Matematka (Wdziaª Architektur) Lista - funkcje elmenetarne UWAGA: Umiej tno±ci potrzebne do rozwi zwania zada«z tej list b d równie» niezb dne prz rozwi zwaniu wszstkich problemów matematcznch, z jakimi b dziem si stka co najmniej do poªow nast pnego semestru. Innmi sªow, problem z rozwi zwaniem zada«zamieszczonch na pierwszch trzech listach s sgnaªem,»e trzeba po±wi ci wi cej czasu na rozwój tch umiej tno±ci i nadrobienie ewentualnch zalegªo±ci. Cz ± A (zadania do robienia na zaj ciach). Wznacz dziedzin nast puj cch funkcji: a) = + 5, b) t = s s 3.. Rozwi za nast puj ce równania lub nierówno±ci: a) > 3, b) + 5 4, c) 5u 4 + u + u + u, d) a 9 a < 0. 3. Wznacz zªo»enia nast puj cch funkcji (w obu kolejno±ciach) oraz dziedzin tch zªo»e«: a) f() =, g() =. b) f() = +, g() = ; +3 + 4. Na rsunku podan jest wkres funkcji = f() Naszkicowa nast puj ce wkres: a) = f( ), = f(), b) = f(3), = 3f(), c) = f( ), = f(), d) = f( ), = f(), e) = f( + ), = f( + ). f) = f(), = f(). 4 6 4 4 6 5. Wchodz c od wkresu odpowiedniej funkcji pot gowej, naszkicowa nast puj ce wkres: a) =, b) s = 3 3 t, c) u = + 3 v 3, d) = 3 +.
6. Poda w radianach miar k tów wewn trznch w nast puj cch wielok tach: trójk t równoboczn, kwadrat, sze±ciok t foremn, -k t foremn. 7. Korzstaj c ze wzorów redukcjnch, upro±ci nast puj ce wra»enia: a) sin(π + α), b) tg( 3 π α). 8. Narsowa w zeszcie sto raz wkres funkcji sinus i cosinus oraz zapami ta, dla jakich argumentów funkcje te maj warto± 0, a dla jakich. 9. Mi dz funkcjami trgonometrcznmi wst puje mnóstwo mniej lub bardziej interesuj cch zale»no±ci. M oprócz wzorów redukcjnch musim przede wszstkim zna nast puj ce trz (prawdziwe dla ka»dej warto±ci k ta α): sin α + cos α =, sin α = sin α cos α, cos α = cos α sin α. Korzstaj c z nich, sprawdzi,»e prawdziwe sa równie» nast puj ce zale»no±ci (które przdadz nam si pod koniec semestru): a) sin α = ( cos α), b) cos α = ( + cos α), c) sin α = tg α, +tg α d) cos α = tg α. +tg α 0. Rozwi za równania i nierówno±ci trgonometrczne: a) sin = sin, b) cos ( π t) = cos ( c) sin α = + cos α, ) t + π 4 3, d) tg ( v + ) π 4 3 >.. Naszkicowa wkres funkcji: a) = sin( π )), b) v = tg w π. Uwaga: W dalszch zadaniach (i na nastepnej li±cie) liczba e oznacza staª matematczn wnosz c, 788884590453536... Liczba e, podobnie jak π, jest liczb niewmiern (czli nie da si jej zapisa w postaci uªamka). Jak dokªadnie jest zdeniowana i dlaczego jest bardzo wa»na, dowiem si nieco pó¹niej na razie wstarcz wiedzie,»e wnosi mniej wi cej, 7. Du» rol w wielu zastosowaniach odgrwaj logartm, którch podstaw jest wªa±nie liczba e. Logartm o podstawie e z liczb nazwam logartmem naturalnm z i oznaczam ln.. Zapisa w postaci pojednczej pot gi dwójki nast puj ce wra»enia: 4 a) 64, b), c) ( ) 3 ( 3 ), d) ( 3 ) 4, e) 34, f). 3. Poda warto±ci nast puj cch logartmów: a) log 04, c) log, b) log 4 d) log 4 8, e) log 8 4, f) ln. 4. Rozwi za poni»sze równania lub nierówno±ci, podaj c wnik z wkorzstaniem logartmu naturalnego lub funkcji pot gowej o podstawie e:
a) e = 9, b) ln t =, c) e v > 7. d) ln z < 8, e) e + e > f) ln(u ) < 3 5. Zainwestowali±m 00 zª w lokat z oprocentowaniem rocznm 0% i coroczn kapitalizacj odsetek. Po ilu latach warto± lokat przekrocz 000 zª? (mo»na tu skorzsta z kalkulatora) 6. Ile cfr w zapisie dziesi tnm ma liczba 7 584 (mo»na tu skorzsta z kalkulatora)? 7. Narsowa w zeszcie 00 raz wkres funkcji: = e, = e oraz = ln. Zapami ta na zawsze (a prznajmniej do ko«ca drugiego semestru),»e funkcja wkªadnicza przjmuje wª cznie warto±ci dodatnie i»e nie mo»na logartmowa liczb ujemnch. 8. Znale¹ funkcje odwrotne do nast puj cch funkcji: a) f() = +, b) g() = 3 3 +, c) h(z) = ln(z + ), d) φ(r) = r. 9. Rozwi za poni»sze równania i nierówno±ci trgonometrczne, zapisuj c odpowied¹ za pomoc funkcji cklometrcznch: a) sin t = 3, t [0, π ], b) tg >, [0, π ], 0. Naszkicowa wkres nast puj cch funkcji: a) = arctg( ), b) t = e s, c) v = arcsin( u π ), d) β = ln( α).
CZ B (zadania do samodzielnej prac). Wznacz dziedzin nast puj cch funkcji: a) z =, a+3 b) =, +3 c) t = 3 6 + 6, d) v = +. + w. Naszkicowa wkres nast puj cch funkcji: a) r = 3+s, b) d = 4, c) = 3, d) u = t 3, e) b = a. 3. Wkresem funkcji = jest górna poªowa okr gu o ±rodku w punkcie (0, 0) i promieniu (dlaczego?). Zaproponowa wzor funkcji, którch wkres s przedstawione na nast puj cch rsunkach: a) d) 3 b) e) 3 3 c) f) 4. Naszkicowa wkres funkcji:
a) = sin( π ), b) r = ctg π φ, 5. Rozwi za równania i nierówno±ci trgonometrczne: a) sin + cos sin = 0, b) cos t =, c) tg ( ) ( ) b + π 4 = ctg 3b + π 6, d) ctg γ ctg γ < 0. 6. Oblicz warto±ci czterech podstawowch funkcji trgonometrcznch k ta π 8. 7. Ile ró»nch warto±ci przjmuje wra»enie sin + sin +... + sin k, gd k przjmuje warto±ci,, 3,...? 8. Rozwi za równania i nierówno±ci wkªadnicze: a) ( ) t 3 = 8, b) 9 v + 3 v+ = 4, c) 3 4 + 3 = 0, d) 3 4 < 9, e) e s < e s +, f) ( 5 ) z 3 5 = 0, g) a 3 a > 3 a a +, h) r r 3. 9. Rozwi za równania i nierówno±ci logartmiczne: a) log 4 ( + 4) log 4 ( ) =, b) log ( 6) = 3 + log ( ), c) log(3s ) log(s ) > log, d) ln r + ln r > 0. 30. Znale¹ funkcje odwrotne do funkcji: a) f(z) = z ; z 0, b) g() = 4, c) h() = log 3 ( + ), d) r(φ) = + sin φ; φ [ π, π ]. 3. * Naszkicowa wkres funkcji = arcsin(sin ).