Oprcowł: mgr Słwomr Mlewsk Smodzely Zkłd Metod Komputerowych w Mechce L6, WL, PK APROKSYMACJA NTERPOLACJA FUNKCJ JEDNEJ ZMENNEJ Ogóle zgdee proksymcj moż opsć stępująco: De są pukty leżące ądź to do wykresu fukcj ądź pochodzące z dych eksperymetlych lu umeryczych (lcz puktów ) ( x, f ) dl,,, Odcęte x zywmy węzłm proksymcj, tomst rzęde f wrtoścm węzłowym Przyjmuje sę tzw rząd proksymcj m ( m,,, ) Jest to lość ezleżych lowo fukcj zowych ϕ ( x), przyjmowych podstwe dego kryterum, tkże lość ezych współczyków lczowych, które zostą wyzczoe w dlszym cągu zd Ogóly zps fukcj proksymującej: m p( x) ϕ ( x) + ϕ ( x) + + ϕ ( x) ϕ ( x) () lu w otcj mcerzowej: m m ϕ( x) ϕ( x) T p( x) ϕ ( x), gdze :, ϕ ( x) ( m) ( m) m ϕm ( x) Przyjmuje sę tzw wg w dl kżdego węzł z oso, które śwdczą o odejścu krzywej proksymcyjej od oryglej wrtośc węzłowej wg zleżośc: m wększ wg, tym lżej tego włśe puktu przejdze krzyw Wg moż doerć p według kryterum odległoścowego od ustloego z góry puktu Wg zer sę do mcerzy dgolej zwej mcerzą wgową w w W w dg( w ) ( ) Oczywśce wprowdze wg e jest koecze W tkm przypdku: w w w Wyzcz sę współczyk lczowe z stępującego ukłdu rówń:
ϕ( x ) ϕ( x ) ϕm( x ) f ϕ( x) ϕ( x) ϕm( x) ϕ j ( x ) f Φ, F f ( m) ( ) ϕ ( x ) ϕ( x) ϕm( x ) f Τ Τ - W Τ W, ( Τ W ) Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ W F N ch podstwe moż udowć proksymcję fukcj z pomocą wzoru () Olcz sę łąd proksymcj podstwe stępujących wzorów: o Dl proksymcj cągłej: ε ( p( x) f ( x)) dx, x x o Dl proksymcj dyskretej: ( p( x ) f ), dl ormy Eukldes ε p( x ) f,,, mx p( x ) f, dl ormy mksmowej Powyższy lgorytm proksymcj jest ogóly prwdzwy dl dowolej lczy węzłów, lośc postc fukcj zowych Wszystke poższe rodzje proksymcj moż łtwo wyprowdzć korzystjąc z tego lgorytmu Jest o jedk dość ucążlwy zwłszcz w olczech ręczych, stąd dl kokretego rodzju proksymcj korzyst sę z ych zleżośc, prostszych w zpse zstosowu NTERPOLACJA FUNKCJ terpolcj fukcj to tk proksymcj, w której fukcj p( x ) przechodz przez wszystke pukty ( x, f ),,,, ez żdego wyjątku To zczy, ż łąd lczoy jk dl proksymcj dyskretej mus yć w węzłch ezwrukowo rówy zeru Stąd wruek terpolcj formułuje sę stępująco: p( x ) f, dl,,, mplkuje to od rzu postć fukcj terpolcyjej: p( x) ϕ ( x) (), tz, że fukcj zowych (orz współczyków terpolcj) mus yć dokłde tyle, le węzłów Tk, węc zde terpolcj jest zdem jedozczym (jest tylko jed krzyw terpolcyj, któr dl dego zestwu fukcj zowych przechodz ścśle przez wszystke de pukty) W zpse mcerzowym terpolcj wygląd stępująco: ϕ( x) ϕ( x) T p( x) ϕ ( x), gdze :, ϕ ( x) ( ) ( ) ϕ ( x)
Współczyk wyzcz sę z stępującego ukłdu rówń: Φ ( ) ϕ( x) ϕ( x ) ϕ( x) ϕ ( x ) ϕ ( x ) ϕ ( x ) ϕ ϕ ( x ) ϕ( x) ϕ( x) j ( x ), F f f f f ( ) Φ F, Φ - F Powyższy ukłd rówń m jedo rozwąze, gdy mcerz Φ jest eosolw, to zchodz wtedy, gdy węzły terpolcj e pokrywją sę (wyjścowe przyporządkowe dyskrete jest fukcją) W przypdku terpolcj zwęże po lcze fukcj zowych e jest koecze, gdyż jest o rów lcze węzłów, węc mcerz współczyków Φ jest od smego początku mcerzą kwdrtową Ne m sesu róweż wprowdzć wg, gdyż z złoże wyk, ż w węzłch krzyw m meć ustloe z góry wrtośc, węc sterowe jej przeegem w węzłch jest emożlwe (wprowdze wg e ędze mło żdego wpływu wyk końcowy) Po wyzczeu współczyków moż udowć krzywą wg wzoru () Błąd terpolcj zleży od wyoru fukcj zowych Nleży róweż dmeć, ż terpolcj pod w tej postc e jest jlepszą z możlwych terpolcj, mmo ż przechodz przez wszystke de pukty Kosztem tego jest jej estle czym e kotrolowe zchowe mędzy węzłm terpolcj sło węc odtwrz oryglą fukcję m węcej węzłów, tym wększych estlośc moż sę spodzewć, zwłszcz dl terpolcj welomowej Poz tym, przejśce fukcj przez wszystke pukty ścśle wcle e mus yć jlepszym rozwązem, zwłszcz przy oróce dych eksperymetlych, gdy kżdy wyk orczoy jest łędem zupełe zedywym w wyku zstosow terpolcj terpolcj jedomow Jest to jprostsz, le jrdzej prymtyw z terpolcj (wymg rozwązyw dużych ukłdów rówń) Z jest w klsyczej postc: de jest klk puktów, przez które m przejść krzyw Zpsuje sę węc jej wzór welomowy zleży od tylu współczyków, le jest puktów, przez które m o przejść Współczyk zjduje sę z ukłdu rówń, powstłego z zps jej przejśc ścsłego przez wszystke pukty Np dl dwóch puktów ( x, f),( x, f ) zpsuje sę wzór fukcj lowej p( x) x +, współczyk zjduje sę z wruków p( x) f orz p( x) f Dokłde to smo postępowe wyke z ogólego schemtu terpolcj, tylko ze szczególą postcą fukcj zowych w postc kolejych jedomów: ϕ ( x), ϕ ( x) x, ϕ ( x) x, ϕ ( x) x,, ϕ ( x) x 4 Ogóle: ϕ ( x) x, dl,,,
Krzywą () zjduje sę wtedy z ukłdu rówń: x - x x Φ F, Φ F, gdze: Φ ( ) x x Mcerz Φ przy terpolcj jedomowej w lterturze os zwę mcerzy V Der Mod Podoe jk przy ogólym sformułowu terpolcj, mcerz Φ jest eosolw (det Φ ), gdy, j x x j Przykłd Dy jest zór puktów: Dokoć terpolcj jedomowej Doermy trzy fukcje zowe: terpolcj x x f 4 ϕ x ϕ x x ϕ x x ( ), ( ), ( ) Przyjmujemy postć ϕ ϕ ϕ ϕ p( x) ( x) ( x) + ( x) + ( x) + x + x Budujemy mcerz V Der Mod: Φ orz ukłd rówń: 4 4 4 Stąd: p( x) + x + x + x + x x terpolcj dele odtworzył perwotą prolę, z której zdjęte zostły pukty terpolcj Lgrge W przypdku, gdy fukcjm zowym są welomy corz wyższych stop, wyk końcowy (krzyw terpolcyj) jest oczywśce tk sm Ntomst moż poszukwć go róże sposoy Jede z ch pozwl omęce rozwązyw ukłdu rówń zkłdjąc specyfczą welomową postć fukcj zowych Otóż, jeżel przyjme sę fukcje zowe ( ϕ ( x) L ( x), tzw welomy Lgrge ) w zleżośc od rozłoże węzłów tk, że: postć:, j L ( x j ), to mcerz współczyków Φ przyjme stępującą, j 4
L ( x ) L ( x ) L ( x ) L ( x) L ( x) L ( x) Φ L ( x) L ( x) L ( x) Ukłd rówń ędze mł rozwąze: Ι F F Tk węc w przypdku tej terpolcj (tzw terpolcj Lgrge ) przy odpowedm doorze fukcj zowych ze są od rzu współczyk krzywej terpolcyjej są m wrtośc węzłowe: p( x) f L ( x) f L ( x) + f L ( x) + + f L ( x) Jedyą trudość stow węc zlezee welomów Lgrge Jest ch tyle, le węzłów Dowoly, -ty welom zeruje sę we wszystkch węzłch oprócz węzł z umerem -tym, w którym przyjmuje wrtość Oczywśce pomędzy węzłm welom przyjmuje wrtośc ezerowe Moż go opsć wzorem (tzw wzór terpolcyjy Lgrge ): L ( x) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) + + j j j j ( x x ) ( x x ) Lczk jest loczyem różc ( x x j ) tworzoym z pomęcem węzł x Pojw sę o z to w mowku, który jest lczkem polczoym dl x x Błąd terpolcj Lgrge dl dowolego x moż określć z stępującego wzoru: j j ( ) ( ) ξ mx f ( ) ( x x ) f ( x x ) ε ( x), x ξ x!! ( ) f ozcz pochodą -tego rzędu, tomst ξ jest puktem pośredm z przedzłu, w którym dokouje sę terpolcj Uogóleem terpolcj Lgrge jest terpolcj l Hermtte, w której w węzłch ook wrtośc fukcj mogą yć róweż de wrtośc pochodych Przykłd Dy jest zór puktów: Dokoć terpolcj Lgrge x f 4 5
Budujemy koleje welomy Lgrge : ( x x )( x x ) ( x )( x ) L x x x ( ) ( )( ) ( x x)( x x) ( )( ) ( x x ) ( x x ) ( x )( x ) L x x x ( ) ( ) ( x x ) ( x x) ( )( ) L x ( x x )( x x ) ( x )( x ) x x ( ) ( ) ( x x) ( x x) ( )( ) Wzór terpolcyjy: p( x) f L ( x) + f L ( x) + f L ( x) p( x) ( x ) ( x ) + ( x)( x ) + 4 x ( x ) x + x + x x x Błąd terpolcj jest rówy dl dowolego x z uwg, ż pochod rzędu wyjścowej fukcj f ( x) x jest rów f ( x) Przykłd Dokoć terpolcj Lgrge fukcj cągłej f ( x) s( x) w przedzle, 4 stosując róże lczy węzłów Wyzczyć łąd terpolcj Olczyć wrtość welomu terpolcyjego dl x π dl porówć z wykem ścsłym W podym przedzle dokoujemy dyskretyzcj fukcj z pomocą węzłów rówomere rozłożoych Otrzymujemy stępujące pukty: f x 4 s( x ) 9997 4-7568 Budujemy welomy Lgrge : ( x )( x 4) ( x )( x 4) L ( x) ( x )( x 4), L ( x) ( x )( x 4), ( )( 4) ( )( 4) ( x ) ( x ) L ( x) ( x ) ( x ) (4 ) (4 ) Budujemy terpolcję: p( x) 9997 ( x ) ( x 4) + 4 ( ) ( x )( x 4) 7568 ( x ) ( x ) 6487x 4485x + 5646 Wrtość terpolcj dl x π : p p( x π ) 88 Wrtość ścsł dl x π : f Błąd ezwzględy wyku: ε p f 88 88 Oszcowe łędu terpolcj: f ( x) s( x), f f ( x ) 9997 mx 6
( x )( x )( x 4) ε ( x) 9997 555 ( x )( x )( x 4) 6 Błąd terpolcj dl x π wyos: ε ε ( x π ) 555 ( π )( π )( π 4) Wyk uleg stotej poprwe dl wększej lczy węzłów: dl 4 p 44, dl 5 p 56 Odwrot terpolcj Lgrge Zmst udowć terpolcję zmeych ezleżych x, moż odwrócć mejscm zmee x z y zleźć w rezultce welom terpolcyjy p(y): Dl dych puktów węzłowych: ( x, f ),,,, udujemy welomów Lgrge, le trktując y jko zmeą ezleżą: L ( y) ( y f ) ( y f ) ( y f ) ( y f ) ( y f ) ( f f ) ( f f ) ( f f ) ( f f ) ( f f ) + + orz stosujemy zmodyfkowy wzór terpolcyjy Lgrge : p( y) x L ( y) x L ( y) + x L ( y) + + x L ( y) j j j j ( y f ) ( f f ) Terz moż odtworzyć, jk orygle x ył przypsy demu y poprzez olczee x p( y) Metod odwrot może yć też dorym przylżeem metod tercyjych do zjdyw perwstk rów lgerczego f ( x ) Wtedy udując terpolcję odwrotą zorze puktów fukcj f ( x ) w przedzle x moż oszcowć z dorym przylżeem mejsce zerowe oryglej fukcj f ( x ) poprzez olczee * x p( y ) Uwg! Wrukem rozwązywlośc zd jest różowrtoścowość fukcj f(x) j j Przykłd 4 Zleźć przylżee mejsc zerowego rów x s( x) w przedzle π x (, π ) W podym przedzle wprowdzmy węzły, doerjąc wrtośc węzłowe podstwe rów f ( x) x s( x) f π x π π π f ( x ) π π + 7
Budujemy wrtoścch węzłowych welomy Lgrge : ( y )( y ) ( y f) ( y f π π ) L ( y) ( y π )( y π ) ( f f) ( f f) π π ( π )( π ) ( π + ) π ( ( y )( y π y f ) )( y f + ) 4 π L ( y) ( y + )( y π ) ( f f)( f f) π ( π + )( π π ) ( + π ) π ( y π )( y + ) ( y f)( y f) L ( y) π ( y π )( y + ) ( f f)( f f) π ( π + π )( π + + ) ( π + ) orz wzór terpolcyjy: p( y) x L ( y) + x L ( y) + x L ( y) π 4 π p( y) ( y π )( y π ) + π ( ) ( y + )( y π ) ( π + ) ( + π ) π y + + π ( y π )( y + ) π ( π + ) π + Przylżee mejsc zerowego rów: π x* p() + π 4 Welomy Czeyszew terpolcj welomow fukcj dyskretej dje wyk ścsłe, gdy terpolowy jest welom, co jwyżej stop - Dl stop wyższych orz dl wyjścowych fukcj eędących welomm wyk są w jkś sposó przylżoe Dl wysokch stop terpolcj krzywe welomowe są estle, tz mmo przejśc ścsłego przez wszystke pukty mędzy m zczyją corz rdzej sę rozegć do eskończoośc Ay zpewć mksymlą stlość tkch wyków stosuje sę jko fukcje zowe welomy ortogole (lu ortogole z wgą) p fukcje specjle Lgrge (e mylć z wcześej omwym welomm Lgrge ), l Hermtte, Legedre czy Czeyszew Te ostte mją jeszcze jedą rdzo wżą dl proksymcj włsość: jeżel mowce tk doerze sę węzły proksymcj, y yły oe rówe mejscom zerowym odpowedego welomu Czeyszew, to wtedy mksymly łąd tk zudowej terpolcj welomowej zoste zmmlzowy: ( ) Błąd mksymly terpolcj: ε ( x) f ( x x ) mx Zleźć mmum mksymlej wrtośc w przedzle, z loczyu czyl: m mx ( x x ) - orygle zgdee Czeyszew x x ( x x ), 8
Welomy Czeyszew moż określć dw sposoy: Sposó tercyjy: T ( x) cos( rc cos x), Sposó rekurecyjy: T ( x) T ( x) x T ( x) x T ( x) T ( x) Powyższe wzory oowązują w przedzle x To przedzł, w którym welomy Czeyszew są określoe w którym są ortogole W kokretych zstosowch rdzej korzysty jest wzór rekurecyjy, gdze dy welom olcz sę podstwe dwóch poprzedch Dl przykłdu pokzo klk stępych welomów Czeyszew: T ( x) x T ( x) T ( x) x x x T x x T x T x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) 4 T x x x 4 4( ) 8 8 + 5 T5 ( x) 6x x + 5 Ay zleźć mejsc zerowe -tego welomu Czeyszew, e trze rozwązywć w tym celu rów T ( x ) ; moż posłużyć sę gotowym wzorem: + π x cos,,,, Włsość ortogolośc welomów Czeyszew z wgą µ ( x) x poleg tym, ż cłk:, j T ( x) Tj ( x) π j dx, j x π, j Poewż w kokretych zdch mmy do czye z dowolym przedzłem x, dltego też zchodz często potrze trsformcj wyjścowego przedzłu do przedzłu, w którym ze są welomy Czeyszew odwrote: Nech z,, x, : z ( + ) Przejśce z x : x, Przejśce x z : z [( ) x + ( + )] Uwg! W zdch terpolcj moż zowć zdej stce węzłów tylko jko fukcj zowych użyć welomów Czeyszew (tzw terpolcj Czeyszew), lo przyjąć węzły jko mejsc zerowe odpowedego welomu Czeyszew terpolowć używjąc do tego jedej z pozych metod (w tym tkże terpolcj Czeyszew) To smo dotyczy tkże proksymcj fukcj 9
Przykłd 5 D jest fukcj dyskret ( z, f ),,,, tk jk w przykłdch : Dokoć terpolcj Czeyszew z f 4 Węzłów e wyzczmy są z góry pode Do terpolcj trzech węzłch potrzee ędą trzy welomy Czeyszew (w przedzle x, ): T x T x x T x x ( ), ( ), ( ) Wzory trsformcję mędzy przedzłm z,, x, : x z, z x + Welomy Czeyszew w przedzle z, : T ( z), T ( z) z, T ( z) ( z ) z 4z + Tworzymy ukłd rówń: T ( z) T ( z) T ( z) f Φ T ( z ) T ( z ) T ( z ), F f T ( z) T ( z) T ( z) f 4 rozwązujemy: Φ F 5 5 Wzór terpolcyjy: p( x) T ( z) + T ( z) + T ( z) + ( z ) + (z 4z + ) z Otrzymy wzór odtwrz perwotą prolę, tk smo jk w przypdku terpolcj jedomowej Lgrge Przykłd 6 Dokoć terpolcj fukcj + z w przedzle z,5 f ( z) Jko fukcje zowe przyjąć welomy Czeyszew, jko węzły terpolcj mejsc zerowe welomu T ( x ) Zczjmy od węzłów terpolcj w przedzle x, Welom T ( ) x m trzy mejsc zerowe, co od rzu mplkuje trzy węzły węc terpolcję prolą Korzystmy ze wzoru mejsc zerowe:
+ π x cos,,, + π π x cos cos 8665 6 + π π x cos cos + π 5 x cos cos π 8665 6 Ntomst welomy potrzee do wzoru terpolcyjego: T x T x x T x x ( ), ( ), ( ) Wzory trsformcję mędzy przedzłm z,5, x, : 5 x( z) z, z( x) ( x + ) 5 Mejsc zerowe welomy w przedzle z,5 : 5 5 z ( x + ) ( + ) 466564 4 5 5 z ( x + ) 5 5 5 z ( x + ) ( ) 496 4 8 8 T z T z z T z x z z 5 5 5 5 ( ), ( ), ( ) ( ) + Dyskretyzcj fukcj f ( z) + z (węzły ułożoo w kolejośc rosącej): f z 496 5 466564 f ( z ) 546 6958 4774 Budow rozwąze ukłdu rówń: T ( z) T ( z) T ( z) 8665 5 f 546 Φ T ( z ) T ( z ) T ( z ), F f 6958 T ( z) T ( z) T ( z) 8665 5 f 4774 8947 Φ F 45689 4685
Wzór terpolcyjy: 8 8 p z T z T z T z z z z 5 5 5 46984 z + 655 z + 84544 Sprwdzee włsośc terpolcyjych welomu p( z ) : p p( z 496) 546 f, ( ) ( ) + ( ) + ( ) 8947 + 45689 ( ) + 4685 ( + ) p p( z 5) 6958 f, p p( z 466564) 4774 f Olczee średego łędu terpolcj: 5 5 ε vr [ p( z) f ( z)] dz (46984 z + 655 z + 84544 + z ) dz 4856 Oszcowe mksymlego łędu terpolcj: z f ( z), f 5 mx f ( z ) 85865 ( + z ) ( z 496)( z 5)( z 466564) ε ( z) 85865 6 48 ( z 496)( z 5)( z 466564) Np dl z orygl wrtość fukcj wyos f + 668, t pochodząc z terpolcj p p() 759 Oszcowe łędu ε () 75 5 terpolcj fukcjm sklejym (fukcje typu sple) Przy wzrośce lczy węzłów terpolcj dje epożąde efekty mędzywęzłowe w postc corz wększych grdetów fukcj terpolującej Ay temu zpoec jedocześe zchowć włsośc terpolcyje, wprowdzoo terpolcję fukcjm sklejym Poleg o zlezeu krzywej skego stop, skłdjącej sę z różych kwłków, (czyl o różych wzorch ltyczych) przedzłch wyzczoych przez koleje pry węzłów Dodtkowo wymg sę odpowedch wruków cągłośc: fukcj sklej (sple) rzędu k m we wszystkch przedzłch wszystke pochode cągłe ż do rzędu k- włącze Rozwżmy zór puktów ( x, f ),,,, Kżdy sple rzędu k m perwszym odcku x x, x wzór: k + k k k + k k p( x) x + x + + x + x Nstępe wrz z przekrczem kolejych węzłów dochodzą stępujące skłdk welomowe: p( x) + ( x x ) dl x x, x k p( x) + ( x x ) + ( x x ) dl x x, x td k k 4 Ogóle sple rzędu k moż zpsć jedym ogólym wzorem: k + k k k + k k ( x x ), dl x > x s( x) p( x) + ( x x ) + x + ( x x ) +, ( x x ) +, dl x x
W kżdym spe są ewdome współczyk,,,, k +,,,, Rzem ewdomych jest + k Począwszy od k (kedy ewdomych jest + + ) sme rów pochodzące od puktów przez które krzyw m przejść są ewystrczjące Wprowdz sę węc dodtkowe wruk pochode sple u w węzłch tk sple rzędu k (sple lowy) e wymg zjomośc żdych dodtkowych wruków), sple rzędu k (sple kwdrtowy, prolczy) wymg zjomośc wrtośc pochodej w którymś z węzłów, tj s ( x ) α, tomst sple rzędu k wymg zjomośc wrtośc perwszej drugej pochodej w wyrych dwóch węzłch (może yć w tym smym), tj s ( x ) α, s ( x ) β j, l,,, ) Jeżel formcje o pochodych j ( { } l są pode w węzłch perwszego przedzłu x x, x (tm gdze oowązuje przeps s( x) p( x) ), to współczyk moż wyzczyć ezleże (z ukłdu rówń) od współczyków (ze wzoru rekurecyjego) Jeżel tomst wruk rzegowe e pozwlją jedozcze wyzczee odck krzywej w przedzle x x, x, to wtedy e moż wyzczyć rekurecyje współczyków, lecz trze zudowć w te sposó ukłd rówń ewdome współczyk Dlej rozwży ędze przypdek perwszy: wszystke wrtośc pochodych de są w perwszym węźle ( x x ) Ogóle wzory sple (dl k,, ): Sple lowy: Sple kwdrtowy: Sple sześcey: s( x) x + + ( x x ) +, + s( x) x + x + + ( x x ), j 4 + s( x) x + x + x + + ( x x ) Wyzczee współczyków,,,, k + : Poprzez zpse wruków terpolcj sple u perwszym przedzle x x, x orz poprzez wykorzyste ewetulych dodtkowych formcj o pochodych w tych węzłch: s( x) f x + f o Dl sple u lowego: s( x) f x + f o Dl sple u kwdrtowego: s( x) f x + x + f s( x) f x + x + f s ( x ) α x α + o Dl sple u sześceego: s( x) f x + x + x + 4 f s( x) f x + x + x + 4 f s ( x ) α x + x + α s ( x ) β 6x β + 4
Wyzczee współczyków,,,, : Ze wzoru rekurecyjego ezleże od rzędu sple u; wzór wyprowdz sę wykorzystując pozostłe wruk sple począwszy od x x : k f p( x) dl x x : s( x) p( x) + ( x x) f k ( x x ) dl x x : s( x ) p( x ) + ( x x ) + ( x x ) f k k 4 4 4 4 4 4 td Ogóle dl x x,,,, j : j+ f p( x ) ( x x ) k 4 4 4 k ( x4 x) j j k k k j+ j+ + j+ j+ j+ + j+ + j j+ j j+ j k f j+ p( x j+ ) ( x j+ x ) k ( x j+ x j ) s( x ) p( x ) ( x x ) f p( x ) ( x x ) ( x x ) f j Przykłd 7 Dl dych z poprzedch przykłdów zleźć sple lowy Wzór ogóly sple u: Wyzczee współczyków, : x f 4 + + s( x) p( x) + ( x x ) x + + ( x ) s() p( x) x s() + Wyzczee współczyk : s() 4 p() + ( ) 4 4 Wyzczee wzoru sple: x, dl x s( x) x + ( x ) + x, dl < x Przykłd 8 Dl dych z poprzedego przykłdu zleźć sple kwdrtowy x f 4 Dołączmy formcję o pochodej sple u dl x s () α 4
Wzór ogóly sple u: Wyzczee współczyków,, : s( x) p( x) + ( x x ) x + x + + ( x ) s ( x) p ( x) + ( x x ) x + + ( x ) s() s() + + p( x) x s () Wyzczee współczyk : s() 4 p() + ( ) 4 4 Wyzczee wzoru sple: s( x) x + ( x ) x dl x + + + + + W osttm przykłdze tylko pozore terpolcj jest sklej Poewż de pochodzą od fukcj kwdrtowej, to sple kwdrtowy przestoczył sę w oryglą fukcję o jedym przepse dl wszystkch x 6 Njlepsz proksymcj Aproksymcj to tke dopsowe krzywej p(x) stop m-tego ( m ) do zestwu dych puktów ( x, f ),,,,, że krzyw proksymcyj w ogólośc przez żde pukt ścśle e przejdze, dopuszczjąc odchyłkę mędzy oryglą wrtoścą f, wrtoścą krzywej p( x ) f Ogólym złożeem podejśc jlepszej proksymcj jest mmlzcj sumryczego łędu (sumy odchyłek) w sese jkeś ormy Jeżel zstosową ormą jest orm Eukldes (średo kwdrtow) to metod zyw sę metodą jmejszych kwdrtów Aproksymcj: m p( x) ϕ ( x) Błąd proksymcj: ε ( x) f ( x) p( x), dl x x x Njlepsz proksymcj: m ε ( x) m f ( x) ϕ ( x) m Metod m-mx: ε ( x) mx ε ( x) m mx f ( x) p( x), Metod jmejszych kwdrtów: m ε ( x) : o Dl zoru cągłego: o Dl zoru dyskretego: x x ε ( x) ( ε ( x) dx), x x ε ( x) ( ε ( )) Njpopulrejszą zę fukcj zowej dl proksymcj stową welomy, w tym jchętej używ sę fukcj ortogolych (lu przyjmej ortogolych wgą), tkch 5
jk welomy Czeyszew, Bessel, Legedre czy Hkel Korzyst sę też z zy jedomowej, zwłszcz dl proksymcj dyskretej O jedomch jko fukcjch zowych ędze dlej mow Fukcj proksymując ędze mł wtedy postć: m p( x) x x + x + + x + m m m m m Współczyk lczowe,,,, m leży wyzczyć podstwe mmlzcj sumryczego łędu w kżdym z węzłów w sese ormy średo kwdrtowej Ukłdmy fukcjoł zerjący formcje o wszystkch węzłch do jedego wzoru: m + + + B(,,, ) ( p( x ) f ) ( p( x ) f ) ( p( x ) f ) ( p( x ) f ) m m j m j j B(,,, ) ( p( x ) f ) ( x f ) W celu wyzcze ewdomych współczyków ukłdmy rów ędące pochodym powyższego fukcjołu względem kżdego z ch: m m j m k m j k k j B(,,, ) ( x f ) x, dl k,,,, m Z ukłdu rówń ( m + ) ( m + ) wyzczmy współczyk, stępe wyzczmy p(x): m m m j m k m k m ( j x ) xk f xk p( x) x j m Zmodyfkow metod wżo poleg przypsu kżdemu z węzłów lczy (wg) w,,,, śwdczącej o stopu odejśc krzywej od wrtośc węzłowej: m wg wększ wg, tym w rezultce lżej krzyw przejdze ook puktu z tą wgą Fukcjoł wzogcoy o wg wygląd stępująco: m + + + B(,,, ) w ( p( x ) f ) w ( p( x ) f ) w ( p( x ) f ) w ( p( x ) f ) Dlsze opercje są detycze, co prowdz do ukłdu rówń ( k,,,, m ): m m m j m k m k m ( w jx ) xk w f xk p( x) x j m O łędze proksymcj decyduje wrtość fukcjołu dl polczoych współczyków formuje o mksymlej odchyłce dl dego zestwu węzłów 6
Przykłd 9 Dl dych z poprzedego przykłdu zleźć proksymcję lową Rozptrzyć dw przypdk: metodę zwykłą wżoą przypsując kżdemu z węzłów jego umer jko wgę x f 4 Przyjmujemy fukcję lową: p( x) x + Metod zwykł Ukłdmy fukcjoł: B(, ) ( x + f ) ( + ) + ( + ) + ( + 4) Różczkujemy po zmeych : B(, ) ( + ) + ( + 4) B(, ) + ( + ) + ( + 4) 5 + 9 p( x) x + 5 Wyk zestwoo w telce Błąd mksymly x f p p( x ) p f ε ε - - 666667 666667 444444 4 666667 - B mx ε 666667 Metod wżo Wg: w, w, w B(, ) w ( x + f ) ( + ) + ( + ) + ( + 4) Różczkujemy po zmeych : B(, ) ( + ) + ( + 4) B(, ) + ( + ) + ( + 4) 4 + 8 6 p( x) x 6 8 + 6 4 6 7
x f p p( x ) p f ε ε -6-6 6 6 6 6 4 8 4 B mx wε 6 6 4 + + Wdć poprwę tm gdze wg ył jwększ: dl węzł x Przykłd Dl dych z poprzedego zd zstosowć proksymcję kwdrtową Fukcj proksymując: x f 4 + + p( x) x x c B(,, c) ( x + x + c f ) ( c ) + ( + + c ) + (4 + + c 4) B ( + + c ) + 4 (4 + + c 4) B ( c ) (4 c 4) + + + + + B c + ( + + c ) + (4 + + c 4) c 7 + 9 + 5c 7 9 + 5 + c 9 p( x) x 5 c 5 + + c Jest to przypdek szczególy: udowe proksymcj kwdrtowej trzech węzłch dje w rezultce terpolcję: otrzymlśmy wyjścową prolę Ne m sesu stosowć metody wżoej NUMERYCZNE RÓŻNCZKOWANE FUNKCJ Wykem umeryczego różczkow e jest ltyczy wzór pochodą, le jej wrtość w wyrym węźle zwym węzłem cetrlym Zde sprowdz sę do wyzcze tzw wzoru różcowego, czyl wzoru lczącego określoą pochodą w węźle cetrlym podstwe wrtośc dyskretych fukcj w ych węzłch, p: De są wrtośc fukcj w, w, w w rówych odstępch h Nleży zudowć wzory różcowe perwszą drugą pochodą w węźle cetrlym w Njrdzej oczywstym sposoem, le jrdzej prymtywym jest dokoe terpolcj (ogóle: proksymcj) w podych puktch, stępe podstwe otrzymego wzoru terpolcyjego (p welomowego) określć wzór pochodą w końcu polczyć 8
wrtość pochodej w żądym węźle Jest to dość złożoy proces, gdyż wymg przejśc z wrtośc dyskretych fukcj do wzoru cągłego stępe poowe przejśce wrtośc dyskrete Moż tego ukąć, skoro tk wychodząc od wrtośc w puktch, szukmy róweż wrtośc dyskretej Njlepszą metodą do tego celu jest metod współczyków eozczoych zując rozwju wszystkch wrtośc węzłowych w szereg Tylor Przyjmujemy lokly ukłd współrzędych w węźle cetrlym w Terz odległośc od pozostłych węzłów wyoszą odpowedo h orz h Rozwjmy kżdą z wrtośc w szereg Tylor wokół węzł cetrlego zchowując tyle wyrzów le ewdomych ędze w końcowym ukłdze rówń Lcz ewdomych jest rów lośc formcj, jkch udujemy wzór różcowy (w tym przypdku zchowmy trzy wyrzy) Wzoru różcowego szukmy jko komcj lowej wrtośc węzłowych ezych (eozczoych stąd zw metody) współczyków lczowych Dl perwszej pochodej: Dl drugej pochodej:, w ( x) w w + w + w w ( x) w w + w + w Dl oydwu pochodych wypsujemy rozwęc w poszczególych węzłch: w w h w + h w + w w w w + h w + h w + Rozwęc możymy przez współczyk stojące we wzorch różcowych Nstępe sumujemy je ze soą, porządkując wyrzy stojące przy odpowedch pochodych Ukłd rówń powstje przez porówe współczyków stojących przy odpowedch pochodych: ścsłej pochodej wzoru różcowego Dl perwszej pochodej: w w + w + w w ( + + ) + w ( h + h ) + w ( h + h ) w w ( + + ) + w ( h + h ) + w ( h + h ), Dl drugej pochodej: w w + w + w w ( + + ) + w ( h + h ) + w ( h + h ) w w ( + + ) + w ( h + h ) + w ( h + h ) Dl oydwu przypdków powstje ukłd rówń z tą smą mcerzą współczyków, le z ym prwym strom: 9
h h h h h h h h h Stąd: w ( w w ) h w ( w w + w ) h Olczee dokłdośc tkch wzorów poleg przywróceu perwszego z odrzucoych ezerowych wyrzów w kżdym z rozwęć, przemożeu przez odpowed współczyk stępe zsumowu Dl perwszej pochodej (wyrzy trzecego rzędu): ε ( h) ( h w ) ( ) ( ) 6 + h w h w h w h w 6 6 6 h + h 6, Dl drugej pochodej (wyrzy czwrtego rzędu): ε 4 V 4 V 4 V 4 V V ( h) h w ( ) ( ) 4 + h w h w h w h w 4 4 4 h + h Sprwdzee powyższych wzorów może odyć sę dl welomów, dl których wzory dją jeszcze wyk ścsły W tym przypdku ędą to welomy rzędu drugego Przyjmjmy fukcję f ( x) x orz stępujące węzły: f x f ( x ) 4 Węzły są rówooddloe, ch odległość wyos h Ścsłe wrtośc ltycze pochodych: f ( x) x f ( x) x f ( x), stąd: f, f Wrtośc umerycze pochodych (ze wzorów różcowych): 4 + 4 w, w Wosek: w f, w f Wyprowdzoe wyżej wzory leżą do tzw cetrlych wzorów różcowych Oprócz ch steją też tzw poocze wzory różcowe, o wele mej dokłde, p dl perwszej pochodej: w w tzw lorz wprzód : w, h w w twz lorz wstecz : w h Dją oe wyk ścsłe w rmch perwszego rzędu welomowej proksymcj Dl wyżej testowej fukcj e dłyy wyków ścsłych, tylko przylżoe
Przykłd Zleźć przedstwee opertor drugej pochodej w postc: f α f + β f + γ f + + Zkłdjąc, ż odstępy mędzy węzłm są stłe wyoszą h, d kofgurcj węzłów wygląd stępująco: f f + f + h h h - + + W pukce () e jest d żd formcj ( węc e jest o węzłem), mmo wszystko poszukuje sę w m wrtośc umeryczej drugą pochodą fukcj Rozwjmy kżdą wrtość fukcyją względem puktu () w szereg Tylor zchowując tyle wyrzów rozwęc, le ezych współczyków leży wyzczyć () W tkm przypdku uzyskmy terpolcję, czyl przeprowdzmy loklą krzywą prolczą przez wszystke wrtośc węzłowe f f h f + h f f+ f + h f + h f f f + h f + ( h) f + Dlej możymy kżde z rozwęć przez ewdomy współczyk stojący przy rozwętej wrtośc fukcyjej we wzorze różcowym f f h f + h f / α f+ f + h f + h f / β f f h f h f + + + ( ) / γ Terz dodjemy strom powyższe rozwęc, pmętjąc o możeu ch przez współczyk α, β, γ
α β γ α β γ α β γ α β γ f + f+ + f+ f ( + + ) + f ( h + h + h ) + f ( h + h + h ) f Poewż wyrżee lewej stroy to wyjścowy wzór różcowy drugą pochodą, moż zstąpć je wrtoścą drugej pochodej f f ( α + β + γ ) + f ( h α + h β + h γ ) + f ( h α + h β + h γ ) Ay zchodzł rówość mędzy lewą prwą stroą, współczyk przy fukcj jej kolejych pochodych muszą yć soe rówe α + β + γ h α + h β + h γ h α + h β + h γ W te sposó powstje ukłd rówń współczyk α, β, γ Po jego rozwązu otrzymujemy α h β h γ h Końcowy wzór różcowy f ( f f+ + f+ ) h Dokłdość wzoru moż oszcowć zerjąc perwsze odrzucoe wyrzy rozwęć ε ( h) α h f + β h f + γ ( h) f h f ( + 8 ) h f 6 6 6 8 Wzór jest ścsły dl welomów rzędu, co jwyżej drugego Sprwdzee ędze polegć polczeu pochodej umeryczej dl fukcj testowej orz porówe ze ścsłą wrtoścą Przyjęto rozstw węzłów: x, x+, x+ Rozstw h Fukcj testow: f ( x) x o Wrtośc węzłowe: f, f 4, f 9 + +
o Wrtość umerycz drugej pochodej: f ( 4 + 9) o Wrtość ścsł drugej pochodej: f ( x) x f ( x) f Numerycz wrtość jest wrtoścą ścsłą Ne jest to przypdek, gdyż fktycze dl fukcj prolczej f ( x ), węc łąd wyku ε Fukcj testow: f ( x) x o Wrtośc węzłowe: f, f 8, f 7 + + o Wrtość umerycz drugej pochodej: f ( 8 + 7) o Wrtość ścsł drugej pochodej: f ( x) x f ( x) 6x f 6 Numerycz wrtość e jest wrtoścą ścsłą Błąd wyku ( ε f 6) 4 jest w tym przypdku różcą ezwzględą mędzy wrtoścą umeryczą ścsłą Metod współczyków eozczoych, oprt rozwęcu w szereg Tylor m wele zlet Jedą z ch jest możlwość łtwego oszcow łędu wzoru różcowego Metod pozwl róweż udowe opertorów różczkowych dowolej postc, p d d L c,,, c dx + dx + R poprzez przylże ch wrtośc w węźle () wzorem terpolcyjym oprtym trzech węzłch: L u Lu α u + β u + γ u + + ą cechą tk udowych wzorów różcowych jest to, ż mogą oe zowć e tylko wrtoścch smej fukcj w węzłch, le tkże ch kolejych pochodych (yle e wyższych ż jwyższy rząd pochodej występującej w opertorze różczkowym) Wrtośc pochodych fukcj w węzłch (lu wet wrtośc cłych opertorów różczkowych) zywe są uogóloym stopm swoody Przykłd Zleźć umeryczą wrtość opertor różczkowego 4 L u u + u u z pomocą stępującego wzoru różcowego Lu αu + βu + γ u dl zdej kofgurcj węzłów jk rys Wzór sprwdzć dl fukcj testowych x, x Określć dokłdość tkego wzoru h h
Rozwęce wrtośc węzłowych w szereg Tylor przemożee rozwęć przez odpowed współczyk: u u h u + ( h) u + / α u u / β u u + h u + / γ Ostte rówe to rozwęce wrtośc perwszej pochodej Zjduje sę je poprzez rozwęce smej wrtośc fukcj: u u + h u + h u + stępe różczkuje sę je strom (tk, y otrzymć po stroe lewej perwszą pochodą) opuszczjąc wyrzy rzędu wyższego ż drug Dode rozwęć strom: α u + β u + γ u u α + β + u h α + γ + u h α + h γ ( ) ( ) ( ) orz zstąpee (w przylżeu) wzoru różcowego (lew stro) wrtoścą opertor różczkowego: α u + β u + γ u u ( α + β ) + u ( h α + γ ) + u ( h α + h γ ) L u u + 4u u ~ + + + + + + u 4u u u( α β ) u ( h α γ ) u ( h α h γ ) prowdz, po przyrówu współczyków przy fukcj odpowedch pochodych do końcowego ukłdu rówń lgerczych: 4h α 4h α + β + + h α + γ 4 β 4h h α h γ + + 4h γ h 8h 4 h Końcow postć wzoru różcowego: 4h 8h + + 4h + 4h + 4 + + Lu u u u Lu u u u 4h 4h h Dokłdość wzoru: h ε ( h) ( h) u α + h u γ u ( + 8 h) 6 4
Sprwdzee dl jedomów: (przyjęto: x, x, x 4 h ) dl u( x) x ( u ( x) x, u ( x), u ( x) ) Wrtość ścsł: u 9, u 6, u L u 9 + 4 6 Wrtość umerycz: 4 + 4 8 4 u, u 9, u 8 Lu + 9 + 8 4 4 Błąd wyku: ε ( + 8) dl u( x) x ( u ( x) x, u ( x) 6 x, u ( x) 6 ) Wrtość ścsł: u 7, u 7, u 8 L u 7 + 4 7 8 Wrtość umerycz: 4 + 4 8 4 u, u 7, u 48 Lu + 7 + 48 55 4 4 Błąd wyku: ε 6 ( + 8) 55 Opertory różcowe moż też udowć metodm proksymcj fukcj dyskretej, p jlepszej proksymcj Wyk mogą sę różć od wyków pochodzących z terpolcj (zwłszcz, jeżel w tzw gweźdze, czyl kofgurcj węzłów jest dmr węzłów w stosuku do ezędej lczy formcj potrzeej do zudow odpowedego opertor) Techką powszeche używą w metodch dyskretych do rozwązyw rówń różczkowych rzegowych (zwłszcz w ezstkowej metodze różc skończoych BMRS) służącą do geercj kompletów wzorów różcowych jest techk proksymcj MWLS (g Movg Weghted Lest Squres) techk jmejszych wżoych kroczących kwdrtów NUMERYCZNE CAŁKOWANE FUNKCJ Tk jk wykem umeryczego różczkow ył wrtość dowolej pochodej w kokretym węźle (lu w dowolym pukce), tk wykem cłkow umeryczego e jest fukcj ltycz, jedye wrtość lczow cłk Stąd oczywsty wosek, ż umeryk pozwl olcze przede wszystkm cłek ozczoych (lcz) w dowolym przedzle (, ) Wzory cłkow umeryczego, zwe kwdrturm, pozwlją olczee (w przylżeu) wrtośc cłk: f ( x) dx N początek zkłdmy, ż grce cłkow są skończoe, fukcj podcłkow e m w przedzle (, ) osolwośc (jest cągł) tzw cłk włścw Wzory te dzelmy dwe główe grupy: 5
kwdrtury Newto Cotes, polegjące zstąpeu fukcj podcłkowej welomm corz to wyższych rzędów w przedzle podzeloym odck rówej długośc, kwdrtury Guss, polegjące zstąpeu fukcj podcłkowej welomm ortogolym w tk sposó, y wzór ył ścsły dl welomu możlwe jwyższego rzędu Po zstąpeu fukcj podcłkowej welomem, łtwym do scłkow, otrzymujemy wzór cłkow, zujący wrtoścch fukcj w przedzle (, ) Kwdrtury Newto Cotes Fukcj podcłkow jest proksymow przez welomy corz to wyższych rzędów w przedzle (, ) podzeloym odck o rówej długośc (podzł rówomery) Złożee: x x x x h cost + Przedzł (, ) dzelmy podprzedzły o rówej długośc puktm x,,,,,, x + ph, x + qh, p, q Budujemy welomy Lgrge : ( ) ( ) ( ) j ( ) j ( + ) j ( ) j j j f x dx L x f dx L x f dx Wprowdzmy deks s tk, że x x + sh q q q ( ) ( ) ( + ) j j j j k ( ) ( ) p j p k j k p k k j k j k j x + sh x + kh s k s k f hds h f ds h f ds x + jh x + kh j k j k s j Wprowdzmy współczyk lczowe α j s k h α j q s k! j s j ds p j k s j k p k k j j q ( ) k h ds, j,,, Osttecz postć kwdrtury α j j ( + ) j f ( x) dx f + E, E, gdze łąd E wyku wyrż sę wzorem: 6
m r + k + h ( + ) f ( ξ ) ( s k) ds, dl eprzystych ( ξ, ) ( + )! r+ k E + m k r h ( + ) f ( η) ( s k ) ds, dl przystych ( η, ) ( + )! k α Tel współczyków wzorów Newto Cotes h j j j j łąd zw wzoru h f ( ξ ) wzór trpezów 4 5 V h f ( ξ ) wzór Smpso 9 5 V h f ( ξ ) 8 9 8 9 8 8 Szczególe korzysty w zstosowch jest wzór Smpso ze względu podwyższoą dokłdość Trzy perwsze kwdrtury Newto Cotes to jpowszechej używe wzory cłkow umeryczego 8 y f ( x) y f ( x) f y f ( x) f f c f f f h h h h x x x Wzór prostokątów Wzór trpezów Wzór Smpso Wzór prostokątów f ( x) dx f ( ) dx f x f ( ) f h Wzór trpezów h x x h f ( x) dx f ( ) + f ( ) dx ( f + f) x h Wzór Smpso 7
() + () () h f ( x) dx f ( ) L ( x) + f ( ) L ( x) + f ( ) L ( x) dx ( f + 4 fc + f ) + c, h W prktyce e używ sę już wzorów wyższego rzędu, tomst stosuje sę powyższe trzy wzory skch rzędów (zwłszcz wzór Smpso) w podprzedzłch wykjących z podzłu wyjścowego przedzłu (, ) Powstją w te sposó tzw wzory złożoe cłkow lość podzłów e jest z góry złożo, leży ją dorć tercyje ze względu żądą dokłdość wyków ε Przykłd Podą cłkę + xdx olczyć umerycze stosując wzory Newto Cotes proste złożoe (dw podzły) Z kżdym rzem porówć otrzymy wyk umeryczy z rozwązem ltyczym Wyk ltyczy + x dx ( + x) 895 Proste wzory cłkow ( przedzł) 895 p f h + 895 t p ( ), ε % % 8% f ( ) + f ( ) + h ( + + + ) 77, t 77 895 ε % % % 895 + 4 + ( ( ) 4 ( ) ( )) ( 4 ) S f + f c + f + + + + + 8866, 6 6 6 S 8866 895 ε % % 7% 895 Złożoe wzory cłkow ( rówe przedzły, h ) p f () + f () + + + + 7, p 7 895 ε % % 87% 895 8
t () ( ) ( ) () f + f + f + f + + + + + + + 4 4 596 895 + + 4 895 t ( ) 596, ε % % % 5 7 S () 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) () 4 4 f + f + f + f + f + f + + + + 4 4 4 4 4 4 8945 895 ε 895 t 8945, % % 5% Kwdrtury Guss We wzorch Guss zstępujemy cłkę ltyczą w przedzle, komcją lową wrtośc fukcj podcłkowej f ( x ) w tzw puktch Guss x (węzły cłkow) orz wg lczowych ω N f ( x) dx ω f ( x ) N ozcz lość puktów Guss (jk róweż wg) Wg węzły cłkow ustl sę według zsdy, y wzór cłkow przylżoy ył wzorem ścsłym dl welomu możlwe wysokego stop N N k k k + ω ω k + f ( x ) x x dx ( ), k,,,, N Np dl N (wzór dwupuktowy Guss) k ω + ω k ω x + ω x k ω x + ω x k ω x + ω x ω ω x, x W prktyce wg puktów Guss e zjduje sę w powyższego wruku Pochodzą oe mowce od rodzy pewych welomów ortogolych (z wgą) w przedzle, Wtedy pukty Guss są ch mejscm zerowym Powyższe lczy pochodzą od tzw welomów Legedre wtedy wzory Guss zywe są wzorm Guss Legedre Wrtośc wg mejsc zerowych tych welomów są tlcowe, tk jk ych kwdrtur wykorzystujących welomy ortogole 9
Tlc rodzy wzorów Guss Legedre Stopeń welomu Mejsc zerowe welomów Legedre Legedre x Wg ±, 4, ± 5 ± 99846 ± 8666 ω 8 5 5,, 9 9 9 6545549 47854845 W ogólym przypdku lczymy cłkę z dowolego przedzłu (, ) Koecz jest węc trsformcj low mędzy dym przedzłem przedzłem, zstosowć powyższe de z tel, oowązujące tylko w tym przedzle Nech f ( z) dz, z (, ) Wzory trsformcję (, ), z ( + ) + x z x + dx dz dz dx, tk y moż yło N dz + f ( z) dz f ( z( x)) dx f ( x ) dx f ( x) dx ω f ( x ) dx + Przykłd Olczyć cłkę z poprzedego przykłdu dwupuktowy trzypuktowy + z x + x +, dx dx + z dz x + dx + z dz stosując wzory Guss:
Wzór dwupuktowy: G + + 98, + G 98 895 ε % % 5% 895 Wzór trzypuktowy: G 8 5 5 + + + + + 895, 9 9 5 9 5 G 895 895 ε % % 7% 895 Wszystke omwe powyżej wzory cłkow umeryczego dotyczyły przypdków eosolwych, tz tzw cłej włścwych steją też cłk ewłścwe, gdy jed z grc cłkow to eskończoość (ewłścwość rodzju) lu steje osolwość fukcj podcłkowej w jedej z grc (ewłścwość rodzju) W tych przypdkch ogół e d sę stosowć ezpośredo wzorów cłkow umeryczego, leży dodtkowo przeksztłcć cłkę ltycze W przypdku eskończoośc w jedej z grc wzory Newto Guss są ezużytecze, o e d sę wprowdzć węzłów cłkow do przedzłu eskończoego W drugm przypdku osolwośc fukcj podcłkowej w jedej z grc e moż stosowć wzorów Newto gdyż wymgją oe zjomośc wrtośc fukcj podcłkowej w jedej z grc jest o rów eskończoośc Wzory Guss moż stosowć, gdyż węzły cłkow pochodzą wtedy z wętrz przedzłu e trfją pukt osolwy Cłk ewłścwe rodzju Moż je przedstwć w postc ogólej f ( x) dx Altycze rozwąze wymg lcze grcy f ( x) dx F( x) lm F( x) F( ) Numerycze rozwąze wymg podstwe typu t Wtedy korzystjąc z twerdze x o zme grc otrzymuje sę owe, skończoe grce cłkow t t( ), t t( ) Postć cłk dje sę już do cłkow umeryczego x dx f ( x) dx f ( x( t)) dt dt
Wyjątkowo złoślw jest stępując cłk osolw f ( x) dx Propoowe podstwee e odese żądego skutku, dltego ż powrót dostemy grcę cłkow rówą eskończoośc t t( ), t t( ) (!) Dltego też leży p rozłożyć cłkę dwe cłk skłdowe, tk, y cłk ewłścw mł drugą grcę różą od zer f ( x) dx f ( x) dx + f ( x) dx Perwszą cłkę olczmy umerycze ezpośredo, drugą skłdową po opsym wyżej podstweu Cłk ewłścwe rodzju Ogól postć cłk: f ( x) dx, k R, k k ( x ) Ay pozyć sę osolwośc, leży usuąć ją z mowk fukcj podcłkowej Moż to zroć róweż przez podstwee, le łtwejsze ędze w tym przypdku zstosowe twerdze o cłkowu przez częśc f ( x) f '( x) Cłkowe przez częśc: f ( x) g '( x) dx [ f ( x) g( x) ] f '( x) g( x) g '( x) g( x) W omwym przypdku dl k f ( x) f '( x) f ( x) dx f ( x) x f '( x) x dx g( x) x x x Ostt cłkę moż polczyć umerycze ez żdych trudośc Dl ych wrtośc k leży powtórzyć cłkowe przez częśc tk, y otrzymć w końcu cłkę włścwą Przypdek szczególy k doprowdz do fukcj logrytmczej, któr ędze mł zowu osolwość dl x Tką cłkę leży olczć kwdrturm Guss Przykłd 4 dz Olczyć umerycze stępujące cłk ewłścwe orz z Wyk ltycze dz z ( + ) z z x ( x) dx xdx + dx ( x) + ( x) x + x x x x
Przeksztłce ltycze (dl olczeń umeryczych) t z t( ) dz z t dt t ( ) t dt z t dz t dt t() f ( x) x f '( x) x (x x) xdx xdx '( ) x g x x x Olcze umerycze (wzór dwupuktowy Guss) t( x) x + dt dx ( ) 854 4 4 t + dt dx x + + + G 854 ε % % 74% t( x) x + tdt tdt 47775 + xdx + + + dt dx G 47775 ε % % % V NUMERYCZNE ROZWĄZYWANE PROBLEMÓW POCZĄTKOWYCH Ogóle sformułowe prolemu początkowego ( ) d y ( ) f ( x, y, y ',, y ), x (, ) ( ) dx y( x ) y, y '( x ) y ',, y ( x ) y ; x (, ) ( ) ( ) Szczególym przypdkem prolemu początkowego jest rówe różczkowe rzędu perwszego z wrukem ewdomą fukcję Rów wyższych rzędów sprowdz sę do rów rzędu perwszego rozwązuje ezleże dy f ( x, y), x (, ), y( x ) y ; x (, ) dx Metody umerycze pozwlją wyzczee zoru wrtośc dyskretych fukcj ewdomej y y( x) począwszy od puktu początkowego x Zór pr ( x, y ) wyzcz sę z stępujących zleżośc (dl węzłów rówoodległych x x x x h cost ) +
x+ x + h x + h x+ y+ y + f ( t, y) dt y + y, y y( x) x Cłkę ozczoą przez y olcz sę umerycze róże sposoy W zleżośc od sposou jej olcz metody umerycze do rozwązyw zdń początkowych moż podzelć jedokrokowe y y ( f ), f f ( x, y ) (wrtość delty zleży tylko od jedego puktu wstecz) welokrokowe y y ( f, f, f,) (wrtość delty zleży od klku puktów wstecz) klsyfkcj dotyczy tzw jwośc metod Przedstwoe wyżej wzory dotyczyły metod jwych (otwrtych, ekstrpolcyjych) wrtość y + lczo jest podstwe zych wrtośc fukcj dych lu olczoych wcześej w poprzedch puktch - y y ( f, f, f,) Ntomst ą grupę metod stową rdzo dokłde metody ejwe (zmkęte, terpolcyje), gdze wrtość y + zleż jest od see smej poprzez deltę y y ( f+, f, f,) Olcz sę ją stosując metody tercyje, strtujące () ze wstępego określe wrtośc y + zego z metody jedo- lu welokrokowej otwrtej Metody jedokrokowe Metod Euler (metod t zkłd stłość fukcj y(x) odcku ( x, x + ) ) y y + h + f ( x, y ) Metod ulepszo Euler y+ y + h f ( x, y ) f + f+ fɶ y+ y + h fɶ Metod Rugego Kutty rzędu K h f ( x, y ) K h f ( x + h, y + K ) y+ y + ( K + K ) Metod Rugego Kutty V rzędu K h f ( x, y ) K h f ( x + h, y + K) 4
K h f ( x + h, y + K) K h f ( x + h, y + K ) 4 y+ y + ( K + K + K + K4 ) 6 Metody welokrokowe Metod Adms Bshforth (metod otwrt) j ( ) ( ) ( ) ( ) + + j j + + + + j y y h f L y h ( f L f L f L ) Tel współczyków wzorów Adms Bshforth / h / k 5 55 59 7 9 4 4 4 4 h Np dl : y+ y + ( f 6 f + 5 f ) Metod Adms Moulto (metod zmkęt) j ( ) ( ) ( ) ( ) + + j+ j+ + + + + + + + + j y y h f L y h ( f L f L f L ) Tel współczyków wzorów Adms Moulto / h / k 5 8 9 9 5 4 4 4 4 h Np dl : y+ y + (5 f+ + 8 f f ) 5
Przykłd 5 Zleźć wrtość fukcj f (), jeżel f f + + x f h ', (), metodą Rugego - Kutty 4 rzędu x f f x f F x f f x h, ( ) (), (, ) + +, K h F( x, f ) F(,) + + 5 5 K h F( x + h, f + K) F( +, + ) + + 4 5 4 9 K h F( x + h, f + K) F( +, + ) + + 4 8 64 9 7 4967 K4 h F( x + h, f + K) F( +, + ) + + 64 64 64 64 5 9 4967 f+ f + ( K + K + K + K4) + ( + + + ) 8548869 6 6 4 64 64 64 Prktycze stosowe metod zmkętych (zzwyczj welokrokowych) wąże sę z stępującym lgorytmem tercyjym zwym zwyczjowo metodą predyktor korektor Poleg o zlezeu klku perwszych wrtośc fukcj metodą jedokrokową wysokego rzędu (p metodą Rugego Kutty V rzędu), stępe wstępego określe (predykcj stąd zw predyktor ) szukej, stępej z kole wrtośc fukcyjej z pomocą wzoru otwrtego welokrokowego Wrtość t służy jko pukt strtowy dl metody welokrokowej zmkętej, któr tercyje poprw (stąd zw korektor ) szuką wrtość ż do osągęc wymgej dokłdośc Dl przykłdu rozwżmy rówe początkowe rzędu perwszego dy f ( x, y), x (, ), y( x) y; x (, ) dx Dwe perwsze wrtośc fukcyje zlezoo stosując metodę Rugego Kutty rzędu V y y( x ) z wruku początkowego y y + y z metody Rugego - Kutty Vrzędu y y + y Wrtość y, dokłdej jej zerowe przylżee zlezoo korzystjąc z metody Adms Bshforth rzędu () h y y + ( f 6 f + 5 f), f f ( x, y ),,, 6
Nstępe posłużoo sę odpowedm schemtem zmkętym (metod Adms Moulto rzędu ) ukłdjąc w te sposó procedurę tercyją, kotrolową przed wruek zeżośc podstwe zej dokłdośc wyku ε f ( ) ( ) f ( x, y ),, ; k + h k () y y + (5 f + 8 f f ),, gdze dl k wyk y ( k ) ( k ) f f ( x, y ) pochodz z poprzedej metody (z predyktor) Wyk poprwmy sprwdzjąc kżdym kroku wruek zeżośc y y ( k + ) ( k ) ( k + ) y ε Gdy wyk sę ustlzuje, moż przejść do olcz stępej wrtośc fukcj y4 w te sm sposó, co powyżej V NUMERYCZNE ROZWĄZYWANE PROBLEMÓW BRZEGOWYCH Podstwową różcą mędzy prolemem początkowym rzegowym jest sposó określe wruków W proleme początkowym wruk (początkowe) łożoe yły fukcję ewdomą jej koleje pochode ż do odpowedego rzędu w jedym, wyrym pukce oszru W prolemch rzegowych ogół mmy do czye ze zorem puktów, w których de są wrtośc fukcj lu jej pochodych Metody umerycze do rozwązyw oydwu prolemów dmetrle różą sę od see Prolemy początkowe umerycze prowdzły do zleze tlcy wrtośc fukcj pukt po pukce zczyjąc od puktu z wrukem początkowym W metodch dyskretych do lzy zdń rzegowych otrzymujemy dl zdego zoru puktów (węzłów) ukłd rówń, z którego jedocześe otrzymujemy wrtośc we wszystkch ewdomych węzłch Nezwykle wżą rzeczą jest sposó sformułow prolemu rzegowego Ogóle kżdy zps prolemu, w którym występuje ez fukcj jest dopuszczly, le w zgdech fzyk mechk fukcjoują od lt dw zsdcze typy sformułowń rzegowych lokle glole Róweż od sformułow zleży sposó otrzym jkość wyku różcowego Zgdee (prolem) rzegowe: dy jest oszr Ω, w którym poszukwe jest rozwąze, ukłd rówń różczkowych cząstkowych orz wruk początkowo rzegowe łożoe zór puktów leżących do rzegu Ω oszru 7
Ω Ω W rozwżym oszrze poszukw jest fukcj u( x) w kżdym pukce P( x ) Moż stosowć stępujące sformułow zgdeń rzegowych: Sformułowe lokle (moce, sle): szuke jest rozwąze ukłdu rówń różczkowych w kżdym z puktów oszru osoo: Lu f dl P Ω Bu g dl P Ω P( x) gdze L B są opertorm różczkowym odpowedo w oszrze jego rzegu Rówe B u g dl P Ω os zwę wruków rzegowych Jeżel są oe łożoe fukcję (tz B ), oszą zwę podstwowych wruków rzegowych Drchlet, tomst dowol komcj wruków rzegowych złożo z pochodych os zwę os zwę turlych wruków rzegowych Neum Sformułowe glole: może yć formułowe jko prolem optymlzcj fukcjołu lu jko zsd wrcyj o Mmlzcj fukcjołu: ( u) B( u, u) L ( u) W fukcjołch eergetyczych perwszy skłdk prezetuje eergę wewętrzą ukłdu, podczs gdy drug jest rówy prcy wykoej przez sły zewętrze Nez fukcj u( P) może przedstwć soą przemeszcze u, odksztłce ε, pręże σ lu wszystke z ch Fukcj u relzując ekstremum (mmum, pukt stcjory) fukcjołu m ( u) jest szuk Moż rozwżć prolem optymlzcj fukcjołu ez ogrczeń (w cłej ( u) 8
przestrze rozwązń dopuszczlych) lu z ogrczem (ekstremum jest szuke w podprzestrze rzucoych ogrczeń) o Zsd wrcyj B( u, u) L ( u) dl u V W mechce powyższe rówe może meć ses p zsdy prc wrtulych Sformułowe wrcyje (tzw słe) m podstwowe zczee przy kostruowu rozwązń przylżoych Moż go uzyskć ze sformułow mocego w czterech krokch: Przemożee rów różczkowego przez dowolą fukcję (tzw fukcj testując), Przecłkowe wyku po rozwżym oszrze Ω, Cłkowe przez częśc z wykorzystem twerdze Gree w celu zredukow pochodych do mmlego rzędu, Wprowdzee do fukcjołu wruków rzegowych Neum Sformułow glole wymgją dodtkowego cłkow po oszrze Sformułowe wrcyje jest ogólejsze, gdyż możlwe jest w przypdku wszystkch zgdeń rzegowych, podczs gdy ułożee fukcjołu możlwe jest tylko dl ektórych zdń mechk, p dl zdń lowej sprężystośc (fukcjoł Lgrge, Hmlto, Resser, Cstglo, tp) Możlwe są róweż podejśc mesze, polegjące p podzle oszru Ω podoszry, gdze stosuje sę róże sformułow wrz z odpowedm wrukm ogrczjącym Budow rozwąz przylżoego prolemu rzegowego zleży przede wszystkm od wyrej metody dyskretej Moż wyróżć dwe główe kocepcje: Rozwąze dyskrete w postc komcj lowej współczyków lczowych orz fukcj zowych: p( x) ϕ ( x) + ϕ ( x) + + ϕ ( x) ϕ ( x) Fukcje zowe (jczęścej: welomy, fukcje trygoometrycze, fukcje specjle) muszą yć lowo ezleże, odpowedo cągłe orz muszą spełć jedorode wruk rzegowe rozwżego prolemu (jedorode wruk to tke, w których po prwej stroe sto, (p u( x), u ( x ) ) Przy tkm zpse postc rozwąz przylżoego moż szukć udując odpowede resdu, (czyl wyrże śwdczące o spełeu przez rozwąze przylżoe wyjścowych rówń różczkowych) odpowedo w oszrze rzegu: ε ( x) Lp( x) f, ε ( x) B p( x) g d Fukcjoł wżący powyższe wyrże m postć: ( p) ε dwd dω + εwd Ω Ω Ω 9
Wg wd wśwdczą o odejścu p(x) od wyku ścsłego odpowedo w oszrze jego rzeg Dl metod resduów wżoych (metod Buow - Glerk, metod jmejszych kwdrtów, metod kolokcj) metod eergetyczych (metod Rylegh Rtz) zkłd sę łąd rzegu ε (ścsłe spełee wruków rzegowych) rozwż jedye ( p) εdwd dω Odmeą kocepcję prezetują Ω tzw metody Trefz, w których zkłd sę ścsłe spełee rów wewątrz oszru rozwązń przylżoych poszukuje jego rzegu Rozwąze dyskrete w wyrych puktch oszru (lu/ jego rzegu) zwych węzłm W tej kocepcj ezęd jest dyskretyzcj oszru ( węzły, elemety tp), gdze zstępuje sę welkośc cągłe welkoścm dyskretym Numerycze wyk dyskrete moż proksymowć fukcją cągłą w rmch tzw postprocesgu Do tych metod leżą: metod różc skończoych (MRS, zm opertorów różczkowych różcowe, poszukwe wrtośc węzłowych fukcj szukej, proksymcj metodm jmejszych kwdrtów), metod elemetów skończoych (MES, podzł elemety proksymcj fukcjm ksztłtu) orz metod elemetów rzegowych (MEB, podzł rzegu odck, olcze cłek rzegowych) Przykłd 6 Belk swoode podprt ocążo ocążeem cągłym rówomere rozłożoym Sformułowe lokle: d M ( x) L ( x) w( x) f ( x) f ( x) x l dx EJ M ( x) qx( l x) w() w( l) Sformułowe glole: W postc fukcjołu: l dw M ( x) m ( w) ( w) [ ( ) w] dx, w() w( l) w dx EJ 4
W postc zsdy wrcyjej: l dw M ( x) [ + ] ( ), () ( ) v x dx w w l dx EJ v( x) fukcj pró, odpowedo cągl, spel wruk rzegowe: v() v( l) lu po przecłkowu przez częśc (sformułowe słe): l dw dv M ( x) [ v ( x )] dx, w () w ( l ), v () v ( l ) dx dx EJ Rozwąze przylżoe dl metod resdulych: Fukcje zowe: ϕ ( x) x( x l), ϕ ( x) x ( x l), Rozwąze próe: p( x) ϕ ( x) ϕ ( x) x ( x l) x ( x l) + +, Resduum w oszrze: ε d p( x) M ( x) ( x) (6x 4 l) qx( l x) dx + EJ + Dl metody Buow - Glerk: ε ( x) ϕ ( x) dx [ + (6x 4 l) qx( l x)] x( x l) dx, l l l l ε ( x) ϕ( x) dx [ + (6x 4 l) qx( l x)] x ( x l) dx Dl metody jmejszych kwdrtów: l (, ) ε ( x) ε ( x) dx m (, ) (, ) (, ) x l qx l x dx (, ) l l Dl metody kolokcj (pukty kolokcj: x, x ): l (, ) [ + (6 4 ) ( )], l ε ( x) δ ( x x ) dx + (6x 4 l) qx ( l x ) ε ( x ), l ε ( x) ε ( x) δ ( x x (6 ) dx + x 4 l) qx( l x) W metodze różc skończoych MRS wprowdzoo w rmch dyskretyzcj oszru węzły (ptrz: rysuek) Z trzech wrtośc węzłowych dwe z ch stową wruk rzegowe: 4
w w, pozostje do olcze wrtość w Przy sformułowu loklym zme opertor różcowy uleg opertor różczkowy drugą pochodą: d w w w + w w Lw Rów różcowe geeruje sę metodą kolokcj dx l x l (ścsłe spełee rów w węzłch oszru): w w + w ql Lw f w l EJ W sformułowu glolym moż ułożyć fukcjoł eerg potecjlej ukłdu Po jego dyskretyzcj (cłkowe kwdrturą Newto-Cotes mędzy węzłm) otrzymuje sę: w w w w l l ( w, w, w ) [( ) l + ( ) l ( M w + Mw ) ( Mw + M w ) ] l l EJ EJ Newdomą w (oczywśce w w ) otrzymuje sę mmlzując powyższy fukcjoł względem w : d ( w ) w dw Przy sformułowu wrcyjym słym (fukcj testow: v() v( l) ) od rzu otrzymuje sę gotowe rówe różcowe: w w v v w w v v l l l + l ( M w + Mw ) ( Mw + M w ) l l l l EJ EJ Podstwjąc w w orz v v przyrówując wyrżee stojące przy dowolym v do zer otrzymuje sę wrtość w Przykłd 7 Rozwązć rówe w'' + w w(), w(4) metodą różc skończoych ltycze Wyk sprwdzć ltycze dl x (olczyć ormę łędu) Rozwąze ltycze CO RJ w + w r + w x A x + B x - cłk ogól / : '' ( ) s( ) cos( ) CS / RNJ w ( x) C w ( x) + w ( x) C w ( x) - cłk szczegól S S S S w( x) w ( x) + w ( x) As( x) + B cos( x) + S w() B + A 8669 w(4) As(4) + B cos(4) + B w( x) 8669 s( x) cos( x) + 4
Rozwąze umerycze (metod różc skończoych MRS) w? w? w? w h h h h w 4 4 Wprowdzoo do oszru zd x, 4 pęć rówoodległych węzłów ( h ) Wruk rzegowe w w( x ), w4 w( x4 4) Przyjęto klsyczy opertor różcowy drugą pochodą (zudowy trzech węzłch) w w w + w h + Geercj rówń różcowych (techką kolokcj) w w + w + w w w + w w + w + w + w w w + w + w w w + w 4 w w w + + w + w, w4 w + w w w w + w w w w w Ścsłe wrtośc węzłowe (z rozwąz ltyczego) w () 86469, w () 499, w () 877 Norm łędu wyku umeryczego dl x : ε w() w 499 w() 499 % % 9% 4
Przykłd 8 Zleźć wrtośc węzłowe dl rów + f, h x y przy zerowych wrukch rzegowych fukcję 4 5 6 7 8 9 4 h h h h h h Zde rzegowe leży do dzedzy zdń dwuwymrowych, typu elptyczego Występujący w sformułowu prolemu opertor różczkowy zwe sę opertorem Lplce Mmo to metodolog postępow jest detycz jk w zdch jedowymrowych Oszr zd podleg dyskretyzcj wprowdzoo 5 węzłów umerowych od do 4 rówomere rozłożoych w oszrze (oszrze oydwu kerukch h ) z ch do węzły rzegowe, w których z wruków zd wdomo, że f Pozostłe węzły zwerją ewdome węzłowe wrtośc W zdu moż skorzystć z wruków symetr (symetr wyk z geometr oszru, postc wruków rzegowych postc fukcj prwej stroy rów różczkowego w oszrze) Uwzględjąc symetrę moż zpsć f f f f f4 f5 f9 f f f f f4 f f 8 6 Lcz ewdomych zostł węc zredukow do dwóch ( f6, f 7? ) Kolejym krokem lzy umeryczej prolemu rzegowego metodą MRS jest zstąpee w węzłch oszru opertor różczkowego odpowedm opertorem różcowym Opertor różcowy Lplce moż wygeerowć dowol metodą do udow schemtów różcowych (p metodą współczyków eozczoych omwą w rozdzle 44
) Moż róweż, korzystjąc z jego prostoty, stworzyć go z pomocą kompozycj odpowedch skłdowych opertorów go tworzących Osttecze rozwąze (,k+) h (-,k) h h (,k) h (+,k) (,k-) to stępujący wzór różcowy f ( + ) f f + f + f + f 4 f x y h ( + + ) (, k ) (, k ) (, k ) (, k ) (, k ) (, k ) (, k ) Po rz kolejy stosujemy techkę kolokcj do geercj ukłdu rówń różcowych Przykłdmy opertor Lplce w węzłch z ewdomym wrtoścm fukcj (6) (7) f + f7 + f + f 5 4 f6 5 f6 f7 4 f6 4 6 f f6 4 f7 6 f 7 f 8 f f6 4 f7 f + + + 4 45