FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI Niech i oznaczają dwa dowolne niepuste zbiory. DEFINICJA (odwzorowanie zbioru (funkcja)) Odwzorowaniem zbioru w zbiór nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie jednego elementu zbioru. Mówimy wtedy, że na zbiorze jest określona funkcja zmiennej, co zapisujemy w postaci: lub = () dla, gdzie symbol () oznacza wartość funkcji w punkcie. Zbiór X nazywamy dziedziną odwzorowania (funkcji) lub obszarem określoności funkcji i oznaczamy przez. Elementy x zbioru X nazywamy argumentami funkcji lub zmienną niezależną.
Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną i oznaczamy symbolem. Elementy y zbioru Y nazywamy wartościami funkcji lub zmienną zależną i oznaczamy przez =(). Zbiorem wartości () funkcji nazywamy zbiór tych wszystkich, dla których istnieje taki argument, że = (). = { = (), }. Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję, to zbiór tych argumentów, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
WCH ZTM dr Anna Niewulis Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych Ernst Mach
WCH ZTM dr Anna Niewulis Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych Ernst Mach
Wykresem funkcji, gdzie,, nazywamy zbiór wszystkich punktów postaci (,()), gdzie. UWAGA Wykres funkcji ma następującą własność: Każda prosta =, przecina wykres funkcji dokładnie w jednym punkcie. Miejscem zerowym funkcji, gdzie, nazywamy taką wartość argumentu, dla której () = 0. Znak funkcji Mówimy, że funkcja przyjmuje znak dodatni wtedy, gdy jej wykres leży nad osią, natomiast znak ujemny w przeciwnym przypadku.
WCH ZTM dr Anna Niewulis Potęga matematyki polega na pomijaniu wszystkich myśli zbędnych i cudownej oszczędności operacji myślowych Ernst Mach
Monotoniczność funcji Niech!. Funkcję : nazywamy: rosnącą w zbiorze!, jesli dla dowolnych argumentów, #! zachodzi: $ < & ( $ ) < ( & ). malejącą w zbiorze!, jesli dla dowolnych argumentów, #! zachodzi: $ < & ( $ ) > ( & ). nierosnącą w zbiorze!, jesli dla dowolnych argumentów, #! zachodzi: $ < & ( $ ) ( & ). niemalejącą w zbiorze!, jesli dla dowolnych argumentów, #! zachodzi: $ < & ( $ ) ( & ). stałą w zbiorze!, jesli istnieje taka liczba +, że dla dowolnego! zachodzi równość () =,. Funkcję nazywamy rosnącą (malejącą, nierosnącą, niemalejącą, stałą), gdy jest ona rosnąca (malejąca, nierosnąca, niemalejąca, stała) w swojej dziedzinie.
PRZESUWANIE WYKRESU FUNKCJI Wykres funkcji = () otrzymujemy przez odbicie symetryczne wykresu funkcji f względem osi. Wykres funkcji = ( ) otrzymujemy przez odbicie symetryczne wykresu funkcji f względem osi. Wykres funkcji = (.)+0 otrzymujemy przez przesuniecie wykresu funkcji y = f(x) o 1 jednostek w prawo dla 1 > 0 ( w lewo dla 1 < 0) oraz o 2 jednostek w górę dla 2>0 (w dół dla 2 < 0). Wykres funkcji = () otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi OX fragmentu wykresu funkcji = (), który znajduje sie pod osią OX. Część wykresu nad osią OX zostawiamy bez zmian. Wykres funkcji = ( ) otrzymujemy przez odbicie symetryczne względem osi OY wykresu funkcji =() narysowanego dla 0.
DEFINICJA (funkcji różnowartościowej) Funkcja jest różnowartościowa na zbiorze, jezeli: $, & 5( $ & ) ( $ ) ( & )7 UWAGA Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze X, gdy każda prosta pozioma przecina fragment wykresu leżący nad lub pod zbiorem X co najwyżej w jednym punkcie. DEFINICJA (funkcja na ) Funkcja odwzorowuje zbiór na zbiór, co zapisujemy : 89 :;, wtedy i tylko wtedy, gdy =, tzn. ()=
DEFINICJA (funkcja odwrotna) Niech funkcja : 89 :; będzie różnowartościowa na dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję : określoną następująco: $ (), = (), gdzie, UWAGA Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z wykresu funkcji odbijając go symetrycznie względem prostej =.
DEFINICJA (funkcja złożona) Niech,,?, będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych, przy czym? oraz niech :, @:?. Złożeniem funkcji i @ nazywamy funkcję @ : określoną wzorem: (@ )() @(()) dla
DEFINICJA (ilorazu różnicowego) Niech oraz niech funkcja będzie określona w pewnym otoczeniu punktu. Niech będzie przyrostem takim, że = + należy do tego otoczenia. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie odpowiadajacym przyrostowi, zmiennej niezależnej nazywamy liczbę: DEFINICJA ( C+ ) ( C ) Niech oraz niech funkcja będzie określona w pewnym otoczeniu punktu. Pochodną właściwą funkcji w punkcie nazywamy granicę właściwą ( C ) DEF C ( C G )( C ) UWAGA: ( C )=HIJ gdzie K oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji w punkcie L(,( )) i dodatnią częścią osi.
TWIERDZENIE Niech! oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego! funkcja f spełnia warunek 1. ()=0, to jest stała na A; 2. ()>0, to jest rosnaca na A; 3. () 0, to jest niemalejaca na I; 4. ()<0, to jest malejaca na A; 5. () 0, to jest nierosnaca na A.