1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 15 Zadaia 1. Day odciek podzielić dwoma puktami a trzy części. Jakie jest prawdopodoieństwo, że z tych części da się zudować trójkąt? 2. Moetę o promieiu r rzucoo a parkiet utworzoy z przystających kwadratów o oku 2a. Oliczyć prawdopodoieństwo, że moeta przykryje częściowo przyajmiej dwa kwadrat, jeśli r < a. 3. W kwadrat wpisao trójkąt tak, że podstawa trójkąta jest podstawą kwadratu, a trzeci wierzchołek dzieli przeciwległy ok kwadratu a połowy. W trójkąt te wpisao koło. We wętrzu kwadratu pojawia się losowo pukt M. Zakładając, że prawdopodoieństwo pojawieia się puktu M w dowolym oszarze ależącym do kwadratu zależy jedyie od miary tego oszaru, oliczyć prawdopodoieństwo, że a) pukt pojawi się w kole, ) pukt pojawi się w kole przy założeiu, że pojawił się w trójkącie. 4. Na stół podzieloy a rówe prostokąte trójkąty róworamiee o ramioach a pada moeta o promieiu r. Oliczyć prawdopodoieństwo, że moeta ie przetie żadego oku trójkąta. Podać waruek a promień r. 1.5. Prawdopodoieństwo warukowe Czasami zdarza się, że iformacja o zajściu zdarzeia B ma wpływ a wartość oliczaego prawdopodoieństwa zdarzeia A. Przykład 1.9. Rzucamy dwiema kostkami. Oliczyć prawdopodoieństwo: a) zdarzeia A polegającego a otrzymaiu sumy oczek ie większej od czterech, ) zdarzeia B polegającego a otrzymaiu dwóch oczek co ajmiej a jedej kostce, c) zdarzeia polegającego a tym, że co ajmiej a jedej z kostek otrzymamy dwa oczka i że suma oczek ędzie ie większa od czterech, d) zdarzeia polegającego a tym, że suma oczek otrzymaych a ou kostkach ędzie ie większa od czterech, jeśli a jedej kostce otrzymao dwa oczka. Ad. a) Ziór podstawowy I zdarzeń elemetarych przy rzucie dwiema kostkami jest astępujący (36 zdarzeń): (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6). Zdarzeń sprzyjających zdarzeiu A jest 6: (1, 1), (2, 1), (3, 1), (1, 2), (2, 2),
16 I. Pojęcie i pewe własości prawdopodoieństwa (1, 3). 6 1 Z klasyczej defiicji prawdopodoieństwa mamy P( A) = =. Ad. ) 36 6 Zdarzeń sprzyjających zdarzeiu B jest 11: (1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6). Zatem PB ( ) = 11. 36 Ad. c) Zdarzeie, którego prawdopodoieństwo chcemy oliczyć polega a łączym zajściu zdarzeń A i B. Są 3 zdarzeia sprzyjające temu zdarzeiu: (1, 2), (2, 1), (2, 2). 3 1 Zatem P( A B) = =. 36 12 Ad. d) W tym przypadku ziorem podstawowym jest ziór tych par licz zdarzeń elemetarych zioru I, które zawierają co ajmiej jedą dwójkę. Mamy 11 takich par: (1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6). Sprzyjające są te pary licz, których suma jest ie większa od czterech. Są trzy takie pary: (1, 2), (2, 1), (2, 2). Szukae prawdopodoieństwo jest zatem rówe 3 11. Zdarzeie polegające a zajściu zdarzeia A, przy założeiu, że zaszło zdarzeie B ozaczamy symolem A B, a prawdopodoieństwo tego zdarzeia P(A B) azywamy prawdopodoieństwem warukowym. Dla zad. d) z przykładu 1.9 możemy apisać P( A B) = 3. 11 Niech ozacza liczość podstawowego zioru zdarzeń elemetarych, wśród których jest k zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzeia B oraz l zdarzeń sprzyjających zajściu zdarzeia A@B. Mamy l k l P( A B) =, PB ( ) =, P( A B) =, k
1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 17 gdyż podstawowy ziór zdarzeń dla zdarzeia A B ma k zdarzeń elemetarych (liczeość zioru B). Stąd Powyższy wzór jest podstawą defiicji prawdopodoieństwa w przypadku dowolego zioru zdarzeń elemetarych I. Defiicja 1.5. Prawdopodoieństwem warukowym P(A B) zdarzeia A przy założeiu, że zaszło zdarzeie B azywamy iloraz prawdopodoieństwa łączego zajścia zdarzeń A i B oraz prawdopodoieństwa zdarzeia B: Wzór te moża te apisać w postaci l l P A B PAB ( ) ( ) = = =. k k PB ( ) P( A B) P( A B) =, PB ( ) > 0. PB ( ) P( A B) = P( B) P( A B), (*) co czytamy: prawdopodoieństwo łączego zajścia zdarzeń A i B jest rówe iloczyowi prawdopodoieństwa zdarzeia B przez prawdopodoieństwo warukowe zdarzeia A przy założeiu, że zaszło zdarzeie B. Uogólieie wzoru (*) a większą liczę zdarzeń jest astępujące: P( A1 A2 A3 K A) = P( A1) P( A2 A1) P( A3 A1 A2) K P( A A1 A2 K A 1). Wyika to z kolejego posługiwaia się wzorem (*): P( A1 A2 K A ) = P( A1) P( A3 K A A1) = P( A1) P( A2 A1) P( A3 A4 K A A2A1) = K= P( A1) P( A2 A1) P( A3 A1 A2) K P( A A1 A2 K A 1). Przykład 1.10. Na każdej z pięciu kartek papieru apisao jedą z cyfr: 1, 2, 3, 4, 5. Poieramy losowo i ez zwrotu trzy kartki. Jakie jest prawdopodoieństwo zdarzeia A polegającego a tym, że suma otrzymaych cyfr ędzie liczą parzystą. Najpierw rozważmy to zadaia ez posługiwaia się prawdopodoieństwem warukowym. Zauważmy, że a parzystość sumy trzech cyfr ie ma wpływu kolejość składików. Poieważ losowaie odywa się ez zwracaia, więc cyfry w daej sumie ie ędą powtarzały się. Licza wszystkich możliwych 5 ziorów (trójek składików) jest rówa 10 Licza przypadków sprzyja- 3 =. jących jest rówa liczie sposoów wylosowaia dwóch cyfr spośród cyfr ieparzystych i jedej spośród parzystych, czyli 6 Stąd 3 2 2 1 =. 6 3 P( A) = =. 10 5
18 I. Pojęcie i pewe własości prawdopodoieństwa Rozważmy teraz to zadaie w oparciu o prawdopodoieństwo warukowe. Jeda kartka z cyfrą parzystą może wystąpić alo w pierwszym, alo w drugim, alo w trzecim losowaiu. Ozaczmy przez A k zdarzeie polegające a otrzymaiu cyfry parzystej w k-tym losowaiu (k = 1, 2, 3), a przez A k cyfry ieparzystej. Mamy P( A) = P( A1 i A2 i A3 alo A1 i A2 i A3 alo A1 i A2 i A3) = P( A1 i A2 i A3 ) + P( A1 i A2 i A3) + P( A1 i A2 i A3) = P( A1) P( A2 A1) P( A3 A1 A2) + P( A1) P( A2 A1) P( A3 A1 A2 ) 3 2 2 3 + P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2) = 3 = 5 4 3 5. Defiicja 1.6. Mówimy, że zdarzeie A jest iezależe od zdarzeia B, gdy zachodzi jede z dwu przypadków: a) P( A B) = P( A) i P( B) > 0, ) PB ( ) = 0. Jeżeli P( A B) > P( A), to mówimy, że zajście zdarzeia A wpływa pozytywie a zajście zdarzeia A, atomiast gdy P( A B) < P( A), to mówimy, że zajście zdarzeia B ma wpływ egatywy a zajście zdarzeia A. Przykład 1.11. W urie zajdują się 3 kule iałe i 4 kule czare.jakie jest prawdopodoieństwo zajścia zdarzeia B polegającego a otrzymaiu dwóch kul iałych, przy założeiu, że losujemy z ury dwa razy i po pierwszym losowaiu kula ie zostaje zwrócoa do ury? Ozaczmy: B 1 zdarzeie polegające a wylosowaiu kuli iałej za pierwszym razem, B 2 kuli iałej za drugim razem. Zdarzeie B 2 jest zależe od zaistieia zdarzeia B 1. Zajście zdarzeia B 1 zmiejsza szasę zajścia zdarzeia B 2, gdyż po wylosowaiu pierwszej kuli iałej zmiejsza się licza kul iałych w urie. Zajście zdarzeia B polega a łączym zajściu zdarzeń B 1 i B 2. Zatem 3 2 1 PB ( ) = PB ( 1 B2) = PB ( 1) PB ( 2 B1) = =. 7 6 7 Twierdzeie 1.16. Jeżeli zdarzeie A jest iezależe od zdarzeia B, to zdarzeie B jest iezależe od zdarzeia A. Dowód. Ze wzoru (*) mamy: a) P( A B) = P( B) P( A B), jeśli PB ( ) > 0, ) PB ( A) = PA ( ) PBA ( ), jeśli P( A) > 0. Na podstawie pierwszego przypadku w defiicji 1.6 i a) mamy c) P( A B) = P( B) P( A). Z ) i c) wyika, że P( A) P( B A) = P( B) P( A), o A B = B A.
1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 19 Dzieląc tę rówość przez P( A) > 0 otrzymujemy co, zgodie z defiicją 1.6, świadczy o iezależości zdarzeia B od A. Jeśli atomiast mamy przypadek, że PA ( ) = 0, to iezależość zdarzeia B od zdarzeia A wyika atychmiast a podstawie drugiego przypadku w defiicji 1.6. # Z twierdzeia 1.16 wyika, że własość iezależości zdarzeń jest symetrycza. Moża zatem sformułować Defiicja 1.7. O zdarzeiach A i B mówimy, że są wzajemie iezależe, gdy zachodzi jede z dwu przypadków: a) P( A) > 0 i P( B) > 0 oraz P( A B) = P( A), ) P( A) = 0 lu P( B) = 0. Waże (z uwagi a zastosowaia) jest astępujące twierdzeie: Twierdzeie 1.17. Na to, ay zdarzeia A i B yły iezależe potrzea i wystarcza, y Dowód. (waruek koieczy, tj. jeśli zdarzeia A i B są iezależe, to zachodzi podaa rówość) Na podstawie wzoru (*) mamy Jeśli zdarzeia A i B są iezależe oraz P( A) > 0 i PB ( ) > 0, to a mocy defiicji 1.7 mamy a zatem P( A B) = P( A) P( B). Gdy zdarzeia są iezależe wskutek faktu, że P( A) = 0 lu PB ( ) = 0, to poieważ A B A, z twierdzeia 1.11 otrzymujemy P( A B) P( A) = 0, czyli P( A B) = 0. Gdy P( A) = 0, to korzystamy z faktu, że A B B i otrzymujemy te sam wiosek. (waruek wystarczający, tj. jeśli P( A B) = P( A) P( B), to zdarzeia A i B są iezależe) Gdy P( A) > 0 i P( B) > 0, to z porówaia wzoru z wzorem (*) mamy PBA ( ) = PB ( ), P( A B) = P( A) P( B). P( A B) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B). PBA ( ) = PB ( ) i PAB ( ) = PA ( ), P( A B) = P( A) P( B) PBA ( ) = PB ( ) i PAB ( ) = PA ( ), co ozacza, że zdarzeia A i B są iezależe. Gdy rówość P( A B) = P( A) P( B) jest spełioa, o oie jej stroy są rówe zeru, to P( A) = 0 lu PB ( ) = 0, a to ozacza (zo. defiicja 1.7 p. )), że zdarzeia A i B są iezależe. # Z pojęcia prawdopodoieństwa warukowego korzysta się w twierdzeiu o tzw. prawdopodoieństwie zupełym (całkowitym). Twierdzeie 1.18. Jeżeli zdarzeia A 1, A 2,..., A tworzą układ zupeły zdarzeń, to prawdopo-
20 I. Pojęcie i pewe własości prawdopodoieństwa doieństwo dowolego zdarzeia B dae jest wzorem PB ( ) = PA ( ) PBA ( ). i = 1 Dowód. Niech B ozacza dowole zdarzeie ależące do algery S utworzoej w przestrzei I. Niech zdarzeia A 1, A 2,..., A tworzą układ zupeły zdarzeń, tz. A1 + A2 + K + A = I, przy czym Ai Aj = 0 dla i j (i, j = 1, 2,..., ). Pomóżmy oie stroy ww. rówości przez B: B ( A1 + A2 + K + A ) = B I. Na podstawie aksjomatu X algery mamy B @ I = B, a a podstawie aksjomatu IX mamy B ( A1 + A2 + K+ A) = B A1 + B A2 + K+ B A. Zatem A1 B+ A2 B+ K + A B = B. Wzór te ozacza, że zajście zdarzeia B jest rówoważe zajściu tego zdarzeia z jedym ze zdarzeń A 1, A 2,..., A. Zdarzeia A 1 @ B, A 2 @ B,..., A @ B wykluczają się parami, o ( A B) ( A B) = A A B = ( A A ) B = 0 B = 0 i j i j i j i i dla i j. Stąd Ze wzoru (*) dla każdego k = 1, 2,..., mamy jedak skąd wyika teza twierdzeia. P( B) = P( A B) + P( A B) + + P( A B). 1 2 K P( A B) = P( A ) P( B A ), k k k # Pojęcie układu zupełego zdarzeń moża rozszerzyć a przypadek algery prawdopodoieństwa [I, S, P.], gdzie ziór I może yć ziorem o dowolej liczie elemetów. Defiicja 1.8. Mówimy, że ciąg zdarzeń A i (i = 1, 2,...) ależących do algery S tworzy układ zupeły w szerszym sesie, jeżeli zdarzeia te wykluczają się parami, tj. oraz Uwaga: Różica między tą defiicją i defiicją ze skończoą liczą zdarzeń jest taka, że ie wymaga się, ay tz. może yć tak, że A A = 0 dla i j ( i, j = 1, 2, K) i j P A = 1 = 1. A = I, = 1
1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 21 = 1 A = I I, * yle tylko P I * = 0. Zaczeie zagadieia zależości zdarzeń jest waże dla tzw. łańcuchów Markowa (A. A. Markow, 1856 1922, matematyk rosyjski). Przypuśćmy, że przeprowadzamy serię kolejych doświadczeń i że są określoe prawdopodoieństwa, że w pierwszym doświadczeiu, zwaym rówież krokiem, pojawią się zdarzeia A 1, A 2,..., A s staowiące układ zupeły zdarzeń (zdarzeia A 1, A 2,..., A s azywa się też staami). Niech prawdopodoieństwa pojawieia się zdarzeń w drugim kroku zależą od tego jakie zdarzeie zaistiało w pierwszym kroku itd.. Tego rodzaju łańcuch kolejo realizowaych zależych doświadczeń azywa się skokowym łańcuchem Markowa. Łańcuch Markowa azywa się prostym, jeśli prawdopodoieństwa przyjęcia przez układ różych staów w każdym kolejym kroku zależy tylko od stau, który te układ przyjął w poprzedim doświadczeiu i ie zależy od wszystkich staów, które zaszły wcześiej. Przykład 1.12. Załóżmy, że przeprowadzamy serię kolejych doświadczeń tak, że w wyiku każdego z ich może zajść zdarzeie A lu zdarzeie przeciwe A. Ozaczmy te zdarzeia w -tym doświadczeiu przez A i A, a prawdopodoieństwa ich zajścia przez p i q, tz. p = P( A ), q = P( A ) = 1 p. Niech w przypadku zajścia zdarzeia A w -tym doświadczeiu prawdopodoieństwo zajścia zdarzeia A w ( + 1)-szym doświadczeiu rówa się a. W przypadku, gdy zdarzeie A ie zajdzie w -tym doświadczeiu, to iech prawdopodoieństwo jego zajścia w ( + 1)-szym doświadczeiu wyosi, tj. P( A A ) = a i P( A A ) =. + 1 + 1 Należy wyzaczyć prawdopodoieństwo p zajścia zdarzeia A w -tym doświadczeiu zając p 1, a i. Zdarzeie A +1 realizuje się łączie z jedym z dwóch zdarzeń wykluczających się A i A, tj. A = A A + A A + 1 + 1 + 1. Na mocy twierdzeia 1.18 mamy P( A ) = P( A ) P( A A ) + P( A ) P( A A ). + 1 + 1 + 1 Korzystając z przyjętych ozaczeń możemy apisać p+ 1 = p a+ q = p a+ ( 1 p) = p ( a ) +. Napiszmy te wzór dla = 1, 2, 3,.... Mamy
22 I. Pojęcie i pewe własości prawdopodoieństwa p2 = p1 ( a ) + 1 a+ = p1 ( a ) + 1 a+ a = p1 a + ( ) ( ) 1 a + 1 a+ = p1 ( a ) +, 1 a + 1 a + p3 = p2 ( a ) + = p1 ( a ) + a 1 a + 1 a + ( ) + 2 = p1 ( a ) +. 1 a + 1 a + Załóżmy, że Pokażemy, że Mamy p p 1 = p1 ( a ) +. 1 a + 1 a + + = p 1 1 ( a ) +. 1 a+ 1 a + p+ 1 = p ( a ) + 2 2 a + a + = p a + 1 ( ), 1 a + 1 a + co po redukcji kończy dowód. Uzyskay tu ciąg prawdopodoieństw jest ajprostszym przypadkiem łańcucha Markowa (o w każdym kroku zachodzą tylko dwa zdarzeia). Po przejściu do graicy, gdy 6 4, mamy p = lim p =. 1 a + Zauważmy, że wartość p ie zależy od prawdopodoieństwa p 1. Przykład 1.13. (praktyczy) Niech prawdopodoieństwo, że po wyjeździe z domu apotkamy a pierwszym skrzyżowaiu zieloy sygał świetly ędzie rówe 0,5. Sygalizacja jest tak ustawioa, że w przypadku zatrzymaia się a dowolym skrzyżowaiu przy świetle czerwoym prawdopodoieństwo tego, że a astępym skrzyżowaiu zastaiemy światło zieloe jest rówe 0,95, a prawdopodoieństwo tego, że jeśli a dowolym skrzyżowaiu ędziemy mieli światło zieloe, to a astępym też ędzie zieloe wyosi 0,3. a) Oliczyć prawdopodoieństwo, że po wyjeździe z garażu a trzecim skrzyżowaiu ędzie światło zieloe.
1.5. Prawdopodoieństwo warukowe 23 ) Oliczyć prawdopodoieństwo graicze. Ad. a) Na podstawie wzoru z poprzediego przykładu mamy p 2 = p ( a ) + 1 a + 1 a + 095, 2 095, = 05, ( 03, 095, ) + 0, 608. 1 03, + 095, 1 03, + 095, 3 1 Ad. ) p = a + = 095, 1 0, 576. 1 03, + 095, Zadaia 1. (porówaj zadaie 3 po pukcie 1.2) Mamy dwie ury z kulami: urę I zawierającą 6 kul iałych i 3 kule czare oraz urę II, w której zajduj się 4 kule iałe i 6 kul czarych. Zakładając, że po każdym losowaiu ie zwracamy kuli, oliczyć prawdopodoieństwo wylosowaia a) dwóch kul iałych, jeśli losujemy z ury I, ) dwóch kul czarych, jeśli losujemy z ury I, c) trzech kul iałych, jeśli losujemy z ury II, d) trzech kul czarych, jeśli losujemy z ury II, e) dwóch iałych i jedej czarej, jeśli losujemy trzy kule z ury I, f) dwóch kul jedej iałej i jedej czarej, jeżeli losujemy po jedej kuli z każdej ury, g) dwóch kul jedej iałej i jedej czarej, jeżeli losujemy tylko z jedej ury, lecz ie wiadomo z której, h) trzech kul jedej iałej i dwóch czarych, jeżeli losujemy z ury I, i) trzech kul jedej iałej i dwóch czarych, jeżeli losujemy z jedej ury, ale ie wiadomo z której. 2. W każdej z pięciu ur pierwszej serii zajdują się 4 kule iałe i 6 czarych, a w każdej z ośmiu ur drugiej serii zajduje się 9 kul iałych i 7 czarych. Sięgamy losowo do jedej z ur serii i wyciągamy jedą kulę. Jakie jest prawdopodoieństwo, że wyciągięta kula ędzie iała? 3. W każdej z dwu ur typu A 1 zajdują się 2 kule iałe i 8 czarych, w każdej z siedmiu ur typu A 2 zajduje się 6 kul iałych i 4 czare, a w jedej urie typu A 3 zajduje się 9 kul iałych i 1 kula czara. A. Sięgamy losowo do jedej z ur jedego z typów i wyciągamy jedą kulę. Jakie jest prawdopodoieństwo tego, że wyciągiemy iałą kulę. B. Porao losowo 3 kule ze zwracaiem. Oliczyć prawdopodoieństwo tego, że co ajmiej jeda kula ędzie czara. C. Ile razy ależy losować kulę ze zwracaiem, ay z prawdopodoieństwem 0,95 moża yło twierdzić, że ie otrzymamy wszystkich kul iałych? 4. Z talii 52 kart wylosowao kartę i ie oglądając jej wsuięto do drugiej takiej samej talii kart,
24 I. Pojęcie i pewe własości prawdopodoieństwa po czym karty potasowao. Z powiększoej o jedą kartę talii wylosowao zów jedą kartę i, ie oglądając jej, włożoo do trzeciej talii 52 kart, tasując ją potem. Jakie jest prawdopodoieństwo wylosowaia damy z trzeciego zioru kart? 5. Z talii 52 kart losujemy dwie karty ez zwrotu. Jakie jest prawdopodoieństwo wylosowaia asa pozostałych 50 kart, jeżeli ie wiadomo, jakie karty zostały uprzedio wyciągięte? 6. Mamy trzy maszyy typu A, pięć maszy typu B i dwie maszyy typu C. Każda z ich produkuje tę samą ilość towaru i dla typu A mamy: 50% wyroów I gatuku, 45% wyroów II gatuku, resztę staowią raki; dla typu B: 80% wyroów I gatuku, 17% wyroów II gatuku, resztę staowią raki; dla typu C: 30% wyroów I gatuku, 69% wyroów II gatuku i 1% raków. A. Poieramy losowo po jedej sztuce z każdego typu maszy. Oliczyć prawdopodoieństwo tego, że dwie sztuki ędą pierwszego, a jeda drugiego gatuku. B. Poieramy losowo 3 sztuki ze zwrotem. Oliczyć prawdopodoieństwo, że dwie sztuki ędą drugiego gatuku. 7. Rzucoo trzy kości do gry. Jeżeli a żadej z ich ie wypadie ta sama licza oczek, to jakie jest prawdopodoieństwo, że przyajmiej a jedej z ich wypadie jedo oczko? 8. Z ury, w której jest kul iałych i c kul czarych wyjęto jedą kulę i ie oglądając jej wrzucoo do drugiej ury, w której jest 1 iałych i c 1 czarych kul. Jakie jest prawdopodoieństwo wylosowaia kuli iałej z drugiej ury? 9. W skrzyi mamy 8 szpul ici iałych, 5 czarych 4 zieloych. Oliczyć prawdopodoieństwo, że przy trzykrotym losowaiu otrzymamy dokładie dwie szpule ici tego samego koloru, jeśli losowaie odywa się ze zwracaiem. 10. Dwaj zawodicy A i B grają w warcay. Umówioo się, że pierwszy ruch w każdej rozgrywce ależy do zwycięzcy. W każdej grze szasa wygraia wyosi k/(k + 1) a korzyść tego, który ma pierwszy ruch. Oliczyć prawdopodoieństwo, że gracz A wygra w -tej rozgrywce.