PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

Transkrypt

1 PRZEWARZANIE SYGNAŁÓW SEMESR V Człowiek- nalepsza inwestyca Proekt współfinansowany przez Unię Europeską w ramach Europeskiego Funduszu Społecznego

2 Wykład II Wprowadzenie Podstawy teoretyczne przetwarzania sygnałów

3 Szereg Fouriera i przekształcenie Fouriera Jean Baptiste Joseph Fourier stwierdził, że pewne funkce można przedstawić w postaci nieskończone sumy harmonicznych teoria transmisi ciepła, teoria drgań, efekt szklarniowy, prace nad liczbą rozwiązań równań algebraicznych sekretarz Akademii Francuskie, członek Królewskie Szwedzkie Akademii Nauk

4 rygonometryczny szereg Fouriera ft okresowa, okres, spełnia warunki Dirichleta; rozwinięcie ft w szereg trygonometryczny Fouriera: n f t a [ a cos n t b sin n t] n n =/, n=,,,... współczynniki rozwinięcia: a / f t / dt / a cos n f t n t dt bn / / / f tsin n t dt

5 Wykładniczy szereg Fouriera rozwinięcie ft w szereg wykładniczy Fouriera: n t Fn exp n n f t współczynniki rozwinięcia F n F n e arg F n F n / f / t exp n t d { F n } - widmo amplitudowe, {argf n } widmo fazowe { F n } - widmo mocy sygnału ft Związek między współczynnikami rozwinięcia w szereg wykładniczy i w szereg trygonometryczny dla n>=: F n a n b n F n a n b n

6 Przykłady rozwinięć w SF I A rect t - ciąg impulsów prostokątnych o współczynniku wypełnienia / współczynniki rozwinięcia: =/ F n / / A / rect texp n t dt Aexp nt dt exp nt / n / / F n A n exp n t / / A [exp n / exp n / ] n A [cos n / n sin n / cos n / sin n / ]

7 Przykłady rozwinięć w SF I B rect t - ciąg impulsów prostokątnych o współczynniku wypełnienia / współczynniki rozwinięcia: =/ F n A [cos n / n sin n / cos n / sin n / ] A n sin n / A sin n / n / A sin n / n / A n sin c F n A n sin n / A sin n / n F n A n sin c

8 Przykłady rozwinięć w SF I C rect t - ciąg impulsów prostokątnych o współczynniku wypełnienia / współczynniki rozwinięcia: F n A n sin c =/ przebiegi współczynników rozwinięcia dla różnych wartości i ustalone wartości.

9 Przykłady rozwinięć w SF I D rect t - ciąg impulsów prostokątnych o współczynniku wypełnienia /: =/ współczynniki rozwinięcia: F n A n sin c rozwinięcie funkci rect t : rect A n t Fn exp n t sin c exp n n n t

10 Przykłady rozwinięć w SF II A Dla wypełnienia 5% i symetrii przebiegu względem obu osi znika składowa stała, a współczynniki są rzeczywiste. Współczynniki: Rozwinięcie w szereg Fouriera: 4A a n sin n / n rect 4 A t an exp n t [cos t cos3 t cos5 t n ] Analizowany przebieg prostokątny est sumą nieparzystych harmonicznych funkci cos t z maleącymi amplitudami, nie zawiera składowe stałe średnie.

11 Przykłady rozwinięć w SF II B 4A a n sin n / n Sygnał moduły współczynników rozwinięcia 4A rect t [cos t cos3 t cos5 t ] Analizowany przebieg - suma nieparzystych harmonicznych z maleącymi amplitudami, nie zawiera składowe stałe średnie.

12 Przykłady rozwinięć w SF II C 4A rect t [cos t cos3 t cos5 t ] Przebieg prostokątny aproksymowany sumą edne, dwóch, trzech i czterech harmonicznych.

13 Przykłady rozwinięć w SF III Ciąg t: k t t k współczynniki rozwinięcia: F n / / / / k t kexp n t dt texp nt dt =/ rozwinięcie ciągu t: : t Fn exp n t exp n t exp n n n n t

14 Przekształcenie Fouriera Proste i odwrotne przekształcenia Fouriera funkci ft F=F{ft} ftf F f texp t dt f t F exp t d istnieą gdy ft est bezwzględnie całkowalna Zapis Fω argfω - widmo gęstości amplitudy - widmo fazowe F F e arg F

15 Wybrane właściwości przekształcenia Fouriera I

16 Wybrane właściwości przekształcenia Fouriera II ransformata pochodne ft ft F f t F, f n t n F Przesunięcie w czasie ft F ft-t exp-t F

17 Wybrane właściwości przekształcenia Fouriera III ransformata splotu funkci f tf, f tf est iloczynem transformat splatanych funkci!!! F{ f t* f t} F F

18 Wybrane właściwości przekształcenia Fouriera IV ransformata iloczynu funkci f tf, f tf est splotem transformat mnożonych funkci!!!!!! F{ f t f t} F * F

19 Przykłady transformat Fouriera I Sygnał prostokątny o czasie trwania rect: F f texp t dt rect exp t dt F rect exp t dt / / Aexp t dt A exp t / / F A exp t A [exp / exp / / / ]

20 Przykłady transformat Fouriera II Sygnał prostokątny o czasie trwania rect: / sin ] / sin / cos / sin / [cos ] / exp / [exp A A A F sin sin / sin c A A A F

21 Przykłady transformat Fouriera III Sygnał prostokątny o czasie trwania rect: F sygnału prostokątnego: F A sin c F est funkcą rzeczywistą parzystą część uroona est zerowa. Wykres F

22 Przykłady transformat Fouriera IV Sygnał prostokątny o czasie trwania rect: F sygnału prostokątnego: F A sin c Położenia zer części rzeczywiste i modułu F ω=±kπ/ k> Szerokość listka głównego 4π/ mierzona ako odległość między zerami modułu F Położenia ekstremów listków bocznych ω m = ±3π/±mπ/ m=,... Szerokość listków bocznych π/

23 Przykłady transformat Fouriera V Sygnał prostokątny o czasie trwania rect: F sygnału prostokątnego: F A sin c Wartość maksymalna listka głównego A Wartość maksymalna modułu pierwszego listka bocznego - A/3π Asinc3π/; Stosunek maks. wartości modułów listka pierwszego i głównego /3π=.

24 Przykłady transformat Fouriera VI Znormalizowany moduł F sygnału prostokątnego rect o czasie trwania : F sin c A linia ciągła czas trwania sygnału ; linia przerywana czas trwania /. Maksymalna wartość listka głównego modułu F dla czasu trwania ; dla czasu trwania / / Maksymalna wartość modułu pierwszego listka bocznego po normalizaci /3π Stosunek maks. wartości modułów listka pierwszego i głównego /3π=.

25 Przykłady transformat Fouriera VII Dystrybuca delta Diraca: Właściwość dystrybuci: f t t t t f f t t f ransformata dystrybuci: F{ t} texp t dt

26 Przykłady transformat Fouriera VIII Funkca stała F nie istniee w myśl definici funkca nie est bezwględnie całkowalna. Można wyznaczyć wartość główną F przy ->+: F lim lim / / exp t dt lim sin c sin c Definica delty Diraca: k t lim k sinc kt

27 Przykłady transformat Fouriera IX Funkca stała Właściwość symetrii F!!!!! ft F Ft f- Skoro F delty Diraca est funkcą stałą: F{ t} texp t dt Na mocy właściwości symetrii F transformata funkci stałe ma postać delty Diraca: F

28 Przykłady transformat Fouriera X Sygnał cosinusoidalny o ograniczonym czasie trwania paczka i ednostkowe amplitudzie / / / / / / ] exp [exp ]exp exp [exp exp cos dt t t dt t t t dt t t / / exp cos ]exp / / [ cos exp dt t t dt t t t t dt t t f F

29 Przykłady transformat Fouriera XI Sygnał cosinusoidalny o ograniczonym czasie trwania paczka i ednostkowe amplitudzie / / ] exp [exp dt t t / / / / / / exp exp ] exp [exp t t dt t t

30 Przykłady transformat Fouriera XII Sygnał cosinusoidalny o ograniczonym czasie trwania paczka i ednostkowe amplitudzie / / exp t / exp t / Analogia do obliczania F okna prostokątnego: F A exp t A [exp / exp / / / ] A [exp / exp / ] A [cos / sin / cos / sin / ] A sin / zostae zastąpione przez - bądź +

31 Przykłady transformat Fouriera XIII Sygnał cosinusoidalny o ograniczonym czasie trwania paczka i ednostkowe amplitudzie ] sin [sin exp exp / / / / c c t t / sin A Analogia do obliczania F okna prostokątnego: zostae zastąpione przez - bądź +

32 Przykłady transformat Fouriera XIV Sygnał cosinusoidalny o ograniczonym czasie trwania paczka i ednostkowe amplitudzie F [sin c sin c ] Moduł F paczki funkci cosinus o czasie twania, oś Y znormalizowana do /. Położenia ekstremów, zer, wartości maksymalne listka głównego i listków bocznych określamy podobnie ak w przypadku F okna prostokątnego.

33 Przykłady transformat Fouriera XV Sygnał cosinusoidalny F nie istniee w sensie definici, ponieważ funkca cosinus nie est bezwzględnie całkowalna. Można wyznaczyć wartość główną F paczki fali cos przy ->+. / F cos texp t dt [sin c sin c ] / Definica delty Diraca: k t lim k sinc kt F{cos t} lim [ sin c sin c ] [ ]

34 Przykłady transformat Fouriera XVI Sygnał sinusoidalny F nie istniee w sensie definici. Można wyznaczyć wartość główną F paczki fali sin przy ->+. F paczki fali sin: F{sin t } [ sin c sin c ] F{sin t} [ ] na rysunku Fω!!

35 Przykłady transformat Fouriera XVII Zespolony sygnał wykładniczy exp t cos t sin t Sygnał cosinusoidalny F{cos t} [ ] Sygnał sinusoidalny na rys. F{sinω o t} F{sin t} [ ] F{exp t} F{cos t} F{sin t} Jest to tzw. sygnał analityczny posiada niezerowe wartości F tylko po edne stronie początku układu.

36 Przykłady transformat Fouriera XVIII F dowolne funkci okresowe nie istniee w sensie definici Można taką funkcę rozwinąć w SF: t Fn exp n n f t a następnie przeprowadzić F rozwinięcia - ponieważ znamy F zespolone funkci wykładnicze!!! F n n n F

37 Przykłady transformat Fouriera XIX F dowolne funkci okresowe nie istniee w sensie definici Można taką funkcę rozwinąć w SF, potem przeprowadzić F rozwinięcia Ciąg dystrybuci Diraca posiada następuące rozwinięcie w SF: t t Fn exp n t exp n n n wobec tego ego F est równa: F { t} n n n n

38 Przykłady transformat Fouriera XX Przebieg prostokątny rect t okres,wypełnienie /, amplituda A, ω =π/: Sposób I Współczynniki rozwinięcia w SF Wyznaczamy rozwinięcie w SF sygnału prostokątnego, a następnie F rozwinięcia: F n A n sin c / exp n t dt / F{ rect t} F{ n F n exp n t} A A n n n sin c n n sin c n

39 Przykłady transformat Fouriera XXI Przebieg prostokątny rect t okres,wypełnienie /, amplituda A, ω =π/: Sposób II okresowy sygnał prostokątny est wynikiem splotu okresowego ciągu delt Diraca o okresie i okna prostokątnego o amplitudzie A i czasie trwania rect t rect t* t rect t* t k k k rect t k F splotu funkci est iloczynem F! F{ f t* f t} F F F obu splatanych funkci znamy!!! F { t} n n F A sin c

40 Przykłady transformat Fouriera XXII Przebieg prostokątny rect t okres,wypełnienie /, amplituda A, ω =π/: Sposób II okresowy sygnał prostokątny est wynikiem splotu okresowego ciągu delt Diraca o okresie i okna prostokątnego o amplitudzie A i czasie trwania F { t} n n F A sin c F{ rect t} F{ t} F{ rect } [ n n ] A sin c A A n n n sin c n n sin c n

41 ransformaca Fouriera podsumowanie właściwości Sygnał rzeczywisty parzysty - F rzeczywista, parzysta przykład cos t, rectt Sygnał rzeczywisty nieparzysty przykład sin t, - F uroona, nieparzysta Sygnał uroony parzysty przykład cos t - F uroona, parzysta Sygnał uroony nieparzysty przykład sin t - F rzeczywista, nieparzysta

42 ransformata Fouriera Iloczyn funkci cosinusoidalne o pulsaci i ciągu delt Diraca o okresie =π/, >> k t t k F { t} n n F{cos t} [ ] F iloczynu funkci est splotem transformat! Należy wyznaczyć splot F funkci cosinusoidalne i F ciągu delt Diraca!!! F{cos t t} F{cos t}* F{ t}

43 ransformata Fouriera Iloczyn funkci cosinusoidalne o pulsaci i ciągu delt Diraca o okresie =π/, > Splot transformat funkci cosinusoidalne i ciągu delt Diraca: {cos } {[ ]}*[ F t t n] n F {cos t t} n n

44 F tw. o próbkowaniu I Iloczyn funkci cosinusoidalne o pulsaci i ciągu delt Diraca o okresie =π/, > ransformata iloczynu funkci cosinusoidalne i ciągu delt Diraca: F {cos t t} n n ransformata iloczynu dowolne funkci i ciągu delt Diraca: F { f t t} F * F{ t} F n n

45 F tw. o próbkowaniu II F { f t t} F n n Widmo sygnału spróbkowanego est okresowe z okresem równym częstotliwości pulsaci próbkowania!! Jak wynika z rysunku obok, aby kolene repliki widm nie nałożyły się na siebie, należy spełnić warunek: f >=f max ω >=ω max!!!!!! Jest to tzw. twierdzenie o próbkowaniu tw. Shannona, warunek Nyquista, które wymaga, by sygnał był próbkowany z częstotliwością/pulsacą conamnie równą podwoone wartości maksymalne częstotliwości/pulsaci widma sygnału. W praktyce warunek ten musi być spełniony z nadmiarem. Jest to twierdzenie o fundamentalnym znaczeniu dla cyfrowego przetwarzania sygnałów. Jego niespełnienie skutkue niemożnością odtworzenia sygnału ciągłego na podstawie ego próbek.

46 F tw. o próbkowaniu III F { f t t} F n n wierdzenie o próbkowaniu wymaga, by sygnał był próbkowany z częstotliwością/ pulsacą conamnie równą podwoone wartości maksymalne częstotliwości/ pulsaci widma sygnału. f >=f max ω >=ω max Niespełnienie tego warunku skutkue nakładaniem się widm tzw. aliasing patrz obszary w czerwonych elipsach obok i niemożnością odtworzenia sygnału czasu ciągłego na podstawie ego próbek.

47 Energia, moc, widmowa gęstość energii i mocy

48 Energia, moc, widmowa gęstość energii i mocy I Sygnały o skończonym czasie trwania i skończone energii w skończonym przedziale czasu sygnały nieokresowe, bezwzględna całkowalność, moc średnia równa zero, energia sygnału E określona est przez zależność tw. Parsevala : E = f tdt= - - F d Zastosowanie przekształcenia Fouriera Fω - widmowa gęstość energii Ω

49 Energia, moc, widmowa gęstość energii i mocy II Sygnały okresowe Rozwinięcie w szereg Fouriera - okres sygnału F n = / -/ ft exp -ntdt F n - widmo amplitudy F n - widmo mocy moc sygnału P tw. Parsevala energia tracona w ednostce czasu w oporności Ω związki z elektrotechniką P = / -/ f tdt Fn

50 Energia, moc, widmowa gęstość energii i mocy III Sygnały o nieskończonym czasie trwania i nieskończone energii w nieskończonym przedziale czasu Sygnały o nieskończonym czasie trwania np. okresowe - energia nieskończona w nieskończonym przedziale, F z definici nie istniee funkca nie est bezwzględnie całkowalna, można określić moc średnią P uśrednienie za czas obserwaci : P lim / / f t dt = lim - F d d - Φω - widmowa gęstość mocy: w praktyce - ze względu na ograniczoną długość rekordu danych = lim F = F