Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24

Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych musimy przez chwilę zatrzymać się nad problem wyznaczania granic funkcji wielu zmiennych. W naszych rozważaniach ograniczymy się tylko do funkcji dwóch zmiennych, bowiem w przypadku większej liczby zmiennych postępuje się analogicznie. W pierwszym kroku musimy przypomnieć sobie w jaki sposób mierzy się odległość dwóch punktów w przestrzeni R 2 (lub ogólnie R n ). Do wyznaczania odległości dwóch punktów P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) od siebie wykorzystuje się zazwyczaj metrykę euklidesową określoną wzorem d e (P 1, P 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 2 / 24

W powyższym zdaniu istotne jest słowo zazwyczaj. Rozważa się bowiem inne metryki wśród których należy wymienić między innymi: metrykę taksówkową (metrykę miasta) d t (P 1, P 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 metrykę maksimum d m (P 1, P 2 ) = max { x 1 x 2, y 1 y 2 } Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 3 / 24

metrykę kolejową d e (P 1, P 2 ), jeśli punkty P 1 i P 2 leżą na jednej prostej d k (P 1, P 2 ) = przechodzącej przez punkt (0, 0) d e (P 1, (0, 0)) + d e ((0, 0, P 2 )) jeśli punkty nie leżą na jednej prostej Wszystkie te metryki mają pewną cechę wspólną, a mianowicie jeśli x n x 0 oraz y n y 0 to d ((x n, y n ) ; (x 0, y 0 )) 0.W związku z tą uwagą przyjmujemy następującą definicję. Mówimy, że ciąg punktów P n = (x n, y n ) dąży do punktu P 0 = (x 0, y 0 ) jeśli x n x 0 oraz y n y 0. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 4 / 24

Powyższe przykłady nie wyczerpują bardzo zbioru metryk w przestrzeni R 2. Aby lepiej zrozumieć działanie tych metryk zobaczmy jak wyglądają w tych metrykach kule (tzn. koła) o środkach powiedzmy w punktach (0, 0) oraz (2, 3) i promieniach 2 oraz 5. Przez kulę domkniętą o środku w punkcie (x 0, y 0 ) i promieniu rozumiemy zbiór punktów spełniających własność { (x, y) R 2 : d ((x, y), (x 0, y 0 )) r }. W przypadku kuli otwartej nie równość łagodna w powyższej definicji jest zastąpiona nierównością ostrą. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 5 / 24

( 1 Rozważmy następujący przykład: niech P n = n, n + 1 n + 3 współrzędna tego ciągu dąży do 0, zaś druga do 1, bowiem Stąd P n = 1 lim n n = 0 oraz ( 1 n, n + 1 ) (0, 1). n + 3 lim n + 1 n n + 3 = 1. ). Pierwsza Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 6 / 24

Dysponując już pojęciem zbieżności punktów w przestrzeni R n możemy przejść do badania granicy funkcji dwóch zmiennych. Libzbę g nazywamy granicą funkcji f : R 2 R w punkcie (x 0, y 0 ), jeżeli dla każdego ciągu punktów (x n, y n ) takich, że (x n, y n ) D, (x 0, y 0 ) = (x n, y n ) (x 0, y 0 ) odpowiadający mu ciąg wartości funkcji f (x n, y n ) jest zbieżny do g, co zapisujemy lim (x n,y n ) (x 0,y 0 ) f (x n, y n ) = g. Dla przykładu zbadajmy 3x + 2y lim x 1 x + 5y = 3 + 2 1 + 5 = 5 6 y 2 Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 7 / 24

W tym miejscu granicę jest bardzo łatwo wyznaczyć ponieważ w punkcie (1, 2) funkcja jest dobrze określona i jako granicę należy obrać jej wartość. Zastanówmy co się stanie z tą samą funkcją w punkcie (0, 0). Punkt ten nie należy do naturalnej dziedziny naszej funkcji w związku z tym nie wystarczy obliczyć wartości funkcji w tym punkcie. Obierzmy ciąg punktów (x n, y n ) (0, 0) i przyjmijmy, że x n = 0, zaś y n = 1 n. Jest oczywiste, że ciąg ( 0, 1 ) ( n (0, 0) oraz, że dla każdego n 1 punkt 0, 1 ) n = (0, 0). Dla danego ciągu punktów obliczmy granicę funkcji wstawiając zamiast x = 0, y = 1 n. Mamy wówczas 3 0 + 2 1 n lim n 0 + 5 1 n = lim n 2 n 5 n 2 = lim n n n 5 = 2 5. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 8 / 24

Niech teraz x n = 1 n zaś y n = 0. W tym przypadku ciąg punktów również dąży do punktu (0, 0) natomiast granica wynosi lim n 3 1 n + 2 0 1 n + 5 1 n = lim n 3 n 1 n = 3. W tym przypadku wybór ciągu punktów ma znaczenie przy obliczaniu granicy w związku z tym granica funkcji f (x, y) = 3x + 2y x + 5y w punkcie (0, 0) nie istnieje. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 9 / 24

Mówimy, że funkcja f (x, y) jest ciągła w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) D jeżeli ma granicę w punkcie (x 0, y 0 ), która jest równa wartości funkcji w tym punkcie, tzn lim (x,y ) (x 0,y 0 ) f (x, y) = f (x 0, y 0 ). Otoczeniem punktu P 0 = (x 0, y 0 ) o promieniu R > 0 nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne (x, y) spełniają nierówność (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < R 2. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 10 / 24

Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ).Jeżeli we wzorze f (x, y) jednej zmiennej przypiszemy konkretną wartość liczbową, np. w miejsce y wstawimy liczbę y 0, to otrzymamy funkcję jednej zmiennej f (x, y 0 ). Jeśli tak utworzona funkcja ma pochodną w punkcie x 0, tzn. jeżeli istniej granica f (x 0 + x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) lim x 0 x to nazywamy ją pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f (x, y) względem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) i oznaczamy f x lub f x. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 11 / 24

Pochodną cząstkową funkcji f (x, y) względem zmiennej y w punkcie (x 0, y 0 ) definiujemy analogicznie f (x 0, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) lim y 0 y i oznaczamy f y lub f y. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 12 / 24

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej można badać pochodne wyższych rzędów. Pochodne cząstkowe pochodnych f x, f y nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu i oznaczamy ( ) f = 2 f x x x 2 = f xx ( ) f y y ( ) f x y y ( f x ) = 2 f y 2 = f yy = 2 f x y = f xy = 2 f y x = f yx Pierwsze dwie z nich określa sią mianem pochodnych jednorodnych, zaś dwie ostatnie mianem pochodnych mieszanych drugiego rzędu. Ponadto zachodzi następujące twierdzenie. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 13 / 24

Theorem (Schwarza) Jeżeli funkcja f (x, y) ma w pewnym obszarze D ciagłe pochodne mieszane rzedu drugiego, to pochodne te sa sobie równe w każdym punkcie (x, y) D. 2 f x y = 2 f y x Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 14 / 24

Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu tworzą wektor zwany gradientem. Zaś pochodne cząstkowe drugiego rzędu tworzą macierz kwadratową zwaną Hesjanem. Macierz ta z uwagi na powyższe twierdzenie w przypadku ciągłych pochodnych drugiego rzędu w otoczeniu pewnego punktu jest macierzą symetryczną. Dla przykładu rozważmy funkcję f (x, y) = e x +y + x 2 + y 3 + 5x 2 y 3. Dla tej funkcji wyznaczmy (na tablicy) gradient oraz Hesjan. Jako utrwalenie przeanalizujmy jeszcze jeden przykład. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 15 / 24

Dla przykładu rozważmy funkcję f (x, y) = x 2 + 4xy + 7y 3 2x 2 y 2. Obliczmy dla niej wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. Mamy wówczas f x = 2x + 4y + 0 4xy 2 traktujemy w powyższym wzorze y jako pewną stałą. W analogiczny sposób wyznaczamy f y = 0 + 4x + 21y 2 4x 2 y. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 16 / 24

W następnym kroku obliczmy pochodne cząstkowe drugiego rzędu. Najpierw pochodną jednorodną po xx, tzn. następnie dwa razy po y,tj. 2 f x 2 = ( 2x + 4y 4xy 2) x = 2 4y 2 2 f y 2 = ( 4x + 21y 2 4x 2 y ) y = 42y 4x 2. Następnie obliczmy pochodne mieszane2 oraz 2 f y x = ( 4x + 21y 2 4x 2 y ) x = 4 8xy 2 f x y = ( 2x + 4y 4xy 2) y = 4 8xy. Na tym obrazowym przykłądzie widzimy, że twierdzenie Schwarza pozwala nam zmniejszyć nieco ilość obliczeń. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 17 / 24

Niech dana będzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu P 0 (x 0, y 0 ). Mówimy, że funkcja posiada w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje otoczenie punktu (x 0, y 0 ) takie, że dla każdego punktu (x, y) należącego do tego otoczenia spełniona jest nierówność f (x, y) f (x 0, y 0 ) (f (x, y) f (x 0, y 0 )). Maksima i minima lokalne łącznie określa się mianem ekstremów lokalnych. Bardzo często sprawdzenie tych warunków nie jest takie proste i dlatego opracowano specjalne twierdzenie, które jest zarówno warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia ekstremum lokalnego funkcji dwóch zmiennych. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 18 / 24

Theorem Jeżeli dana jest funkcja dwóch zmiennych f (x, y) majaca w otoczeniu punktu P 0 (x 0, y 0 ) wszystkie drugie pochodne czastkowe ciagłe oraz jeżeli spełnione sa nastepuj ace warunki: f (x 0, y 0 ) x = 0 f (x 0, y 0 ) y = 0 (warunek konieczny) [ W (x 0, y 0 ) = 2 f (x 0, y 0 ) x 2 2 f (x 0, y 0 ) y 2 2 ] 2 f (x 0, y 0 ) > 0 x y (warunek dostateczny) to w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) funkcja ma ekstremum, przy czym jeżeli 2 f (x 0,y 0 ) > 0 to w punkcie P x 2 0 jest minimum lokalne; jeżeli 2 f (x 0,y 0 ) < 0 to w punkcie P x 2 0 jest maksimum lokalne. Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 19 / 24

Uwaga. Jeżeli warunek konieczny jest spełniony ale W (x 0, y 0 ) < 0 to funkcja nie ma ekstremum w punkcie P 0, jeśli zaś W (x 0, y 0 ) = 0 to ekstremum w punkcie P 0 może istniej lub nie. Przykład. Niech f (x, y) = 3x 2 y 6xy + y 3 + 17.Wyznaczanie ekstremów rozpoczniemy od obliczenia pochodnych cząstkowych pierwszego i drugiego rzędu. Mamy zatem f x = 6xy 6y f y = 3x 2 6x + 3y 2 2 f x 2 = 6y 2 f y 2 = 6y 2 f x y = 6x 6 Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 20 / 24

Następnie przyrównujemy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu do zera i rozwiązujemy układ równań { 6xy 6y = 0 3x 2 6x + 3y 2 = 0, Rozwiązaniem są punkty: [x = 1, y = 1], [x = 1, y = 1], [x = 0, y = 0], [x = 2, y = 0], Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 21 / 24

Interesują nas wartości tego wyznacznika w punktach podejrzanych o ekstremum. Mamy zatem W (0, 0) = 36 < 0 W (1, 1) = 36 > 0 W (1, 1) = 36 > 0 W (2, 0) = 36 < 0 Warunek dostateczny spełniony jest tylko w punktach (1, 1) oraz (2, 0), zatem w nich występują ekstrema. Ponieważ 2 f (1, 1) = 6 > 0 oraz x 2 zatem w tym punkcie występuje minimum lokalne, Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 22 / 24

Zadanie 1 Wyznaczyć gradient oraz Hesjan dla następujących funkcji a) f (x, y) = 3x 2 + 4xy + 7y 3 x 2 b) f (x, y) = e x +y + sin (x + y) c) f (x, y) = e xy + sin (xy) d) f (x, y) = x +y xy e) f (x, y, z) = x 2 y 2 z 2 f) f (x, y, z, w) = (x + y + z + w) 3 Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 23 / 24

Zadanie 2 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji a) f (x, y) = 3x 3 + 3x 2 y y 3 15x b) f (x, y) = x 2 xy + y 2 + 3x 2y 18 c) f (x, y) = x 4 + y 4 2x 2 + 4xy 2y 2 d) f (x, y) = x 2 + y 2 + xy 6x 4y + 5 Adam Kiersztyn (KUL) Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 24 / 24