Transkrypt

1 Praca omowa nr. Meoologia Fizyki Grupa. Szacowanie warości wielkości fizycznych i posawy analizy wymiarowej W wielu zaganieniach ineresuje nas przybliżona warość wielkości fizycznej X. Może o być spowoowane ym, że wyznaczenie okłanej warości rwałoby ługo, wymagałoby oakowych informacji lub anych, kórymi nie ysponujemy albo są nam nieporzebne. W innych przypakach chcemy jeynie mieć grube oszacowanie warości wielkości fizycznej z okłanością, jak mówimy, co o rzęu wielkości. Szacowanie prowazimy w nasępujący sposób: Liczbę x określającą miarę (liczbę jenosek) wielkości X w ukłazie SI zaokrąglamy o jenej cyfry znaczącej i zapisujemy ją w sysemie ziesięnym w posaci wykłaniczej (scienific noaion): M 0 n ; gzie M liczba rzeczywisa, n wykłanik. Np. jeśli znamy oległość 443 m, o l m, a jeśli znamy liczbę sekun 364 s, o s. Nasępnie na ak orzymanych liczbach okonujemy operacji algebraicznych i orzymany wynik zapisujemy w posaci liczby wykłaniczej o posawie ziesięć z jeną cyfrą znaczącą. Przykłaowo, jeśli szacujemy rzą warości prękości v = l/, gzie l = 60 8 m i = 3 64 s, o w szacowaniu przyjmujemy kolejno l 0 6 m, s i orzymujemy v ( 0 6 m)/(4 0 3 s) = 5 0 m/s. Posawy analizy wymiarowej (parz hp:// Znak równości w fizyce oznacza równość warości (liczby jenosek) i wymiarów (jenosek) wielkości fizycznych znajujących się po obu sronach znaku. Każa pochona wielkość fizyczna ma wymiar, kóry wyraża się za pomocą (wymiarów) wielkości posawowych ukłau SI. Wymiarami posawowych wielkości fizycznych w SI są na posawie efinicji: ługość symbol L, czas symbol T, masa symbol M, emperaura symbol K, naężenie prąu symbol I, świałość symbol C. Wymiar wielkości pochonej X symbol im X = [X], jes określany za pomocą efinicji ychże wielkości i jes wyrażany jes w posaci iloczynu lub ilorazu wielkości/wymiarów posawowych w opowienich poęgach (poniesionych o opowienich poęg), wykłaniki poęgowe nazywa się wykłanikami wymiarowymi. Jeśli pochoną wielkością fizyczna jes praca, o im P = [P]= (im F) L=MLT - L= L MT -. Symbole pochonych wielkości fizycznych piszemy kursywą, a wymiar X oznaczamy zamiennie symbolami: im X lub [X]. Analiza wymiarowa rakuje wymiary jako wielkości algebraiczne, na kórych można wykonywać posawowe ziałania algebraiczne (oawanie, oejmowanie, mnożenie, zielenie, poęgowanie, pierwiaskowanie). Dwie posawowe reguły analizy wymiarowej: R. Wielkości fizyczne mogą być oawane lub oejmowane po warunkiem, że mają en sam wymiar. R. Wymiary srony lewej i prawej poprawnie sformułowanej równości wielkości fizycznych powinny być akie same. Przykła. Czy poprawnym jes wzór s = cons a, określający zależność rogi o czasu w prosoliniowym ruchu jenosajnie przyspieszonym? Rozwiązanie: [s] = L, a wymiar prawej srony [a ] = [a][ ] = (LT - )T = L. Opowiez: Wzór jes poprawny z okłanością o bezwymiarowego czynnika cons. Zasosujemy analizę wymiarową o wyznaczenia posaci zależności funkcyjnej ypu iloczynowego mięzy kilkoma wielkościami fizycznymi. Przykła. Załóżmy, ze hipoeyczna zależność mięzy przyspieszeniem a ciała wykonującego ruch po okręgu o promieniu R ze sała prękością v jes posaci a = v a R b. Jakie są warości wykłaników wymiarowych a i b? Rozwiązanie: Skorzysamy z ego, że im a =[a]= LT - i że en sam wymiar powinna mieć prawa srona wzoru, j. im (v a R b )=[ v a R b ] = (LT - ) a L b = L a+b T -a. Aby więc wymiary obu sron wzoru były zgone winny zachozić równości a+b = i a =. Zaem mamy opowieź: a = i b =, jak powinno być. Uwaga: Powyższą analizę można przeprowazić posługując się w miejsce wymiarów jenoskami wielkości fizycznych. Przypomnijmy warości i wymiary uniwersalnych sałych przyroy: sała grawiacji: G = 6, L 3 /(MT ), im G = [G] = L 3 M - T -, sała Diraca: ħ = h/π =, kg m /s, więc im ħ = im h = M L T -, prękość świała: c = m/s, im c = M T

2 Za... a) Oszacuj grubość karki papieru wybranej przez siebie książki, mierząc najpierw jej grubość i oczyując liczbę sron. b) Korzysając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć zależność i obliczyć warości wykłaników a, b, c, jeśli założona zależność ma posać P = (ħ ) a (c) b (G) c czas (sekunę) Plancka; więcej na sronach hp://pl.wikipeia.org/wiki/jenoski_plancka i hp:// Za.. a) Oszacuj liczbę proonów we własnym ciele, zakłaając, że ciało skłaa się w 85% z woy. b) Liczba Reynolsa L RE służy o określania charakeru przepływu rzeczywisego płynu o lepkości ynamicznej µ (jenoską jes Pa s), gęsości ρ poruszającego się z prękością V w rurze o śrenicy D. Jeśli L RE > 00 przepływ jes płynu jes laminarny. Zakłaając, że szukana zależność maemayczna ma posać (µ) a (V) b (D) c (ρ), należy wyznaczyć warości wykłaników a, b, c i korzysając z reguł analizy wymiarowej. Za..3 a) Oszacuj powierzchnię i objęość swego ciała. b) Warość prękości cząseczek gazu iealnego V zależy o masy cząseczki, sałej Bolzmanna k B oraz emperaury bezwzglęnej T gazu, przy czym warość V ana jes (przypuszczamy) wzorem (m) a (k B ) b (ωt) c ; należy wyznaczyć warości wykłaników a, b, c korzysając z reguł analizy wymiarowej. Za..4 a) Oszacuj liczbę uerzeń serca w ciągu prognozowanego samozielnie czasu swego życia. b) Warość energii E elekronu w moelu Bohra aomu wooru zależy o masy elekronu m, łaunku elekronu q, przenikalności elekrycznej próżni ε 0 i sałej Plancka h. Zakłaając, że poszukiwana zależności jes posaci (m) a (q) b (h) c (ε 0 ) wyznacz warości wykłaników a, b, c i korzysając z reguł analizy wymiarowej. Za..5 a) Oszacuj liczbę oechów w ciągu prognozowanego samozielnie czasu swego życia. b) Korzysając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć posać maemayczną zależności prękości V fali mechanicznej w mealu zakłaają, że zależność a ma posać (E) (ρ) e, gzie E mouł Younga, ρ gęsość mealu, j. należy wyznaczyć warości wykłaników i e. Za..6 a) Oszacuj liczbę aomów miezi w jenym merze sześciennym ego mealu, niezbęne ane znajź w ablicach. b) Korzysając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć zależności i obliczyć warości wykłaników, e, f, jeśli założyć, że poszukiwana zależność ma posać l P = (ħ ) (c) e (G) f ługość (mer) Plancka); więcej na sronach hp://pl.wikipeia.org/wiki/jenoski_plancka i hp:// Za..7 a) Oszacuj liczbę aomów powierza w pomieszczeniu, w kórym akualnie przebywasz. b) Za..5. Siła F bezwłaności Coriolisa, ziała na ciała o masie m poruszające się z prękością o warości V w ukłazie oniesienia obracającym się z prękością kąowa ω, przy czym warość F ana jes (zakłaamy) formułą (m) a (V) b (ω) c ; należy wyznaczyć warości wykłaników a, b, c korzysając z reguł analizy wymiarowej. Za..8 a) Oszacuj liczbę cząseczek woy we własnym ciele, zakłaając, że ciało skłaa się w 80% z woy. b) Korzysając z reguł analizy wymiarowej należy oworzyć zależności czasu T obiegu gwiazy o masie m planey orbiującej wokół ej gwiazy w oległości r, wieząc, że szukana zależności jes ana wzorem (G) a (r) b (m) c, gzie G sała grawiacji; należy wyznaczyć warości wykłaników a, b, c. Uwaga: Niezbęne ane posaraj się określić/przyjąć/wyznaczyć samozielnie Grupa. Elemeny rachunku wekorowego i ukłay współrzęnych Za. A Pokaż z efinicji, że iloczyn skalarny wóch wekorów ma posać w karezjańskim ukłazie współrzęnych posać a b = a b + a b + a b. x x y y z z Za. B Pokaż z efinicji, że iloczyn wekorowy wóch wekorów anych w karezjańskim ukłazie współrzęnych ma posać: i j k a a a a a a y z x z x y a b = b a = a a a = i j + k = x y z b b b b b b y z x z x y b b b x y z ( ) + ( y z z y z x x z ) + ( x y y x ) = a b a b i a b a b j a b a b k.

3 . a) Przesaw rozwiązanie zaań A i B zamieszczonych powyżej. b) Dane są wa wekory: a = 3î + 4ĵ 5k oraz b = î +ĵ +6k. Wyznacz: ługość każego wekora, iloczyn skalarny a b, ką pomięzy wekorem (a b) a wekorem (a + b), współrzęne wekora a + b w sferycznym ukłazie współrzęnych, przyjmując, że jes zaczepiony w począku ukłau współrzęnych.. a) Przesaw rozwiązanie zaań A i B zamieszczonych powyżej. b) Wekory a i b spełniają relacje: a + b = î ĵ +5k ; a 5b = 5î +ĵ + 9k. Wyznacz wekory a i b. Czy wekory e są o siebie prosopałe? Wyznacz współrzęne wekora a b w cylinrycznym ukłazie współrzęnych, przyjmując, że jes zaczepiony w począku ukłau współrzęnych..3 a) Przesaw rozwiązanie zaań A i B zamieszczonych powyżej. b) Dany jes wekor a = 7î + ĵ. Wyznacz wekor jenoskowy, prosopały o ego wekora, współrzęne wekora 5a w biegunowym ukłazie współrzęnych, przyjmując, że jes zaczepiony w począku ukłau współrzęnych..4 a) Przesaw rozwiązanie zaań A i B zamieszczonych powyżej. b) Dane są wa wekory: a = 3î + 4ĵ oraz b = 6î + 6ĵ. Rozłóż wekor b na skłaowe: równoległą i prosopałą o wekora a. Wyznacz współrzęne wekora a b w sferycznym ukłazie współrzęnych, przyjmując, że jes zaczepiony w począku ukłau współrzęnych..5 a) Przesaw rozwiązanie zaań A i B zamieszczonych powyżej. b) Wekor siły A o ługości 5 N ziała w płaszczyźnie XY i jes nachylony po kąem 30 wzglęem osi 0X. Zapisz wekor w posaci A = A x î + A y ĵ. Wyznacz współrzęne wekora 3A w biegunowym i cylinrycznym ukłazie współrzęnych, przyjmując, że jes zaczepiony w począkach ukłaów współrzęnych..6 a) Przesaw rozwiązanie zaań A i B zamieszczonych powyżej. b) Dane są wa wekory: A = î + 5ĵ oraz B = î 4ĵ. Wyznacz: ługości obu wekorów, ługość C = A + B oraz ką jaki worzy on z wekorem A. Wyznacz współrzęne wekora C w biegunowym i sferycznym ukłazie współrzęnych, przyjmując, że jes zaczepiony w począkach ukłau współrzęnych..7 a) Przesaw rozwiązanie zaań A i B zamieszczonych powyżej. b) Wekory a i b spełniają relacje: a + b = 5î + 3ĵ +7k ; a 5b = 5î +8ĵ 5k. Wyznacz wekory a i b oraz ką mięzy ymi wekorami. Wyznacz współrzęne wekora a b w sferycznym ukłazie współrzęnych, przyjmując, że jes zaczepiony w począku ukłau współrzęnych..8 a) Przesaw rozwiązanie zaań A i B zamieszczonych powyżej. b) Dane są wa wekory: a = 3î + 4ĵ + 9k oraz b = 6î ĵ +4k. Wyznacz: ługość każego wekora, iloczyn skalarny a b, ką pomięzy ymi wekorami. Wyznacz współrzęne wekora a+b w cylinrycznym ukłazie współrzęnych, przyjmując, że jes zaczepiony w począku ukłau współrzęnych. Grupa 3. Elemeny rachunku różniczkowo-całkowego Rozwiąż zaanie korzysając z ablic maemaycznych, zamieszczonych poniżej; należy znaleźć w ablicy opowienie wzory i zasosować je. Przykła. Całka nieoznaczona jes roziną funkcji, kórych pochone sa równe funkcji pocałkowej; całka oznaczona jes liczbą, kórej warość obliczamy, jako różnicę warości całki nieoznaczonej, opowienio, la górnej i olnej granicy całkowania. Przykła: ( ) ( ) ln x x = x ln x x + cons, ale ln x x = x ln x x = ln ln. Można sprawzić bezpośrenim rachunkiem, że pochona funkcji pierwonej x ln x x + cons jes równa funkcji pocałkowej ln x. Za. 3. Wyznaczyć pochoną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (parz ablica wzorów maemaycznych): sin A ( ) ( ( )) v =, cos( A ), sin ( A) ; A sała. Za. 3. Wyznaczyć pochoną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (parz ablica wzorów maemaycznych): ( ) ( cos ( A )) v =, sin ( A ), cos( A) 3 ; A sała.

4 Za. 3.3 Wyznaczyć pochoną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (parz ablica wzorów maemaycznych): v ( ) = ( ln( A ) sin ( ω )), sin, 6 e ; A sała. Za. 3.4 Wyznaczyć pochoną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (parz ablica wzorów maemaycznych): ( ) A v ( ) = e sin ( A ), cos, 6 e ; A sała; ws-ka: sin + cos =. Za. 3.5 Wyznaczyć pochoną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (parz ablica wzorów maemaycznych): =,, + A A ( ) ( e ) v ; A sała. Za. 3.6 Wyznaczyć pochoną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (parz ablica wzorów maemaycznych): A ( ) ( sin( A ) e ) v =, ( + A ) 3/, 4 ( + 7 ) 3/ ; A sała. Za. 3.7 Wyznaczyć pochoną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (parz ablica wzorów maemaycznych): v ( ) = ( A ln(a )), ( + A ) 3/, 7 ( + 7 ) 5 3/ ; A sała. Za. 3.8 Wyznaczyć pochoną, całkę nieoznaczoną i oznaczoną (parz ablica wzorów maemaycznych): v = +,, + A ( ) ( A ln(a )) 5 ( + 7 ) 3/ ; A sała. Wrocław, X 05 W. Saleja 4

5 Pożyeczne maeriały osępne w Inernecie hp://pl.wikibooks.org/wiki/meoy_maemayczne_fizyki hp://pl.wikibooks.org/wiki/meoy_maemayczne_fizyki/działania_na_wekorach#iloczyn_mieszany Dowó ze srony: hp://pl.wikibooks.org/wiki/meoy_maemayczne_fizyki/działania_na_wekorach#iloczyn_mieszany Iloczyn mieszany Pierwsza równość w (.3) jes iloczynem skalarnym wekorów c i a b. Tożsamości (.4) są nasępswem właściwości wyznacznika z (.3). Przesawiając pierwszy wiersz kolejno z rugim i rzecim orzymujemy pierwszą równość (.4), j. a a a x y c b b b x y z c c c x y c Poobnie przesawiając osani wiersz kolejno z rugim i pierwszym osajemy rugą równość w (.4), j. Wrocław, X 05 b b b x y c c c c. x y z a a a x y c. W. Saleja 5

6 6

7 7

8 Wrocław, X K. Tarnowski