Troszkę przypomnienia

Transkrypt

1 Troszkę przypomnienia Przesunięcie o wektor Przesunięcie funkcji o wektor polega na przesunięciu jej w układzie współrzędnych o określoną ilośc jednostek w poziomie oraz w pionie. Pierwsza współrzędna wektora określa przesunięcie w poziomie (jeśli jest ujemna to wtedy przesuwamy w lewo), druga spółrzędna wektora określa przesunięcie w pionie (jeśli jest ujemna to przesuwamy w dół). Np przesunięcie o wektor [-3,2] przesuwa funkcje o 3 jednostki w lewo oraz o 2 w górę. Przesuwając wykres funkcji y=f(x) o wektor [p,q] otrzymujemy wykres funkcji y=f(x-p)+q. Funkcja y=5x-2 po przesunięciu o wektor [-2,3] będzie miała wzór y=5(x+2)-2+3 y=5x+11 Wykres funkcji przedstawionej na rysunku obok został przesunięty o wektor [7,-2]. Przekształcenia symetryczne Funkcja symetryczna do funkcji y=f(x) względem osi x ma wzór y=-f(x). Np. y=x 2 +x, symetryczna: y=-x 2 -x.

2 Funkcja symetryczna do funkcji y=f(x) względem osi y ma wzór y=f(-x). Np. y=x 2 +x, symetryczna y=(-x) 2 -x y=x 2 -x. Funkcja symetryczna do funckji y=f(x) względem początku układu współrzędnych ma wzór y=-f(-x). Np. y=x 2 +x, symetryczna y=-[(-x) 2 -x] y=-[x 2 -x] y=-x 2 +x. Zadania powtórzeniowe. Przekształcanie wykresów funkcji. Zad. 1. Na podstawie wykresu funkcji f podaj: a) dziedzinę funkcji f b) zbiór wartości funkcji f c) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie d) maksymalne przedziały, w których funkcja f jest malejąca e) wartość wyrażenia f( 5) f(0) f(6) f) narysuj g(x)=f(x+1)-2 2. Wykres funkcji f(x) = (x 2) powstał w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji y = x 2 o wektor: a) u = [ 2, 1] b) u = [ 2, 1] c) u = [2, 1] d) u = [1, 2] 3. Dziedziną funkcji f jest zbiór 3, 2). Wykres funkcji f przekształcono przez symetrię osiową względem osi OY i otrzymano wykres funkcji g. Dziedziną funkcji g jest zbiór: a) 2, 3) b) ( 2, 3 c) ( 3, 2 d) 3, 2)

3 4. Funkcja y = f(x) ma dwa miejsca zerowe: 3 oraz 1. Funkcja y = f(x) ma dwa miejsca zerowe: a) 1 oraz 3 b) 1 oraz 3 c) 1 oraz 3 d) 1 oraz 3 5. Wykres funkcji y = 2x + 1 przekształcono przez symetrię środkową względem punktu O(0, 0) i otrzymano wykres funkcji opisanej wzorem: a) y = 2x 1 b) y = 2x + 1 c) y = 2x + 1 d) y = 2x 1 6. W trójkącie ABC dane są: A( 7, 1), B(5, 1) oraz BD = [ 9, 1], gdzie D to środek boku AC. a) Oblicz długość środkowej BD. b) Oblicz współrzędne wierzchołka C. c) Oblicz współrzędne punktu E tak, aby figura ABCE była równoległobokiem. 7. Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji f, której dziedziną jest zbiór 6, 6. Wykres funkcji f jest symetryczny względem osi OY. a) Uzupełnij brakujący fragment wykresu funkcji f. b) Naszkicuj wykres funkcji g, opisanej wzorem g(x) = f(x 3) + 1. c) Odczytaj z wykresu funkcji g zbiór rozwiązań nierówności g(x) < 0. d) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja g jest malejąca. e) Oblicz wartość wyrażenia g(8) g( 5) g(1). 8. Wykres funkcji o wzorze y = x przekształcono najpierw przez symetrię osiową względem osi OY, a następnie otrzymany wykres przekształcono przez symetrię środkową względem punktu O(0, 0) i otrzymano wykres funkcji y = g(x). a) Napisz wzór funkcji g. b) Naszkicuj wykres funkcji g. c) Czy otrzymalibyśmy ten sam wykres, gdybyśmy zmienili kolejność przekształceń? Odpowiedź uzasadnij. 1 d) Rozwiąż graficznie nierówność g( x) w przedziale (0, + ). x CZĘŚĆ II. 1. Dziedziną funkcji f jest przedział ( 4, 3). Zatem przedział ( 2, 5) jest dziedziną funkcji: a) y = f(x) + 2 b) y = f(x) 2 c) y = f(x 2) d) y = f(x + 2)

4 2. Wykres funkcji f(x) = x przesunięto o 3 jednostki w prawo, a następnie otrzymany wykres przekształcono przez symetrię środkową względem punktu O(0, 0). Otrzymano wykres funkcji opisanej wzorem: a) y = x + 3 b) y = x 3 c) y = x 3 d) y = x 3 3. Wykres funkcji y = f(x) otrzymamy: a) po przekształceniu wykresu funkcji f przez symetrię osiową względem osi OX b) po przekształceniu wykresu funkcji f przez symetrię osiową względem osi OY c) po przekształceniu wykresu funkcji f przez symetrię środkową względem punktu O(0, 0) d) po przesunięciu równoległym wykresu funkcji f o wektor u = [ 1, 0]. 4. W wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji f(x) = x 2 o wektor u = [1, 3] otrzymamy wykres funkcji g, opisanej wzorem: a) g(x) = x 2 + 2x 4 b) g(x) = x 2 4 c) g(x) = x 2 2 d) g(x) = x 2 + 2x 5 5. Funkcja f ma tę własność, że f(0) = 4 oraz f(1) = 3. Wiadomo, że g(x) = f( x). Zatem wartość wyrażenia g(0) + g( 1) wynosi: a) 1 b) 1 c) 7 d) 7

5 6. Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji f. a) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = f( x). b) Podaj zbiór rozwiązań równania g(x) = 2. c) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja g jest rosnąca. d) Rozwiąż graficznie nierówność g(x) 2x. 7. a) Wykres funkcji f(x) = x 1, gdzie x 0, przesunięto równolegle o wektor u = [ 2, 4] i otrzymano wykres funkcji g. Podaj wzór funkcji g, dziedzinę funkcji g oraz oblicz miejsce zerowe funkcji g. b) Jakich przekształceń należy dokonać, aby z wykresu funkcji f otrzymać wykres funkcji 1 h ( x) = 5? Wymień je w kolejności wykonywania. x Współrzędne końców odcinka AB wynoszą: A( 4, 2), B(6, 8). a) Oblicz długość wektora AB. PB 2 b) Wyznacz współrzędne punktu P, który tak dzieli odcinek AB, że =. AB 3