DRGANIA Drgania układów ciągłych (układów o parametrach rozłożonych)
Przykład układu dyskretnego o n stopniach swobody c1 x1(t) c2 x2(t) m1 k1 cn xn(t) mn m2 k2 kn Stan układu opisany jest jednoznacznie za pomocą n funkcji czasu q1 (t ), q2 (t ),..., qn (t ) Przykład układu ciągłego (belki) o nieskończonej liczbie stopni swobody w(t,x) x Stan układu opisany jest jednoznacznie za pomocą funkcji dwóch zmiennych: czasu i zmiennej przestrzennej x w(t, x)
Układy ciągłe mogą być geometrycznie: jednowymiarowe: struny, pręty, belki w(t,x) w(t, x) dwuwymiarowe: membrany, płyty, powłoki x w(t,x,y) y w(t, x, y ) x trójwymiarowe: konstrukcje rzeczywiste a także przepływy, dźwięk w(t,x,y,z) w(t, x, y, z ) Wymiar analityczny każdego z tych układów jest nieskończony.
Drgania giętne belki Model drgań poprzecznych sprężystej belki utwierdzonej na jednym końcu f(t,x) w(t,x) w x x L Równanie drgań giętnych belki ma postać 2w w 2 2w µ 2 +c + 2 ( EI 2 ) = f (t, x) t t x x I - geometryczny moment bezwładności przekroju belki µ - masa jednostkowa belki
Warunki początkowe dla belki zginanej w(0, x) = w0 ( x), w (0, x) = v 0 ( x) Warunki brzegowe dla belki zginanej utwierdzonej na jednym końcu koniec utwierdzony (brak przemieszczenia i ugięcia) w(t,0) = 0, w(t,0) =0 x koniec swobodny (brak obciążenia momentem i siłą tnącą) 2 w(t, L) 3 w(t, L) = 0, =0 2 3 x x koniec podparty przegubowo (brak przemieszczenia i brak obciążenia momentem) w(t,0) = 0, 2 w(t,0) =0 2 x w(t,0) = 0 w (t,0) = 0 w (t,l) = 0 w (t,l) = 0 w(t,0) = 0 w (t,0) = 0
Z równania drgań wynika równanie charakterystyczne dla niewiadomej wartości ω cos( ω ω L) cosh( L) = 1 a a którego rozwiązaniem jest ciąg częstości drgań własnych: 2 2π ω1 = (0.597) 2 L EI, µ π2 ω k = (k 0.5) 2 L 2 2 π ω 2 = (1.49) 2 2 L EI, µ EI, µ k = 3, 4,..., i odpowiadający mu ciąg postaci drgań własnych ( pk = ω k / a ) Wk ( x) = sin( pk L) sinh( pk L) ( sinh( pk x) sin( pk x) ) + cosh( pk L) + cos( pk L) + ( cosh( pk x) cos( pk x) )
Częstości i postacie drgań własnych belki zginanej utwierdzonej na jednym końcu π2 ω1 = (0.597) 2 L 2 EI, µ x π2 ω 2 = (1.49) 2 L EI, µ x π2 ω 3 = (2.5) 2 L EI, µ x 2 2 ω4 =...
Drgania giętne płyty Model drgań poprzecznych cienkiej płyty sprężystej f(t,x,y) w(t,x,y) y x Równanie drgań poprzecznych płyty ma postać 2w E h2 4 w 4w 4w 4 + 2 2 2 + 4 = f (t, x, y ) µ 2 + 2 t 1 ν 12 x x y y µ - masa płyty przypadająca na jednostkę powierzchni, h - grubość płyty.
Warunki brzegowe: brzegi utwierdzone (brak przemieszczenia i ugięcia) w w = 0, = 0, n brzegi podparte (brak przemieszczenia i momentu zginającego) w = 0, M g = w = 0, 2 n 2 w,nn = 0 w,nnn = 0 x w=0 w,n = 0 s w=0 w,nn = 0 y n brzegi swobodne (brak siły tnącej i momentu zginającego) M g = w, nn = 0, T = w,nnn = 0. Rozwiązaniem równania drgań płyty jest ciąg częstości drgań własnych ω km 2 2 D kπ mπ = +, µ a b k, m = 1, 2,..., i odpowiadający mu ciąg postaci drgań własnych Wkm ( x, y ) = sin( kπx mπy ) sin( ), k, m = 1, 2,..., a b
Postacie drgań giętnych płyty prostokątnej utwierdzonej na brzegach ω11 = (a 2 + b 2 )π 2 D /( µa 2b 2 ) linia węzłów linia węzłów ω 21 = (4a 2 + b 2 )π 2 D /( µa 2b 2 ) linia węzłów ω12 = (a 2 + 4b 2 )π 2 D /( µa 2b 2 ) linia węzłów ω 22 = (4a 2 + 4b 2 )π 2 D /( µa 2b 2 )
DRGANIA Drgania układów ciągłych (układów o parametrach rozłożonych) Drgania akustyczne
Drgania akustyczne p(t,x,y,z) ρ(t,x,y,z) a a a f(t,x,y,z) a Dźwięk są to małe zaburzenia gęstości i ciśnienia ośrodka: powietrza, wody. Dźwięk rozchodzi się w postaci fali zaburzeń we wszystkich kierunkach. Prędkość dźwięku jest równa dp a= dρ Fale dźwiękowe mogą: odbijać się od przeszkód, załamywać się na przeszkodach, ulegać wytłumieniu na dużych odległościach.
Równanie rozchodzenia się dźwięku w przestrzeni opisuje równanie falowe 2 2 p 2 p 2 p 2 p a 2 + 2 + 2 = 0 2 t y z x Warunki brzegowe zależą od charakteru ścianek i przeszkód: ścianki nieruchome odbijające dźwięk p = 0, n otwory p = pa, ciśnienie w nieskończoności p = 0. p =0 n p(t,x,y,z) a f(t,x,y,z) a p = pa a r : p=0 Badaniem dźwięku zajmuje się akustyka. Podstawowe zagadnienia akustyki: zewnętrzne: - rozprzestrzenianie się hałasu (lotniczego, miejskiego). wewnętrzne: - akustyka pomieszczeń (sal koncertowych, hal fabrycznych, biur, itp.), - akustyka kabin pojazdów (samolotów, samochodów).
Drgania akustyczne w kabinach pojazdów Hałas w kabinach samolotów i samochodów jest męczący dla kierowców i pilotów, zwłaszcza gdy podróż jest długotrwała. Eliminacja hałasu wymaga znajomości częstości i postaci drgań akustycznych kabin. Częstości i postacie drgań akustycznych wyznacza się z równania falowego p a 2 2 p = 0 Zakładamy harmoniczną postać drgań akustycznych p (t, x, y, z ) = pˆ ( x, y, z ) eiω t. Po podstawieniu do równania drgań akustycznych swobodnych 2 otrzymujemy 2 2 2 ω ˆ pˆ pˆ pˆ p 2 + 2 + 2 = 0 y z a x Warunek brzegowy dla sztywnych ścianek nieruchomych ma postać pˆ = 0. n Rozwiązaniem tego zagadnienia na wartości własne są pary częstości i postaci drgań ω, pˆ ( x, y, z ), k = 0,...,. k k
Ważne informacje dotyczące akustyki wnętrza można uzyskać analizując położenia powierzchni węzłów i strzałek postaci drgań akustycznych. W węzłach ciśnienie akustyczne (a więc i natężenie dźwięku) jest równe zeru. węzeł Oznacza to, że są to miejsca ciche danej postaci drgań akustycznych. Strzałki postaci to punkty, w których amplituda ciśnienia akustycznego jest największa. strzałka węzeł Są to miejsca najgłośniejsze przy drganiach danej postaci. strzałka węzeł
Drgania akustyczne w kabinie samochodu Fiat 126p Opisana metodyka postępowania została zastosowana pod koniec lat 80. XX wieku przez prowadzącego niniejszy wykład do wyznaczenia częstości i postaci drgań akustycznych we wnętrzu samochodu Fiat 126p Fiat 126p MALUCH - legenda polskiej motoryzacji. y x -b Do obliczeń drgań akustycznych przyjęto uproszczony, walcowy kształt kabiny o stałej szerokości 2b = 1.0 m. b z Bryła kabiny Fiata 126p
Częstości i postacie drgań akustycznych kabiny wyznaczono stosując Metodę Elementów Skończonych (MES, ang. FEM). Aby rozwiązać równanie drgań własnych należy podzielić obszar na elementy skończone - na przykład trójkąty. y element węzły Liczba elementów nel = 287 Liczba węzłów nw = 174 x Siatka Metody elementów Skończonych kabiny Fiata 126p
Stosując metodę Galerkina sprowadza się równanie różniczkowe cząstkowe do układu równań algebraicznych K Pˆ + λ M Pˆ = 0 Rozwiązaniem układu równań algebraicznych są przybliżone częstości własne i postacie własne λ l, Pˆ l ( x, y ), l = 0,..., N Częstości drgań akustycznych we wnętrzu samochodu Fiat 126p k,l 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 1 2 3 4 5 6 7 λ kl ω kl f kl [1/m] [1/s] [Hz] 0,000 1,325 2,569 2,714 4,153 4,483 4,798 5,406 0,00 451,76 875,88 925,51 1416,23 1528,70 1636,14 1843,49 0 71,9 139,4 147,3 225,4 243,3 260,4 293,4
Postać 1. Częstotliwość 71.9 Hz Postać 2. Częstotliwość 139.4 Hz
Postać 3. Częstotliwość 147.3 Hz Postać 4. Częstotliwość 225.4 Hz
Wnioski Ruch układów dyskretnych opisywały równania różniczkowe zwyczajne. Równania układów ciągłych są równaniami różniczkowymi cząstkowymi. Do równania ruchu należy dołączyć: - warunki brzegowe opisujące sposób zamocowania struny, - warunki początkowe określające położenia i prędkości punktów struny w chwili początkowej. Warunki początkowe i brzegowe jednoznacznie określają rozwiązanie równań układów ciągłych. Warunki brzegowe zależą od sposobu zamocowania.
DRGANIA Drgania konstrukcji (lotniczych)
Model ciała odkształcalnego Ruch obiektu odkształcalnego opisuje równanie teorii sprężystości ρ - gęstość materiału, 2u ρ 2 = div (σ ) + f t z dv f u u - wektor przemieszczeń punktów ciała, f - wektor obciążeń zewnętrznych, x σ - tensor naprężeń, Stan odkształceń ciała opisany jest za pomocą tensora odkształceń y ε = Γu gdzie Γ jest macierzą operatorów różniczkowania. Związki konstytutywne pomiędzy tensorami odkształceń ε i naprężeń σ określają własności sprężyste materiału. Przy małych odkształceniach zależność między naprężeniami a odkształceniami jest liniowa i może być opisana przez prawo Hooke a σ = D( E,ν ) ε E - moduł Younga, ν - współczynnik Poissona. Przedstawiony model ciała odkształcalnego stanowi podstawę budowy modeli konstrukcji rzeczywistych.
Modele konstrukcji lotniczych Konstrukcje rzeczywiste - zwłaszcza samoloty - są niezwykle skomplikowane pod względem: - geometrii, Boeing/Lockhed F22 Raptor - rozkładu masy, - rozkładu sztywności. W konstrukcjach występuje histereza materiałów, luzy; elementy mogą być nitowane, itp. Nie można więc zbudować modelu samolotu jako układu ciągłego w postaci pojedynczego równania teorii sprężystości. Rozwiązaniem problemu jest podział konstrukcji na elementy (tzw. dyskretyzacja) i zbudowanie modelu dyskretnego.
Dyskretyzacja modeli konstrukcji Dyskretyzacja szczegółowa - techniczna: - większość elementów konstrukcyjnych oraz wyposażenie; - wierne odwzorowanie kształtów, sztywności i mas elementów. Dyskretyzacja formalna uproszczona: kombinacja belek zginanych i skręcanych oraz mas skupionych Dyskretyzacja szczegółowa cechuje się tym, że liczba stopni swobody modelu jest duża lub nawet wielka, n ~ 100,000-10,000,000. Wyznaczenie charakterystyk dynamicznych konstrukcji modelowanych w taki sposób możliwe jest wyłącznie za pomocą metod przybliżonych. Podstawowym narzędziem służącym do tego celu jest Metoda Elementów Skończonych. Ponieważ modele dyskretne nie w pełni odzwierciedlają zachowanie się konstrukcji rzeczywistej, to wyniki analiz teoretycznych muszą być zweryfikowane poprzez badania doświadczalne.
Dyskretyzacja szczegółowa za pomocą Metody Elementów Skończonych Model konstrukcyjny samolotu YF-12 zbudowany za pomocą systemu NASTRAN [JenQuinn,1974]
Fragment biblioteki elementów skończonych systemu NASTRAN ζ 1D BAR η ξ 2D QUAD8 ζ η ξ ζ 2D TRIA3 η ξ 3D HEXA Elementy skończone odkształcalne są obiektami, których przemieszczenia opisane są równaniami teorii sprężystości. ζ ξ η
Równania ruchu konstrukcji Niezależnie od stopnia komplikacji konstrukcji i sposobu modelowania jej bezwładności i sztywności f(x,y) mi ki fi M, K Gi G otrzymuje się macierzowe różniczkowe równanie ruchu + Dq + (K + ig )q = f Mq Równania ruchu konstrukcji służą do: analizy drgań własnych konstrukcji, badania zjawisk aeroelastycznych, Innych zadań, np. syntezy czynnego sterowania ruchem konstrukcji.
Drgania własne konstrukcji Rozwiązanie równania drgań własnych konstrukcji zdyskretyzowanej + Kq = 0 Mq przewidujemy w postaci q(t ) = qˆ eiωt, qˆ = [qˆ1,..., qˆn ]T Po podstawieniu do równania drgań otrzymujemy równanie charakterystyczne ( ω 2M + K ) qˆ = 0 które ma rozwiązanie nietrywialne (tzn. q 0) jeżeli det ( ω 2M + K ) = 0 Rozwiązaniem równania charakterystycznego jest zbiór (przybliżonych) częstości i postaci drgań własnych konstrukcji { ( ω1, qˆ 1 ), ( ω 2, qˆ 2 ),..., ( ω n, qˆ n ) } Dla złożonych konstrukcji wyznacza się je przy użyciu systemów obliczeniowych CAD wykorzystujących Metodę Elementów Skończonych, takich jak: NASTRAN (NASA, program Apollo ), ANSYS, CATIA, ADINA i innych.
Drgania własne samolotów Przy użyciu współczesnych systemów CAD można wyznaczać drgania własne skomplikowanych konstrukcji lotniczych. W każdym przypadku wyznaczanie drgań własnych oparte jest na macierzowym równaniu drgań ( ω 2M + K ) qˆ = 0 otrzymanym za pomocą oprogramowania MES. Postacie drgań samolotu Hawk wyznaczone za pomocą systemu NASTRAN. Wymiar zadania n = 14,000. [WoodAll]
Wnioski Analiza dynamiczna złożonych konstrukcji możliwa jest wyłącznie przy użyciu przybliżonego modelu dyskretnego Dyskretyzację konstrukcji przeprowadza się standardowo za pomocą Metody Elementów Skończonych będącej podstawowym narzędziem systemów obliczeniowych CAD.
DRGANIA Drgania konstrukcji (lotniczych) Badania rezonansowe
2.9.10 Próby rezonansowe Konstruowanie nowego samolotu jest procesem wieloetapowym, w którym wielokrotnie dokonuje się weryfikacji i modyfikacji przyjętych wcześniej rozwiązań. Metody obliczeniowe pozwalają określić zachowanie się konstrukcji pod wpływem obciążeń oraz wyznaczyć podstawowe charakterystyki dynamiczne już na etapie projektowania. Jednakże wyniki obliczeń muszą być zweryfikowane doświadczalnie, gdyż nie ma pewności iż są całkowicie zgodne z rzeczywistością. Celem prób rezonansowych jest zbadanie rzeczywistego ruchu konstrukcji i weryfikacja analiz obliczeniowych. Badania rezonansowe są muszą być przeprowadzone dla każdej profesjonalnej konstrukcji lotniczej. Precyzują to przepisy, np. CS-25 (Certification Specifications) European Aviation Safety Agency CS 25.629 Flutter, deformation, and failsafe criteria (a) General. Compliance with this paragraph must be shown by calculations, resonance tests, or other tests found necessary by the Agency.
Idea prób rezonansowych Próby rezonansowe naziemne (Ground Vibration Tests GVT) polegają na zbadaniu reakcji konstrukcji (samolotu) na ściśle określone wymuszenia (harmoniczne lub inne). Chociaż technika prowadzenia próby rezonansowych uległa istotnym zmianom wskutek użycia komputerów, to podstawowe zasady takich badań są niezmienne od prawie stu lat. Do konstrukcji przykładane są odpowiednio dobrane obciążenia. Odpowiedź konstrukcji jest rejestrowana przez układ czujników. Obciążenia i odpowiedzi są przesyłane do systemu rejestracji danych. Zarejestrowane dane są analizowane za pomocą odpowiedniego oprogramowania.
Schemat oprzyrządowania prób rezonansowych Czujniki pomiarowe (akcelerometry) Wzbudniki Systemy zawieszenia Wielokanałowe generatory sił System komputerowy: generowanie sił, rejestracja danych, obróbka wyników Wielokanałowe wzmacniacze sygnałów
Realizacja praktyczna prób rezonansowych Próby rezonansowe mogą dotyczyć całej konstrukcji... Próby rezonansowe samolotu Aero L-159 Próby rezonansowe zespołu: rakieta nośna Energia i wahadłowiec Buran
... podzespołu (np. silnika samolotu, skrzydła),... lub modelu do tunelowych badań aeroelastycznych
Wizualizacja linii węzłowych Gdy jest to możliwe, linie węzłów wizualizuje się za pomocą techniki proszkowej: proszek wysypany na drgającą konstrukcję gromadzi się na liniach węzłów [BAH s.772].
Postać wyników prób rezonansowych Z pomiarów uzyskuje się zespoloną charakterystykę amplitudowo-fazową Można z niej wyznaczyć częstość Im rezonansową, współczynnik wzmocnienia amplitudy i tłumienie. Re π ψ = Ze wzoru 2 gk ψ k = atan 1 (ω / ω k ) 2-30 -20 10-10 20 30-10 -20-30 wynika, że rezonans zachodzi dokładnie dla ψ = -π/2. Ze wzoru dla amplitudy drgań ξˆ k = Fk M kω k2 1-40 1/ gk -50 ω ωk -60 (1 (ω / ω k ) 2 ) 2 + g k2 można wyznaczyć współczynnik tłumienia konstrukcyjnego 1 Fk gk = 2 ξˆ k M kω k Tłumienie konstrukcyjne można wyznaczyć tylko doświadczalnie - w trakcie prób rezonansowych.
Zadania realizowane za pomocą prób rezonansowych Wyznaczanie częstości drgań konstrukcji, Wyznaczanie postaci drgań, Wyznaczanie położenia linii węzłów i strzałek poszczególnych postaci drgań. Wyznaczanie tłumienia konstrukcyjnego. Określanie rzeczywistego rozkładu mas. Identyfikacja nieliniowości konstrukcji.
DRGANIA Informacja o zjawiskach aeroelastycznych
Aroelastyczność Zjawiska aeroelastyczne lub hydroelastyczne Zjawiska w których obiekty odkształcalne zostają odkształcone na skutek oddziaływania na nie poruszającego się ośrodka (powietrza lub wody). Aeroelastyczność lotnicza zajmuje się badaniem zjawisk występujących podczas lotu samolotów lub rakiet w powietrzu. Przykłady: - kołysanie się drzew, falowanie łanów zbóż, łopotanie flag, - drgania wież, kominów i mostów na wietrze, - kołysanie się przewodów elektrycznych. Przebieg zjawiska aeroelastycznego może być gwałtowny mogą one powodować zniszczenie obiektów, n.p.: - łamanie się drzew, zawalanie się kominów czy mostów, - zrywanie przewodów sieci energetycznych, - zniszczenia skrzydeł, usterzeń samolotów, łopatek turbin lub łopat śmigłowców.
Rodzaje zjawisk aeroelastycznych Zjawiska aeroelastyczne statyczne Zjawiska, w których bezwładność konstrukcji nie ma znaczenia dywergencja skrzydeł, rewers lotek Zjawiska aeroelastyczne dynamiczne Zjawiska, w których bezwładność konstrukcji jest istotna flatter skrzydeł, flatter usterzeń, flatter powierzchni sterowych, flatter oderwania, flatter wirowy, flatter panelowy, flatter transoniczny ( buzz ), buffeting ( trzepotanie )
Flatter Flatter jest to niestateczność dynamiczna konstrukcji odkształcalnej znajdującej się w opływie. Flatter występuje zwykle na elementach na które działa nośna: skrzydłach, usterzeniach i sterach. Flatter są to drgania samowzbudne. Drgania samowzbudne Źródło energii Wymuszenie Obiekt Ruch Flatter pojawia się wtedy, gdy prędkość lotu jest większa od prędkości krytycznej VF
Zaczęło się prawie sto lat temu... Bombowiec Handley Page 0/100 - pierwszy samolot na którym wystąpił flatter usterzenia (1914) F.A. Dul 2012
Słynne samoloty mające problemy z flatterem... PZL P-23 Karaś Messerschmitt Bf-109 B RWD-6 (1936) Focke Wulf Fw 191 Supermarine Spitfire Mk.III Avro Lancaster De Havilland DH-98 Mosquito Lockheed P-38 Lightning Mitsubishi A6M Zero Hawker Typhoon Chance Vought Corsair Boeing B-29 Superfortress Su-15 North American F-86 Sabre Mucha 100 (1953) Lockheed L-188 Super Electra SZD-21 Kobuz (1960) Prof. Władysław Fiszdon (1912-2004) W latach 50. - 60. XX wieku Kierownik Katedry Mechaniki (obecnie Zakładu Mechaniki) Wydziału Mechanicznego Energetyki i Lotnictwa F.A. Dul 2012
Szybki rozwój lotnictwa w okresie II Światowej i po niej stwarzał coraz większe problemy aeroelastyczne samoloty zaczęły przekraczać prędkość dźwięku. W trakcie 39. lotu próbnego, 3 lipca 1949, na prototypie samolotu Su-15 (P) wystąpił flatter skrzydeł. Pilot katapultował się. Samolot F-86 Sabre po pomyślnym lądowaniu mimo zniszczenia usterzenia poziomego wywołanego flatterem (Korea, 1950) F.A. Dul 2012
Pojawiły się też całkiem nowe zjawiska aeroelastyczne Niemieckie rakiety V-2, osiągające wielkie prędkości naddźwiękowe (Ma >> 2) ulegały w latach 1943-1944 tajemniczym katastrofom w trakcie lotu z wielkimi prędkościami. Rakiety rozpadały się na dużych wysokościach. Zniszczeniu uległo ok. 70 rakiet. Przyczyny katastrof flatter panelowy. F.A. Dul 2012
Nawet współczesne samoloty ulegają wypadkom wskutek wystąpienia flatteru Polski samolot I-22 Iryda uległ katastrofie 30 stycznia 1987 roku w trakcie prób flatterowych wskutek wystąpienia flatteru usterzenia. Przyczyna katastrofy nieprzestrzeganie przepisów - niewłaściwa eksploatacja. F.A. Dul 2012
Flatter samolotu F-117 Baltimore, USA, 14 września 1997, pokazy lotnicze. Był to pierwszy lot samolotu po naprawie układu sterowania lotek. Samolot leciał z prędkością ok. 750 km/h, która jest dużo niższa niż prędkość krytyczna flatteru F-117. Przy wznoszeniu wystąpiły drgnia zewnętrznej części lewego skrzydła wywołane drganiami sterolotki (wykonała cztery szybkie oscylacje). Przyczyną drgań były luzy w układzie sterowania lotką. Po katastrofie zbadano 33 egzemplarze F-117 i w żadnym z nich nie stwierdzono drgań nawet przy większych prędkościach. Mimo tego w samolotach wyprodukowanych po wypadku usztywniono układ siłownika sterolotki. Przyczyna katastrofy niewłaściwa eksploatacja. F.A. Dul 2012
Flatter skrzydła - model półsztywny z U LR y x L M yr 0.7 l 2bR z b 1 b x My Kα α (t) U AC SSP be ba bxα h(t) CG Kh Model skrzydła - przekrój reprezentatywny Model półsztywny skrzydła Równania ruchu skrzydła mh + Sα α + mω h2 h = L Sα h + I α α + I α ω α2α = M y
Równania flatteru giętno-skrętnego skrzydła m h0 ω h2 ωα2 m 1 ( 1 ) + L + x + [ L L ( + a )] α α 0 = 0 h α h 2 2 2 2 2 ωα ω πρb b πρb h0 m 1 + [ M h Lh ( 2 + a )] + xα 2 πρb b 2 m ωα2 2 1 1 + rα (1 2 ) + M α ( Lα + M h )( 2 + a ) + Lh ( 2 + a ) α 0 = 0 2 ω πρb Postać macierzowa równań flatteru A(ω, U ) q = 0 q = [h0 / b, α 0 ] Warunek wystąpienia flatteru = znikanie wyznacznika flatterowego det A(ω, U ) = 0
Badanie flatteru polega na analizie stateczności rozwiązań równań modelu flatteru. W tym celu zakłada się harmoniczną postać drgań giętnych i skrętnych h(t ) = h0 e iω t α (t ) = α 0 e iω t h(t ) = h0 e ω I t sin(ω Rt ) α (t ) = α 0 e ω I t sin(ω R t + ϕ ) a następnie bada się znaki części urojonych pierwiastków ωi = Im{ω} - jeżeli ωi > 0 to ruch jest stateczny, - jeżeli ωi = 0 to ruch jest stateczny obojętnie, - jeżeli ωi < 0 to ruch jest niestateczny - występuje flatter. Ponieważ ωi zależy od prędkości przepływu ω I = ω I (U ) h(t ) h0e ω I t t sin(ω R t ) to warunek ωi = 0 pozwala wyznaczyć prędkość krytyczną flatteru VF
Reguły Pinesa (1958) Najważniejsza reguła Pinesa: Flatter nie wystąpi, jeżeli środek masy CG leży przed środkiem sił poprzecznych SSP, xα < 0 CG SSP bxα< 0 Jest to podstawowa reguła wyważania masowego skrzydeł i sterów.
Sprzężenie drgań we flatterze giętno-skrętnym Flatter giętno-skrętny skrzydła samolotu A-6
Sprzężenie drgań flatterowych całego samolotu Flatter giętno-skrętny skrzydeł samolotu Boeing B-747 Widoczne jest sprzężenie drgań giętnych i skrętnych Widoczny jest wpływ mas skupionych - silników Wzbudzona jest antysymetryczna postać drgań
Flatter usterzenia samolotu Lockheed C5-T Flatter giętno-skrętny kadłuba i statecznika pionowego Flatter usterzenia poziomego samolotu Comanche Flatter giętno-skrętny statecznika poziomego Flatter giętno-skrętny kadłuba i statecznika poziomego