Rozdził Cłki niewłściwe. Funkcje Γ i B Euler orz ich zstosowni W tym rozdzile omówimy pojęcie cłki niewłściwej. Zjmiemy się też dwom brdzo wżnymi konkretnymi typmi tkich cłek: funkcjmi Γ (gmm i B (bet Euler, które stnowią, odpowiednio, nturlne uogólnienie silni orz współczynników dwuminowych Newton n wszystkie liczby rzeczywiste dodtnie.. Cłk niewłściw Definicj. (cłk niewłściw n przedzile nieskończonym. Złóżmy, że funkcj f : [, R jest ciągł. Jeśli istnieje skończon grnic lim y y f( d, (. to nzywmy ją cłką niewłściwą funkcji f n przedzile [, (lbo: od do nieskończoności i oznczmy f( d. Mówimy wtedy, że cłk niewłściw f n [, jest zbieżn. Jeśli grnic (. nie istnieje, to mówimy, że cłk f( d jest rozbieżn. Anlogicznie definiujemy cłkę niewłściwą funkcji f : (, ] R, tkże cłkę niewłściwą tkiej funkcji f : [, R (odpowiednio, f : (, ] R, któr dl kżdego < b < (odpowiednio, kżdego < b < jest cłkowln w sensie Riemnn n przedzile domkniętym o końcch, b. Spójrzmy n proste przykłdy. Przykłd.2. Niech f( = e dl [,. Dl dowolnej liczby y > jest y Pondto, e y dl y +. Dltego y e d = e = e y. e d =. 227
228 wersj robocz z dni: czerwc 2 Przykłd.3. Niech f( = / s,, s R. Wówczs y y d ln y = ln y dl s =, f( d = s = s y s = y s dl s. s Jeśli s =, to grnic cłek y y. Cłk niewłściw f d przy y jest nieskończon, gdyż ln y dl (/ d jest ztem rozbieżn. Jeśli s, to grnic cłek y f d przy y jest skończon wtedy i tylko wtedy, gdy funkcj potęgow y s m grnicę skończoną dl y, więc wtedy i tylko wtedy, gdy wykłdnik s <. Dl tkich s mmy d s = lim y s = y s s (s >. Dl wszystkich pozostłych s R cłk s d jest rozbieżn. Przykłd.4. Niech f( = /( + 2,. Dl kżdego y > jest y y d y f( d = = rc tg + 2 = rc tg y. Dltego d + 2 = lim y rc tg y = π 2. Z uwgi n przystość funkcji podcłkowej, mmy tkże Ztem, d + 2 = lim y ( rc tg y = π 2 d + 2 = Uwg.5. Jeśli istnieje cłk i zchodzi równość f( d = d + 2 + d + 2 = π. f( d, to dl kżdego b > istnieje b f( d Istotnie, dl kżdego y > b mmy przecież y f( d = f( d + f( d + b y b f( d. (.2 f( d. Dltego lew stron m grnicę wtedy i tylko wtedy, gdy prw stron m grnicę. Zchodzi też równość tych grnic, czyli równość (.2. Twierdzenie.6 (wrunek Cuchy ego dl cłek niewłściwych. Cłk niewłściw f( d jest zbieżn wtedy i tylko wtedy, gdy zchodzi nstępujący wrunek Cuchy ego dl cłek: dl kżdego ε > istnieje tkie M >, że dl wszystkich y 2 > y > M zchodzi nierówność y2 f( d < ε. y
c MIM UW, 2/ 229 Dowód. Jeśli f( d jest zbieżn, tzn. istnieje grnic y g = lim I(y, gdzie I(y = f( d, y to zgodnie z definicją (Cuchy ego grnicy dl kżdego ε > istnieje tkie M >, że dl wszystkich y > M jest I(y g < ε/2. Ztem, dl y 2 > y > M jest y2 f( d = I(y 2 I(y I(y 2 g + g I(y < ε. y N odwrót, złóżmy, że zchodzi wrunek podny w twierdzeniu. Niech ( m [, będzie dowolnym cigiem zbieżnym do nieskończoności. Wrunek Cuchy ego dl cłek jest po prostu wrunkiem Cuchy ego dl ciągu liczbowego I( m. Ztem, istnieje grnic tego ciągu, pewn liczb g = lim I( m R. Ustlmy ε >. Dobierzmy do ε/2 liczbę M > tk, by wrunek Cuchy ego dl cłek zchodził dl wszystkich y 2 > y > M z liczbą ε/2 zmist ε po prwej stronie nierówności. Niech y > M. Wybierzmy m N tk, by m > y orz I( m g < ε/2. Wówczs, m I(y g = I( m f( d g I( m m g + f( d < ε 2 + ε 2 = ε. y Ztem, wprost z definicji grnicy I(y g dl y. Zjmiemy się terz nieco bliżej związkiem cłek niewłściwych z szeregmi. Definicj.7 (cłkowlność bezwzględn i cłkowlność wrunkow. Niech f : [, R. Mówimy, że cłk f( d jest zbieżn bezwzględnie, funkcj f jest bezwzględnie cłkowln n [,, wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżn jest cłk y f(y dy. Jeśli cłk f( d jest zbieżn, le nie jest zbieżn bezwzględnie, to mówimy, że jest zbieżn wrunkowo. Mówimy wtedy, że f jest wrunkowo cłkowln n [,. Wniosek.8. Jeśli f : [, R jest bezwzględnie cłkowln n [,, to cłk f( d jest zbieżn. Dowód. Stosujemy kryterium cłkowlności z Twierdzeni.6 i nierówność trójkąt dl cłek, y2 y2 f( d < f( d. y y Jeśli cłki z prwej strony nierówności są (dowolnie młe dl wszystkich y 2 > y dosttecznie dużych, to i cłki z lewej strony są (dowolnie młe dl wszystkich y 2 > y dosttecznie dużych. Jest więc podobnie, jk dl szeregów: bezwzględn zbieżność implikuje zwykłą zbieżność. Nie musi być odwrotnie: spójrzmy n klsyczny przykłd.
23 wersj robocz z dni: czerwc 2 Przykłd.9. Niech f( = sin dl > i f( =. Wtedy funkcj f jest ciągł n [,, gdyż sin dl. Wykżemy, że cłk niewłściw funkcji f, tzw. cłk Dirichlet sin d (.3 jest zbieżn tylko wrunkowo, tzn. zbieżn, le nie bezwzględnie zbieżn. N przedzile (kπ, (k + π jest sin / ( (k + π. Zcznijmy od rozbieżności cłki niewłściwej z funkcji f( = sin /. Niech n N, k n. Mmy sin sin > dl (kπ, (k + π (k + π i dltego (n+π sin d = = = 2 π n k= n k= n (k+π kπ k= n+ (k + π (k + π j= j sin d (k+π kπ π + dl n, sin d sin d gdyż szereg hrmoniczny n jest rozbieżny. Ztem cłk f( d jest rozbieżn. Oznczmy terz (k+π sin I k = d, k =,, 2,... kπ Aby wykzć zbieżność cłki Dirichlet (.3, sprwdzimy njpierw, że szereg liczbowy k I k jest zbieżny. Posłużymy się w tym celu kryterium Leibniz (Wniosek 4.42. Zuwżmy njpierw, że dl kżdego k =,, 2,... jest I 2k > > I 2k+
c MIM UW, 2/ 23 To łtwo wynik z monotoniczności cłki i fktu, że sinus jest dodtni n przedziłch (2kπ, 2kπ + π, ujemny n przedziłch (2kπ + π, (2k + 2π. Pondto, poniewż w kżdej z cłek I k funkcj podcłkow m stły znk, więc dl kżdego k =,, 2,... jest I k = (k+π kπ sin d = (k+π (k + π (k + π kπ (k+2π (k+π sin d sin y dy (k+2π (k+π sin y y dy = I k+. Skorzystliśmy tu z okresowości modułu sinus (środkow równość orz z nierówności (k + π y dl wszystkich kπ < (k + π y. Ztem, znki liczb I k zmieniją się n przemin, zś ciąg I k jest mlejący. Z wypisnych oszcowń wnioskujemy pondto, że I k+ c/(k + dl c = 2/π. Spełnione są więc wszystkie złożeni kryterium Leibniz; n mocy tego kryterium szereg I k jest zbieżny. Niech S ozncz sumę tego szeregu. Ustlmy terz liczbę ε >. Wybierzmy M N, tk, by spełnione były dw wrunki: n I k S < ε 2 k= dl n > M orz < ε dl > M. 2π Niech y > Mπ i n = [y/π]. Wtedy, z włsności entier, y nπ < π. Możemy więc oszcowć y n sin d S y = sin I k + k= nπ d S n y I k S + sin d < ε ε + (y nπ 2 2π < ε. k= (Ide jest brdzo prost: dl dużych y cłk y f d różni się brdzo niewiele od odpowiednio dobrnej sumy częściowej szeregu cłek I k. Otrzymliśmy więc równość sin y sin d = lim y Uwg.. Możn wykzć, że nπ d = S = sin d = π 2. k= (k+π kπ sin d. Dl funkcji nieujemnych zbieżność cłek niewłściwych możn brdzo wyrźnie powiązć ze zbieżnością szeregów. Dl uproszczeni przyjmijmy = (przedził cłkowni zwsze możn tk przesunąć, by jego koniec znlzł się w zerze.
232 wersj robocz z dni: czerwc 2 Twierdzenie.. Niech f : [, [, będzie funkcją ciągłą. Nstępujące wrunki są wówczs równowżne: (i Cłk niewłściw f( d jest zbieżn. (ii Dl kżdego rosnącego ciągu liczb nieujemnych ( m dążącego do + szereg jest zbieżny. S = m= m+ m f( d (iii Dl pewnego rosnącego ciągu liczb nieujemnych ( m dążącego do + szereg jest zbieżny. S = m= m+ m f( d Dowód. (i (ii. Niech ( m będzie jkimkolwiek ciągiem rosnącym liczb nieujemnych. Mmy m+ m k+ f( d = f( d + f( d. k Z wrunku (i wynik, że lew stron m skończoną grnicę dl m. Ztem prw stron też m skonczoną grnicę, to ozncz, że ciąg sum częściowych szeregu S jest zbieżny. (ii (iii. To jest oczywiste. (iii (i. Złóżmy, że szereg S jest zbieżny. Niech ε >. Z kryterium Cuchy ego dl szeregów wynik, że istnieje M N tkie, że dl wszystkich N > M jest N k=m N f( d = k k+ k=m k= k+ k f( d < ε (pmiętjmy, że f. Niech terz y 2 > y > M będą dowolne. Wybierzmy N > M tk, by N+ > y 2. Wówczs, dzięki monotoniczności cłki, y2 y y2 f( d = f( d y N M f( d = N k=m k+ k f( d < ε. Zchodzi więc wrunek Cuchy ego dl cłek niewłściwych, podny w Twierdzeniu.6. Dltego cłk f( d jest zbieżn. Czytelnik może sprwdzić, że nlogiczne twierdzenie zchodzi dl funkcji nieujemnych, które są cłkowlne w sensie Riemnn n kżdym przedzile skończonym [, b]. Twierdzenie.2. Niech f : [, [,, gdzie, będzie funkcją nierosnącą. Nstępujące wrunki są równowżne:
c MIM UW, 2/ 233 (i Cłk niewłściw (ii Szereg S = n=[+] f( d jest zbieżn. f(n jest zbieżny. Szkic dowodu. Poniewż f jest nieujemn i nierosnąc, więc dl n + mmy n n f( d inf f = f(n = [n,n] sup [n,n+] f n+ n f( d. Sumując tkie nierówności względem n, łtwo porównujemy (z góry i z dołu, z dokłdnością do stłych skłdników sumy częściowe S m szeregu S z cłkmi I(m = m f( d. Zrówno sumy S m, jk i cłki I(m, tworzą ciągi rosnące. Ztem jeden z tych ciągów jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest drugi z nich. (Ptrz tkże rysunek. Jeśli f jest funkcją mlejącą np. n [,, to dl kżdego n jest n f(k n f( d k= k=2 n f(k. Uwg.3. Czytelnik zuwżył być może, że w osttnim twierdzeniu nie zkłdliśmy, że f jest ciągł (lub choćby cłkowln w sensie Riemnn n przedziłch ogrniczonych. To nie jest potrzebne: zbiór punktów nieciągłości funkcji nierosnącej jest co njwyżej przeliczlny, więc z twierdzeni chrkteryzującego funkcje cłkowlne w sensie Riemnn wynik, że funkcj nierosnąc jest cłkowln w sensie Riemnn n kżdym przedzile skończonym. Zdnie.4. Skonstruowć przykłd funkcji ciągłej f : [, [,, dl której cłk niewłściw f( d jest zbieżn, le f nie m grnicy dl + i sup f = inf f = +.
234 wersj robocz z dni: czerwc 2 Aby podkreślić związki cłek niewłściwych z szeregmi, sformułujemy jeszcze dw kryteri zbieżności tkich cłek. Stwierdzenie.5 (kryterium porównwcze dl cłek niewłściwych. Jeśli f, g są nieujemne i ciągłe n przedzile [, i istnieją i C > tkie, że C f( g( dl wszystkich >, to ze zbieżności cłki f( d wynik zbieżność cłki g( d, ntomist z rozbieżności cłki g( d wynik rozbieżność cłki f( d. Dowód pozostwimy zinteresownemu Czytelnikowi. Jest nietrudny i brdzo podobny do dowodu kryterium porównwczego dl szeregów. Podmy też odpowiednik kryterium Abel i Dirichlet. W tym celu njpierw wykżemy pomocnicze twierdzenie o wrtości średniej dl cłek. Twierdzenie.6 (drugie twierdzenie o wrtości średniej dl cłki.. Złóżmy, że f, h C([, b] i h. Wówczs istnieje tki punkt ξ [, b], że f(ξ h( d = f(h( d 2. Złóżmy, że f, g C([, b], pondto g jest funkcją monotoniczną. Wówczs istnieje tki punkt ξ [, b], że f(g( d = g( ξ f( d + g(b ξ f( d. Dowód. Njpierw udowodnimy pierwszy punkt. Poniewż h, więc dl kżdego [, b] mmy h( inf f f(h( h( sup f. Dltego, z monotoniczności cłki, inf f [,b] h( d I = f(h( d sup f [,b] h( d. Jeśli h( d =, to fh i jko ξ możn wybrć dowolny punkt przedziłu [, b]. Jeśli h( d, to liczb ( ( f(h( d h( d nleży do przedziłu [inf f, sup f], więc n mocy włsności Drbou jest wrtością funkcji f w pewnym punkcie ξ [, b]. To kończy dowód punktu pierwszego. Aby wykzć drugą część twierdzeni, połóżmy F ( = f(t dt dl [, b]. Funkcj F znik dl = i jest funkcją pierwotną f. Dl ułtwieni złóżmy, że g jest funkcją klsy C i g (wpp. możn g pomnożyć przez. Cłkując przez części, otrzymujemy f(g( d = F (bg(b F (g ( d gdyż F ( = = F (bg(b F (ξ g ( d n mocy punktu. = F (bg(b F (ξ ( g(b g( = g(b ξ f( d + g( ξ f( d.
c MIM UW, 2/ 235 Niech terz g będzie dowolną funkcją ciągłą monotoniczną. Znjdziemy ciąg wielominów g n zbieżny do g jednostjnie n [, b]. Możn bez zmniejszeni ogólności zkłdć, że kżdy z wielominów g n jest monotoniczny n [, b]. (To nietrudno wywnioskowć np. z fktu, że wielominy Bernstein funkcji f zleżą w sposób monotoniczny od f. Ztem, dl kżdego n istnieje ξ n [, b] tkie, że ξn f(g n ( d = g n ( f( d + g n (b f( d. ξ n Ciąg ξ n nie musi wprwdzie być zbieżny, lecz m podciąg zbieżny; przyjmiemy więc, żeby nie komplikowć oznczeń, że ξ n jest po prostu zbieżny. Przechodząc w powyższej równości do grnicy n i korzystjąc z Twierdzeni 9.37 (o przejściu do grnicy pod znkiem cłki, żeby wykonć przejście grniczne po lewej stronie, otrzymujemy tezę punktu drugiego w ogólnym przypdku (bez złożeni różniczkowlności g. Dowód cłego twierdzeni jest zkończony. Twierdzenie.7 (kryterium Abel Dirichlet dl cłek. Złóżmy, że są ciągłe, pondto: f, g : [, R. Funkcj g jest monotoniczn i m grnicę równą zero dl +. 2. Istnieje tk liczb M >, że dl wszystkich 2 > jest 2 f( d < M. Wówczs cłk jest zbieżn. f(g( d Dowód. Sprwdzimy, że spełniony jest wrunek Cuchy ego dl cłek niewłściwych. Ustlmy ε > i dobierzmy K > tk, by mieć g( < ε/(2m dl wszystkich > K. Z drugiego twierdzeni o wrtości średniej wnioskujemy, że dl dowolnych y 2 > y > K znjdzie się punkt ξ [y, y 2 ] tki, że y2 y f(g( d = g(y ξ y f( d + g(y 2 y2 ξ f( d < 2 ε 2M M = ε. (Skorzystliśmy po prostu z nierówności trójkąt dl sumy. Obie cłki z f szcują się przez M, wrtości g w punktch y i przez ε/(2m; są dw tkie skłdniki. Przykłd.8. Dirichlet. Z tego kryterium rz jeszcze możn wywnioskowć zbieżność cłki sin d.
236 wersj robocz z dni: czerwc 2 Funkcje Fresnel S( = sin(t 2 dt, C( = cos(t 2 dt. Czrny kolor odpowid funkcji S(, gdyż S ( =, C ( = > (skle n osich są różne. Oczywiście możn ogrniczyć się do bdni funkcji podcłkowej n I = (,. Funkcj g( = / jest n tym przedzile ciągł i monotonicznie mleje do zer, ntomist y2 sin d = cos y 2 cos y 2 y dl wszystkich y, y 2. 2. Cłki Fresnel sin( 2 d, cos( 2 d są zbieżne, choć funkcje podcłkowe nie mją w ogóle grnicy w nieskończoności! Znów, sprwdzimy, co się dzieje n przedzile [,. Zmienijąc zmienne (t =, otrzymujemy sin( 2 sin t d = 2 t dt. Funkcj g(t = /2 t jest monotoniczn i m w nieskończnoności grnicę. Ogrniczoność cłek sinus n dowolnym przedzile sprwdziliśmy wyżej. Tk smo możn postąpić z drugą cłką. (Tempo zbieżności obu cłek jest powolne. Cłki niewłściwe n przedzile skończonym Z brdzo podobną sytucją mmy do czynieni, gdy funkcj f : (, b] R jest ciągł (lub ogrniczon i cłkowln w sensie Riemnn n kżdym przedzile [ + ε, b], gdzie < ε < b, le nie możn jej przedłużyć do funkcji ciągłej (odpowiednio: ogrniczonej i cłkowlnej w sensie Riemnn n [, b], gdyż np. f m w grnicę nieskończoną, lub w ogóle nie m grnicy w punkcie, ni nie jest ogrniczon w żdnym otoczeniu tego punktu. Mówimy wtedy, że cłk niewłściw f( d jest zbieżn, gdy istnieje skończon grnic lim f( d =: ε + +ε f( d Jeśli t grnic nie istnieje lub jest nieskończon, to mówimy, że cłk jest rozbieżn.
c MIM UW, 2/ 237 Przykłd.9. Cłk s d jest zbieżn dl s < i rozbieżn dl s. Istotnie, mmy ln = ln s d = lim s ε ε ds = ε + ε s s = ε s ε s dl s =, dl s. Gdy s =, to ln(/ε + dl ε +. Dl s zbieżność rozptrywnej cłki jest równowżn istnieniu skończonej grnicy ε s przy ε +, tzn. dodtniości wykłdnik s. Bdjąc zbieżność cłek niewłściwych z nieogrniczonych funkcji nieujemnych n przedzile ogrniczonym, wolno oczywiście posługiwć się kryterium porównwczym: jeśli Cf( g( dl pewnej stłej C > i wszystkich (, b, to ze zbieżności cłki f( d wynik zbieżność cłki g( d i n odwrót, z rozbieżności cłki z funkcji g n (, b wynik rozbieżność cłki z f n tym przedzile. Przykłd.2. Cłk cos 3 jest rozbieżn. Istotnie, C 2 > cos n (,, gdy C > jest dosttecznie młą liczbą (wystrczy np. wziąć C = /π; Czytelnik zechce to sprwdzić. Dltego cos C 2 i funkcj podcłkow jest nie mniejsz od g( = C/, zś cłk z tej osttniej funkcji, g( d = C d jest oczywiście rozbieżn. Uwg.2 (wzory rchunkowe dl cłek niewłściwych. W poprzednim rozdzile zetknęliśmy się z kilkom wzormi rchunkowymi dl cłek oznczonych, np. wzorem n cłkownie przez części i wzorem n cłkownie przez podstwienie. Odpowiednikmi tych wzorów możn się posługiwć tkże dl cłek niewłściwych, tylko trzeb pmiętć, że po obu stronch mmy do czynieni z grnicmi pewnych cłek. Stosujemy po prostu odpowiedni wzór n mniejszym przedzile i przechodzimy nstępnie do odpowiedniej grnicy z końcmi przedziłu. Np. mjąc do czynieni z wzorem n cłkownie przez części dl cłek niewłściwych, piszemy f( g ( d = fg f ( g( d, interpretując kżdą cłkę jko cłkę niewłściwą i przyjmując, że fg = lim f(bg(b f(g(. b Podobnie postępujemy z cłkmi niewłściwymi n przedziłch skończonych: stosujemy odpowiedni wzór nie n [, b], tylko n mniejszym przedzile [ + ε, b], nstępnie przechodzimy do grnicy ε +. Przy pewnej dozie ostrożności możn po prostu cłkowć przez części i przez podstwienie prktycznie tk smo, jk dl zwykłych cłek oznczonych. Spotkmy się kilkkrotnie z tką sytucją w nstępnym podrozdzile. d
238 wersj robocz z dni: czerwc 2.2 Funkcje Γ i B Definicj.22. Dl > kłdziemy Γ( = Cłkę (.4 nzywmy funkcją gmm Euler. t e t dt. (.4 Nietrudno przekonć się, że definicj jest poprwn, tzn. cłk jest zbieżn dl kżdego prmetru >. Istotnie, poniewż e t dl t, więc t e t dt t dt = t = <. (.5 Dl t > i k > jest też e t/2 (t/2k t k! k! 2 k (porównujemy funkcję e t z k-tym wyrzem jej szeregu potęgowego, nstępnie korzystmy z monotoniczności funkcji wykłdniczej o podstwie t >. Dltego e t t dt k! 2 k e t e t/2 dt = k! 2 k e t/2 dt = k! 2 k+ e /2 <. (.6 Cłk określjąc funkcję gmm jest sumą cłek (.5 i (.6, więc jest zbieżn. Stwierdzenie.23. Funkcj Γ m nstępujące włsności: Γ( =, Γ( + = Γ( dl wszystkich >, (.7 Γ(n = (n! dl kżdego n N. (.8 Dowód. Liczbę Γ( wyznczmy wprost z definicji (ptrz tkże Przykłd.2: Γ( = t e t dt = Cłkując przez części, sprwdzmy, że Γ( = t e t dt = t e t e t dt = e t =. t Γ( + ( e t dt = +. Otrzymliśmy więc (.7. Równość (.8 łtwo udowodnić przez indukcję: dl n = wzór (.8 zchodzi, i jeśli Γ(n = (n!, to Γ(n + = nγ(n = n (n! = n!. Widzimy więc, że funkcj Γ: (, (, jest jednym z możliwych przedłużeń funkcji n n! ze zbioru liczb nturlnych n liczby dodtnie. Oczywiście wszystkich tkich przedłużeń jest nieskończenie wiele. Funkcję Γ wyróżni spośród nich jedn włsność: okzuje się, że ln Γ: (, R jest funkcją wypukłą. Wyjśnijmy ten fkt możliwie strnnie. Definicj.24. Niech I będzie przedziłem w R i niech f : I (,. Mówimy, że f jest logrytmicznie wypukł wtedy i tylko wtedy, gdy ln f : I R jest funkcją wypukłą.
c MIM UW, 2/ 239 Równowżnie, f : I (, jest logrytmicznie wypukł wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolnych, y I orz λ [, ] zchodzi nierówność f ( λ + ( λy f( λ f(y λ. Logrytmując tę nierówność stronmi, co wolno zrobić, gdyż ln jest funkcją rosnącą, otrzymujemy nierówność Jensen dl funkcji ln f (ptrz Definicj 5.66. Stwierdzenie.25. Iloczyn funkcji logrytmicznie wypukłych jest funkcją logrytmicznie wypukłą. Dowód. Sum funkcji wypukłych jest wypukł. Dltego, jeśli ln f i jest funkcją wypukłą dl i =, 2, to ln(f f 2 też jest funkcją wypukłą. Logrytmiczną wypukłość funkcji Γ możn sprwdzić n kilk sposobów. My przypomnimy w tym celu nierówność Hölder dl sum skończonych, nstępnie wyprowdzimy z niej łtwy wniosek: nierówność Hölder dl cłek. Jk pmiętmy (ptrz Twierdzenie 5.72, jeśli p, q > i p + q =, to dl dowolnych,..., n orz y,..., y n jest n ( n /p ( n /q i y i p i y q i. (.9 Łtwo stąd otrzymć i= i= Stwierdzenie.26 (nierówność Hölder dl cłek. Jeśli p, q > i p + q =, to dl dowolnych funkcji f, g cłkowlnych n przedzile [, b] zchodzi nierówność ( f(tg(t dt i= /p ( /q f(t p dt g(t dt q. (. Szkic dowodu. Z nierówności Hölder dl sum wynik, że dl kżdego podziłu P = (t,..., t n odcink [, b] i punktów pośrednich s i [t i, t i ] jest n f(s i g(t i t i i= n f(s i ( t i /p g(s i ( t i /q i= ( n /p ( n /q f(s i p t i g(s i q t i, i= i= gdzie t i = t i t i dl i =,..., n. Z tkich nierówności dl sum cłkowych otrzymujemy po przejściu grnicznym nierówność Hölder dl cłek. Uwg.27. Nierówność Hölder (. zchodzi tkże dl cłek niewłściwych. Wystrczy wypisć ją n mniejszych przedziłch (tm, gdzie cłki oznczone są włściwe, nstępnie przejść do grnicy z odpowiednim końcem (lub dwom końcmi przedziłu. Wniosek.28. Funkcj Γ jest logrytmicznie wypukł.
24 wersj robocz z dni: czerwc 2 Dowód. Ustlmy, y > i liczbę λ (,. Posłużymy się nierównością Hölder z wykłdnikmi p = /λ i q = /( λ. Wtedy /p = λ, /q = λ i wrunek p + q = jest spełniony. Prosty rchunek dje Γ ( λ + ( λy = = Dowód jest zkończony. ( t λ+( λy e t dt t λ( e λt t ( λ(y e ( λt dt λ ( λ t e dt t t y e dt t = Γ( λ Γ(y λ. Uwg.29. Nieco inny dowód logrytmicznej wypukłości funkcji Γ przebieg według nstępującego schemtu.. Njpierw trzeb sprwdzić, że sum (dwóch funkcji logrytmicznie wypukłych jest logrytmicznie wypukł. Możn w tym celu skorzystć z kryterium wypukłości funkcji ciągłych podnego w Twierdzeniu 5.69. Przez indukcję wynik stąd, że sum n funkcji logrytmicznie wypukłych jest logrytmicznie wypukł. 2. Nstępnie, sprwdz się, że sumy cłkowe Riemnn, przybliżjące cłkę n i= I N ( = t i e t i t i N t e t dt są funkcjmi logrytmicznie wypukłymi zmiennej. 3. Łtwo jest wykzć, że grnic punktowo zbieżnego ciągu funkcji logrytmicznie wypukłych jest logrytmicznie wypukł. Stąd i z logrytmicznej wypukłości sum Riemnn wnioskujemy njpierw o logrytmicznej wypukłości cłek I N (, nstępnie logrytmicznej wypukłości funkcji Γ( = lim N I N (. Zinteresowny Czytelnik zechce smodzielnie uzupełnić wszystkie szczegóły tkiego rozumowni. Okzuje się, że włsność (.7 funkcji Γ, połączon z jej logrytmiczną wypukłością, jednozncznie identyfikuje tę funkcję. Twierdzenie.3 (H. Bohr. Jeśli funkcj f : (, (, jest logrytmicznie wypukł, pondto f( = i f( + = f( dl wszystkich >, to wówczs f( = Γ( dl wszystkich >. Dowód. Krok. Poniewż f( = i f( + = f(, więc po pierwsze f(n = (n! dl kżdego n N, po drugie zś funkcj f jest jednozncznie wyznczon przez swoje wrtości n odcinku (, ]. Podobną włsność m funkcj Γ: wrunek (.7 pozwl wyznczyć jej wszystkie wrtości, jeśli znmy Γ( dl (, ]. Dltego wystrczy sprwdzić, że f( = Γ( dl wszystkich (, ].
c MIM UW, 2/ 24 Krok 2. Ustlmy (, ]. Skorzystmy terz z logrytmicznej wypukłości f. Niech n 2 będzie dowolne. Poniewż ln f jest funkcją wypukłą, więc n mocy Twierdzeni 5.75 o monotoniczności ilorzów różnicowych otrzymujemy ln f(n ln f(n ln f( + n ln f(n ln f(n + ln f(n Uprszczjąc te wyrżeni z wykorzystniem wrunku f(k + = k!, nstępnie mnożąc obie strony przez >, otrzymujemy ln(n = ln(n ln f( + n ln(n! ln n = ln n.. Przeto ( ln (n! (n ( ln f( + n ln (n! n, stąd zś (n!(n f( + n (n!n. Jednk f(+n = (+n f(+n =... = (+n... (+f(. Podstwijąc tę równość wyżej, otrzymujemy przybliżenie f z góry i z dołu: (n! (n ( + n... ( + f( (n! n ( + n... ( + Poniewż tkie nierówności zchodzą dl kżdego n 2, więc możemy po lewej stronie zstąpić n przez n +. Ztem Γ n ( := n! n ( + n... ( + f( (n! n ( + n... ( + n! n = ( + n... ( + + n = Γ n ( + n n n. Równowżnie, dl n 2 i (, ] liczb Γ n ( spełni f( n n + Γ n( f(. N mocy twierdzeni o trzech ciągch, grnic Γ n ( dl n istnieje i jest równ f(. Otrzymliśmy więc konkretny wzór n funkcję f: n! n f( = lim n ( + n... ( +, <. Jednk funkcj Γ też spełni złożeni twierdzeni i dltego musi wyrżć się tym smym wzorem. Ztem f Γ n przedzile (, ], więc (jk stwierdziliśmy wczesniej tkże n cłym zbiorze liczb dodtnich. Anlizując powyższy dowód, nietrudno stwierdzić nstępujący fkt. Wniosek.3. Wzór Γ( = lim n Γ n(, gdzie Γ n ( = zchodzi dl wszystkich >. n! n ( + n... ( +, (.
242 wersj robocz z dni: czerwc 2 Dowód. Poniewż Γ n ( + = n! n + ( + + n... ( + + ( + = Γ n n( + + n, (.2 więc jeśli grnic w (. istnieje dl liczby, to istnieje tkże dl +. Widć tkże, że g( = lim n Γ n ( spełni tożsmość g( + = g(. Widzieliśmy już, że g( = Γ( dl (, ]. Z równości g( + = g( i Γ( + = Γ( wynik, że (. zchodzi dl wszystkich >. Wniosek.32. Γ(/2 = π. Dowód. Stosujemy poprzedni wniosek; ( Γ 2 n! n = lim ( /2 n 2 + n... ( 2 + 2 2 n+ n! n /2 = lim n = lim π n 3... (2n + ( 2 4... 2n 3... (2n n mocy wzoru Wllis (ptrz Twierdzenie 9.4. n n 2 n 2n + Jk widć, w osttnim dowodzie obliczmy po prostu grnicę pewnego konkretnego ciągu. Jednk interpretcj tej grnicy tzn. umiejętność zuwżeni jej związku z funkcją Γ z jednej strony i ze wzorem Wllis z drugiej strony wymg solidnej znjomości rchunku cłkowego. Wniosek.33 (cłk Poisson. Cłk niewłściw jest zbieżn i równ π. ep( 2 d Dowód. Sprwdźmy njpierw zbieżność cłki. Dl > jest < e 2 < e, więc Przez symetrię, ep( 2 d < ep( 2 d < e. e = e. Stąd już wynik zbieżność rozwżnej cłki (n przedzile [, ] funkcj e 2 jest ciągł. Pondto, dokonując n przedzile (, zminy zmiennych = t, d = 2 t /2 dt, otrzymujemy ep( 2 d = 2 ep( 2 d = ( t /2 e t dt = Γ = 2 π.
c MIM UW, 2/ 243 To jest żądny wynik. Zmienijąc zmienne ( = t/ 2, d = (/ 2 dt w równości ep( 2 d = π, otrzymujemy + ep( t 2 /2 dt =. (.3 2π Funkcj g(t = (2π /2 ep( t 2 /2 nzyw się gęstością stndrdowego rozkłdu normlnego. Czytelnik spotk ją n studich wielokrotnie, n zjęcich z Rchunku Prwdopodobieństw i ze Sttystyki, tkże w opisie rozwiązń równni przewodnictw cieplnego. Terz zdefiniujemy funkcję B (bet Euler i omówimy związek, łączący Γ i B. Definicj.34. Dl, b > kłdziemy B(, b = Cłkę (.4 nzywmy funkcją bet Euler. t ( t b dt. (.4 Zuwżmy, że cłk B(, b jest zbieżn dl wszystkich, b >. Dl, b funkcj podcłkow jest po prostu ciągł n [, ]. Dl pozostłych, b piszemy t ( t b dt = /2 t ( t b dt + W pierwszej cłce osobliwość jest tylko w zerze. Mmy /2 t ( t b dt /2 t ( t dt 2 /2 /2 t ( t b dt. t dt = 2 t Rozptrywnie drugiej cłki sprowdzmy do powyższego, zmienijąc zmienne: [/2, ] t s = t [, /2], /2 <. ztem t ( t b dt = /2 /2 ( s s b ( ds = /2 s b ( s ds < dl wszystkich b > (szcujemy jk poprzednio, zmienijąc i b rolmi. Lemt.35. Dl wszystkich, b > jest B(, b = B(b,. Pondto, przy ustlonym > funkcj B(, : (, (, jest logrytmicznie wypukł. Szkic dowodu. O równości B(, b = B(b, przekonujemy się łtwo, dokonując zminy zmiennych t s = t. Logrytmicznej wypukłości B(, dowodzi się tk smo, jk logrytmicznej wypukłości funkcji Γ korzystjąc z nierówności Hölder. Szczegóły pozostwimy Czytelnikowi jko zdnie. Twierdzenie.36. Zchodzą nstępujące wzory: B( +, b + B(, b + = B(, b dl, b >, (.5 B(, b + = b B(, b + b dl, b >, (.6 B(, b = Γ(Γ(b Γ( + b dl, b >. (.7
244 wersj robocz z dni: czerwc 2 Uwg. Wzór (.7 byw nzywny podstwowym związkiem między funkcjmi Γ i B. Dowód. Njpierw sprwdzimy wzory (.5 i (.6. Ustlmy liczby, b >. Dodjąc cłki, otrzymujemy B( +, b + B(, b + = ( t ( t b + t ( t b dt = t ( t b ( t + ( t dt = B(, b. To jest wzór (.5. Aby sprwdzić (.6, cłkujemy njpierw przez części, zuwżjąc, że funkcj g( = ( b m grnicę równą zero zrówno dl, jk i dl. Dltego w poniższym rchunku możn zniedbć wrtości funkcji n końcch przedziłu: ( t B(, b + = t ( t b dt = ( t b dt = = b t ( b ( t b dt t ( t b dt = b B( +, b. Ztem, B(, b + = b (.5 B( +, b = b ( B(, b B(, b +, lub równowżnie ( + bb(, b + = bb(, b. To jest wzór (.6. Zjmijmy się terz wzorem (.7. Ustlmy >. Niech f(b = B(, bγ( + b Γ( dl b >. Poniewż iloczyn funkcji logrytmicznie wypukłych jest funkcją logrytmicznie wypukłą, więc f jest logrytmicznie wypukł. Mmy f( = B(, Γ( + Γ( (.7 = B(, = Wreszcie, dzięki znnym już włsnościom funkcji Γ i B, f(b + = B(, b + Γ( + b + Γ( (.7 = t dt =. B(, b + ( + bγ( + b Γ( b B(, b( + bγ( + b + b Γ( B(, bγ( + b = b = bf(b. Γ( (.6 = Ztem funkcj f spełni złożeni Twierdzeni.3, chrkteryzującego funkcję Γ. Mmy więc B(, bγ( + b Γ(b = f(b = dl kżdego b >. Γ( Poniewż > było w cłym rozumowniu dowolne, więc dowód jest zkończony.
c MIM UW, 2/ 245 Przykłd.37. Sprwdzimy powtórnie, że Γ( 2 = π. N mocy wzoru podstwowego, zstosownego dl = b = /2, + b =, jest ( Γ(/2 2 = B 2, ( Γ( = B 2 2, = 2 t /2 ( t /2 dt = dt t( t. Aby obliczyć osttnią cłkę, dokonjmy zminy zmiennych t = ( + u/2. Zmiennej t (, odpowidją wrtości u (, ; jest dt = 2 du, pondto Dltego Γ(/2 2 = u 2 t( t = ( u( + u =. 2 2 dt du = = rc sin u t( t u 2 = π. (Jk widć, w osttnim kroku obliczmy tę smą cłkę, którą trzeb obliczyć, żeby wyznczyć długość półokręgu o promieniu równym. To świdczy o tym, że cłki niewłściwe służą nie tylko do teoretycznych rchunków, le tkże pojwiją się w prostych i nturlnych zgdnienich geometrycznych..3 Wzór iloczynowy Weierstrss i kilk innych włsności funkcji Γ Zsdniczym celem tego i nstępnego podrozdziłu jest po pierwsze uzysknie pewnej liczby ciekwych wzorów, po drugie zś i to jest cel wżniejszy przekonnie Czytelnik, że funkcjmi, które są zdefiniowne jko cłki zleżne od prmetru, lub grnice wyrżeń zleżnych od prmetru, możn operowć nieml tk smo, jk dobrze znnymi funkcjmi elementrnymi, prowdząc swobodnie njróżniejsze obliczeni. To ilustrcj tego, jką rolę odgryw w nlizie pojęcie grnicy i twierdzeni o różniczkowniu ciągów funkcyjnych orz włsnościch szeregów potęgowych. Cły ten prt, łącznie z prostymi elementmi rchunku różniczkowego, będzie obecny w dowodch i obliczenich, jkie niżej przeprowdzimy. Tekst byłby zncznie krótszy, gdyby nie wyjśnić, dlczego możn wykonć poszczególne kroki we wzorch, które z formlnego punktu widzeni są dość jsne. Funkcj Γ, wżn w nlizie, znkomicie się ndje do przeprowdzeni tkiej ilustrcji. Zbieżność jednostjną ciągów i szeregów funkcyjnych orz włsności tkich ciągów i szeregów wprowdz się i bd między innymi włśnie po to, żeby móc bez przeszkód operowć funkcjmi zdefiniownymi w sposób nieelementrny. Twierdzenie.38 (wzór iloczynowy Weierstrss. Dl wszystkich > zchodzi wzór n Γ( = e γ lim ep(/k n + = e γ k ep(/k +, (.8 k gdzie γ ozncz tzw. stłą Euler, tzn. γ = lim ( + 2 + + n ln n n k= k=
246 wersj robocz z dni: czerwc 2 Dowód. Dokonmy prostych przeksztłceń wzoru (., uzysknego we Wniosku.3. Mmy n! n Γ( = lim n ( + n... ( + n! e ln n = lim n ( + n... ( + = lim n ( + e ln n ( + 2 (... + = lim n e(ln n 2 3 n n n k= ep(/k + k. (.9 Zuwżmy terz, że ciąg n = + 2 + + n nietrudno zuwżyć, że dl n > jest ln n m grnicę skończoną. Istotnie, b n = n n = + 2 + + n ln n n = + 2 + + n n k+ ( = k d. k= k d Ztem b n jest ciągiem rosnącym; pondto, dzięki monotoniczności /, zchodzi nierówność n ( b n k = k + n <. k= Dltego ciąg b n jest zbieżny; liczb lim n = lim(b n + n = lim b n = γ nzyw się stłą Euler lub stłą Euler Mscheroniego. Możemy więc skorzystć we wzorze (.9 z twierdzeni o grnicy iloczynu ciągów zbieżnych i npisć Γ( = lim n e(ln n 2 3 n lim n n k= ep(/k + k = e γ lim n n k= ep(/k + k. (Zuwżmy: osttni grnic istnieje, bo istnieje grnic pierwszego czynnik, równ ep( γ orz grnic iloczynu obu czynników. Stwierdzenie.39 (wzór Legendre. Dl kżdego > jest ( ( + Γ Γ = 2 2 π Γ(. (.2 2 Czytelnik zechce porównć ten rgument z dowodem cłkowego kryterium zbieżności szeregów, ptrz Twierdzenie krytclkszer i towrzyszący mu rysunek to tkie smo rozumownie!
c MIM UW, 2/ 247 Dowód. Rz jeszcze wykorzystujemy wzór (.. Rozszerzjąc ułmek tk, by zuwżyć wyrżenie Γ 2n (, otrzymujemy ( + (n! 2 n /2 n /2 n gdyż ( Γ Γ 2 2 = 2 lim n = 2 lim n = lim n 2 ( 2 + ( 2 + n + 2 2 2n+2 (n! 2 (2n n ( + 2 + ( + ( + 2... ( + 2n ( + ( + 3... ( + 2n + (2n! (2n ( n 2 4... 2n ( + ( + 2... ( + 2n 3... (2n 2 2n+2 (n! 2 n = 4n (2n! 2 + n n 2 4... 2n 3... (2n. n 4n + 2n +, (.2 W osttnim wyrżeniu we wzorze (.2 mmy grnicę trzech czynników. Pierwszy z nich, Γ 2n ( Γ( dl n por. wzór (.. Drugi czynnik, rozwżny już wcześniej w dowodzie Wniosku.32, n mocy wzoru Wllis m grnicę π. Osttni czynnik, 4n/( + 2n +, m grnicę 2. Dltego ( ( + Γ Γ = 2 Γ( 2 π. 2 2 T obserwcj kończy cły dowód. Dotychczs rozwżliśmy funkcję Γ tylko dl >. Definicj Γ( jko cłki niewłściwej t ep( t dt m sens tylko dl tkich. Gdy, cłk jest rozbieżn, z uwgi n zchownie funkcji podcłkowej w pobliżu zer. Wiemy już jednk (ptrz Wniosek.3, że Γ( = lim n Γ n(, gdzie Γ n ( = n! n ( + n... ( +. Przypomnijmy: by wykzć tę równość, skorzystliśmy z tego, że grnic istnieje dl (, ] orz z równości (.2: Podstwmy = t. Otrzymmy Γ n ( + = Γ n ( n + + n. Γ n (t = Γ n(t t t + n n Wzór określjący Γ n (t m sens dl wszystkich t R\{,, 2,...}. Dltego z powyższej równości wynik, że jeśli t,, 2,... i Γ n (t m grnicę dl n, to Γ n (t też m grnicę dl n. Wiemy już jednk, że grnic lim n Γ n (t istnieje dl wszystkich t > i jest równ funkcji Γ. Dltego nstępując definicj jest poprwn i pozwl rozszerzyć funkcję Γ n cły zbiór R \ {,, 2,...}. Definicj.4 (lterntywn definicj funkcji Γ. Dl t R, t,, 2,... przyjmujemy Γ(t = lim n Γ n(t.
248 wersj robocz z dni: czerwc 2 Wykres funkcji z = (, y Γ( + iy, tzn. zbiór punktów (, y, Γ( + iy w R 3, gdzie, y R,,, 2,.... Widoczne są osobliwości (tzw. bieguny funkcji Γ w punktch,, 3. Kolor powierzchni odpowid rgumentowi liczby Γ( + iy. Dl t > definicj t jest równowżn wcześniejszej, wykorzystującej wzór (.4. Uwg. W istocie, funkcję Γ możn zdefiniowć tk, jk wyżej (lbo wzorem iloczynowym Weierstrss dl wszystkich zespolonych t C \ {,, 2,...}. Nie będziemy jednk bdć zchowni Γ dl rgumentów spoz prostej rzeczywistej. Stwierdzenie.4. Dl wszystkich R \ {,, 2,...} jest Γ( + = Γ(. Poniewż w dowodzie wzoru iloczynowego Weierstrss i wzoru Legendre korzystliśmy jedynie z istnieni grnicy Γ n ( orz z ciągłości funkcji wykłdniczej, więc ob te wzory zchodzą dl wszystkich t R z wyjątkiem liczb cłkowitych niedodtnich. Stwierdzenie.42. Dl wszystkich t R, t,, 2,... zchodzą wzory Weierstrss i Legendre : Γ(t = e γt ep(t/k t + t, (.22 k= k ( t ( t + π Γ Γ = Γ(t. (.23 2 2 2t Wniosek.43. Γ: R \ {,, 2,...} R jest funkcją klsy C. Dowód. Dl > mmy Γ( > wobec definicji (.4 (gdyż Γ( jest cłką dodtniej funkcji n niezerowym przedzile. N mocy wzoru Weierstrss dl >, dzięki ciągło-
c MIM UW, 2/ 249 ści logrytmu nturlnego, jest ln Γ( = γ ln + lim = γ ln + n n k= k= ( ( k ln + k ( k ln ( + k (.24 Zuwżmy: mmy pewność, że osttni szereg jest zbieżny, gdyż zbieżny był iloczyn nieskończony występujący we wzorze Weierstrss. Sprwdzimy terz w stndrdowy sposób, że g( = ln Γ( jest różniczkowln w sposób ciągły n (,. Wystrczy w tym celu sprwdzić, czy szereg pochodnych, otrzymny przez różniczkownie szeregu w (.24 wyrz po wyrzie, jest jednostjnie zbieżny n kżdym przedzile (, M], gdzie M <. Po zróżniczkowniu otrzymujemy szereg o wyrzch Jeśli (, M], to k ( = k < k ( = k + k k = k( + k. k( + k < k 2 M 2. k Z kryterium Weierstrss wynik ztem jednostjn zbieżność szeregu k k( n kżdym przedzile (, M], z twierdzeni o różniczkowniu ciągów funkcyjnych równość g ( = ( ln Γ( = γ + k( + k. i ciągłość g n (,. Oczywiście Γ = e ln Γ = ep g też jest klsy C n przedzile (,. Dl <, Z różniczkowlność Γ i ciągłość jej pochodnej Γ w punkcie wynik łtwo z tożsmości Γ( = Γ( +. Korzystjąc ze wzorów Weierstrss i Legendre wykżemy terz dość prosty (choć dl niewtjemniczonych zupełnie nieoczekiwny związek między funkcją Γ i sinusem. Okzuje się, że zchodzi nstępujące twierdzenie. Twierdzenie.44. Dl R \ Z połóżmy k= φ( = Γ(Γ( sin π. π Wówczs funkcj φ: R \ Z R jest stł i równ. Dowód. Pln postępowni jest nstępujący. Sprwdzimy, że funkcję φ możn dookreślić w punktch k Z tk, by otrzymć funkcję okresową klsy C (R, o okresie. Wzór Legendre pozwoli wypisć pewne równnie funkcyjne n φ. W końcówce sprwdzimy, że z tego równni wynik łtwo, że ln φ( jest funkcją stłą (bo m pochodną zero. Oto szczegóły. Krok. Funkcj φ jest okresow i m okres równy. Istotnie, niech f( = Γ(Γ(, h( = sin π π.
25 wersj robocz z dni: czerwc 2 Dzięki równościom Γ( + = Γ( orz sin(y + π = sin y, otrzymujemy dl R \ Z związki f( + = Γ( + Γ( ( + = Γ(Γ( = Γ(Γ( + = f(, h( + = sin π( + π sin π = = h(. π Stąd oczywiście φ( + = f( + h( + = ( 2 f(h( = φ(. Krok 2. Dl kżdego R \ Z zchodzi tożsmość ( ( + φ φ = φ(. (.25 2 2 Aby się o tym przekonć, skorzystmy (dw rzy: dl t = i t = ze wzoru Legendre : ( ( + φ φ 2 2 = ( ( π 2 Γ Γ sin π 2 2 2 ( + ( π( + Γ Γ sin 2 2 2 = ( ( + ( ( ( + π 2 Γ Γ Γ Γ sin π π cos 2 2 2 2 2 2 = π π π 2 Γ( Γ( sin π 2 2 ( 2 = Γ(Γ( sin π π = φ(. Krok 3. Istnieje grnic Istotnie, lim φ( =. (.26 φ( = sin π Γ(Γ( sin π = Γ(Γ( π π sin π = Γ( + Γ( π. Wiemy jednk, że Γ jest ciągł w, Γ( = i (sin y/y dl y. Stąd już wynik równość (.26. Krok 4. Funkcję φ możn przedłużyć do dodtniej funkcji klsy C (R, mjącej okres. Będziemy tę funkcję oznczć ndl tą smą literą. Wystrczy po prostu przyjąć φ(k = lim k φ(, k Z. Z okresowości φ n R \ Z orz (.26 wynik, że t grnic istnieje i jest równ dl kżdego k Z. Otrzymn funkcj jest różniczkowln w punktch R \ Z, jej pochodn φ jest n R \ Z ciągł, gdyż Γ( i Γ( są n tym zbiorze różniczkowlne w sposób ciągły. Ciągłość φ w punktch Z i jej okresowość n R wynik wprost z definicji.
c MIM UW, 2/ 25 Pozostje sprwdzić istnienie i ciągłość φ w punktch cłkowitych. Korzystjąc (jk wyżej z tożsmości Γ( + = Γ(, nstępnie rozwijjąc w szereg potęgowy funkcję (φ sin π, piszemy φ( = sin π Γ(Γ( sin π = Γ( + Γ( π π = Γ( + Γ( ( π2 2 + π4 4 3! 5! (.27 Osttni wzór m sens dl wszystkich (,. Kżdy z trzech czynników prwej strony jest n tym przedzile funkcją różniczkowlną w sposób ciągły (korzystmy z włsności Γ i z twierdzeni o pochodnej sumy szeregu potęgowego. Dltego φ ( istnieje i φ jest ciągł w zerze. Dzięki okresowości, φ C(R. Krok 5. Jest φ ( =. Istotnie, różniczkując prwą stronę wzoru (.27, otrzymujemy ze wzoru n pochodną iloczynu φ ( = Γ ( Γ( Γ( Γ ( + Γ( 2 =. (pochodn szeregu potęgowego w (.27 znik w zerze, gdyż nie m wyrzu liniowego. Krok 6. Wykżemy, że L( = (ln φ(, R jest funkcją stłą, równą zero. Funkcj L m okres i jest ciągł. Osiąg ztem swój kres górny M = sup R L = sup L = L( [,] w pewnym punkcie [, ]. Z (.25 po zlogrytmowniu, nstępnie po zróżniczkowniu otrzymujemy Ztem ( ( + ln φ + ln φ = ln φ(, 2 2 M = sup L = L( = 2 L ( 2 ( 2 L 2 + ( + 2 ln L = L(. 2 + ( + 2 ln L 2 2 M + 2 M = M. Nierówność oczywiście nie może być ostr. Dltego, w szczególności, L(/2 = M. Przez indukcję L(/2 n = M. Stąd Z drugiej strony, ( L( = lim L n 2 n = M. L( = (ln φ( = = φ ( φ( = φ ( =. Przeto, M = sup L =. W pełni nlogiczne rozumownie pozwl sprwdzić, że m = inf L =. Dltego L( = (ln φ(, tzn. ln φ( const = ln φ( = ln =. Stąd już φ.
252 wersj robocz z dni: czerwc 2 Wniosek.45. Dl wszystkich R \ Z zchodzi wzór sin π = Γ( + Γ( π. (.28 Dowód. Sprwdziliśmy, że φ( := Γ(Γ( sin π n R. π Stąd i z równości Γ( = Γ( + dl Z wynik tez wniosku. Uwg. Wzór (.28 m sens tkże w punktch Z. Wystrczy umówić się, że Γ = w punktch {,, 2,...} i / =. Co więcej, możn sprwdzić (co wykrcz poz rmy tego wykłdu że przy tkiej umowie obie strony mją sens dl wszystkich punktów płszczyzny zespolonej i są funkcjmi nlitycznymi zmiennej zespolonej n cłej płszczyźnie. Wniosek.46. Dl wszystkich R zchodzi wzór sin π = π lim n n k= ( 2 k 2 π = π k= ( 2 k 2. (.29 Mówiąc nieformlnie, powyższy wzór pozwl ptrzeć n funkcję sin π tk, jkby był wielominem o nieskończonej liczbie miejsc zerowych w punktch cłkowitych, równym (nieskończonemu iloczynowi czynników ± k (znikjących w punktch = k, k N orz czynnik π. Podobne przedstwieni funkcji w postci iloczynów nieskończonych, zwierjących czynniki liniowe, znikjące tm, gdzie dn funkcj m zer, odgrywją wżną rolę w nlizie zespolonej. Dowód Wniosku.46 pozostwimy jko zdnie, łtwe przy obecnej wiedzy Czytelnik. Trzeb skorzystć ze wzoru n dopełnienie podnego w poprzednim wniosku i wyrzić funkcję /Γ(t wzorem iloczynowym Weierstrss.22, biorąc t = ±. Przykłd.47. Sprwdzimy po rz trzeci, że Γ( 2 = π. Ze wzoru (.28 i włsności Γ( = Γ( + łtwo otrzymujemy Γ(Γ( = π sin π, R \ Z. Dl = /2 dostjemy stąd Γ(/2 = π..4 Rozwinięcie cotngens w szereg ułmków prostych Z rozwżń poprzedniego rozdziłu wyprowdzimy terz tożsmość, jką spełni funkcj ctg π w punktch R\Z, nstępnie zstosujemy tę tożsmość do obliczeni sum szeregów ζ(2k = n=, k =, 2,... n2k
c MIM UW, 2/ 253 Twierdzenie.48. Dl wszystkich R \ Z zchodzi równość π ctg π = + ( + n +. (.3 n n= Dowód. Niech M >. Mmy + n + n 2 2 n 2 4M n 2 dl M, n 2 > 2M 2 2 2. (.3 Dltego n zbiorze [ M, M] \ Z szereg w (.3 określ funkcję ciągłą (korzystmy z kryterium Weierstrss. Z dowolności M wynik, że wzór (.3 m sens n R \ Z. Oznczmy S N ( = N + ( + n +, R \ Z. n n= Nietrudno sprwdzić, że dl R \ Z jest S N ( + = + + ( + + N + ( + + N + + = S N ( + + + N + + + N. ( + + ( + + ( + 2 + + ( + N Dltego lim N S N ( + = lim N S N ( = lim N S N (. Prw stron (.3 jest więc n R \ Z funkcją okresową o okresie. Lew stron (.3 też m tę włsność. Dltego wystrczy sprwdzić równość z tezy dl (,. Wobec Wniosku.46 i nierówności sin π >, któr zchodzi dl (,, możemy dl tkich npisć ( ( ln sin π = ln π + ln + ln + ( + ln. k k k= Szereg po prwej stronie jest zbieżny. 2 Pochodn lewej strony jest równ π ctg π. Różniczkując prwą stronę wyrz po wyrzie, otrzymujemy + ( + k +. k k= Korzystjąc z wykznej wcześniej jednostjnej zbieżności tego szeregu orz twierdzeni o różniczkowniu ciągów i szeregów funkcyjnych, kończymy dowód. Przykłd.49 (liczby Bernoullego i wrtości funkcji dzet Riemnn. Opierjąc się n Twierdzeniu.48, możn wyznczyć liczby ζ(2m = + 2 2m + 3 2m + +, m =, 2,..., 42m 2 Możn to sprwdzić bezpośrednio, le możn też po prostu odwołć się do udowodnionego już Wniosku.46 i ciągłości logrytmu nturlnego.
254 wersj robocz z dni: czerwc 2 tzn. wrtości w liczbch nturlnych przystych funkcji dzet Riemnn, wspomninej przelotnie w Przykłdzie 4.2. Trzeb w tym celu dwom sposobmi rozwinąć funkcję { π ctg π, (,,, f( =, =, w szereg potęgowy wokół zer i porównć otrzymne współczynniki. (Zuwżmy, że f jest ciągł w zerze. Posługując się Twierdzeniem.48, wzorem n sumę szeregu geometrycznego i Lemtem 8.2 o zminie kolejności sumowni, otrzymujemy ( π ctg π = + + n + n = + = 2 = 2 = 2 n= n= 2 2 2 n 2 n= 2 n 2 ( ( 2 /n 2 2 n 2 ( 2 n 2 n= k= 2k+2 k= n= k n 2k+2 = 2 2m ζ(2m. (.32 (przechodząc do osttniej linijki, zmieniliśmy kolejność sumowni, nstępnie wprowdziliśmy nowy indeks m = k + =, 2,.... Aby uzyskć rozwinięcie f w szereg inną metodą, wykorzystmy wiedzę o funkcjch trygonometrycznych i funkcji wykłdniczej, orz ich związek, określony w Definicji 4.58. Otóż, π ctg π = π Zuwżmy, że funkcj cos π sin π Def. 4.58 = iπ eiπ + e iπ e iπ e iπ = = ( z g(z = f 2i z 2 = m= (niech z = 2πi z 2 ez/2 + e z/2 e z/2 e z/2 z 2 ez + e z = z 2 + z e z. (.33 z e z jest dobrze określon n zbiorze {z C: z < 2π}. To wynik z fktu, że f nie m osobliwości w zerze, funkcj wykłdnicz przyjmuje wrtość tylko w punktch z = 2πik, gdzie k Z (ptrz Wniosek 4.72. Sprwdzimy terz, że z e z = m= b m z m = z 2 + b m z m, (.34 m=2
c MIM UW, 2/ 255 gdzie współczynniki b m spełniją zleżność { N b m, N =, (N + m! =, N =, 2,... m= Istotnie, pierwsz równość (.34 jest równowżn innej, = ez ( b m z m z n ( = b m z m z (n +! m= = n= ( N N= m= m= b m ( N m +! z N. (.35 Przechodząc do drugiej linii, wypisliśmy iloczyn Cuchy ego dwóch szeregów. Równość (.35 wynik z jednoznczności rozwinięci w szereg potęgowy i porównni współczynników. Wypd się tylko upewnić, że szereg potęgowy b m z m m dodtni promień zbieżności. 3 Jednk z (.35 otrzymujemy b =, b = 2, nstępnie b N = b N 2! b N 2 3! b (N +!. Łtwo wykzć przez indukcję, że b N. Istotnie, dl N =, tez zchodzi, z nierówności trójkąt i złożeni indukcyjnego b k dl k =,,..., N otrzymujemy b N 2! + 3! + + (N +! < e 2 <. Ztem promień R zbieżności szeregu, występującego we wzorze (.34, spełni zleżność R = lim sup N N b N, tzn. R. Podstwijąc rozwinięcie (.34 do wzoru (.33, otrzymujemy π ctg π = + b m (2πi m. Jednk lew stron jest przystą funkcją zmiennej (,. Dltego b 2s+ = dl wszystkich s N (pochodne nieprzystego rzędu funkcji przystej są funkcjmi nieprzystymi, więc znikją w zerze. Możemy ztem npisć gdzie π ctg π = + m=2 b 2m (2π 2m ( m 2m = 2 m= m= B 2m (2π 2m ( m+ 2m, (.36 2 (2m! B k = k! b k, k =,, 2,... (.37 Liczby B k nzywją się liczbmi Bernoullego. Możn je wyznczć rekurencyjnie, korzystjąc z zleżności (.35. Porównując prwe strony wzorów (.32 i (.36, otrzymujemy B 2m (2π 2m ( m+ 2m = ζ(2m 2m. 2 (2m! m= 3 To wynik z ogólnego twierdzeni, orzekjącego, że jeśli g jest nieznikjącą funkcją nlityczną zmiennej rzeczywistej lub zestolonej, to /g też jest funkcją nlityczną. Nie dowodziliśmy jednk tego twierdzeni. Dltego wskżemy prosty rgument, dostosowny do rozwżnego przypdku. m=
256 wersj robocz z dni: czerwc 2 Liczby B 2, B 4,..., B 48. Tbelkę wykonno w progrmie Mthemtic, korzystjąc z wbudownej funkcji BernoulliB[ ]. Ob szeregi mją dodtni promień zbieżności; wobec jednoznczności rozwinięci w szereg potęgowy, ζ(2m = B 2m(2π 2m ( m+, m =, 2,... (.38 2 (2m! Ten wzór znł około 75 roku Leonrd Euler. Wyznczył zeń wrtości ζ(2m dl m 5, obliczjąc odpowiednie liczby Bernoullego. My zuwżmy, że Jest tkże b 4 = b 3 2! }{{} = b 2 = b 2 b 3! = 4 6 = 2, B 2 = 2! b 2 = 6, n= n 2 = ζ(2 = B 2(2π 2 2 2! = π2 6. b 2 3! b 4! b 5! = 72 + 48 2 = 72, B 4 = 3, n= n 4 = ζ(4 = B 4(2π 4 2 4! = 6π4 3 2 24 = π4 9. N tych dwóch wzorch poprzestniemy, zmieszczjąc tbelkę z wrtościmi B 2k dl 2k 48, którą progrm Mthemtic produkuje, zużywjąc około 4 sekundy. Wrto podkreślić, że o liczbch ζ(2m + widomo zncznie mniej. Dopiero w 978 roku niewymierność ζ(3 wykzł Roger Apéry. Wśród liczb ζ(2m +, m =, 2, 3,..., jest nieskończenie wiele liczb niewymiernych, le tożsmości podobne do (.38 nie są znne.