Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis treści 12 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 175 12.1 Podzbiory gęste.................................. 175 12.2 Podzbiory brzegowe................................ 176 12.3 Podzbiory igdziegęste.............................. 176 12.4 Podzbiory gęste w przestrzeiach metryczych................. 177 12.5 Gęstość podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych................. 178 12.6 Lematy....................................... 180 12.7 Twierdzeie Kroeckera.............................. 182 12.8 Naturala gęstość................................. 187 12.9 Gęste zbiory ułamków............................... 192 12.10 Ułamkowa gęstość zbioru liczb pierwszych................... 198 12.11 Zbiory gęste i ciągi liczb aturalych...................... 200 12.12 Ie przykłady zbiorów gęstych......................... 202 Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb apisao w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewe wybrae rozdziały moża zaleźć a iteretowej stroie autora: http://www-users.mat.ui.toru.pl/~aow.

12 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Zbiór liczb wymierych jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Podzbiór te ma szczególą własość. Jest to podzbiór gęsty, tz. każda liczba rzeczywista jest graicą ciągu składającego się z samych liczb wymierych. To jest rówoważe z tym, że dla dowolych liczb rzeczywistych x < y istieje liczba wymiera a taka, że x < a < y. Podobą własość posiada zbiór wszystkich liczb iewymierych; to też jest podzbiór gęsty zbioru liczb rzeczywistych. Oprócz wspomiaych podzbiorów istieją jeszcze ie ciekawe podzbiory gęste. Dla przykładu zbiór wszystkich ułamków postaci p q, gdzie p i q są liczbami pierwszymi, jest gęstym podzbiorem zbioru dodatich liczb rzeczywistych. Takiej własości ie posiada podoby zbiór wszystkich ułamków postaci a b, gdzie a i b są liczbami Fiboacciego. Te i podobe fakty wyjaśimy dokładiej w tym rozdziale. Zajmować się będziemy różymi podzbiorami gęstymi pewych podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych. Najpierw, w początkowych podrozdziałach, pojawią się przestrzeie metrycze oraz przestrzeie topologicze. Podstawowe pojęcia dotyczące tych przestrzei zajdziemy w polskich książkach; a przkład: [Kur], [Eg], [Eg],[ES1], [Dud1]. 12.1 Podzbiory gęste Załóżmy, że X jest ustaloą przestrzeią topologiczą i A jest jej podzbiorem. Mówimy, że podzbiór A jest gęsty w X, jeśli jego domkięcie jest całą przestrzeią X. Przypomijmy, że domkięcie zbioru A, ozaczae przez A, jest ajmiejszym zbiorem domkiętym w X zawierającym zbiór A. Iymi słowy, domkięcie A jest przekrojem mogościowym wszystkich zbiorów domkiętych w X, zawierających zbiór A. 12.1.1. Elemet p przestrzei X ależy do zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym zbiorze otwartym zawierającym p istieje elemet ależący do A D. Załóżmy, że p A i U jest zbiorem otwartym zawierającym p. Przypuśćmy, że w zbiorze U ie ma żadego elemetu ze zbioru A. Wtedy A U =, a więc zbiór A zawarty jest w zbiorze domkiętym X U. Wtedy A X U. Poieważ p A, więc p X U. Zatem p U, wbrew założeiu, że p U. Załóżmy teraz, że każdy zbiór otwarty zawierający p zawiera elemet ależący do A i przypuśćmy, że p A. Wtedy p ależy do zbioru otwartego X A i mamy sprzeczość: = (X A) A. Stąd wyika: 12.1.2. Podzbiór A przestrzei topologiczej X jest gęsty w X wtedy i tylko wtedy, każdy iepusty zbiór otwarty zawiera elemet zbioru A. 12.1.3. Jeśli A jest gęstym podzbiorem przestrzei topologiczej X, to dla każdego zbioru otwartego U zachodzi rówość U = U A. 175

176Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych D. Oczywista jest ikluzja U A U. Załóżmy, że p U i iech V pędzie zbiorem otwartym zawierającym p. Wtedy (patrz 12.1.1) V U ; więc U V jest iepustym zbiorem otwartym. Z gęstości zbioru A wyika, że (U V ) A. Ale (U V ) A = V (U A). Każdy więc iepusty zbiór otwarty zawierający p posiada elemet ależący do U A. Ozacza to (zowu a mocy 12.1.1), że p U A. Zatem U U A. 12.1.4. Jeśli U i V są otwartymi zbiorami gęstymi, to U V rówież jest zbiorem gęstym. D. Wyika to wprost z 12.1.3: U V = U = X. 12.2 Podzbiory brzegowe W dalszym ciągu zakładamy, że A jest podzbiorem przestrzei topologiczej X. Przez It(A) ozaczamy wętrze zbioru A. Przypomijmy, że It(A) jest ajwiększym zbiorem otwartym w X zawartym w A. Iymi słowy, wętrze It(A) jest sumą mogościową wszystkich zbiorów otwartych zawartych w A. Jeśli zbiór It(A) jest pusty, to mówimy, że A jest zbiorem brzegowym. 12.2.1. Podzbiór A przestrzei topologiczej X jest brzegowy wtedy i tylko wtedy, każdy iepusty zbiór otwarty zawiera elemet ie ależący do A. D. Załóżmy, że zbiór A jest brzegowy i U jest dowolym iepustym zbiorem otwartym. Wtedy It(A) =, więc zbiór U ie jest zawarty w A. Istieje zatem elemet x ależący do U i ie ależący do A. Załóżmy teraz, że każdy iepusty zbiór otwarty zawiera elemet ie ależący do A. Przypuśćmy, że It(A). Niech x It(A). Istieje wtedy taki zbiór otwarty U, że x U oraz U A. Zbiór U jest iepusty i ie ma elemetów ie ależących do A; sprzeczość. 12.2.2. Podzbiór A przestrzei topologiczej X jest brzegowy wtedy i tylko wtedy, gdy X A jest zbiorem gęstym w X. D. Załóżmy, że A jest zbiorem brzegowym i U jest dowolym iepustym zbiorem otwartym. Istieje wtedy (patrz 12.2.1) w zbiorze U taki pukt x, który ie ależy do A, czyli który ależy do X A. Z 12.1.2 wyika zatem, że X A jest zbiorem gęstym w X. W podoby sposób wykazujemy implikację w przeciwym kieruku. 12.3 Podzbiory igdziegęste Mówimy, że podzbiór A przestrzei topologiczej X jest zbiorem igdziegęstym, jeśli jego domkięcie jest zbiorem brzegowym, tz. jeśli It(A) =. Każdy więc zbiór igdziegęsty jest w szczególości zbiorem brzegowym. Każdy domkięty zbiór brzegowy jest zbiorem igdziegęstym. Jedyym otwartym zbiorem igdziegęstym jest zbiór pusty. Jeśli A jest zbiorem igdziegęstym, to jego domkięcie A rówież jest zbiorem igdziegęstym. 12.3.1. Podzbiór A przestrzei topologiczej X jest igdziegęsty wtedy i tylko wtedy, gdy każdy iepusty zbiór otwarty zawiera iepusty zbiór otwarty rozłączy ze zbiorem A.

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 177 D. Załóżmy, że A jest zbiorem igdziegęstym i U jest iepustym zbiorem otwartym. Wtedy It(A) =, więc zbiór U ie jest zawarty w zbiorze A. Istieje zatem takie x 0 U, że x 0 A. Elemet x 0 ależy do otwartego zbioru X A. Rozpatrzmy zbiór V = U (X A). Jest to iepusty zbiór (gdyż x 0 V ) otwarty, zawarty w U i rozłączy ze zbiorem A. Załóżmy teraz, że każdy iepusty zbiór otwarty zawiera iepusty zbiór otwarty rozłączy ze zbiorem A. Przypuśćmy, że It(A) ; iech x 0 It(A). Istieje wtedy taki zbiór otwarty U, że x 0 U oraz U A. Poieważ x 0 U, więc U ie jest zbiorem pustym Istieje zatem taki iepusty zbiór otwarty V, że V U i V A =. Zbiór A jest zawarty w domkiętym zbiorze X V. Stąd wyika, że A X V, czyli A V =. Ale V U A, więc mamy sprzeczość: V = V A =. 12.3.2. Jeśli U jest zbiorem otwartym, to zbiór U U jest igdziegęsty. D. Ozaczmy: A = U U. Niech V będzie dowolym iepustym zbiorem otwartym. Pokażemy, że istieje taki iepusty zbiór otwarty V 0, który jest zawarty w V i który jest rozłączy ze zbiorem A. W przypadku, gdy V A =, przyjmujemy V 0 = V. Załóżmy, że V A i iech x 0 V A. Wtedy x 0 U, więc (patrz 12.1.1) zbiór U V jest iepusty. Jest to otwarty zbiór zawarty w V i rozłączy ze zbiorem A. 12.3.3. Załóżmy, że A, B, C są takimi podzbiorami przestrzei topologiczej X, że A = B C. Jeśli A jest zbiorem gęstym i C jest zbiorem igdziegęstym, to B jest zbiorem gęstym. D. Niech U będzie dowolym iepustym zbiorem otwartym w X. Udowodimy, że przekrój U B jest iepusty. Poieważ zbiór C jest igdziegęsty, więc (patrz 12.3.1) istieje taki iepusty zbiór otwarty V, że V U i V C =. Poieważ zbiór A jest gęsty, więc A V. Mamy zatem: A V = (B C) V = (B V ) (C V ) = (B V ) = B V. Stąd wyika, że B U, gdyż B V B U. Teza wyika zatem z 12.1.2. 12.4 Podzbiory gęste w przestrzeiach metryczych Wiemy (patrz Podrozdział 1), że podzbiór A przestrzei topologiczej X jest gęsty, jeśli w każdym iepustym zbiorze otartym zajduje się elemet ależący do A. Załóżmy teraz, że X jest przestrzeią metryczą z metryką d. Każdy iepusty zbiór otwarty w X jest wtedy sumą mogościową kul. Mamy zatem: 12.4.1. Podzbiór A przestrzei metryczej X jest gęsty w X wtedy i tylko wtedy, gdy w każdej kuli zajduje się się elemet ależący do A. Z tego faktu wyika astępujące stwierdzeie. 12.4.2. Podzbiór A przestrzei metryczej X jest gęsty w X wtedy i tylko wtedy, gdy każdy elemet przestrzei X jest graicą ciągu o wyrazach ależących do A.

178Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych D. Załóżmy, że zbiór A jest gęsty i p X jest dowolym elemetem. Wtedy każda kula o środku w pukcie p i promieiu 1, gdzie N, ma elemet a, ależący do A. Mamy zatem ciąg (a ) o wyrazach ależących do A i przy tym 0 d(p, a ) < 1 dla ( N, gdzie) d jest metryką przestrzei X. Z twierdzeia o trzech ciągach wyika, że 0 jest graicą ciągu d(p, a ) i stąd wyika, że p jest graicą (w przestrzei X) ciągu (a ). Załóżmy teraz, że każdy elemet przestrzei X jest graicą ciągu o wyrazach ależących do A. Niech K(p, r) będzie dowolą kulą w X; pukt p ależy do X oraz r > 0 jest liczbą rzeczywistą. Istieje wtedy ciąg (a ), o wyrazach ależących do A, którego graicą jest pukt p. Niech ε będzie liczbą rzeczywistą taką, ze 0 < ε < r. Niech 0 będzie liczbą aturalą taką, że d(p, a ) < ε dla 0. Ustalmy jedo większe od 0. Wtedy d(p, a ) < ε < r, a zatem a K(p, r). Wykazaliśmy, że każda kula zawiera elemet ze zbioru A. Zatem (patrz 12.4.1) zbiór A jest gęsty. 12.5 Gęstość podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych Zbiór R, wszystkich liczb rzeczywistych, jest przestrzeią metryczą z metryką d : R R R zdefiiowaą przy pomocy bezwzględej wartości; d(x, y) = x y. dla x, y R. Kulami w tej przestrzei są wszystkie przedziały otwarte (a, b) = x R; a < x < b, gdzie a < b są liczbami rzeczywistymi. Dowoly podzbiór X zbioru liczb rzeczywistych jest rówież przestrzeią metryczą, z metryką zdefiiowaą w powyższy sposób. Każdy zbiór otwarty takiej przestrzei X jest postaci U X, gdzie U jest zbiorem otwartym w R. Kulą o środku w pukcie p X i promieiu r > 0 jest zbiór (p r, p + r) X. Iteresować as będą takie podzbiory zbioru liczb rzeczywistych, które posiadają co ajmiej dwa róże elemety i które są wypukłe. Przypomijmy, że podzbiór X R jest wypukły, jeśli z tego, że dwie róże liczby rzeczywiste a, b do iego ależą wyika, że cały przedział domkięty [a, b] jest w im zawarty. Wypukłymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych są, oprócz całego zbioru R, wszystkie przedziały: (a, b), (a, b], [a, b) [a, b], (, b), (, b], (a, ), [a, ), gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. W szczególości zbiór R +, wszystkich dodatich liczb rzeczywistych, jest takim podzbiorem wypukłym; R + = (0, + ). 12.5.1. Niech X R będzie wypukłym podzbiorem posiadającym co ajmiej dwa elemety. Niech A będzie podzbiorem zbioru X. Następujące waruki są rówoważe. (1) Zbiór A jest gęstym podzbiorem przestrzei X, (2) Dla dowolych liczb rzeczywistych x < y, ależących do X, istieje liczba a taka, że

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 179 a A oraz x < a < y. (3) Każda liczba rzeczywista ależąca do X jest graicą ciągu o wyrazach ze zbioru A. (4) Dla każdej liczby rzeczywistej x X i dla każdej liczby rzeczywistej ε > 0 istieje takie a A, że a x < ε. (5) Dla każdej liczby wymierej q X i dla każdej liczby rzeczywistej ε > 0 istieje takie a A, że a q < ε. D. Rówoważość (1) (3) już udowodiliśmy (patrz 12.4.2). Rówoważość (1) (2) wyika z 12.4.1. Wykażemy rówoważości (2) (4) (5). (2) (4). Niech x X i iech ε > 0 będzie liczbą rzeczywistą. Zbiór X ma co ajmiej dwa elemety. Istieje więc liczba y ależąca do X i róża od x. Załóżmy, że x < y. Poieważ X jest zbiorem wypukłym oraz x, y X, cały przedział [x, y] zawarty jest w X. Niech δ > 0 będzie liczbą rzeczywistą miejszą od miε, y x. Wtedy x + δ X, gdyż x + δ [x, y] X. Liczby x i x + δ ależą do zbioru X, z waruku (2) wyika więc, że istieje takie a A, że x < a < x + δ. Wtedy x ε < x < a < x + δ < x + ε i mamy: a x < ε. Podobie postępujemy, gdy x > y. (4) (5). Ta implikacja jest oczywista. (5) (2). Niech x, y X, x < y. Poieważ X jest zbiorem wypukłym, więc cały przedział domkięty [x, y] zawarty jest w X. Istieje więc liczba wymiera q ależąca do X i taka, że x < q < y. Niech ε = miq x, y q. Z waruku (4) wiemy, że istieje takie a A, że q ε < a < q + ε. Wtedy Istieje więc takie a A, że x < a < y. x q ε < a < q + ε y. W dowodzie implikacji (5) (2) wykorzystaliśmy dobrze zay fakt, że zbiór liczb wymierych jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Przedstawmy dowód tego faktu. W tym celu ajpierw wykazujemy astępujący lemat. 12.5.2. Jeśli a > 0 jest liczbą rzeczywistą, to istieje liczba aturala taka, że 0 < 1 < a. D. Przypuśćmy, że to ie jest prawdą. Wtedy dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość 1 a, z której wyika ierówość 1 a. Zbiór liczb aturalych jest więc wtedy ograiczoy z góry (przez liczbę 1 a ), a to jest oczywiście sprzeczością. Teraz możemy udowodić: 12.5.3. Zbiór liczb wymierych jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. D. Niech x, y R, x < y. Ozaczmy przez a dodatią liczbę y x i iech będzie liczbą aturalą taką, że 0 < 1 < a. Taka liczba istieje a mocy 12.5.2. Rozpatrzmy liczbę wymierą q = [x] + 1. Mamy wtedy: x = x < [x] + 1 = q x + 1 = x + 1 < x + a = x + (y x) = y. Zatem q jest liczbą wymierą spełiającą ierówości x < q < y.

180Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych W jedym z astępych podrozdziałów wykorzystamy astępujące stwierdzeie. 12.5.4. Niech r > 0 będzie liczbą rzeczywistą i iech A będzie gęstym podzbiorem zbioru R +. Wtedy zbiór A r = a r ; a A rówież jest gęsty w R +. D. Niech 0 < x < y będą liczbami rzeczywistymi. Poieważ zbiór A jest gęsty, więc istieje takie a A, że x 1 1 r < a < y r. Mamy wtedy: x < a r < y i a r A r. 12.6 Lematy W tym podrozdziale udowodimy kilka lematów, z których będziemy korzystać w astępych podrozdziałach. Pierwsze dwa lematy dotyczą graic ciągów. 12.6.1. Niech (x ) będzie ciągiem dodatich liczb rzeczywistych. Załóżmy, że ciąg te jest zbieży i jego graica jest liczbą większą od zera. Wtedy dla każdej liczby ε > 0 istieje liczba aturala N ε taka, że x 1 x < ε, m dla wszystkich, m > N ε. D. Niech lim x = a > 0. Wtedy lim 1 x = 1 a, więc ciąg (1/x ) jest zbieży; jest więc ograiczoy. Istieje zatem takie M > 0, że 1 x M dla wszystkich N. Niech ε > 0. Poieważ (x ) jest ciągiem Cauchy ego, istieje takie N ε N, że x x m < ε/m dla, m > N ε. Mamy zatem x 1 x m = x x m = x x m 1 < ε M M = ε, dla wszystkich, m > N ε. x m x m 12.6.2. Jeśli a, b są dodatimi liczbami rzeczywistymi, to [a] lim [b] = a b. D. Istieje takie 0, że b > 1 dla 0 i wtedy Poieważ lim a 1 b a 1 b < [a] [b] < a b 1. = lim a b 1 = a, więc teza wyika z twierdzeia o trzech ciągach. b

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 181 W astępych lematach mowa będzie o fukcjach wielomiaowych. 12.6.3. Niech f(x) będzie wielomiaem stopia d 1, o współczyikach rzeczywistych i dodatim współczyiku wiodącym rówym c. Istieje wtedy dodatia liczba u taka, że dla wszystkich N. f() c( + u) d, D. Niech f(x) = cx d + a d 1 x d 1 + + a 1 x + a 0, gdzie a 0,..., a d 1 R. Niech r i = i c 1 ( d i) 1 a d i, dla i = 1, 2,..., d ( ) d i iech u = max(r 1, r 2,..., r d ). Wtedy u > 0 oraz a d i c u i dla wszystkich i = 1,..., d. Mamy i zatem: f() = c d + a p 1 d 1 + + a 1 + a 0 c d + a p 1 d 1 + + a 1 + a 0 ( ) ( ) ( ) d d d c d + c u d 1 + c u 2 d 2 + + c u d 1 + cu d 1 2 d 1 = c( + u) d, dla wszystkich N. 12.6.4. Niech f(x) będzie wielomiaem stopia d 1, o współczyikach rzeczywistych i dodatim współczyiku wiodącym rówym c. Istieją wtedy takie dodatie liczby rzeczywiste v i M, że c( v) d f(), dla wszystkich liczb aturalych większych od M. D. Dla d = 1 jest to oczywiste. Rozważmy przypadek d = 2. Niech f(x) = cx 2 +ax+b, a, b, c R, c > 0 i rozważmy liczby v = c 1 max(1, a, b ), M = 2v. Wtedy v > 0, M > 0 i dla > M mamy: c( v) 2 = c 2 2cv + cv 2 = c 2 cv cv + cv 2 c 2 cv 2cv 2 + cv 2 = c 2 cv cv 2 c 2 a b c 2 + a + b = f(). Dalej załóżmy, że d 3 i iech f(x) = cx d + a d 1 x d 1 + + a 1 x + a 0. Niech v = c 1 max(1, a d 1, a d 2,..., a 1, a 0 ), M = vr, gdzie r = max (( ) ( ) ( )) d d d,,...,. 1 2 d 1

182Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Przy tych założeiach, jeśli d 2 k N oraz > M, to ( ) ( ) d d c v 2k 1 d (2k 1) + c v 2k d 2k 2k 1 2k ( ) d 2cv 2k 1 d (2k 1) cv 2k 1 d (2k 1) + c v 2k d 2k 2k ( ) d 2cv 2k 1 d (2k 1) crv 2k d 2k) + c v 2k d 2k 2k 2cv 2k 1 d (2k 1) = cv 2k 1 d (2k 1) cv 2k 1 d (2k 1) a d (2k 1) d (2k 1) a d 2k d 2k a d (2k 1) d (2k 1) + a d 2k d 2k. Stąd dla > M otrzymujemy: ( c( v) d = c d + c ( ) d 1 v 1 d 1 + c ( ) ) d 2 v 2 d 2 ( + c ( d 3 ) v 3 d 3 + c ( ) ) d v 2 d 4 +... c d + ( a d 1 d 1 + a d 2 d 2) + ( a d 3 d 3 + a d 4 d 4) +... = f(). Zatem c( v) d f(), dla > M. Wykorzystamy rówież astępujący oczywisty lemat. 12.6.5. Niech λ R, a Z. Istieje wtedy liczba całkowita b taka, że 0 aλ + b < 1. D. Przyjmujemy b = [aλ]. Wtedy aλ + b = aλ [aλ] = aλ jest częścią ułamkową liczby ax i oczywiście 0 aλ + b < 1. 12.7 Twierdzeie Kroeckera 12.7.1 (Twierdzeie Kroeckera). Jeśli λ jest liczbą iewymierą, to zbiór aλ + b; a, b Z jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. D. Niech x, y R, x < y. Ozaczmy δ = y x > 0 i iech będzie taką liczbą aturalą (istiejącą a mocy 12.5.2), że 0 < 1 < δ. Podzielmy przedział [0, 1) a części: [ 1 = 0, 1 ) [ 1, 2 =, 2 ) [ ) 1,..., =, 1. Wiemy (patrz lemat 12.6.5), że dla każdej liczby całkowitej a istieje liczba całkowita b a taka, że 0 < aλ + b a < 1. Każda liczba postaci aλ + b a ależy do jedego z przedziałów 1,...,. Poieważ tych przedziałów jest tylko skończeie wiele, a liczb całkowitych jest ieskończeie wiele, więc istieją dwie róże liczby całkowite a i a 1 takie, że liczby u = aλ + b a oraz u 1 = a 1 λ + b a1 ależą do tego samego przedziału i. Wtedy a a 1 oraz u u 1 < 1. Z iewymierości liczby λ wyika, że u u 1. 4

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 183 Możemy założyć, że u > u 1. Wtedy u u 1 = u u 1. Poadto, u u 1 = (a a 1 )λ+(b a b a1 ) = cλ+d, gdzie c, d Z. Wykazaliśmy zatem, że istieją dwie takie liczby całkowite c i d, że 0 < cλ + d < 1 < δ = y x. Niech p = cλ + d i rozpatrzmy zbiór U = u Z; pu > x = u Z; u > x. p Jest to iepusty i ograiczoy z dołu (przez liczbę x p ) podzbiór zbioru liczb całkowitych. Ma zatem elemet ajmiejszy; ozaczmy te ajmiejszy elemet przez z. Wtedy z Z oraz x < zp. Pokażemy, że zp < y. Przypuśćmy, że zp y. Wtedy zp y = x + (y x) = x + δ > x + 1 > x + p i stąd (z 1)p > x. To ozacza, że z 1 ależy do zbioru U i mamy sprzeczość z tym, że z jest ajmiejszym elemetem w zbiorze U. Zatem x < zp < y. Ale zp = z(cλ + d) = (zc)λ + (zd) i liczby zc, zd są całkowite. Istieją więc takie liczby całkowite a i b, że x < aλ + b < y i to kończy dowód. Wykażemy teraz, że w powyższym twierdzeiu Kroeckera moża dodatkowo założyć, że wystpujące w im liczby a są aturale i to jeszcze większe od dowolie ustaloej liczby aturalej M. W tym celu ajpierw wykażemy, że moża dodatkowo założyć, że liczby a są iezerowe. 12.7.2. Jeśli λ jest liczbą iewymierą, to zbiór aλ + b; a, b Z, a 0 jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. D. Niech x, y R, x < y. Wykażemy, że istieją takie liczby całkowite a, b, że a 0 oraz x < aλ + b < y. Istieją (a mocy twierdzeia 12.7.1) takie liczby całkowite a i b, że x < aλ + b < y. Jeśli a 0, to ie ma czego dowodzić. Załóżmy, że a = 0. Wtedy x < b < y. W przedziale (x, y) zajduje się więc co ajmiej jeda liczba całkowita. Załóżmy, że b jest ajmiejszą liczbą całkowitą w tym przedziale. Wtedy x < b < y i (zowu a mocy twierdzeia 12.7.1) istieją liczby całkowite a 1, b 1 spełiające ierówości x < a 1 λ + b 1 < b. Jeśli teraz a 1 = 0, to x < b 1 < b < y i mamy sprzeczość z tym, że b jest ajmiejszą liczbą całkowitą w przedziale (x, y). Zatem a 1 i b 1 są liczbami całkowitymi, a 1 0 oraz x < a 1 λ + b 1 < y. Teraz możemy wykazać astępującą wzmocioą wersję twierdzeia 12.7.1. 12.7.3. Jeśli λ jest liczbą iewymierą i M jest liczbą aturalą, to zbiór aλ + b; a, b Z, a > M jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.

184Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych D. Część I. Niech ε będzie liczbą rzeczywistą z przedziału (0, 1). Wykażemy ajpierw, że istieją takie liczby całkowite u i v, że 0 < uλ + v < ε oraz u 1. Przypuśćmy, że to ie jest prawdą. Na mocy twierdzeia 12.7.2, istieją takie liczby całkowite a 0, b 0, że a 0 0 oraz 0 < a 0 λ + b 0 < ε. Z aszego przypuszczeia wyika, że a 0 jest liczbą ujemą. Niech a 0 = 0, gdzie 0 N. Liczba 0 ależy do zbioru tych wszystkich liczb aturalych, dla których istieje liczba całkowita b taka, że 0 < λ + b < ε. Załóżmy, że 0 jest ajmiejszym elemetem w tym zbiorze. Niech 0 < 0 λ + b 0 < ε dla pewego b 0 Z; ozaczmy p = 0 λ + b 0. Poieważ 0 < p, więc (zowu a mocy 12.7.2) istieją takie liczby całkowite a 1, b 1, że 0 < a 1 λ + b 1 < p < ε oraz a 1 0; ozaczmy q = a 1 λ + b 1. Z ierówości 0 < q < ε wyika, że a 1 = 1 dla pewego 1 N i poadto, 1 0. Gdyby zachodziła rówość 1 = 0, wówczas różica p q byłaby liczbą całkowitą (rówą b 0 b 1 ) ależącą do przedziału (0, 1); sprzeczość. Zatem 1 > 0. Zauważmy, że 0 < p q = ( 0 λ + b 0 ) ( 1 λ + b 1 ) = ( 1 0 )λ + (b 0 b 1 ) < ε. Mamy więc 0 < sλ + t < ε, gdzie s = 1 0 oraz t = b 0 b 1 są liczbami całkowitymi i przy tym s > 0. To jest jedak sprzecze z tym co założyliśmy a początku tej części dowodu. Dla każdej więc liczby rzeczywistej ε, spełiającej ierówości 0 < ε < 1, istieją takie liczby całkowite u, v, że 0 < uλ + v < ε oraz v 1. Część II. Niech ε będzie liczbą rzeczywistą z przedziału (0, 1). Wykażemy, że istieją takie liczby całkowite u i v, że 0 < uλ + v < ε oraz u > M. Liczba (M + 1)λ jest iewymiera. Z części pierwszej tego dowodu wyika więc, że istieją takie liczby całkowite a i b, że 0 < a(m + 1)λ + b < ε oraz a 1. Niech u = a(m + 1), v = b. Wtedy 0 < uλ + v < ε, u, v Z, u > M. Część III. Niech x, y R, x < y. Niech ε = mi1, (y x)/2 i rozważmy przedział (x, x + ε). Niech c, d będą liczbami całkowitymi takimi, że x < cλ + d < x + ε. Takie liczby całkowite istieją a mocy twierdzeia 12.7.1. Ozaczmy przez M 1 liczbę aturalą większą iż M c. Z drugiej części tego dowodu wiemy, że istieją takie liczby całkowite u, v, że 0 < uλ + v < ε oraz u > M 1. Przyjmijmy: a = u + c, b = v + d. Mamy wtedy a = u + c > M 1 + c > (M c) + c = M oraz x = x + 0 < (cλ + d) + (uλ + v) = aλ + b < x + ε + ε = x + 2ε x + 2 y x 2 Zatem x < aλ + b < y i przy tym a > M. To ozacza, że baday zbiór jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzeie Kroeckera 12.7.1 moża rówież wysłowić w astępującej wersji. 12.7.4. Jeśli λ jest dodatią liczbą iewymierą, to zbiór mλ ;, m N jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. = y.

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 185 D. Niech x, y R, x < y. Niech M będzie liczbą aturalą taką, że Mλ > y. Istieją takie liczby całkowite a, b, że x < aλ + b < y oraz a > M (wyika to z twierdzeia 12.7.3). Poieważ a > M, więc m = a jest liczbą aturalą. Przypuśćmy, że b 0. Wtedy mamy sprzeczość: y < Mλ < aλ aλ + b < y. Zatem b jest ujemą łiczbą całkowitą; iech b =, gdzie N. Wtedy x < mλ < y, gdzie m, N i to kończy dowód. Założyliśmy, że liczba iewymiera λ jest dodatia. Dla ujemych liczb iewymierych mamy podobe twierdzeie. 12.7.5. Jeśli λ jest ujemą liczbą iewymierą, to zbiór mλ + ;, m N jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. D. Niech x, y R, x < y. Stosujemy twierdzeie 12.7.4 dla dodatiej liczby wymierej λ i ierówości y < x. Istieją takie liczby aturale m,, że y < m( λ) < x. Mamy wtedy (po pomożeiu przez 1) ierówości x < mλ + < y. W powyższych dwóch twierdzeiach moża jeszcze dodatkowo założyć, że liczby aturale m i są większe od dowolie ustaloych liczb aturalych. 12.7.6. Jeśli λ jest dodatią liczbą iewymierą oraz A, B są liczbami aturalymi, to zbiór mλ ;, m N, m > A, > B jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. D. Niech x, y R, x < y. Niech C będzie taką liczbą aturalą, że (A + 1)Cλ y > B. Z twierdzeia 12.7.4, zastosowaego ( dla ) dodatiej liczby iewymierej (A + 1)Cλ, istieją takie liczby aturale u, v, że x < u (A + 1)Cλ v < y. Przyjmujemy m = u(a + 1)C, = v. Wtedy x < mλ < y oraz m > A i > B. Istotie: m = u(a + 1)C A + 1 > A oraz > mλ y = u(a + 1)Cλ y (A + 1)Cλ y > B. Podobie wykazujemy astępe twierdzeie. 12.7.7. Jeśli λ jest ujemą liczbą iewymierą oraz A, B są liczbami aturalymi, to zbiór mλ + ;, m N, m > A, > B jest gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.

186Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Pewe zastosowaia twierdzeia Kroeckera przedstawimy w astępych podrozdziałach. Teraz podamy dwa ie zastosowaia. Dotyczyć oe będą początkowych cyfr liczb specjalego typu. Dokładiejsze iformacje a te temat zajdują się w [N-2]. Tam rówież są wzmiaki o pewych wersjach twierdzeia Kroeckera. 12.7.8. Dla dowolego skończoego ciągu cyfr (układu dziesiętego) c 1, c 2,..., c k istieje potęga dwójki, której k początkowymi cyframi są kolejo c 1,..., c k. D. Niech c 1,..., c k będą daymi cyframi. Ozaczmy: M = c 1 10 k 1 + c 2 10 k 2 + + c k 1 10 + c k. Poieważ log 10 2 jest dodatią liczbą iewymierą oraz log 10 M < log 10 (M + 1), więc (a mocy twierdzeia 12.7.4) istieją takie liczby aturale m,, że Mamy wtedy kolejo: log 10 M < m log 10 2 < log 10 (M + 1). + log 10 M < m log 10 2 < + log 10 (M + 1), log 10 (10 M) < log 10 (2 m ) < log 10 (10 (M + 1)), M10 < 2 m < (M + 1)10. Początkowymi cyframi liczby 2 m są więc kolejo c 1,..., c k. 12.7.9. Dla dowolego skończoego ciągu cyfr (układu dziesiętego) c 1, c 2,..., c k istieje liczba kwadratowa, której k początkowymi cyframi są kolejo c 1,..., c k. D. Niech c 1,..., c k będą daymi cyframi. Ozaczmy: M = c 1 10 k 1 + c 2 10 k 2 + + c k 1 10 + c k. Poieważ log 10 4 jest dodatią liczbą iewymierą oraz log 10 M < log 10 (M + 1), więc (a mocy twierdzeia 12.7.4) istieją liczby aturale m, takie, że Mamy wtedy kolejo: log 10 M < m log 10 4 < log 10 (M + 1). + log 10 M < m log 10 4 < + log 10 (M + 1), log 10 (10 M) < log 10 (4 m ) < log 10 (10 (M + 1)), M10 < 4 m < (M + 1)10. Początkowymi cyframi liczby kwadratowej (2 m ) 2 = 4 m są więc kolejo c 1,..., c k. K. G. Bakow, O pewym twierdzeiu Kroeckera, [Kw] 7/1986 5-7. G. H. Hardy, E. M. Wright, Kroecker s theorem, [HW4] 375-393. K. Pióro, Twierdzeie Kroeckera, [Dlt] 6/2001, 12-13. D. Wiśiewski, Twierdzeie Kroeckera o gęstych podzbiorach zbioru liczb rzeczywistych, [Pmgr] 1991.

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 187 12.8 Naturala gęstość W tym podrozdziale zajmować się będziemy podzbiorami zbioru liczb aturalych. Jeśli A jest podzbiorem zbioru N, to dla każdej liczby aturalej przez A() ozaczać będziemy liczbę wszystkich elemetów zbioru A 1, 2,...,, tz. A() = a A; a. Dla przykładu, jeśli A jest zbiorem wszystkich liczb parzystych, to A(1) = 0, A(2) = 1, A(3) = 1, A(4) = 2 i ogólie A() = [/2] dla N. Niech A N. Jeśli ciąg (A()/) jest zbieży, to jego graicę ozacza się przez δ(a) i azywa aturalą gęstością (ag. atural desity ) zbioru A. Zapamiętajmy: A() δ(a) = lim. Iteresować as teraz będzie aturala gęstość zbioru A. Patrzeć a ią będziemy jak a pewą miarę zbioru A w stosuku do całego zbioru liczb aturalych. Każdy podzbiór skończoy ma oczywiście aturalą gęstość rówą 0. Zbiór wszystkich liczb aturalych ma aturalą gęstość rówą 1. Załóżmy, że A jest zbiorem wszystkich aturalych liczb parzystych. Co druga liczba aturala jest parzysta. Wspomieliśmy już, że A() = [/2] dla N. Mamy zatem: [/2] δ(a) = lim = 1 2. Naturala gęstość zbioru liczb parzystych istieje i jest rówa 1 2. Podobie jest dla dowolych ciągów arytmetyczych o wyrazach aturalych. 12.8.1. Niech a, r będą liczbami aturalymi i iech A = a, a + r, a + 2r, a + 3r,.... Zbiór A posiada aturalą gęstość i jest oa rówa 1 r. D. Niech N. Niech k = A(). Wtedy a + (k 1)r, a + kr >, więc k 1 a r stąd wyika, że [ ] a A() = 1 + r dla wszystkich N. Zatem: a a r = r i wobec tego a r < A() i teza wyika z twierdzeia o trzech ciągach. 1 + [( a)/r] < = A() + r a r a 1 + r = + r a r < k i

188Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Istieją takie podzbiory zbioru liczb aturalych, które ie posiadają aturalej gęstości. Spójrzmy a przykłady takich zbiorów. 12.8.2. Zbiór A = s=0 ie posiada aturalej gęstości. 2 2s, 2 2s + 1, 2 2s + 2,..., 2 2s+1 1 ( ) A() D. Przypuśćmy, że graica ciągu istieje i jest oa rówa x. Wtedy każdy podciąg tego ciągu rówież ma graicę rówą x. Łatwo sprawdzić, że A ( 2 2+1) = 4+1 1 3 ( A(2 2+1 ) ( ) A(2 2 ) Rozpatrzmy podciągi i 2 2+1 2 2, A ( 2 2) = 4 + 2. 3 ). Z powyższych rówości wyika, że podciągi te są ciągami zbieżymi, graica pierwszego ciągu jest rówa ( 2 3, a ) graicą drugiego ciągu jest 1 3. Istieją A() więc dwa zbieże podciągi o różych graicach. Ciąg ie ma więc graicy. 12.8.3. Zbiór A = s=0 3 2s, 3 2s + 1,..., 3 2s+1 1 ie posiada aturalej gęstości. D. W tym przypadku A ( 3 2+1) = 9+1 1 oraz A ( 3 2) = 9 + 3, dla wszystkich N. ( 4 4 A(3 2+1 ) ( ) A(3 2 ) ) Podciągi 3 2+1 i 3 2 są więc ciągami zbieżymi i ich graice są odpowiedio rówe 3 ( ) 4 1 A() i. Istieją zatem dwa zbieże podciągi o różych graicach. Ciąg ie ma więc graicy. 4 W podoby sposób wykazujemy: 12.8.4. Zbiór A = 12.8.5. Zbiór s=0 ie ma aturalej gęstości. ([NiZM] 475). 2 3s 1, 2 3s 1 + 1,..., 2 3s ie ma aturalej gęstości. ([HedR] 640). A = (2s)!, (2s)! + 1,..., (2s + 1)! 1 s=0 Przedstawimy teraz pewe własości aturalej gęstości. 12.8.6. Niech A będzie ieskończoym podzbiorem zbioru liczb aturalych. Ustawmy wszystkie elemety zbioru A w ciąg: a 1 < a 2 < a 3 <. Jeśli zbiór A posiada aturalą gęstość, to ([NiZM] 473). δ(a) = lim a.

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 189 ( ) A(). ( ) A(a) a ma graicę D. Załóżmy, że aturala gęstość zbioru A jest rówa u. Wtedy u jest graicą ciągu Każdy podciąg tego ciągu rówież ma graicę rówą u. W szczególości podciąg rówą u. Ale A(a ) =, więc lim = u = δ(a). a 12.8.7. Niech A będzie ieskończoym podzbiorem zbioru liczb aturalych. Ustawmy wszystkie elemety zbioru A w ciąg: a 1 < a 2 < a 3 <. Jeśli zbiór A posiada aturalą gęstość i gęstość ta jest większa od zera, to lim a a +1 = 1. ([NiZM]). ( ) D. Ciąg jest (a mocy 12.8.6) zbieży i jego graica jest większa od zera. Z 12.6.1 wyika a więc, że dla każdego ε > 0 istieje takie N ε N, że ( + 1)a 1 a +1 < ε, ( ) ( + 1)a dla > N ε. Ciąg jest więc zbieży do 1. Mamy zatem: lim a +1 a ( ( + 1)a = lim a +1 a +1 ) ( = lim ( + 1)a ) ( lim + 1 a +1 ) = 1 1 = 1. + 1 12.8.8 (E. Szemerédi 1975). Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb aturalych. Jeśli lim sup A() jest liczbą większą od zera, w szczególości jeśli zbiór A ma dodatią aturalą gęstość, to dla każdej liczby aturalej istieją takie liczby aturale a, r, że wszystkie liczby a, a + r, a + 2r,..., a + ( 1)r są elemetami zbioru A, tz. zbiór A zawiera skończoe postępy arytmetycze dowolej długości. U. Twierdzeie to było ajpierw hipotezą Erdösa. Udowodił to E. Szemerédi w 1975 roku. Iy dowód, stosując teorię ergodyczą, podał w 1977 roku H. Fursteberg. Jeszcze iy dowód, stosując aalizę Fouriera, podał w 1998 roku W.T. Gowers. 12.8.9. Niech A N. Jeśli zbiór A ma aturalą gęstość, to zbiór N A rówież ma aturalą gęstość oraz δ(a) + δ(n A) = 1. ([NiZM] 475 z.2). 12.8.10. Niech A N, b N i iech A + b = a + b; a A. Jeśli zbiór A posiada aturalą gęstość, to zbiór A + b rówież ją posiada i te gęstości są rówe. ([NiZM] 475 z.8).

190Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 12.8.11. Jeśli A i B są takimi rozlączymi podzbiorami zbioru liczb aturalych, że zbiory A, B oraz A B mają aturalą gęstość, to ([NiZM] 475 z.10). δ(a B) δ(a) + δ(b). 12.8.12. Rozpatrzmy astępujące podzbiory zbioru liczb aturalych: A = zbiór wszystkich liczb parzystych, B 1 = zbiór liczb parzystych o parzystej liczbie cyfr, B 2 = zbiór liczb ieparzystych o ieparzystej liczbie cyfr, B = B 1 B 2. Zbiory A i B posiadają aturalą gęstość. Natomiast zbiory A B i A B ie posiadają aturalej gęstości. ([NiZM] 475 z.9). Zajmiemy się teraz zaymi przykładami podzbiorów zbioru liczb aturalych posiadających aturalą gęstość. 12.8.13. Zbiór wszystkich liczb kwadratowych ma aturalą gęstość rówą 0. D. Niech A = Mamy zatem 2 ; N. Dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość A(). 0 A() 1/ i teza wyika z twierdzeia o trzech ciągach, W podoby sposób wykazujemy: 12.8.14. Niech 2 s N. Zbiór 12.8.15. Zbiór s ; N ma aturalą gęstość rówą zero. A = s ; N = a s ; a N, 2 s N s=2 ma aturalą gęstość rówą zero. ([NiZM] 475 z.1(j)). D. ([SavA] 175-176). Jeśli a s, to oraz s log 2 (). Zatem a [ s ] A() [ ] + [ 3 ] + [ 4 ] + log 2 (), a zatem 0 A() log2 () = log 2(). Poieważ lim log 2() = 0, więc (a mocy twierdzeia o trzech ciągach) gęstość δ(a) istieje i jest rówa zero. 12.8.16. Zbiór wszystkich liczb pierwszych ma aturalą gęstość rówą zero.

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 191 D. Ze zaej rówości π() wyika, że lim = 0. π(x) l x lim = 1 x x 12.8.17. Zbiór wszystkich liczb aturalych względie pierwszych z 6 ma aturalą gęstość rówą 1 3. 12.8.18. Zbiór wszystkich liczb aturalych względie pierwszych z 30 ma aturalą gęstość rówą 3 10. 12.8.19. Niech a 1,..., a s będą liczbami aturalymi i iech A będzie zbiorem tych wszystkich liczb aturalych, które ie są podziele przez żadą z liczb a 1,..., a s. Zbiór A ma aturalą gęstość δ(a) i zachodzi rówość ([NiZM] 476 z.11). s δ(a) = 1 + ( 1) r 1 ww(a r=1 1 i 1 <i 2 <...<i i1, a i2,..., a ir ). r s Mówimy, że liczba aturala jest bezkwadratowa (ag. squarefree) jeśli ie jest podziela przez żade kwadrat liczby aturalej większej od 1, tz. jeśli jest jest rówa 1 lub jest iloczyem parami różych liczb pierwszych. W [N-3] jest oddziely podrozdział o liczbach bezkwadratowych. 12.8.20. Zbiór wszystkich liczb bezkwadratowych ma dodatią aturalą gęstość rówą 6 π 2. ([NiZM]). 12.8.21. Jeśli A jest zbiorem wszystkich liczb bezkwadratowych, to dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość A() > /2. ([NiZM] 474). 12.8.22. Każda liczba aturala większa od jedyki jest sumą dwóch liczb bezkwadratowych. ([NiZM] 474). D. Ozaczmy przez A zbiór wszystkich liczb aturalych bezkwadratowych. Niech 2 N. Rozpatrzmy dwa zbiory: U = a N; 1 a 1, a A, V = b N; 1 b 1, b A. Suma U V ma co ajwyżej 1 elemetów. Z 12.8.21 wyika, że U + V > ( 1)/2 + ( 1)/2 = 1. Zbiory U i V ie mogą więc być rozłącze. Istieje zatem liczba x ależąca do części wspólej tych zbiorów. Wtedy x = a A oraz x = b i b A. Zatem = a + b, gdzie a, b A.

192Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Mówimy, że liczba aturala jest liczbą Nivea, jeśli jest podziela przez sumę swoich cyfr. W [N-2] jest oddziely rozdział o liczbach Nivea. 12.8.23 (R.E. Keedy, C.N. Cooper 1984). Zbiór wszystkich liczb Nivea ma aturalą gęstość rówą zero. 12.8.24 (D. N. Lehmer 1900). Niech a() i b() będą liczbami pierwotych trójkątów pitagorejskich, których odpowiedio przeciwprostokąte i obwody ie przewyższają. Wtedy ([S59] 59). a() lim = 1 2π, lim b() = l 2 π 2. 12.8.25 (J. Lambek, L. Moser 1955). Niech c() będzie liczbą pierwotych trójkątów pitagorejskich, których pola ie przewyższają. Wtedy c() lim = u, gdzie u jest pewą stałą rówą 0, 531340. ([S59] 59). R. E. Keedy, C. N. Cooper, O the atural desity of the Nive umbers, [Cmj] 15(4)(1984) 309-312. R. E. Keedy, C. N. Cooper, Chebyshev s iequality ad atural desity, [Mo] 96(2)(1989) 118-124. I. Nive, H. S. Zuckerma, H. L. Motgomery, The desity of sequeces of itegers, [NiZM] 472-481. 12.9 Gęste zbiory ułamków Dla daego podzbioru A zbioru liczb aturalych, przez Q(A) ozaczać będziemy zbiór wszystkich dodatich liczb wymierych dających się przedstawić w postaci a b, gdzie a, b A, tz. a Q(A) = b ; a, b A. Mówić będziemy, że taki podzbiór A jest ułamkowo gęsty, jeśli zbiór Q(A) jest gęsty w zbiorze R + = (0, ). W tym podrozdziale przedstawimy pewe przykłady ułamkowo gęstych podzbiorów zbioru liczb aturalych. Najprostszym takim przykładem jest cały zbiór liczb aturalych. W tym przypadku Q(N) = Q + = q Q; q > 0 i oczywiście zbiór Q + jest gęsty w R +. Zbiór wszystkich liczb parzystych jest rówież ułamkowo gęsty; jego zbiór ułamków jest całym zbiorem Q +.

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 193 12.9.1. Zbiór wszystkich liczb kwadratowych jest ułamkowo gęsty. D. Niech x, y będą dodatimi liczbami rzeczywistymi takimi, że x < y. Mamy wtedy dwie dodatie liczby rzeczywiste x i y spełiające ierówość x < y. Poieważ zbiór Q + jest gęsty w R +, więc istieje dodatia liczba wymiera a b (gdzie a, b N) leżąca pomiędzy liczbami x i y. Wtedy i to kończy dowód. x < a2 b 2 < y W te sam sposób dowodzimy, że podobą właość mają zbiory wszystkich sześciaów, wszystkich bikwadratów i ogóliej: 12.9.2. Niech 2 s N. Zbiór s ; N jest ułamkowo gęsty. Każdy podzbiór ułamkowo gęsty jest zbiorem ieskończoym. Istieją ieskończoe podzbiory zbioru liczb aturalych, które ie są ułamkowo gęste. Kilka przykładów: 12.9.3. Zbiór 2 0, 2 1, 2 2,..., wszystkich potęg dwójki, ie jest ułamkowo gęsty. Ogóliej, dla każdej liczby aturalej a, zbiór a 0, a 1, a 2,... ie jest ułamkowo gęsty. D. Zbiorem wszystkich ułamków o liczikach i miaowikach ależących do A = 2 0, 2 1, 2 2,... jest Q(A) = 2 s ; s Z. Zbiór Q(A) ie jest gęsty w R +, gdyż a przykład ie ma takiej liczby, która ależy do Q(A) i jest pomiędzy liczbami 5 i 7. Podobie uzasadiamy w przypadku ogólym, gdy A = a 0, a 1,...,. 12.9.4. Zbiór wszystkich liczb Fiboacciego ie jest ułamkowo gęsty. D. Przypomijmy, że liczbą Fiboacciego azywamy każdy wyraz cięgu (u ), określoego rówościami u 1 = u 2 = 1, u +2 = u +1 +u dla N. Pokażemy, że ie ma takich dwóch liczb Fiboacciego u, u m, że 1 < u u m < 5 4. Przypuśćmy, że są. Wtedy u m < u, więc m + 1. Jeśli m + 2, to u u m 2. Istotie, u u m+2 = u m+1 + u m = u m+1 + 1 1 + 1 = 2. u m u m u m u m Możliwy więc jest tylko przypadek: = m + 1. Ale wtedy > 1 (gdyż u u m > 1) i mamy sprzeczość: u = u m+1 = u m + u m 1 = 1 + u m 1 1 + 1 u m u m u m u m 2 = 3 2 > 5 4. Wykorzystaliśmy ierówość um 1 u m 1 2, którą wykazujemy w astępujący sposób: 2u m 1 = u m 1 + u m 1 u m 1 + u m 2 = u m. Przed podaiem astępych przykładów zaotujmy trzy stwierdzeia. Pierwsze stwierdzeie jest oczywiste. 12.9.5. Niech A B będą podzbiorami zbioru liczb aturalych. Jeśli zbiór A jest ułamkowo gęsty, to zbiór B rówież jest ułamkowo gęsty.

194Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Następe dwa stwierdzeia już ie są takie oczywiste. 12.9.6. Niech A będzie podzbiorem zbioru liczb aturalych i iech B będzie skończoym podzbiorem zbioru A. Jeśli zbiór A jest ułamkowo gęsty, to zbiór A B rówież jest ułamkowo gęsty. ([HedR]). D. Jest jase, że wystarczy to udowodić tylko w przypadku, gdy zbiór B jest jedoelemetowy. Załóżmy, że B = b 0, ozaczmy przez A 0 zbiór A b 0 i rozważmy zbiór D = b0 a a ; a A ; a A. b 0 Zauważmy, że każdy iepusty zbiór otwarty w R + zawiera iepusty podzbiór otwarty rozłączy z D. Zatem (patrz 12.3.1), D jest podzbiorem igdziegęstym. Mamy poadto rówość Q(A) = Q(A 0 ) D. Z twierdzeia 12.3.3 wyika, że jeśli Q(A) jest zbiorem gęstym w R +, to Q(A 0 ) rówież jest zbiorem gęstym w R +. Zatem, jeśli zbiór A jest ułamkowo gęsty, to takim jest rówież zbiór A 0. 12.9.7. Jeśli podzbiór A N posiada aturalą gęstość i ta gęstość jest liczbą większą od zera, to zbiór A jest ułamkowo gęsty. ([HedR]). D. ([HedR]). Załóżmy, że δ(a) = lim A() = u > 0. Ustawmy wszystkie elemety zbioru A w ciąg: a 1 < a 2 < a 3 <. Z twierdzeia 12.8.6 wiemy, że wtedy u = lim a. Niech 0 < q Q, 0 < ε R. Istieje wtedy (patrz lemat 12.6.1) liczba aturala N 0 taka, że a m 1 a m/ 1 = /a 1 m/a m < ε q, dla wszystkich, m > N 0. Istieją oczywiście liczby aturale, m, które są większe od N 0 i takie, że q = m. Mamy wtedy a m 1 a q 1 < ε q i stąd, po pomożeiu przez q, a m q a < ε. Ułamek a m ależy do Q(A). Z twierdzeia 12.5.1 wyika więc, że zbiór Q(A) jest gęsty w R +, a zatem a zbiór A jest ułamkowo gęsty. Zbiór liczb ieparzystych ma aturalą gęstość rówą 1 2. Zatem, ze stwierdzeia 12.9.7 wyika: 12.9.8. Zbiór wszystkich ieparzystych liczb aturalych jest ułamkowo gęsty.

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 195 Zbiór wszystkich liczb aturalych postaci 4k + 3 ma aturalą gęstość rówą 1 4. Zatem: 12.9.9. Zbiór wszystkich liczb aturalych postaci 4k + 3 jest ułamkowo gęsty. Z faktów 12.9.7 i 12.8.1 wyika astępujące ogóliejsze stwierdzeie. 12.9.10. Każdy postęp arytmetyczy a, a + r, a + 2r, a + 3r,..., gdzie a, r N, jest ułamkowo gęsty. Droba modyfikacja dowodu stwierdzeia 12.9.7 pozwala am wysłowić astępe ogóliejsze stwierdzeie. Przypomijmy, że jeśli A jest podzbiorem zbioru liczb aturalych, to przez A() ozaczamy liczbę tych wszystkich liczb a ze zbioru A, które spełiają ierówość a. 12.9.11. Niech r > 0 będzie ustaloą liczbą rzeczywistą i iech A będzie podzbiorem zbioru liczb aturalych takim, że ciąg A() r ma graicę i graica ta jest większa od zera. Wtedy zbiór A jest ułamkowo gęsty. D. (I). Załóżmy, że lim A() r = u > 0 i ustawmy wszystkie elemety zbioru A w ciąg: a 1 < a 2 < a 3 <. ( ) A(a ) Wtedy podciąg rówież ma graicę i ta graica jest rówa u. Ale A(a ) =. Mamy zatem: a r lim a r = u > 0. Niech 0 < q Q, 0 < ε R. Istieje wtedy (patrz lemat 12.6.1) liczba aturala N 0 taka, że a r m 1 a r m/ 1 = /a r m/a r 1 < ε m q, dla wszystkich, m > N 0. Istieją oczywiście liczby aturale, m, które są większe od N 0 i takie, że q = m. Mamy wtedy a r m a r 1 q 1 < ε i stąd, po pomożeiu przez q, q a r m q < ε. a r Ułamek a m ależy do Q(A). Z twierdzeia 12.5.1 wyika więc, że zbiór Q(A) r = b r ; b Q(A) jest a gęsty w R +. Spójrzmy a stwierdzeie 12.5.4. Wyika z iego, że zbiór Q(A) = (Q(A) r ) 1 r rówież jest gęsty. Zatem, zbiór A jest ułamkowo gęsty. D. (II). Dla daej liczby rzeczywistej x > 0 ozaczmy przez A(x) liczbę tych wszystkich elemetów a ze zbioru A, które spełiają ierówość a x. Jest jase, że A(x) = A([x]).

196Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Załóżmy, że lim A() r = u > 0 i iech 0 < x < y będą liczbami rzeczywistymi. Istieje liczba aturala 0 taka, że [x] > 0, [y] > 0, A(x) > 0, A(y) > 0, ( dla wszystkich 0. Podciągi A([x])/[x] r) ( i A[y]/[y] r), rozpatrywae dla 0, mają więc dodatie wyrazy i są zbieże do u. Iloraz tych podciągów jest zatem ciągiem zbieżym i jego graica jest rówa 1. Poieważ ( lim [y]r y ) r [x] r = x (patrz 12.6.2), więc A(y) ( y ) r lim A(x) = > 1. x Istieje zatem takie 1, że A(y) > A(x) dla 1. Stąd wyika, że dla każdego 1 istieje liczba a, ależąca do zbioru A i taka, że x < a < y. Niech b będzie dowolą taką liczbą ze zbioru A, która jest większa od 1. Wtedy bx < a b < by oraz b, a b A. Zatem x < a b b < y i a b b Q(A). Zbiór Q(A) jest więc gęsty w R+. 12.9.12. Niech f(x) będzie wielomiaem stopia d 1 o dodatim współczyiku wiodącym rówym c. Załóżmy, że f(n) N oraz, że f() < f(m), gdy < m,, m N. Niech A = f(n) = f(); N. Wtedy A() lim d = 1 d c. D. Wiemy (patrz lematy 12.6.3 i 12.6.4), że istieją takie dodatie liczby u, v, M, że c(k v) d < f(k) < c(k + u) d dla wszystkich k większych od M. Niech 0 będzie liczbą aturalą taką, że A() > M dla wszystkich 0. Rozpatrzmy dowolą liczbę aturalą, większą od 0. Niech A() = k. Wtedy k > M oraz f(k) < f(k + 1), a zatem c(k v) d < f(k) < f(k + 1) < c(k + 1 + u) d i stąd d c(k v) < d < d c(k + 1 + u), czyli d c(a() v) < d < d c(a() +1+u). Po podzieleiu przez A() otrzymujemy ierówości d c A() v A() d < A() < d c A() + 1 + u, A() zachodzące dla wszystkich 0. Poieważ lim A() =, więc ciągi skraje są zbieże do tej d samej graicy, rówej d c. Z twierdzeia o trzech ciągach wyika zatem, że lim A() = d c i stąd otrzymujemy tezę: lim A() d = 1 d c.

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 197 12.9.13. Jeśli f(x) jest wielomiaem dodatiego stopia, o dodatim współczyiku wiodącym i takim, że f(n) N, to zbiór f(n) jest ułamkowo gęsty. D. Niech A = f(n) = f(); N. Fukcja wielomiaowa f(x) jest od pewego miejsca rosąca. Istieje zatem liczba aturala p taka, że f( + p) < f(m + p), gdy < m,, m N. Rozpatrzmy wielomia g(x) = f(x + p) i iech B = g(); N. Z twierdzeń 12.9.12 i 12.9.11 wyika, że zbiór B jest ułamkowo gęsty. Ale B A. Zatem zbiór A rówież jest ułamkowo gęsty. Z twierdzeia 12.9.13 otrzymujemy licze przykłady zbiorów ułamkowo gęstych. Stosując to twierdzeie dla wielomiau f(x) = rx + a (gdzie a, r N), otrzymujemy owy dowód a to, że postępy arytmetycze są ułamkowo gęste (patrz 12.9.10). Zaotujmy ie przykłady. 12.9.14. Zbiór 2 + 1; N jest ułamkowo gęsty. D. Twierdzeie 12.9.13 dla wielomiau f(x) = x 2 + 1. 12.9.15. Zbiór wszystkich liczb trójkątych jest ułamkowo gęsty. D. Przypomijmy, że liczbą trójkątą azywamy każdą liczbę aturalą postaci 1 ( + 1). 2 Teza wyika z twierdzeia 12.9.13 zastosowaego dla wielomiau f(x) = 1 2 x2 + 1 2 x. 12.9.16. Zbiór wszystkich liczb tetraedralych jest ułamkowo gęsty. D. Liczbą tetraedralą jest każda liczba aturala postaci 1 ( + 1)( + 2) 6 (patrz a przykład [N-8]). Teza wyika z twierdzeia 12.9.13, zastosowaego dla wielomiau f(x) = 1 x(x + 1)(x + 2). 6 Liczby trójkąte i liczby tetraedrale moża zapisać za pomocą symboli Newtoa. Liczba trójkąta 1 2 (+1) jest rówa ( +1) 2. Liczba tetraedrala 1 6(+1)(+2) jest atomiast rówa ( +2) 3. Powyższe przykłady 12.9.15 i 12.9.16 są szczególymi przypadkami astępującego ogóliejszego przykładu. 12.9.17. Przy ustaloym k N, zbiór wszystkich liczb aturalych postaci ( ) + k 1, k gdzie N, jest ułamkowo gęsty.

198Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych D. Stosujemy twierdzeie 12.9.13 dla wielomiau f(x) = 1 x(x + 1)(x + 2) (x + k 1). k! Wiemy już (patrz 12.9.3), że jeśli a jest liczbą aturalą, to zbiór B(a) = a ; N ie jest ułamkowo gęsty. Dla daych liczb aturalych a i b rozpatrzmy zbiór B(a, b) = B(a) B(b) = a ; N b ; N. Moża udowodić (patrz 12.11.5): 12.9.18. Jeśli a 2 i b 2 są względie pierwszymi liczbami aturalymi, to zbiór B(a, b) jest ułamkowo gęsty. ([HedR]). Stąd w szczególości wyika: 12.9.19. Zbiór 2 3 m ;, m N 0 jest ułamkowo gęsty. D. Zbiór te zwiera ułamkowo gęsty zbiór B(2, 3). Wystarczy więc wykorzystać 12.9.5. 12.9.20 (Ramauja). Jeżeli N(x) ozacza liczbę liczb aturalych postaci 2 3 m ie większych od x (gdzie, m N 0 ), to ([S59] 267-268). lim N(x) l 2 (x) = lim N(x) l(2x) l(3x) = 1 2 l 2 l 3. S. R. Garcia, V. Selhorst-Joes, D. E. Poore, N. Simo, Quotiet sets ad diophatie equatios, [Mo] 118(8)(2011) 704-711. 12.10 Ułamkowa gęstość zbioru liczb pierwszych W tym podrozdziale przedstawimy dowód astępującego twierdzeia Adrzeja Schizla. 12.10.1 (A. Schizel 1959). Zbiór wszystkich liczb pierwszych jest ułamkowo gęsty. Iymi słowy, zbiór wszystkich liczb p/q, gdzie p i q są to liczby pierwsze, jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych dodatich. ([S59] 411, [S88] 165). Przypomijmy, że jeśli x jest dodatią liczbą rzeczywistą, to przez π(x) ozacza się liczbę liczb pierwszych ie większych od x. W dowodzie twierdzeia 12.10.1 wykorzystuje się zae klasycze twierdzeie (prime umber theorem): ( ) π() l() lim = 1. Wspomialiśmy o tym twierdzeiu w [N-4]. Z tego twierdzeia wyikają astępujące wioski. 12.10.2. Dla dowolych dodatich liczb rzeczywistych spełiających ierówość x < y, istieje liczba aturala 0 taka, że π(x) < π(y) dla wszystkich 0. ([S59], [S88]).

Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych 199 D. ([S59] 410, [S88] 164). Niech 0 < x < y. Z rówości ( ) otrzymujemy rówości π([x]) l([x]) π([y]) l([y]) lim = 1, lim = 1. [x] [y] [y] Mamy poadto, π(x) = π([x]), π(y) = π([y]), lim [x] = y x Stąd wyika, że ciąg (patrz 12.6.2) i łatwo wykazać, że l([y]) lim l([x]) = 1. ( ) π(y) π(x) jest zbieży i jego graica jest rówa y x. Mamy zatem: π(y) lim π(x) = y x > 1. Istieje więc taka liczba aturala 0, że dla wszystkich liczb aturalych 0 zachodzi ierówość Mamy więc: π(x) < π(y) dla 0. π(y) π(x) > 1. 12.10.3. Niech x < y będą dodatimi liczbami rzeczywistymi. Istieje wtedy taka liczba aturala 0, że dla każdej liczby aturalej 0 istieje liczba pierwsza q spełiająca ierówości x < q < y. ([S59], [S88]). D. Niech z będzie liczbą rzeczywistą taką, że x < z < y. Istieją wtedy (a mocy 12.10.2) takie liczby aturale 1 i 2, że π(x) < π(z) dla 1 oraz π(z) < π(y) dla 2. Liczbę max( 1, 2 ) ozaczmy przez 0. Dla wszystkich 0 zachodzą więc dwie ierówości a zatem istieją liczby pierwsze p, q takie, że π(x) < π(z) i π(z) < π(y), x < p z, z < q y. Przyjmujemy q = p i mamy x < q < y. Teraz możemy już udowodić twierdzeie 12.10.1. Dowód twierdzeia 12.10.1. ([S59] 410, [S88] 164). Niech x, y będą liczbami rzeczywistymi takimi, że 0 < x < y. Istieje wtedy (patrz 12.10.3) liczba aturala 0 taka, że dla każdej liczby aturalej 0 w przedziale (x, y) zajduje się co ajmiej jeda liczba pierwsza. Poieważ liczb pierwszych jest ieskończeie wiele, istieje liczba pierwsza p, która jest większa od 0. W przedziale (px, py) zajduje się więc jakaś liczba pierwsza q. Wtedy px < q < py i mamy: x < q y. Zbiór wszystkich liczb pierwszych jest więc ułamkowo gęsty. p

200Adrzej Nowicki, Podróże po Imp. L. 15 Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych W przedstawioym dowodzie istotą rolę odegrała rówość ( ). Zaotujmy jeszcze jede wiosek wyikający z tej rówości, o którym wspomialiśmy w [N-2]. 12.10.4 (W. Sierpiński 1951). Dla dowolego skończoego ciągu cyfr (układu dziesiętego) c 1, c 2,..., c m istieje liczba pierwsza, której m początkowymi cyframi są kolejo c 1,..., c m. ([S59], [Trost] 51, [S88]). D. ([S59] 412). Niech a będzie m-cyfrową liczbą aturalą, której cyframi są kolejo c 1, c 2,..., c m. Niech x = a, y = a + 1. Wtedy 0 < x < y, a więc (patrz 12.10.3) istieje liczba aturala 0 taka, że dla każdej liczby aturalej 0 w przedziale (x, y) zajduje się co ajmiej jeda liczba pierwsza. Niech s będzie taką liczbą aturalą, że 10 s 0. Wtedy w przedziale (x10 s, y10 s ) zajduje się jakaś liczba pierwsza p. Poieważ 10 s a < p < 10 s (a + 1), więc początkowymi cyframi liczby pierwszej p są kolejo c 1, c 2,..., c m. Stąd otrzymujemy atychmiast: 12.10.5. Dla dowolego skończoego ciągu cyfr (układu dziesiętego) c 1, c 2,..., c m istieje ieskończeie wiele liczb pierwszych, których m początkowymi cyframi są kolejo c 1,..., c m. ([S59], [Trost] 51, [S88]). D. Hobby, D. M. Silberger, Quotiets of primes, [Mo] 100(1993) 50-52. 12.11 Zbiory gęste i ciągi liczb aturalych W tym podrozdziale podamy pewe przykłady gęstych podzbiorów w R + postaci a ;, m N, b m gdzie (a ) i (b ) są ieskończoymi ciągami liczb aturalych. W poprzedim podrozdziale zajmowałiśmy się zbiorami tego typu przy dodatkowym założeiu, że ciągi (a ) i (b ) są takie same. Teraz ie będziemy tego zakładać. Zaotujmy ajpierw dwa proste stwierdzeia. 12.11.1. Niech (a ) i (b ) będą ciągami dodatich liczb rzeczywistych i iech a b A = ;, m N, B = ;, m N. b m a m Jeśli zbiór A jest gęsty w R +, to zbiór B rówież jest gęsty w R +. D. Załóżmy, że A jest gęste w R + i iech x, y będą liczbami rzeczywistymi takimi, że 0 < x < y. Mamy wtedy ierówość 1 y < 1 x. Istieje więc liczba u = a, ależąca do A taka, że 1 b m y < u < 1. Stąd mamy: x x < 1 u < y i 1 u = b m a B.