Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych

Transkrypt

1 Ryszard Myhan

2 Modelowanie zjawiska tarcia suchego Suwaka porusza się w poziomych prowadnicach, gdzie x=x(t) oznacza przesunięcie suwaka względem nieruchomej prowadnicy w kierunku zgodnym z kierunkiem siły wymuszającej P Suwak jest połączony do obudowy za pośrednictwem ściskanej sprężyny (nieważkiej i bez histerezy) o sztywności c, która oddziaływuje na suwak z siłą S(x) Ponadto założono, że współczynnik tarcia suchego µ ma inną wartość w spoczynku i inną w ruchu. W rozważanym przypadku nie uwzględnia się tarcia lepkiego

3 Modelowanie zjawiska tarcia suchego x P S c T N

4 Modelowanie zjawiska tarcia suchego Analizie poddano dwa stany: stan a poślizgu - gdy stan b brak poślizgu - gdy x > x = Równanie ruchu dla tego przypadku można zapisać w postaci: gdzie: P zew T s m m x + T = P s zew - jest sumą wszystkich sił zewnętrznych; - siłą tarcia suchego; - masą ciała.

5 Modelowanie zjawiska tarcia suchego Przebieg siły tarcia suchego T s w funkcji zewnętrznej siły wymuszającej P: T s T gr T gr P T gr co oznacza, że: T gr w stanie a wartość siły tarcia T s = T gr w stanie b wartość siły tarcia T s = P

6 Modelowanie zjawiska tarcia suchego Dla stanu a równanie ruchu przyjmie postać: x = Pzew Tgr sign( x ) m Aby zamodelować stan b, wprowadzono dodatkową funkcję Proj, zwaną funkcją projekcji Pr oj(z) = z, gdy z < 1 sign(z), gdy inaczej

7 Modelowanie zjawiska tarcia suchego Siła tarcia w stanie b wyrazi się więc zależnością: T sp = t T gdzie t gr [ 1 ; + 1 ] Wartość współczynnika t to wartość funkcji projekcji Pzew t = Pr oj Tgr Równanie ruchu w stanie b ostatecznie przyjmie więc postać: P zew t Tgr 1 Pzew x = = P zew Tgr Pr oj m m Tgr

8 Modelowanie zjawiska tarcia suchego Do wyznaczenia granicznej wartości siły tarcia T gr, zastosowano najprostszy, powszechnie znany model Newtona: gdzie: N siła nacisku; T gr = N µ µ - współczynnik tarcia suchego. Siła zewnętrzna P zew, to suma wektorowa siły wymuszającej P i siły oddzaływania sprężyny S: gdzie: c stała sprężyny; x przemieszczenie. P = c x + zew P

9 Modelowanie zjawiska tarcia suchego global c m k P mi c=1; m=1; k=1; P=; mi=input('współczynnik tarcia? '); w=input('wychylenie początkowe? '); p=input('prędkość początkowa? '); options = odeset('reltol',1e-4,'abstol',1e-4 ); hold on [T,Y] = ode45(@tar_such,[ 6],[w p],options); plot(t,y(:,1),'b',t,y(:,),'r') grid xlabel('czas [s]') ylabel('wychylenie [m], Predkosc [m/s]')

10 Modelowanie zjawiska tarcia suchego % funkcja modelująca suwak z tarciem suchym function [Dx] = tar_such(t, x) global c m k P mi PZew=-c*x(1)+P; TarGr=mi*9.81*m; Dx(1)=x(); if x()== Dx()=(PZew-TarGr*proj(PZew/TarGr))/m; else Dx()=(PZew-TarGr*sign(x()))/m; end % funkcja projekcji function [proj]=proj(z) if abs(z)<1 proj=z; else proj=sign(z); end;

11 Modelowanie wybranych zjawisk. 5 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a m i =. 1 :. 5 :. 4 p r z y D x =. 5 m i V p = m / s µ=,5 wychylenie W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ] prędkość µ=,1 µ=,5 µ=, c z a s [ s ]

12 Modelowanie wybranych zjawisk. 6 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a m i =. p r z y D x =. 1 :. 1 :. 5 i V p =. 4 X=,5 W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ] X=,1 X=,1 X=,5 prędkość wychylenie c z a s [ s ]

13 Modelowanie wybranych zjawisk Vp=,5 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a m i =. p r z y D x = i V p =. :. 1 :. 5 W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ] Vp=,5 Vp=,1 wychylenie -. 1 prędkość c z a s [ s ]

14 Modelowanie wybranych zjawisk W y n i k i d l a w s p. t a r c i a m i =. p r z y D x =. 5 i V p = m =. 3 :. 3 : 1. wychylenie m=1, W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ] m=,3 m=1, m=, prędkość c z a s [ s ]

15 Modelowanie wybranych zjawisk W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ] W y n i k i d l a w s p. t a r c i a m i =. p r z y D x =. 5 i V p = m = 1 c =. 3 :. 3 : 1. 5 c=,3 wychylenie c=1,5 c=, c=1,5 prędkość c z a s [ s ]

16 Modelowanie zjawiska tarcia lepkiego Tarcie to występuje w szczelinie miedzy powierzchniami wzajemnie przesuwających się ciał, jeżeli szczelina wypełniona jest smarem lub innym lepkim płynem (np. powietrzem). Siła tarcia lepkiego jest funkcją prędkości wzajemnego poślizgu s oraz zależy od pola powierzchni styku, natomiast można przyjąć, że nie zależy od siły docisku. Dla siły tej często przyjmuje się model: T lep = k ( x ) n sign[ x ] gdzie: k i n są empirycznie wyznaczonymi wartościami stałymi dla konkretnego przypadku

17 Modelowanie zjawiska tarcia lepkiego Jeżeli n=1 to mówimy o tarciu wiskotycznym: T lep Jeżeli płyn jest cieczą newtonowską, to wzór przyjmie postać: T lep gdzie: S jest polem powierzchni zetknięcia; τ - naprężeniem stycznym v danym wzorem τ = η h gdzie: η - to współczynnik lepkości dynamicznej v h x - jest gradientem prędkości = k = S τ sign ( x )

18 Modelowanie zjawiska tarcia lepkiego x L k P S c T N

19 Modelowanie zjawiska tarcia lepkiego % funkcja modelująca suwak z tarciem lepkim function [Dx] = tar_lep(t, x) global c m k P mi PZew=-c*x(1)+P-k*x(); TarGr=mi*9.81*m; Dx(1)=x(); if x()== Dx()=(PZew-TarGr*proj(PZew/TarGr))/m; else Dx()=(PZew-TarGr*sign(x()))/m; end

20 . 5 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a l e p l i e g o k =. :. 3 : 1. 5 p r z y m i =, D x =. 5 i V p =. 4 W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ] k=, k=1,5 k=, k=1,5 wychylenie -. 1 prędkość c z a s [ s ]

21 W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ] W y n i k i d l a w s p. t a r c i a l e p l i e g o k =. 3 :. 3 : 1. 5 p r z y m i =, D x = i V p =. 5 Układ bez sprężyny wychylenie k=,3 k=,3 k=1,5 k=1,5 prędkość c z a s [ s ]

22 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a l e p l i e g o k =. 3 :. 3 : 1. 5 p r z y m i = D x = i V p =. 5 Tylko tarcie lepkie W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ] k=,3 wychylenie. k=1,5 prędkość k=, c z a s [ s ]

23 Wypływ cieczy ze zbiornika h D H h ξ d

24 Wypływ cieczy ze zbiornika Przyjmując pewne uproszczenia, układ ten w dowolnej chwili czasu t można opisać układem dwu równań: zachowania ciągłości strugi zachowania energii (równaniem Bernuoliego) gdzie: V - to prędkość wypływu cieczy ze zbiornika ξ π h D 4 = V g h + = ξ π - to współczynnik miejscowych strat hydraulicznych. d 4 V V g t

25 Wypływ cieczy ze zbiornika Rozwiązanie tego układu stanowi równanie: a, przyjmując założenie, że h, powyższy model dyskretny można zastąpić modelem ciągłym, opisanym równaniem różniczkowym: ξ + = 1 h g D d t h h ξ + = 1 h g D d dt dh

26 Wypływ cieczy ze zbiornika % Symulacja swobodnego wypływu % cieczy ze zbiornika % Modelowanie dyskretne close all D =input('średnica zbiornika? '); dw=input('średnica otworu? '); H =input('wysokość napełnienia? '); z =input('wsp. strat hydraul.? '); dh=.5; % gradient wysokości hi(1)=h; t(1)=; i=; while hi(i) > i=i+1; hi(i)=h-i*dh; v(i)=sqrt((*9.81*hi(i))/(1+z)); dt=((d/dw)^)*(dh/v(i)); if i==1 t(i)=dt; else t(i)=t(i-1)+dt; end end plot(t,hb,'b'); grid on; axis([ 5 h]) xlabel('czas [s]') ylabel('poziom cieczy w zbiorniku')

27 5 H z = 5 m ; D z = 1 m ; d w =.,. 3,. 4,. 5 m ; w s p. o p. m i e j. =. 1, d=, ξ=,5 P o z i o m c i e c z y w z b i o r n i k u d=, ξ=,1 d=,5 ξ=,5 d=,5 ξ=, c z a s [ s ]

28 8 d w =.,. 3,. 4,. 5 m ; w s p. o p. m i e j. =. 1 ; Q = 1 m 3 ; h = 4, 6, 8 m P o z i o m c i e c z y w z b i o r n i k u d=, d=,3 d=,4 d=, c z a s [ s ]

29 5 W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ] dh dt = Model ciągły d D Model dyskretny h=,1=const. h t = g h 1 + ξ d D g h 1 + ξ c z a s [ s ]

30 Rozwiązywanie zagadnienia początkowego MATLAB MATLAB zawiera funkcje rozwiązujące zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą : pary metod i 3 - funkcja ode3 [T,X]=ode3( F(t,x), t, tk, x, tol, tr) pary metod 4 i 5 - funkcja ode45 [T,X]=ode45( F(t,x), t, tk, x, tol, tr )

31 Rozwiązywanie zagadnienia początkowego MATLAB gdzie: F(t,x) łańcuch zawierający nazwę zapisanej w skrypcie funkcji t, tk granice przedziału czasu poszukiwania rozwiązania x tol tr wektor kolumnowy rozwiązania początkowego parametr opcjonalny określający dokładność (1-3 ) parametr opcjonalny (tr<>) powoduje wypisanie na ekranie kolejnych kroków realizacji obliczeń

32 Rozwiązywanie zagadnienia początkowego Przykład: oscylator liniowy z tłumieniem m x 1 d dt d = dt x x x x; 1 = = x k x = ( k dx dt a x 1 dx dt x a x function [Dx]=osc(t,x) global M A K ) 1 m Dx=[x();(-K*x(1)-A*x())/M]; M=1; A=.5; K=1;global M A K [T,X]=ode3('osc',,,[1 ]'); subplot(,1,1); plot(t,x(:,1),t,x(:,)); grid on; title('ode3: m=1, k=1, a=.5'); A=.1; [T,X]=ode45('osc',,,[1 ]'); subplot(,1,); plot(t,x(:,1),t,x(:,)); grid on; title('ode45: m=1, k=1, a=.1');

33 Rozwiązywanie zagadnienia początkowego 1 o d e 3 : m = 1, k = 1, a = o d e 4 5 : m = 1, k = 1, a =

34 Równanie Duffinga Przy rozwiązywaniu układu równań wyższego rzędu konieczne jest sprowadzenie równania do postaci zwyczajnej. równanie wprowadzenie zmiennych d zapis końcowy d dt dt x x x 1 + k dx dt ( 3 x x ) = a sin( t) dx1 x1 = x ; x = dt = k x + b ( 3 x x ) + a sin( t) 1 x

35 Równanie Duffinga - rozwiązanie o d e 3 : k =., b = 1, a = o d e 4 5 : k =. 1, b = 1. 1, a =