Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki Stosowanej Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechnika Warszawska

Transkrypt

1 Seminarium ZMiFP, IPPT PAN, Warszawa 6 grudnia 29. Niestateczność hydrodynamiczna przepływu w szczelinie w poprzecznie pofalowanymi ścianami Jacek Szumbarski Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki Stosowanej Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechnika Warszawska

2 PLAN PREZENTACJI Motywacja Stateczność przepływu cieczy w kanale (szczelinie) o nieskończonej szerokości (podsumowanie wcześniejszych wyników) Przepływ niezaburzony w kanale o skończonej szerokości Stateczność względem małych zaburzeń: metoda numeryczna i wybrane wyniki Podsumowanie

3 MOTYWACJA ZWIĘKSZANIE EFEKTYWNOŚCI MIESZANIA W WEWNĘTRZNYCH PRZEPŁYWACH LAMINARNYCH WARUNEK EFEKTYWNOŚCI: złoŝona struktura wirowa przepływu + niestacjonarność REALIZACJA: destabilizacja przepływu przy moŝliwie najniŝszej liczbie Reynoldsa, bez o ile to moŝliwe nadmiernego zwiększania oporów ruchu Pofalowanie podłuŝne jest skuteczne, ale przy większej amplitudzie znacznie rosną opory przepływu......moŝna jednak wprowadzić pofalowanie poprzeczne! 2

4 KANAŁ (SZCZELINA) O NIESKOŃCZONEJ SZEROKOŚCI CIŚNIENIE: dp / dz = 2 / Re B OBSZAR PRZEPŁYWU Re λ y ( x + λ ) = y ( x ) D, G X D, G = 2 π / α X - podziałka H - ½ średniej wysokości H = λx 2 G D [y (x) y (x)]dx = W max H - liczba Reynoldsa ν Wmax = W (bez pofalowania) y= ( x +λ ) = ( x ) PRĘDKOŚĆ: v B = [,, W( x, y )], W, y W, y = xxw + yyw, D x X ( x, ( )) = ( x, ( x) ) = W y W y G 3

5 WPŁYW POFALOWANIA POPRZECZNEGO. Redukcja oporów hydraulicznych gdy λ > 6 X H α= Silnie zmienność wartość prędkości W w kierunku poprzecznym szczególnie dla pofalowania symetrycznego tj., gdy y ( x) = y ( x) G D 3. Radykalne obniŝenie granicy stateczności względem małych zaburzeń dla S y ( x) = y ( x), λ 6 7 H i amplitudy pofalowania (sinusoida).4 G D X q v S H 2 3 β Re = 58 L α= S= σ (,β)= Re I Re Re = 5772 L Re = 58 L dla S =.396H, α =.5 4

6 POSTAĆ NIESTABILNOŚCI mean flow direction x λ x =2π/α λ =2π/β z Pole prędkości niestabilnego modu normalnego w płaszczyźnie symetrii y =. Zaburzenie ma formę fali biegnącej ( υ f.9w ), tj. wprowadza OSCYLACJE! z y= 5

7 CZY ZACHODZI CHAOTYCZNE MIESZANIE? wall x3 y z x Trajektorie elemenów płynu w polu prędkości otrzymanym w wyniku superpozycji przepływu niezaburzonego oraz niestatecznego modu zaburzeń o amplitudzie równej 2% średniej wartości prędkości w przepływie niezaburzony (tak skonstruowane pole nie jest rozwiązaniem równań N-S). 6

8 PRZEPŁYW W KANALE (SZCZELINIE) O SKOŃCZONEJ SZEROKOŚCI W = 2, W Ω = 2 z, P ( z ) = Re 7

9 ANALIZA STATECZNOŚCI () Przepływ zaburzony V( t, x, y, z) = V ( x, y) + υ ( t, x, y, z) = [,, W]( x, y) + [ u, υ, w]( t, x, y, z), P( t, x, y, z) = P ( z) + p( t, x, y, z) Równania ewolucji pola małych zaburzeń u + W u = p + ( + + ) u t t z x Re xx yy zz z y p Re( xx yy zz) z x υ y z Re xx yy zz υ + W υ = υ w + W w+ u W + W = p + ( + + ) w t u + υ + w = x y z Warunki brzegowe [ u, υ, w] Ω = 8

10 ANALIZA STATECZNOŚCI (2) Postać pola zaburzeń (postacie normalne) [ u, υ, w, p]( t, x, y, z) = [ uˆ, ˆ υ, wˆ, pˆ ]( x, y)exp[ i( β z ωt)] + c. c. Zagadnienie własne dla postaci normalnych iω uˆ + iβw uˆ = pˆ + β uˆ x Re( 2) y ˆ Re( 2) x ˆ y Re ( 2) iωυˆ + iβw ˆ υ = p + β ˆ υ iωwˆ + iβw wˆ + uˆ W + υ W = iβpˆ + β wˆ uˆ + ˆ υ + iβ wˆ = x y Warunki brzegowe [ uˆ, ˆ υ, wˆ ] Ω = 9

11 PROCEDURA NUMERYCZNA () Transformacja obszaru fizycznego w obszar obliczeniowy [,] [,] y x H x y x G( ) ( ) = + S cos( Mπ x / L) = D( ) ξ = x / L, η x = Lξ y = H( x) η = ηh( Lξ ) = Lη Hɶ ( ξ) Funkcje bazowe (metoda Galerkina) ( ) 2 2 prędkość (, ) (, ) ( )( ) = y / H( x) = y /[ LHɶ ( x / L)] b v I ξ η b v v v J ξ η ξ η dξdη = δ IJ, bi ( ±, η) = bi ( ξ, ± ) = ciśnienie b ( ξ, η) = t ( ξ ) t ( η) p I i( I ) j( I )

12 Algebraiczne zagadnienie własne Eliminacja wektora p gdzie Ostatecznie gdzie PROCEDURA NUMERYCZNA (2) iω u + Cu + Dp = iω u2 + Cu2 + D2p = iω u3 + Cu3 + Bu + B2u2 + iβd3p = E u + E u + iβe u = C = iβa K β I 2 Re ( ) Σp = ( E C+ iβe B ) u ( E C+ iβe B ) u iβe Cu Σ = E D + E D β E D p = Hu + H2u2 + H3u 3 H = Σ ( E C+ iβe B ) 3 2 = 2 + iβ = iβσ E3C H Σ ( E C E B ) H

13 PROCEDURA NUMERYCZNA (3) Po eliminacji p otrzymujemy zagadnienie własne (wymiar N = 3 M blok, M blok ~ 4) C+D H D H D H u u D H C+D H D H u = iω u B + iβ D H B + iβ D H C+ iβ D H u u Obliczeniowo nieefektywne! M blok -krotna zerowa wartość własna! Zatem, eliminacja u 3... i u = E ( E u + E u ) 3 β Ostatecznie otrzymujemy zredukowane zagadnienie własne postaci C+ D ( H + H E E ) D ( H + H E E ) u u i i β β = iω 2( i 3 3 ) 2( i + β β 3 3 2) u2 u2 D H H E E C D H H E E 2

14 PROCEDURA NUMERYCZNA (4) Cel obliczeń poszukiwanie geometrii optymalnej, tj.: minimalizującej krytyczną liczbę Reynoldsa, albo maksymalizującej tempo wzmocnienia pola zaburzeń (czyli wartość ωi zadanej liczbie Reynoldsa = Im ω) przy RozwaŜamy ograniczona klasę kształtów: pofalowanie sinusoidalne i symetryczne y x y x G( ) = + S cos( Mπ x / L) = D( ) Analiza zmienności parametrycznej ωi = Im ω względem: liczby komórek M i szerokości kanału L (de facto 2L) liczby falowej pola zaburzeń β liczby Reynoldsa Re Problem efektywności obliczeniowej: zwykle nie ma potrzeby wyznaczania więcej niŝ jednej wartości/wektorów własnych (chyba, Ŝe badamy transient growth...) zmiana wartości parametrów geometrycznych lub zmiana wartości liczby falowej β powoduje konieczność obliczenia od nowa macierzy Σ, H,.., H 3 itd. 3

15 PROCEDURA NUMERYCZNA (5) Podstawowym narzędziem do śledzenia zmienności parametrycznej wybranej pary własnej (modu normalnego) zagadnienia Ax = λ Bx jest Metoda Odwrotnych Iteracji (MOI): Dane startowe: przybliŝona para własna ( λ, x ). Dla k=,,2...: ) rozwiąŝ ( ) 2) wyznacz liczbę k+ k A λ B w = Bx, k w + k+ k+ max taką, Ŝe wmax max{ w j, j,..,dim( )} = = A, 3) oblicz k+ k+ k+ x = w, / w max 4) oblicz p / w + = k, k+ max 5) jeŝeli pk+ pk > ε to i wróć do kroku, Koniec. w przeciwnym wypadku para własna to λ = λ + p, = k+ k+ x x. 4

16 PROCEDURA NUMERYCZNA (6) Niech ( ω; u, u2, u3, p ) to dostępne przybliŝenie wybranego modu normalnego. W kaŝdej iteracji MOI trzeba rozwiązać układ równań Cωw + Dq = u Cωw2 + D2q = u2 Cωw3 + Bw + B2w2 + iβd3q = u E w + E w + iβe w = C wˆ = u, C wˆ = u, C wˆ = u, Etap : ω ω 2 2 ω C = i A K I i I ω β β ω. 2 Re ( ), Etap 2: Sq = Ewˆ + E2wˆ 2 + i β E3wˆ 3, S = EH + E2H2 + E3H3 gdzie H = Cω D, H2 = Cω D2, H3 = β Cω [ β D3 + i ( BH + B2H2)], Etap 3: C w = u, C w = u, C = u i D q D q w B w B w D q ω ω 2 2 ω 3 3 β

17 WYNIKI OBLICZEŃ () M=7, S=.38, Re=8 M=9, S=.4, Re=8 Im(ω) L=4 Im(ω) L= β β ZaleŜność wykładnika wzmocnienia niestatecznego modu normalnego od liczby falowej β i szerokości kanału L. 6

18 .5 WYNIKI OBLICZEŃ (2) M=9, L=23, Beta=.5 Im(ω) S= Re Zmienność wykładnika wzmocnienia w funkcji liczby Reynoldsa 7

19 WYNIKI OBLICZEŃ (3).2 M=9, L=23, Beta=.48, Re= st mode. Im(ω) nd mode Dla dostatecznie wielkiej liczby Reynoldsa i amplitudy pofalowania mogą współistnieć dwa niestateczne mody normalne. W granicy S mody te odpowiadają najsłabiej tłumionym modom normalnym w kanale o przekroju prostokątnym S 8

20 WYNIKI OBLICZEŃ (4) Struktura pola prędkości NMN- 9

21 WYNIKI OBLICZEŃ (5) Struktura pola prędkości NMN-2 2

22 PODSUMOWANIE Obecność bocznych ścian stabilizuje przepływ Efekt obecności ścina bocznych słabnie wraz ze wzrostem szerokości kanału W obecności ścian bocznych pofalowanie najsilniej destabilizujące na nieco mniejszą podziałkę niŝ w przypadku geometrii okresowej Istnieje optymalna szerokość kanału (przy ustalonej liczbie komórek M) i amplituda pofalowania sinusoidalnego. Stwierdzono istnienie (przynajmniej) dwóch niestatecznych modów normalnych DALSZE BADANIA Uzupełnienie analizy parametrycznej, obliczenie krzywych stateczności neutralnej Pofalowanie jednostronne (do porównania z eksperymentem) Zbadanie wpływu nierównomierności podziałki dla małej liczby komórek (M=3, M=5) Analiza stateczności przestrzenna ( ω R, β C) 2