Moelowanie i obliczenia echniczne Równania różniczowe Numeryczne rozwiązywanie równań różniczowych zwyczajnych
Przyła ułau ynamicznego E Uła ynamiczny R 0 Zachozi porzeba wyznaczenia: C u C () i() ur ir uc i C ; E ur u C u C ( 0) 0 Wymaga o rozwiązania równania różniczowego: u C uc E; uc RC RC ( 0) 0
Moel maemayczny w posaci równań różniczowych Równania opisujące proces mogą mieć posać równań różniczowych n-ego rzęu. N-a pochona y jes zależna o niższych pochonych i pozosałych wielości: ( n) ( n ) ( n ) ( m) ( m ) y y, y,.., u, u,..., p, v 3
Przyłay zasosowań równań różniczowych o opisu moeli sysemów echnicznych Ruch bryły szywnej Przepływ cieczy i gazów Ruch w obecności arcia lub łumienia Zachowanie elerycznych obwoów RLC Przemiany energii i przepływ ciepła Dynamia silniów spalinowych i elerycznych Ruch elemenów słaowych sysemów złożonych, np. roboów 4
Równania różniczowe zwyczajne Równanie różniczowe zwyczajne o równanie, w órym wysępują uncje niewiaome, pochone ych uncji oraz sałe. W równaniach różniczowych zwyczajnych uncje niewiaome zależą o jenej zmiennej niezależnej. W moelowaniu echnicznym zazwyczaj zmienną niezależną jes czas. Równanie różniczowe zwyczajne n-ego rzęu można zapisać: lub prościej: ( n) ( n ) ( n ) ( ) ( ) ( ) ( ) y u y u, y ( n) ( n ) ( n ) y y, y u,.. y u,.. y, u, u 5
Moel maemayczny w posaci równania różniczowego Równanie różniczowe n-ego rzęu można przeszałcić w uła równań pierwszego rzęu, orzymując zw. równanie sanu: ( ( ),u( ), ) Pojeyncze równanie sanu częso jes równaniem różniczowym zwyczajnym 6
Równanie sanu sysemu liniowego Przy założeniu, że zależności są liniowe równanie sanu można zapisać w posaci macierzowej: & A Bu A macierz posawowa (unamenalna) B macierz wymuszeń (pobuzeń) oraz równania wyjścia: y C C macierz obserwacji 7
Równania różniczowe zwyczajne pierwszego rzęu Równanie różniczowe zwyczajne pierwszego rzęu można zapisać: ( ) ( ( ), ) Jego rozwiązanie wymaga usalenia sanu począowego: ( 0) 0 Rozwiązaniem (zw. rozwiązaniem zaganienia począowego) jes poszuiwana zależność uncyjna: ( ) ; la ( 0) 0 8
Przyła rozwiązania zaganienia począowego równania różniczowego Inercyjne wyracanie energii (prosy moel sosowany w wielu ułaach): Wyznaczona rajeoria jes zależna o pręości począowej. 9
Numeryczne rozwiązywanie równania różniczowego pierwszego rzęu Numeryczne rozwiązanie równania wymaga przejścia z czasu ciągłego o czasu ysrenego. Z einicji pochonej: ' ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 Dla rou obliczeń ( ): lim 0 0 0 ( ) (, ) 0
Numeryczne rozwiązywanie równania różniczowego meoa Eulera Przeszałcenie powyższego równania prowazi o zw. meoy Eulera rozwiązania równania: ( ) (, ) ( ), Jes o ieracyjny algorym należący o grupy algorymów esrapolacyjnych. Isnieje również omiana inerpolacyjna (orecyjna) algorymu w posaci równania uwiłanego: ( ),
Grupa meo Rungego-Kuy Rozwinięcie uncji () w szereg Tylora prowazi o algorymu Rungego-Kuy, wyorzysującego oaową inormację w pośrenich punach próbnych. ( ) ( ) ( ),,,, 6 3 3 4 3 Rzą meoy RK wynia ze sopnia rozwinięcia w szereg Tylora. Przyła la algorymu rzęu 4.: Algorymy ej grupy cechują się niewielim błęem esymacji olejnej warości uncji.
Uogólnienie meo rozwiązywania równań różniczowych zwyczajnych Przy założeniu, że osępna jes inormacja o poprzenio wyznaczonych warościach poszuiwanej uncji i jej pochonej ogólny wzór na olejną warość można zapisać: I J ai i bj j, i j 0 ( ) j Liczba i warości współczynniów a oraz b są różne la różnych meo. W ogólnym przypau wzór opisuje zw. algorymy niesamosarujące wymagające począowego wyznaczenia próbe przeszłych inną meoą. Należą o nich meoy: Aamsa-Bashorha, Aamsa-Moulona i Geara. 3
Implemenacje rozwiązywania równań różniczowych MATLAB: oe3, oe45, oe3 - szczegółowe echnii rozwiązań oese einiowanie opcji rozwiązań oeplo, oephas - uncje wizualizacji rozwiązań Scilab: oe grupa echni rozwiązań wywoływanych zależnie o użyych paramerów wejściowych 4
Przyła równania różniczowego opisującego sysem ynamiczny Swobony wypływu cieczy ze zbiornia Wypływ w uproszczeniu opisuje nasępujące równanie różniczowe: h D gh ξ gzie: D śrenica zbiornia śrenica oworu h wysoość słupa cieczy ξ współczynni sra hyraulicznych 5
Przyła rozwiązania numerycznego równania różniczowego % MATLAB - wyznaczenie swobonego wypływu cieczy ze zbiornia D inpu('śrenica zbiornia? '); winpu('śrenica oworu? '); H inpu('wysoość napełnienia? '); z inpu('wsp. sra hyraul.? '); h0.00; % graien wysoości hi()h; ()0; i; while hi(i) > 0 ii; hi(i)h-i*h; v(i)sqr((*9.8*hi(i))/(z)); ((D/w)^)*(h/v(i)); i i (i); else (i)(i-); en; en plo(,hi,'b'); gri on; ais([0 500 0 H]) label('czas [s]') ylabel('poziom cieczy w zbiorniu [m]') 6
Przyła rozwiązania numerycznego równania różniczowego D H 6 ξ0. ξ0.5 0,0 0,04 0,06 7