Niezwkła hiperbola, twierdzenia o wartości średniej i równania funkcjne Tomasz TKOCZ, Warszawa Streszczenie Celem artkułu jest zaprezentowanie jak twierdzenia o wartości średniej mogą prowadzić do równań funkcjnch Jako zastosowanie takiego podejścia pokazano kilka, jak się wdaje mało znanch, własności hiperboli Rs 1 Twierdzenie Lagrange a Rs Parabola a twierdzenie Lagrange a por tw 3 Rs 3 Hiperbola a twierdzenie Lagrange a por tw 4 O co chodzi w twierdzeniach o wartości średniej? O to, że istnieje pewien punkt średni Najsławniejsze jest twierdzenie Lagrange a Twierdzenie 1 Lagrange Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła i różniczkowalna na a, b, to istnieje punkt średni ξ a, b dla którego f ξ Interpretując geometrcznie, istnieje punkt w którm stczna jest równoległa do siecznej Interpretacja fizczna może zaś bć np taka, że jadąc Kawasaki po pustni, dla dowolnego przedziału czasu [t 1, t ] istnieje chwila t 0 [t 1, t ], w której prędkość Kawasaki jest równa jego prędkości średniej po całm przedziale czasu [t 1, t ] Stąd już krok do równań funkcjnch, bo można zaptać: dla jakich funkcji będzie tak, że punkt średni ξ jest zawsze średnią artmetczną końców przedziału, czli środkiem przedziału a, b? Można też oczwiście ptać o inne średnie, i trzeba Solidną literaturą na ten temat jest monografia [SR] i praca [Ku] prof Marka Kuczm, twórc polskiej szkoł równań funkcjnch Weźm np parabolę zadaną jako wkres funkcji f : R R określonej wzorem f Dla ustalonch liczb a b końców przedziału mam a + b a + b f Zatem dla paraboli punkt średni z tez twierdzenia Lagrange a okazuje się bć średnią artmetczną końców przedziału Spróbujm analogicznie przebadać co się dzieje dla hiperboli Weźm więc, powiedzm, funkcję f : 0, R, f 1/ i zauważm, że teraz 1/b 1/a 1 ab f ab Okazuje się tm samm, że dla hiperboli rolę punktu średniego gra średnia geometrczna Skoro tak dobrze nam idzie, może uda nam się znaleźć nietrwialną krzwą dla funkcji liniowej oczwiście każd punkt ξ a, b w tezie twierdzenia Lagrange a jest dobr dla której średnia harmoniczna wzięta z końców przedziału będzie punktem średnim? Testując jeszcze kilka innch elementarnch funkcji, które od razu przchodzą do głow i widząc, że nie wchodzi, możem zacząć się bać Trzeba jednak zachować spokój i najpierw postawić dobrze problem Chodzi przecież o to, ab znaleźć wszstkie funkcje f, powiedzm z 0, w R, różniczkowalne, o tej własności, że dla dowolnch różnch liczb dodatnich a, b ma miejsce równość f W ten sposób dostaliśm do rozwiązania równanie funkcjno różniczkowe Odważn krok, polegając na uogólnieniu tego równania w ten sposób, że zamiast pochodnej wprowadzim do gr nową niewiadomą funkcję h, pozwala w zadziwiając sposób je rozwiązać Pora udowodnić odpowiednie twierdzenie 1
Interesujące, prawda? Dla średniej harmonicznej nie ma nietrwialnej krzwej! Twierdzenie Funkcje f, h : 0, R spełniają fa fb h wted i tlko wted, gd dla pewnch stałch α, β R f α + β, h α, Dowód Oczwiście łatwo sprawdzić, że funkcje f α + β, h α spełniają podane równanie Dowodzim więc w drugą stronę, czli załóżm, że dla funkcji f, h nasze równanie funkcjne jest spełnione Równoważnie, już dla wszstkich a, b > 0, mam fa fb h Jest jasne, że bez utrat ogólności możem zakładać, że f1 0 Wstawiając b 1 dostajem fa a 1h, a > 0 1 + 1/a Tak wliczone f wstawiam do wjściowego równania otrzmując już tlko równanie funkcjne z jedną niewiadomą funkcją h a 1h b 1h h 1 + 1/a 1 + 1/b Zamieńm zmienne 1 a, 1 b i wprowadźm funkcję H : 0, R zadaną wzorem H h, > 0 Wówczas 1 H1 + 1 H1 + 1 H +,, > 0 Znowu łatwo widać, że bez utrat ogólności możem założć, że H1 0 Wstawiam 1 dostając 1 H1 + H, dla 0, 1 1 Wkorzstując to prz zamianie na 1 w ostatnim równaniu otrzmujem 1 H + 1 1 H1 + H 1 1 1 1 H1 + H1 + 1 Stąd, dla > 0, 0 < < 1, + 1 i mam Zamieniam oczwiście zmienne H + H + 1 1 + 1 + 1 { u + v + 1 H +, > 0, 0, 1 1 u + v 1 u v + 1 i definiujem funkcję pomocniczą Gu Hu 1 u, dla u > 0, u 1, otrzmując
Gu Gv 1 + u v 1 u + v, 1 dla u, v > 0, u, v 1, u + v > 1, v 1 < u < 1 + v, co można zgrabniej napisać tak u, v > 0 u, v 1, v 1 < u < v + 1 Pokażem teraz, że funkcja G musi bć stale równa 0 W tm celu ustalm liczbę naturalną n i wstawm do 1 v n Dostaniem Gu Gn 1 n + u 1 + n u, n 1 < u < n + 1 Mam więc obliczone G na przedziale n 1, n + 1 Nie znam jeszcze tlko wartości stałej Gn Łatwo ją jednak obliczć użwając 1 i dopiero co otrzmanego wzoru Wstawiając u n 1, v n + 1 3, mam czli Gn 1 n + n 1 1 + n n + 1 Gn 1 n + n + 1 3 1 + n n 1 3 Gn 3 0, 11 1 5 6 1 + 5, 6 skąd Gn 0 Zatem G 0 na n 1, n + 1 Wracam i mam też, że H 0 na przedziale n 1, n + 1 Z równania na f fa a 1H 1 + 1 a W razie kłopotów można zajrzeć np do [Acz] lub [Tko] mam zatem, że fa 0 dla a takich, że 1 + 1 a n 1, n + 1, czli dla 1 a n, 1 n Z dowolności n mam, że f 0 na 1 n n, 1 n 0, Tm samm wwnioskowaliśm wreszcie, że f 0, co od razu daje, że h 0 Ale zakładaliśm po drodze, że H1 0 oraz f1 0 Ogólnie, dostaniem h h1 : α i f f1 + 1α α + β, gdzie β : f1 α W duchu tch rozważań zaptajm na ile parabola i hiperbola są wjątkowe Okazuje się, że z punktu widzenia odpowiednio średniej artmetcznej i geometrcznej jako punktu średniego z tez twierdzenia Lagrange a te krzwe są jedne w swoim rodzaju Twierdzenie 3 Funkcje f, h : R R spełniają fa fb a + b h, a b, wted i tlko wted, gd dla pewnch stałch α, β, γ R f α + β + γ, h α + β, Twierdzenie 4 Funkcje f, h : 0, R spełniają wted i tlko wted, gd fa fb h ab dla pewnch stałch α, β, γ R f α + β + γ, h α + β, Dowod tch twierdzeń są niemalże identczne Cztelnik jest zaproszon do samodzielnego wmślenia ich można próbować naśladować dowód twierdzenia ; wszstko powinno wjść prościej i szbciej, bo przpadek średniej harmonicznej okazuje się bć najbardziej paskudn 3
Rs 4 Twierdzenie Pompeiu Spróbujm średniej harmonicznej poszukać jednak gdzie indziej W 1946 roku patrz [Po] Pompeiu znalazł inne twierdzenie o wartości średniej Twierdzenie 5 Pompeiu Niech [a, b] będzie przedziałem niezawierającm zera Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła i różniczkowalna na przedziale a, b, to istnieje punkt średni ξ a, b dla którego afb bfa fξ ξf ξ Geometrcznie chodzi o to, że istnieje punkt ξ w którm jeśli się wstawi stczną do wkresu funkcji f, to przetnie ona oś O w tm samm punkcie co sieczna przechodząca przez punkt a, fa i b, fb Istotnie, równanie takiej siecznej to Przecina ona oś O w punkcie o rzędnej a + fa a + fa afb bfa Równanie stcznej do wkresu funkcji f w punkcie c, fc ma postać cf c + fc, Rs 5 Hiperbola a twierdzenie Pompeiu por tw 6 więc ta stczna przecina oś O w punkcie o rzędnej fc cf c Zgadza się! Dowód tego twierdzenia nie jest trudn Wstarcz zauważć, że przecież afb bfa fb/b fa/a 1/b 1/a F v F u, v u gdzie zamieniam zmienne w argumencie według wzoru 1 i wprowadzam pomocniczą funkcję F f łatwo zobaczć, że wstarcz już tlko zastosować twierdzenie Lagrange a do funkcji F i przedziału o końcach u, v Policzm lewą stronę np dla naszej ulubionej hiperboli f 1/ Mam afb bfa a/b b/a 1 a + 1 b Dzieje się cud, bowiem prawa strona dla średniej harmonicznej ξ 1/a+1/b wnosi tle samo Co więcej, z twierdzenia 3 i przedstawionej techniki dowodu twierdzenia Pompeiu od razu dostajem wniosek, że hiperbola jest jedną funkcją o tej własności Twierdzenie 6 Funkcje f, h : 0, R spełniają afb bfa h wted i tlko wted, gd f α + β + γ, h f f, Rs 6 Niezwkła własność hiperboli dla pewnch stałch α, β, γ R Niezwkła własność hiperboli o którą chodzi w ttule jest więc taka, że jest to jedna krzwa dla której punkt średni Lagrange a jest zawsze średnią geometrczną, a punkt średni Pompeiu średnią harmoniczną końców przedziału Warto pooglądać to sobie na rsunku 6 Jako produkt uboczn, widzim też na obrazku dobrze znaną nierówność międz tmi średnimi Całą tę zabawę można kontnuować na co najmniej dwa sposob Po pierwsze, można się zaptać gdzie jest średnia kwadratowa? Po drugie, są przecież jeszcze inne twierdzenia o wartości średniej np twierdzenie Fletta, patrz [Fl] Ale to już są temat na inną opowieść 4
Literatura [Acz] J Aczél, A Mean Value Propert of the Derivative of Quadratic Polnomials-without Mean Values and Derivatives, Mathematics Magazine 58 1985, 4 45 [Fl] T M Flett, A Mean Value Theorem, The Mathematical Gazette, 4 1958, 38 39 [Ku] M Kuczma, On the quasiarithmetic mean in a mean value propert and the associated functional equation, Aequationes Mathematicae 41 1991, 33 54 [Po] D Pompeiu, Sur une proposition analogue au théorème des accroissements finis, Mathematica, Timisoara 1946, 143 146 [SR] P K Sahoo, T Riedel, Mean Value Theorems and Functional Equations, World Scientific Publishing Co, NJ 1998 [Tko] T Tkocz, Od własności paraboli do równania funkcjnego, Delta 3 418 009, 4 5 5