności logarytmu naturalnego. 57. Niech x >. Definiujemy ciąg (a n ) n wzorem (a) Wyznaczyć n a n. (b) Zbadać monotoniczność ciągu a n. n xn + x n +... + x +. 58 (trudniejsze). Niech x, x 2,..., x n będą rzeczywiste i dodatnie. Przyjmijmy x n+ = x. Proszę udowodnić, że n x 3 n i x 2 i. x i+ i= x 2 i+ 7 i=
3 Szeregi liczbowe i okolice Uwaga: wszędzie w tym podrozdziale symbol x oznacza część całkowitą (tzn. entier) liczby rzeczywistej x, inaczej podłogę x, a symbol x tzw. sufit liczby x, tzn. x = x dla x Z oraz x = x + dla x R \ Z. 59. Zbadać zbieżność szeregów a) 6. Zbadać zbieżność szeregów ( n ) n 2 2 n, b) n + a) 6. Zbadać zbieżność szeregu ln n ln n b) n=2 (n!) 3 (3n)!, c) (ln ln n) ln n. 2 ( n 2) 62. Znaleźć wszystkie wartości parametru a R, dla których szereg jest zbieżny. a εn, gdzie ε n = n 2, 63. Znaleźć wszystkie wartości parametru p R, dla których szereg ( p n!) 2 n n! n n. jest zbieżny. 64. Niech a n będzie dowolnym szeregiem zbieżnym o wyrazach dodatnich. Czy szeregi: 4 a) a 5 n, b) a n sin a n są zbieżne? Uzasadnić odpowiedź, podając dowód lub kontrprzykład. 65. Niech a n będzie dowolnym szeregiem zbieżnym o wyrazach dodatnich. Czy szereg an ) ln n (nan jest zbieżny? Uzasadnić odpowiedź. 8
66. Zbadać zbieżność szeregu n=2 67. Zbadać zbieżność szeregu ln 5 (2n 7 + 3) + sin(n) n ln 6 (n 7 8 + 2 n ) ln(ln(n + ( ) n )). ( ) +sin2 n 5 n=2 ( ) n 2 n + 3n + 2 ( n+ n ). n 2 + 5n + 7 68. Zbadać zbieżność szeregu (cos n 3 3 + n + 7 cos 3 n 3 2 ) n + 3. n=2 69. Zbadać zbieżność szeregu 7. Zbadać zbieżność szeregu 7. Zbadać zbieżność szeregu 72. Niech n=2 n=2 exp n exp(n n n) ln 2 n. (n + )!(n + ) n n 2n. ( ) n=2 S k := k n=2 n 3 +n+ 3n 2 ln n n. ( ) n ln n. Czy ciąg S (2k) 2 jest zbieżny? Czy ciąg S k jest zbieżny? Obie odpowiedzi proszę uzasadnić. 73. Dany jest ciąg (a n ) o wyrazach zespolonych taki, że szereg a n jest zbieżny. Niech σ : N N będzie bijekcją, o której wiadomo, że istnieje takie M N, że dla każdego n N zachodzi nierówność σ(n) n M. Wykazać, że wówczas szereg jest zbieżny. a σ(n) 9
74. Zbadać zbieżność szeregu 75. Zbadać zbieżność szeregu 76. Czy szereg ( n2 + 7 3 n 3 + 8n + ) (ln(n + ) ln n). ( ) 3 n ln n n ln(ln n). 3 jest zbieżny? Uzasadnić odpowiedź. ln n 2 (2n + )π sin n + 2 77. Dany jest zbieżny szereg a n. Czy wynika stąd, że szereg a n/ n jest a) zbieżny, b) bezwzględnie zbieżny? Odpowiedź uzasadnić, podając dowód lub kontrprzykład. 78. Szereg ( i)n a n, gdzie a n > jest zbieżny. Czy jest zbieżny szereg ( )n a n? Odpowiedź uzasadnić, podając dowód lub kontrprzykład. 79. Zbadać zbieżność szeregów a) b) + 3 2 + 5 + 7 4 + 9 + 6 +... + + + +... 2 3 4 5 6 7 8 8. Wykazać, że iloczyn Cauchy ego szeregów ( ) n 4 n 3 i ( ) n 4 n jest rozbieżny. Czy odpowiedź zmieni się, gdy pierwszy szereg szereg zamienimy na ( )n n 5/4? 8. Wykazać tożsamość n=2 82. Zbadać zbieżność szeregu 2 (n 3 n)3 n = 2 + 4 3 n=2 ( ) n 3 n + ( ) n(n+)/2. n 3 n.
83. Udowodnić tożsamość cos 2π 5 + cos 4π 5 + cos 6π 5 + cos 8π 5 =. 84. Udowodnić, że liczby zespolone z, w C są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następujący warunek: ( ) exp z = exp w i dla pewnego α C\R spełniona jest równość exp(α z) = exp(α w). 85. Wykazać, że każda liczba zespolona w C należy do zbioru wartości funkcji cos: C C. 86. Dla ε > połóżmy S ε := {z = x + iy C: εy > x, z < ε} C. Niech f(z) = exp(/z) dla z. Wykazać, że f : S ε C \ {} jest surjekcją. 87. Szereg a n o wyrazach zespolonych jest zbieżny. Udowodnić, że istnieje ciąg nieograniczony (b n ) liczb dodatnich taki, że szereg a nb n też jest zbieżny. 4 Granica i ciągłość funkcji Uwaga: w rozwiązaniach zadań o granicach proszę posługiwać się wyłącznie faktami znanymi z wykładu. 88. Obliczyć granicę 89. Obliczyć granicę 9. Obliczyć granicę 9. Obliczyć granicę 92. Obliczyć granicę x π 4 x cos 2x cos x sin x. ln(cos 2x) x sin(sin x). ( x sin x2 + 3 ) x 2 + 2. x x x x. x /π x x. /e
93. Obliczyć granicę 94. Obliczyć granicę 95. Obliczyć granicę x x 7 ( x 2 + x + x 2x + 3 cos x x 2. ) /(x 2 ). x + 2 3 x + 2 4 x + 9 2. 96. Obliczyć ( ) /x cos x. x Wskazówka: Można wykorzystać wzór cos x = x 2 /2 + x 4 /24..., a także jedną z wersji lematu o potęgach ciągów szybko zbieżnych do. 97. Obliczyć dla m, n N. x m x n x 98. Dla jakich parametrów a, b, c R funkcja { x2 + a 2 dla x >, ax 2 + bx + c dla x jest ciągła na R? 99. Niech P (x) i Q(x) będą wielomianami takimi, że P () = Q() =. Jakie możliwe wartości (włączając + i ) może przyjąć wyrażenie P (x) x Q(x)? Scharakteryzować te pary (P, Q), dla których powyższa granica istnieje i jest różna od i ±.. Niech ln( x 2 ), x <. Naszkicować wykres tej funkcji i scharakteryzować wszystkie wielomiany Q, dla których granica istnieje i jest liczbą rzeczywistą. Q(x) x f(x) 2
. Podać przykład funkcji f : R R, która ma granicę tylko w punktach i. 2. Wyznaczyć stałe rzeczywiste a, c tak, by funkcja { ( ) a exp(tg x)/ + exp(tg x) dla x < π/2, exp(c x) 2 dla x π/2 była ciągła na prostej R. 3. Niech {, x < ;, x i niech g(x) = x 2 dla x R. Zbadać ciągłość funkcji f g oraz g f na całej prostej rzeczywistej. 4. Wyznaczyć stałe dodatnie A, B, C, dla których istnieje funkcja ciągła f : (, ) R taka, że A x B x 2 4 ln(cx) x 2 5. Dla jakich stałych rzeczywistych A funkcja dla x > 2, dla < x < 2. [x] cos(ax), x R, gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x, jest ciągła na R? 6. Zbadać, czy istnieje taka liczba a R, dla której funkcja { e x (cos x a), x, x ( π, π) sin x, x = jest ciągła na przedziale ( π, π). 7. Funkcja f jest ciągła na przedziale [/(2 2), 2 2] i spełnia warunek f(2 2) f ( /(2 2) ) = 3. Wykazać, że dla pewnej liczby x zachodzi równość f(2x). 8. Funkcja f jest ciągła na [, ] i spełnia zależność f(x + /3) + f(x + 2/3) x x =. Udowodnić, że istnieje punkt x [, ] taki, że f(x ) =. 3
9. Bez pomocy kalkulatora wyznaczyć rzeczywisty pierwiastek wielomianu x 3 + x 2 + 2x + z dokładnością co najmniej 6.. Funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b]. Określamy g(x) = sup f(t). t [a,x] Dowieść, że g jest ciągła na przedziale [a, b].. Funkcja f jest ciągła na (, ]. Dla x (, ] określamy g(x) = n f(x n ). Udowodnić, że g jest funkcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy f() = f(). 2. Niech [x] oznacza część całkowitą liczby x. Obliczyć granicę [ ] x. x x 3. Wykazać, że ( n k ( ) ) 2k cos( n!πx = {, x Q;, x Q. 5 Rachunek różniczkowy 4. Funkcja różniczkowalna f : R R spełnia równanie f (x) dla każdego x R. Ponadto f() = a. Wykazać, że ae x. 5. Wielomian W (x) ma n różnych pierwiastków rzeczywistych. Wykazać, że dla dowolnej liczby α R wielomian αw (x) + W (x) ma co najmniej n różnych pierwiastków rzeczywistych. 6. Czy funkcja { x exp( / x ) x, x, x = jest w punkcie x = ciagła? różniczkowalna? Odpowiedzi proszę uzasadnić. Obliczyć kres górny i kres dolny f na zbiorze R. 7. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji f : R R danej wzorem 3 x + 5 x 2 2x +. 4
8. Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne funkcji f : R R danej wzorem 9. Znaleźć kresy zbioru 5 x 2 9 x 7. A = { n2 n2 + 2n + n N}. 2. Niech sin ln x dla x >. Proszę wyznaczyć: (a) wszystkie a >, dla których f jest jednostajnie ciągła na (, a]; (b) wszystkie b >, dla których f jest jednostajnie ciągła na [b, ), (c) wszystkie c >, dla których f jest lipschitzowska na [c, ), (d) wszystkie d >, dla których f jest lipschitzowska na (, d]. 2. Znaleźć ekstrema i zbadać wypukłość funkcji f : (, e 2 ) R danej wzorem 2 ln(x) 2. Czy istnieje takie n N, że funkcja g(x) = (f(x)) n jest wypukła na przedziale (, e 2 )? Odpowiedź uzasadnić. 22. Niech f n (x) = n exp(x) : [, ] R. Czy istnieje takie n N, że f n jest wklęsła na przedziale [, ]? Odpowiedź uzasadnić. 23. Niech f : [a, b] R będzie ciągła, wypukła i ściśle rosnąca oraz f(a) = c i f(b) = d. Wykazać, że funkcja odwrotna f : [c, d] [a, b] jest wklęsła. 24. Niech f : [a, b] R będzie funkcją wypukłą. Wiadomo, że istnieje punkt x (a, b) taki, że dla każdego y [a, b] zachodzi f(x) f(y). Udowodnić, że f jest funkcją stałą. 25. Niech f, g : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi i wypukłymi. Wykazać, że funkcja h : (a, b) R dana wzorem też jest wypukła. h(x) = max{f(x), g(x)} 26. Niech f : [a, b] R będzie funkcją wypukłą i ciągłą. Wykazać, że funkcja m : [a, b] R dana wzorem m(x) = max{f(y) : y [a, x]} też jest wypukła. 5
27. Znaleźć wszystkie pary liczb rzeczywistych a i b, dla których funkcja a(x + ) + sin(bx) dla x cos x x sin x dla x ( π, ) jest różniczkowalna na przedziale ( π, ). 28. Wyznaczyć kresy zbioru wartości funkcji x2 + x 2 +x+. 29. Wykazać, że równanie ma co najwyżej dwa rozwiązania w R. (x 2) ln(x 2) + (x + 2) ln(x + 2) = 2x 3. Znaleźć minimum objętości stożków opisanych na kuli o promieniu r. 3. Spośród wszystkich deltoidów o obwodzie l wskazać ten o największym polu. 32. Wśród wszystkich trójkątów o obwodzie równym 3 znaleźć trójkąt o największym polu. 33. Obliczyć kres dolny na przedziale (, ) funkcji ln(e x ) + 2 x x. 34. Niech ( tg x ) sin 2x dla x (, π). Wykazać, że f osiąga swój kres dolny na 2 przedziale (, π) w dokładnie jednym punkcie u (, π ) oraz osiąga swój kres górny 2 2 w dokładnie jednym punkcie v tego przedziału. Obliczyć u + v. 35. Dana jest funkcja e 2x+ (x 2 + 2x + 3). (a) wyznaczyć przedziały monotoniczności f; (b) wskazać przedziały, na których f jest wypukła; (c) rozstrzygnąć, czy f jest jednostajnie ciągła na R. 36. Wykorzystując wzór Taylora dla n = 3, wyznaczyć przybliżoną wartość 3 e. Oszacować błąd przybliżenia. 37. Niech ( 3 x ) 5 + 3 3 x 8 x 6 x dla x >. Dowieść, że jeśli a, b, c > i a + b + c = 3, to f(a) + f(b) + f(c) 2. Wskazówka. Sprawdzić, na jakich przedziałach f jest wypukła. 6
38. Wykazać, że + exp a + b + c + d 4 dla wszystkich a, b, c, d R. 4 ( + e a ) ( + e b) ( + e c) ( + e d) 39. Wykazać, że dla x < błąd przybliżenia nie przekracza 72. cos x x2 2 + x4 24 4. Udowodnić, że dla wszystkich x > spełniona jest nierówność ln( + x) > arc tg x + x. 4. Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y zachodzi nierówność ( ) x+y x + y x x y y. 2 42. Niech h: R R będzie funkcją wypukłą. Załóżmy, że h () istnieje i jest liczbą większą od, a h(). Wykazać, że h(x) > x dla x >. 43. Zbadać przebieg zmienności funkcji (2 + x) exp(/x). 44. Wykazać, że dla x (, π 2 ) zachodzi nierówność 45. Wykazać, że jeśli e < y < x, to 2 ln(cos x) x 2 < x2 2. 46. Niech x e x dla x > i niech M(t) = x y < y x. Wyznaczyć kres dolny funkcji M : (, ) R. sup f(x), t >. x [t,t+] 47. Obliczyć n-tą pochodną funkcji x n e x w zerze. 48. Znaleźć rozwinięcie Taylora wokół x = 2 funkcji x 5 + x 4 + 2x +. 49. Znaleźć piąty wyraz rozwinięcia Taylora funkcji sin(tg x) wokół x =. 7
5. Wyznaczyć trzeci wyraz rozwinięcia Taylora wokół x = funkcji 5. Niech ( + x) 4 ( + 2x) 3 ( 2x) 2. { sin(/x) exp( /x 2 ) dla x dla x =. Czy f () istnieje? Czy x = jest punktem przegięcia f? Odpowiedzi proszę uzasadnić. 52. Posługując się tylko wzorem Taylora, obliczyć ln 3 ln 2 z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. 53. Wyznaczyć wszystkie pary liczb a, b R, dla których granica jest skończona. 54. Obliczyć granicę 55. Obliczyć granicę 56. Obliczyć granicę 57. Obliczyć granicę x (a + b cos x) sin x x x 5 n3/2( arc tg ( n + ) arc tg n ). n x ( arc tg x x ) x 2. e tg x e x x tg x x. π arc tg x 2 x ln( + ). x 58. Obliczyć granicę ciągu ( ( a n = + ) n2 ( ) n ( + ) ) n n 2 n n 59. Obliczyć granicę x ( sin x + ϕ(x) ) 8 ( sin x + ψ(x) ),
gdzie ϕ(x) = ( + x) x, ψ(x) = x x dla x >. Wskazówka: wykorzystać twierdzenie Lagrange a o wartości średniej dla funkcji / sin(/x). 6. Udowodnić, że jeśli funkcja różniczkowalna f : R R spełnia warunek f (x) = g R, x ± to f jest jednostajnie ciągła na całej prostej R. Wskazówka. Czy f spełnia warunek Lipschitza na przedziale [a, ), gdy liczba a jest dostatecznie duża? 6. Obliczyć granicę ( ) x x sin x tg(x sin x) x 2 sin 2 x. 62. Niech 2 2 cos x x sin(sin x) i niech a n = f( ) dla n N. Wyznaczyć n wszystkie wykładniki w >, dla których szereg a w n jest zbieżny. 63. Obliczyć granicę x arc sin (x) x tg(2x) 2 ln( + x) x 2. 64. Obliczyć granicę 2 sin( cos(x)) tg 2 (sin(x)). x (cos(x) ) 2 65. Obliczyć granicę 66. Obliczyć granicę tg(sin(ln(arc tg (exp(x) ) sin(x) + ))). x (arc sin (x) sin(x)) 2/3 x cos(x) tg(x) 3arc tg 2 (x) sin(x) 2. arc tg 3 (sin x) 9
6 Zbieżność jednostajna i szeregi potęgowe 67. Wykazać, że jeśli a n jest ciągiem monotonicznie zbieżnym do a, zaś f : R R funkcją ciągłą i monotoniczną, to ciąg funkcji f n (x) := f(x + a n ) jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale [ M, M] R. 68. Podać przykład ciągu funkcji f n : R R takiego, że szereg f n jest zbieżny jednostajnie, ale szereg norm f n jest rozbieżny. 69. Wykazać, że granica punktowa ciągu funkcji wypukłych jest funkcją wypukłą. 7. Zbadać zbieżność jednostajną szeregu n=2 7. Zbadać zbieżność jednostajną szeregu na przedziale [, + ). sin(nx) (n + x 2 ) ln 2 n. ( ) n x + n 72. Znaleźć zbiór X R punktów zbieżności szeregu funkcyjnego ( sin( n ) cos( 2n+3 ) n 2 + 5n 2 7 ) n x +x 2. 73. Znaleźć zbiór X R punktów zbieżności szeregu funkcyjnego ( x ) x sin. + n 2 x 2 Czy szereg ten jest zbieżny jednostajnie na zbiorze X? Odpowiedź proszę uzasadnić. 74. Niech f n : R R będzie ciągiem funkcyjnym, zbieżnym jednostajnie na R do funkcji f : R R. Dla n N kładziemy g n (x) = exp( (f n (x)) 2 ), g(x) = exp( (f(x)) 2 ), h n (x) = (f n (x)) 2, h(x) = (f(x)) 2. Czy ciag g n zbiega jednostajnie na R do funkcji g? A czy ciag h n zbiega jednostajnie na R do funkcji h? Obie odpowiedzi proszę uzasadnić. 2
75. Zbadać, czy suma szeregu sin(nx) nx cos x n jest ciągła na zbiorze (, π). 76. Zbadać zbieżność jednostajną i punktową ciągu f n (x) = n 2 cos ( ) x n x na zbiorach (, + ) i (, a], gdzie a >. 77. Zbadać zbieżność jednostajną i punktową ciągu funkcyjnego ( f n (x) = exp x + ) ( ) x + cos ( ) ln n + n n na prostej rzeczywistej R. 78. Zbadać zbieżność jednostajną i punktową ciągu funkcyjnego na odcinku [, ]. f n (x) = n 3 x exp( nx 2 ), n =, 2,... 79. Rozważmy funkcję x exp(2x). Definiujemy ciąg funkcyjny (f n) przez wielokrotne składanie funkcji f: f n (x) := f n (x) = f f... f(x). Zbadać zbieżność jednostajną tego ciągu na zbiorze x. 8. Wykazać, że funkcja jest dobrze określona i klasy C na [, + ). 8. Wykazać, że funkcja x 3 x 5 + n 5 exp( n 2 x) jest dobrze określona i klasy C na (, + ). 2
82. Funkcja analityczna n= a nx n (szereg ma promień zbieżności R > ) spełnia w przedziale ( R, R) równanie i ponadto f() = π. Wyznaczyć a 6. f (x) = x 2 f(x) 83. Wyznaczyć promienie zbieżności następujących szeregów potęgowych: a) b) c) d) 2 n 3 n2 4 n3 n + n 2 + n 3 x2n3, (3 + ( ) n 2) 2n x 2n+( )n, n (5n + ( ) n ) n x 2n, n= 8 n nx n+. 84. Szereg potęgowy n=3 a nx n ma skończony promień zbieżności R >. Proszę wyznaczyć promień zbieżności szeregu n=3 a nx n2. 85. Czy szereg n( + (x n) 2 ) jest zbieżny jednostajnie na (, + )? Odpowiedź proszę uzasadnić. 86. Szereg potęgowy n=3 a nx n ma skończony promień zbieżności R >. Proszę wyznaczyć promień zbieżności szeregu n=3 3n a n x n3. 87. Rozwinąć w szereg Taylora Maclaurina funkcję sin(x 2 ) cos(x 2 ). 88. Rozwinąć szereg Taylora Maclaurina funkcję sin x cos x arc tg x 2. Obliczyć promień zbieżności tego szeregu. 89. Zbadać zbieżność jednostajną i niemal jednostajną szeregu f n(x) na przedziale (, ), gdzie dla x, n n f n (x) = dla x >. n 22
9. Wykazać, że funkcja n= nx n, x (, ) n + spełnia tożsamość x Wskazówka. n/(n + ) = n+. 9. Czy suma szeregu S(x) = x + ln( x), x (, ). x ( x ( n + x ) ( ln + x ) ) n n jest funkcją dobrze określoną i różniczkowalną na (, + )? Odpowiedzi proszę uzasadnić. 92. Udowodnić, że funkcja sin x n jest ciągła na (, ). Zbadać jej różniczkowalność na tym przedziale. 93. Załóżmy, że a n <. Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji a n arc tg nx, x R. 94. Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji 95. Wykazać, że funkcja ( arc tg nx π ), x >. n 2 x n, 3 < x < 3, 3 n n2 jest różniczkowalna i wyrazić jej pochodną jawnym, prostym wzorem. 96. Obliczyć sumę szeregu /2 /5 + /8 / +. Wskazówka. Rozważyć funkcję F (x) = x 2 /2 x 5 /5 +. 97. Załóżmy, że f C([, )) nie jest funkcją stałą. Udowodnić, że rodzina f n (t) := f(nt), n N, nie jest równociągła na [, ]. 23
98. Udowodnić, że x x 2 arc tg nx + n 2 x 2 = π3 2. 99. Dla x R i n N połóżmy f n (x) := x 2 + n sin nx. Udowodnić, że ciąg f n jest zbieżny jednostajnie na całej prostej R, ale nie jest rodziną równociągłą na R, tzn. nie jest prawdą, że dla każdego ε > istnieje δ > takie, że nierówność f n (x) f n (y) < ε zachodzi dla wszystkich n N i wszystkich x, y R, x y < δ. 2 (z gwiazdką, tylko dla zainteresowanych). Funkcja f : R R jest klasy C i okresowa z okresem T =. Ponadto f() = i f na całej prostej R. Dla n N kładziemy f n (x) = f(2n x) ( 2 ) n oraz F (x) = f n (x).. Niech k, n N, θ (, ). Połóżmy x = k oraz y = x + θ. Wykazać, że istnieje 2 n 2 n+ stała C, niezależna od k, n i θ, taka że n= F (x) F (y) C 2 n/2. 2. Wywnioskować z poprzedniego punktu, że F spełnia warunek Höldera z wykładnikiem 2, tzn. istnieje taka stała C 2, że F (x) F (y) C 2 x y /2 dla wszystkich x, y R. 3. Zbadać różniczkowalność F. 2. Sumę szeregu potęgowego n= x n 4n + 3 przedstawić wyraźnym, konkretnym wzorem jako funkcję zmiennej x. Na jakim przedziale słuszny jest otrzymany wzór? 7 Rachunek całkowy 22. Rozłożyć na ułamki proste funkcję wymierną x 3 + 4x 2 2x + 6 x 4 2x 3 + 3x 2 4x + 2. 23. Obliczyć całkę nieoznaczoną (2x 3 + x) (arc tg x) 2 dx. 24
24. Obliczyć całkę nieoznaczoną 25. Obliczyć całkę nieoznaczoną exp(2x) cos 3 (x) dx. cos x sin x cos x dx 26. Obliczyć całkę nieoznaczoną sin 2 x ctg x ( + sin 2 x) cos 2 x dx 27. Znaleźć funkcję pierwotną funkcji x 2 4 x 2. 28. Funkcja f(x) dana jest wzorem Obliczyć f (x). x 2 + x sin(t 2 ) dt. 29. Znaleźć kres dolny i górny funkcji na przedziale [, ]. 2. Obliczyć granicę 2. Obliczyć granicę 22. Obliczyć granicę 23. Obliczyć granicę F (x) = n n x x 5t + 3 t 3 7t 2 + 6t 2 dt sin x tg x n 2 k= n k= tg x dx. sin x dx ( ) 2 k k n n. 2 2n2 + kn k 2 n 2. n n 2 (n + ) n+ (n + 2) n+2... (2n) 2n n n+ n n+2... n 2n. 25
24. Obliczyć granicę n n k= n 5 (n 2 + k 2 ) 3. 25. Skonstruować przykład ciągu funkcji ciągłych f n : [, ] R takiego, że n f n (x) = dla każdego x [, ], ale 26. Wykazać, że n należy do przedziału [2e /4, 2e 2 ]. 2 f n (x) dx = +. e x2 x dx 27. Wykazać, że dla n = 3, 4, 5,... prawdziwa jest równość π/2 cos n x dx = n n π/2 cos n 2 x dx. 28. Niech f będzie funkcją dodatnią, ciągłą i rosnącą na przedziale [a, b] i niech a = f(a), b = f(b). Wykazać, że b a f(x)dx + b a f (y)dy = bb aa, gdzie f oznacza funkcję odwrotną do f. Wskazówka: Wykorzystać geometryczną interpretację całek. 29. Niech f : [, + ) R będzie funkcją ciągłą o wartościach dodatnich. Wykazać, że dla każdego x > prawdziwa jest nierówność x x ( x 2 t 2 f(t) dt f(t) dt tf(t) dt). Wskazówka: zróżniczkować badane wyrażenie względem x. 22. Niech f : R R będzie funkcją ciągłą okresową, o okresie T = i całce oznaczonej f (x) dx =. Dla n N definiujemy f n (x) = f (5 n x), 2 n oraz F (x) = x f n (x) f(t) dt. Wykazać, że szereg f n(x) jest zbieżny jednostajnie na całej prostej R i F (x) = x f n(t) dt 26
22. Obliczyć granicę F (x) x x, gdzie F jest funkcją z poprzedniego zadania. 222. Funkcja f, ciągła i nieujemna na przedziale [a, b], ma na tym przedziale kres górny M. Dowieść, że ciąg ( b ) /n f(x) n dx ma granicę równą M. a 223. Obliczyć całkę funkcji x exp( x) po maksymalnym przedziale półosi dodatniej, na którym ta funkcja jest wklęsła. 224. Wyznaczyć liczbę dodatnią x, dla której wartość całki jest największa. x sin (2πt/(t + 2)) dt 225. Wykazać, że jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [a, b], to b ( x n ( b ) n n f(x) f(y)dy) dx = f(x)dx a a dla każdej liczby naturalnej n. a 226. Punkt A znajduje się w środku układu współrzędnych w R 2. Prosta l przechodzi przez A. W chwili t = punkt A zaczyna się poruszać po prostej l ze stałą prędkością m/s, a jednocześnie prosta l zaczyna się obracać ze stałą prędkością kątową radiana na sekundę. Obliczyć długość krzywej, jaką punkt A zakreśli, poruszając się od t = do t = s. 227. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej ( ) a sin x gdzie a, b, c R. π 228. Zbadać zbieżność całki niewłaściwej x b + ( π x ) c dx, x a sin x b exp(x 2 ) dx, gdzie (wariant ) a, b >, (wariant 2, trudniejszy) a, b R. 27
229. Niech f C((, ]) będzie taka, że f(x) dx jest zbieżna. Niech α (, ) będzie dowolną liczbą. Wykazać, że r + r α r f(x) α dx =. Wskazówka: Zastosować nierówność Höldera z wykładnikiem p = /α. 23. Niech α (, ). Obliczyć granicę r + r ln r α r ln x α exp( x 2 ) dx. Poszczególne kroki w obliczeniach proszę starannie uzasadnić. Wskazówka: Można zastosować nierówność Höldera z wykładnikiem p = /α, a następnie spróbować wykorzystać twierdzenie o 3 funkcjach i monotoniczność logarytmu. 23. Niech f C(R) i niech M >. Udowodnić, że ciąg funkcyjny f n (z) = n 2 jest zbieżny do f jednostajnie na [ M, M]. z+ n z n f(y) dy 232. Załóżmy, że f : [, 2π] R spełnia warunek Lipschitza. Wykazać, że istnieje stała C > taka, że dla każdego k =, 2,... jest 2π f(x) sin(kx) dx C k. 28