Trygonomeryczny szereg Fouriera Szeregi Fouriera Każdy okresowy sygnał x() o pulsacji podsawowej ω, spełniający warunki Dirichlea:. całkowalny w okresie: gdzie T jes okresem funkcji x(), 2. posiadający skończoną liczbę eksermów w okresie, 3. posiadając skończoną liczbę nieciągłości w okresie, można zapisać jako nieskończoną sumę składowych kosinusoidalnych i sinusoidalnych w posaci rygonomerycznego szeregu: Współczynniki a k i b k noszą nazwę rygonomerycznych współczynników Fouriera. Współczynnik a jes warością średnią (składową sałą) sygnału x(). Kolejne składniki sumy szeregu są całkowiymi wielokronościami pulsacji podsawowej ω. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analiycznie z nasępujących zależności: gdzie: T okres sygnału x(), ω pulsacja podsawowa sygnału x(), Przykład Rozwinąć w szereg Fouriera sygnał prosokąny unipolarny przedsawiony na rys.. T = [s],
.5 A.5 -.5-4 -3-2 - 2 3 4 Rys.. Sygnał prosokąny unipolarny Warość średnia (składowa sała) wynosi z definicji: Zadany sygnał x() w przedziale przyjmuje warości: x() = dla x() = dla ( ) [ ] Obliczanie współczynnika a k ( ) [ ] Ponieważ ω = 2π [ ] [ ] [ ] [ ] Obliczanie współczynnika b k en człon jes zawsze =
( ) [ ] [ ] Dla k =,2,4,6 (k - parzysych) wyrażenie cos(kπ) przyjmuje zawsze warość, sąd dla parzysych wielokroności pulsacji ω współczynnik b k =. Dla k =,3,5,7 (k - nieparzysych) wrażenie cos(kπ) przyjmuje warość -. Dla nieparzysych wielokroności pulsacji podsawowej ω współczynnik b k przyjmuje warość: Uogólniając można zapisać współczynnik b k w posaci: Podsumowując, sygnał prosokąny unipolarny o pulsacji podsawowej ω = 2π rad/sek (f = Hz), ampliudzie A=, współczynniku wypełnienia.5, z rys. można zapisać w posaci rygonomerycznego szeregu: ( ) Wniosek: sygnał prosokąny z rys. można złożyć z nieskończonej ilości funkcji sinus o pulsacjach składających się z nieparzysych całkowiych wielokroności pulsacji podsawowej 2π rad/s ( Hz). W sensie fizycznym złożenie funkcji z nieskończonej ilości składowych jes niemożliwe, dlaego ogranicza się ją do skończonego zakresu..2 k = k = k = 3 k = 9.8.6.4.2 -.2 -.5 - -.5.5.5 Rys. 2. Sygnał prosokąny aproksymowany skończoną liczbą funkcji sinus.
Kolejne wielokroności pulsacji (częsoliwości ) podsawowej nazywane są harmonicznymi. Tylko przebiegi sinus i kosinus nie zawierają wyższych harmonicznych, kórych zawarość jes miarą zniekszałceń sygnału. W miarę zwiększania liczby harmonicznych sygnał swym kszałem zbliża się do oryginalnego sygnału prosokąnego z rys.. Współczynniki Fouriera a k i b k są wielkościami bezwymiarowymi, ich warość nie zależy od pulsacji (jak również od częsoliwości i okresu). Współczynnik a składowa sała przesuwa sygnał po osi y (spełniając funkcję offse u). Chcąc np. aproksymować sygnał prosokąny bipolarny (np. aki, kórego ampliuda zmienia się od -.5 do +.5), częsoliwości podsawowej f =2Hz (pulsacja ω 4π rad/s, T=.5 sek.) i współczynniku wypełnienia.5 nie ma porzeby wyznaczania nowych współczynników a k i b k. Jedyną różnicą między akim sygnałem a sygnałem z rys. będzie warość pulsacji podsawowej (4π rad/s) i warości średniej (składowej sałej) a =. Sygnał będzie mógł być zapisany w posaci sumy: a jego przebieg: ( ).5.4.3.2.??? -. -.2 -.3 -.4 -.5 -. -.5.5..5 Rys. 3. Sygnał prosokąny unipolarny o współczynniku wypełnienia.5, częsoliwości podsawowej 2Hz, ampliudzie.5 złożony z 76 składowych. Zespolony Szereg Fouriera Wyznaczenie rygonomerycznych współczynników Fouriera wiąże się z koniecznością wykonania dwóch operacji całkowania. Można ę niedogodność wyeliminować zasępując szereg rygonomeryczny szeregiem wykładniczym. Korzysając z zależności Eulera: rygonomeryczny szereg Fouriera można zapisać w posaci szeregu wykładniczego:
gdzie c k jes zespolonym współczynnikiem Fouriera, kóry wyznacza się z zależności: Jeżeli współczynniki c k przedsawimy jako: o: a po uproszczeniu: { } Moduły zespolonych współczynników c k worzą zw. widmo ampliudowe, naomias fazy φ k widmo fazowe. Trygonomeryczne współczynniki Fouriera a k i b k bardzo ławo obliczyć znając współczynnik zespolony: W en sposób orzymujemy szereg w posaci: { } { } { } { } Przykład 2 Aproksymować rygonomerycznym szeregiem Fouriera złożonym ze 25 składowych sygnał piłokszałny przedsawiony na rys. 4. Narysować widmo ampliudowe i fazowe ego sygnału.
.8.6.4.2 [s] -.2-2 -.5 - -.5.5.5 2 Rys. 4. Sygnał piłokszałny, A =, T=.5s (f = 2Hz, ω =4π rad/sek). Pamięając, że współczynniki Fouriera nie zależą od pulsacji w celu uproszczenia obliczeń wyznaczymy zespolony współczynnik Fouriera w granicach np. : (dla sygnału o okresie s). Sygnał piłokszałny w granicach od do T przyjmuje posać x() =, sąd : Obliczenie ej całki może być dość uciążliwe (konieczność całkowania przez części) dlaego w celu uzyskania szybkiego rozwiązania polecam skorzysanie np. z aplikacji Wolfram Alpha (wpisać polecenie: inegrae *e^(-i*2*pi*k*) d from = o ). orzymany wynik: należy jeszcze uprościć (m.in. przekszałcić człon wykładniczy na posać rygonomeryczną, zauważyć, że cos(2kπ) jes dla każdego k zawsze równe a sin(2kπ) równe ). Osaecznie orzymujemy: Zauważmy, że współczynnik c k posiada ylko część urojoną w związku z ym: { } { } = { } Składowa sała ego sygnału obliczona na podsawie (..): Okres sygnału wynosi.5s, więc f = 2Hz, ω =4π rad/s.
Sygnał z rys. 4 można zapisać w posaci sumy 53 składowych sinusoidalnych: ( ).2.8.6 Efek Gibbsa.4.2 -.2-2 -.5 - -.5.5.5 2 [s] Rys. 5. Sygnał piłokszałny dla 53 składowych harmonicznych Widmo ampliudowe ( ): a widmo fazowe: ( ) c.2 k.8.6.4.2..8.6.4.2 k 3 2.5 2.5.5 2 3 4 5 6 7 8 9 k 2 4 6 8 k Rys. 6. Widmo ampliudowe a) i fazowe b) sygnału piłokszałnego dla pierwszych harmonicznych. Warość widma ampliudowego π/2 rad dla każdej harmonicznej sygnału piłokszałnego oznacza, że każda składowa ego sygnału (harmoniczna) jes przesunięa w fazie o π/2 rad względem funkcji kosinus. Dziedziną widma ampliudowego jes wielkość bezwymiarowa k numer kolejnej harmonicznej. Znając częsoliwość podsawową danego sygnału kolejne harmoniczne można wyrazić w jednoskach częsoliwości. Dla analizowanego będzie o całkowia wielokroność 2Hz (4,6,8,. Hz). W en sposób sygnał x() z dziedziny czasu zosał przekszałcony w dyskreną dziedzinę częsoliwości (k jes liczbą nauralną). Jes o dokładnie en sam sygnał, zmienił się jedynie jego sposób reprezenacji. Jeżeli nasz sygnał zapiszemy np. w posaci:
( ( )) o można zauważyć, że każda składowa kosinusoidalna z dziedziny czasu odpowiada ożsamościowo na widmie ampliudowym Delcie Diraca przemnożonej przez warość ampliudy danej harmonicznej. Składowa sała z dziedziny czasu odpowiada zerowej warości k czyli częsoliwości Hz. Waro zwrócić uwagę na kszały aproksymowanych szeregiem Fouriera sygnałów prosokąnego i piłokszałnego. W miejscach, gdzie sygnał zmienia swoją ampliudę w sposób skokowy (z warości do w czasie eoreycznie nieskończenie krókim) pojawia się przeregulowanie. Zjawisko o jes znane pod nazwą Efeku Gibbsa i wraz ze wzrosem liczby harmonicznych nie zanika. Warość ego przeregulowania jes sała i wynosi ok. 9% wysokości zbocza. Własności szeregów Fouriera. Liniowość Jeżeli funkcje f() i g() w dziedzinie czasu są okresowe o ym samym okresie T, a ich zespolone współczynniki Fouriera o c k i d k (w dziedzinie k):, Kombinacja liniowa ych funkcji: jes również funkcją okresową o ym samym okresie T. Współczynniki Fouriera e k rozwinięcia funkcji z() są również liniową kombinacją współczynników c k i d k. 2. Przesunięcie w dziedzinie czasu Przesunięcie w dziedzinie czasu o warość (w prawo) funkcji f(x) odpowiada (jes ożsame) przemnożeniu zespolonych współczynników c k przez czynnik 3. Różniczkowanie Różniczkowanie funkcji x() w dziedzinie czasu jes ożsame przemnożeniu zespolonych współczynników c k przez czynnik jkω.
Przykład 3 Znaleźć współczynniki Fouriera sygnału rójkąnego przedsawionego na rys. 7..8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 - -2 -.5 - -.5.5.5 2 Rys. 7. Sygnał rójkąny [s] Do znalezienia współczynników Fouriera można użyć poznane wcześniej meody obliczyć je poprzez całkowanie lub zamias żmudnego całkowania przez części wykorzysać własności szeregów Fouriera. Jedną z nich (szerzej omawianą przy okazji ciągłej ransformay Fouriera) jes własność symerii widmowej. Jeśli np. składowa sała w dziedzinie czasu odpowiada Delcie Dirac a w punkcie dziedziny k (częsoliwości, pulsacji) o z własności symerii sygnał sały w dziedzinie częsoliwości będzie w dziedzinie czasu Delą Diraca dla czasu =. dziedzina czasu () dziedzina częsoliwości nieskończenie szerokie pasmo - sygnał () w dziedzinie czasu jes sygnałem o nieskończenie szerokim paśmie w dziedzinie częsooiwości zawiera wszyskie częsoliwości od - do + dziedzina częsoliwości dziedzina czasu ( ) składowa sała Rys. 8. Symeria widmowa ransformay Fouriera Jeżeli więc poprzez operację różniczkowania przebiegu czasowego sygnału będziemy mogli doprowadzić go do ciągu okresowo powarzanych Del Dirac a znajdziemy zespolony współczynnik c k wyrażony jako suma sałych składników (przesunięych w czasie i czasem również różniczkowanych)., funkcja f() w dziedzinie czasu jes ożsamościowo równa zespolonemu współczynnikowi c k w dziedzinie k.
2.5 f().5 -.5 - -.5, -2-2 -.5 - -.5.5.5 2 Rys. 9. Sygnał rójkąny Pochodna f () jes ożsamościowo równa zespolonemu współczynnikowi ck przemnożonemu przez czynnik jkω. 5 4 f '() 3 2 - -2-3 -4-5 -2 -.5 - -.5.5.5 2 Rys.. Jednokronie zróżniczkowany sygnał rójkąny, Druga pochodna f () jes ożsamościowo równa zespolonemu współczynnikowi c k kolejny raz mnożony przez czynnik jkω. 8 6 f ''() 8 (+2) 8 (+) 8 () 8 (-) 4 2-2 -4-6 -8-8 (+.5) -8 (+.5) -8 (-.5) -8 (-.5) - -2 -.5 - -.5.5.5 2 Rys.. Dwukronie zróżniczkowany sygnał rójkąny
Do obliczenia współczynnika c k brane są ylko Dely, kóre wchodzą w skład okresu. W rozparywanym przypadku najprościej będzie jeśli wybierzemy delę w punkcie = j. 8δ() oraz w punkcie =.5 j. -8δ(-.5). Kolejna dela w = 8δ(-) składa się na kolejny okres i nie jes brana pod uwagę. Jeden okres drugiej pochodnej naszego sygnału w dziedzinie czasu można zapisać jako: a w dziedzinie k: ( ) Dzielenie wynika z normalizacji do szerokości okresu (podobnie jes przy całkowaniu j. obliczaniu c k z definicji ), naomias mnożenie przez zespolony czynnik jes konsekwencją przesunięcia w dziedzinie czasu o =.5. Okres sygnału T wynosi s, pulsacja ω =2π rad/s. Po podsawieniu i uproszczeniu: ( ) Współczynnik c k dla analizowanego sygnału posiada ylko część rzeczywisą (w związku z ym b k =), a sam sygnał zawiera wyłącznie nieparzyse harmoniczne. { } Zauważmy, że rozparywane sygnał jes funkcją parzysą jej części zespolone współczynnika c k są równe zero. Dla funkcji nieparzysych (np. sygnały z przykładów i 2) część rzeczywisa jes równa zero. Widmo fazowe i ampliudowe sygnału rójkąnego przedsawiono na rys. poniżej..5.45.4.35.3.25.2.5..5 4 3 2 - -2-3 2 3 4 5 6 7 8 9 2-4 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Rys. 2. Widmo fazowe i ampliudowe sygnału rójkąnego Składowa sała a wynosi więc nasz sygnał rójkąny aproksymowany szeregiem Fouriera przyjmie posać: ( ) a jego przebieg czasowy dla harmonicznych:
.5 x app ().5 -.5 - -.5-2 -.5 - -.5.5.5 2 Rys. 3. Sygnał rójkąny dla 7 składowych harmonicznych Zauważmy, że szereg Fouriera już dla k = bardzo dokładnie przybliża oryginalny sygnał rójkąny. Dla ego sygnału nie wysępuje również efek Gibbsa. Przykład 4 Rozwinąć w szereg Fourier nasępujący sygnał w dziedzinie czasu:.5 x().5 -.5-5 -4-3 -2-2 3 4 5 Pierwsza i druga pochodna ego sygnału: Rys. 4. Sygnał x().5 x'().5 -.5 - -.5-5 -4-3 -2-2 3 4 5 Rys. 5. Jednokronie zróżniczkowany x () sygnał x()
.5 (+4) (+2) x''() () (-2).5 -.5 - - '() - (+3) - (+) - '(-2) - '(+2) - (-) - (-3) Rys. 6. Dwukronie zróżniczkowany x () sygnał x() Jeden okres drugiej pochodnej (w granicach od do 2): x () = δ() - δ(-) δ (-2) -.5-5 -4-3 -2-2 3 4 5 Zauważmy, że pojawiło się nam dziwadło w posaci pierwszej pochodnej Dely Dirac a. W sensie fizycznym jes o sygnał k samo absrakcyjny jak Dela Dirac a, jednak w sensie maemaycznym szczególnie w dziedzinie k jes o jak najbardziej spójne. Transformując powyższą równość na dziedzinę k uwzględniając okres orzymujemy: ( ) ( ) po uproszczeniu: Składowa sała: Widmo ampliudowe i fazowe pierwszych 3 harmonicznych:
.2.5..5 2.5 2.5.5 5 5 2 25 3 5 5 2 25 3 Rys. 7. Widmo ampliudowe i fazowe pierwszych 3 harmonicznych Proszę zwrócić uwagę, że nie ma znaczenia, od kórej dely rozpoczynamy sumowanie. Ważne jes aby była ona częścią okresu. Jeżeli do analizy przyjmiemy dely zaznaczone na zielono (rys. 8) o uzyskamy idenyczny wynik, przy nieco mniejszym nakładzie prac (proszę sprawdzić samodzielnie).5 (+4) (+2) x''() () (-2).5 -.5 - - '() - (+3) - (+) - '(-2) - '(+2) - (-) - (-3) -.5-5 -4-3 -2-2 3 4 5 Rys. 8. Dwukronie zróżniczkowany x () sygnał x() ( ).5 x app ().5 -.5-5 -4-3 -2-2 3 4 5 Rys. 9. Przebieg czasowy sygnału złożonego z 5 harmonicznych
Zadanie:. Rozwinąć w szereg Fouriera sygnał prosokąny o zmiennym współczynniku wypełnienia, 2. Rozwinąć w szereg Fouriera sygnał zadany przez prowadzącego, 3. Zbadać wpływ liczby harmonicznych na jakość odwzorowania sygnału. Jakie zjawiska zaobserwowano? Przykład kodu w Malabie: clc clear N=2; %Liczba harmonicznych k=:n; A=.5; %Ampliuda Of =.5; %Offse T=.; %Okres w=2*pi/t; =:T/N/:2*T; ck = A*j*(-cos(k*pi))./(-*pi*k); %Wspolczynniki Fouriera ak = 2*real(ck); bk = -2*imag(ck); a = Of; widmo_a = abs (ck) ; widmo_f = angle (ck) ; %Widmo ampliudowe %Widmo fazowe x = a; for k=:n, x = x + (bk(k).*sin(k*w*)); end %Przebieg sygnalu w dziedzinie czasu %Przebiegi czasowe subplo(3,,) plo(,x); grid on ; hold on ile('przebieg czasowy sygnalu prosokanego') save('x_2.x','','x','-ascii') %Widma k=:n; subplo(3,,2) sem (k,widmo_a) ile('widmo ampliudowe') subplo(3,,3) sem (k,widmo_f) ile('widmo fazowe')