A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZTYT 389 TORUŃ 2009 Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki Mariola Piłaowska PROGNOZY KOMBINOWANE Z WYKORZYSTANIEM WAG AKAIKE A Z a r y s r e ś c i. W arykule uwaga jes skupiona na podejściu wykorzysującym kryeria informacyjne, a w szczególności kryerium Akaike a, kóre jes wykorzysywane do wyznaczenia wag Akaike a. Podejście o umożliwia orzymanie nie jednego, a kilku wiarygodnych modeli, dla kórych można sworzyć ranking sosując wagi Akaike a. Modele e sanowią podsawę obliczenia prognoz indywidualnych, a e z kolei służą do wyznaczenia osaecznej prognozy kombinowanej, przy formułowaniu kórej wykorzysuje się wagi Akaike a. S ł o w a k l u c z o w e: prognozy kombinowane, sysemy wag, kryeria informacyjne. 1. WSTĘP Dzięki rozwojowi meod analizy szeregów czasowych oraz zdolności obliczeniowych kompuerów, prognozując ę samą zmienną ekonomiczną na podsawie różnych meod można ławo orzymać wiele różnych prognoz. Do wyboru najlepszej prognozy wykorzysuje się wiele kryeriów wyboru bazujących na przebiegu prognoz ex pos (Armsrong, 2001). Alernaywnym podejściem w sosunku do szukania najlepszej prognozy indywidualnej jes wyznaczenie prognoz kombinowanych. Już od czasu pionierskiej pracy Baesa i Grangera (1969) wiadomo, że prognozy kombinowane mogą mieć mniejszy średni błąd prognozy (MSFE, mean square forecas error) niż każda z indywidualnych prognoz 1. Sąd zamias szukać jednego najlepszego modelu prognosycznego wyznacza się prognozy kombinowane spośród wszyskich dosępnych prognoz lub pewnej ich grupy. Uzasadnieniem dla prognozowania kombinowanego (czy uśredniania modeli, ang. model averaging) jes fak, że nie jes znany model generujący dane 1 Praca Baesa i Grangera (1969) spowodowała rozwój badań doyczących prognozowania kombinowanego (por. przeglądową pracę Timmermanna, 2006).

52 MARIOLA PIŁATOWSKA (prawdziwy model), a zaem każdy model sanowi aproksymację nieznanego mechanizmu generującego. Modele e mogą być niekomplene (nie do specyfikowane) pod różnymi względami, prognozy wyznaczane na ich podsawie mogą być obciążone, a jeśli nawe prognozy są nieobciążone, o kowariancje między nimi mogą być różne od zera. W akiej syuacji wyznaczenie prognoz kombinowanych na podsawie nie do specyfikowanych modeli (czy nawe błędnie wyspecyfikowanych) może polepszyć prognozy w sosunku do prognoz indywidualnych orzymanych z poszczególnych modeli. W związku z ym pojawia się pyanie doyczące schemau wyboru indywidualnych prognoz spośród dosępnych prognoz oraz sysemu wag wykorzysanego przy wyznaczaniu prognoz kombinowanych. Szczególne znaczenie ma wybór sysemu wag. Najczęściej wyróżnia się nasępujące schemay wag: wagi jednakowe (Sock, Wason, 2004, 2006; Marcellino, 2004), wagi Akaike a (Akinson, 1980; Swanson, Zeng, 2001; Kapeanios i inni, 2008), wagi R 2 (Kichen, Monaco, 2003), kowariancyjne podejście i zopymalizowane wagi ograniczone (Jagammahan, Ma, 2003), wagi bayesowskie (Min, Zellner, 1993; Diebold, Pauly, 1980; Wrigh, 2003). W arykule uwaga jes skupiona na podejściu wykorzysującym kryeria informacyjne, a w szczególności kryerium Akaike a, kóre posłuży do wyznaczenia wag Akaike a. Podejście o umożliwia orzymanie nie jednego, a kilku wiarygodnych modeli, dla kórych można sworzyć ranking sosując wagi Akaike a. Modele e sanowią podsawę obliczenia prognoz indywidualnych, a e z kolei służą do wyznaczenia osaecznej prognozy kombinowanej, przy formułowaniu kórej wykorzysuje się wagi Akaike a. Arykuł sanowi popularyzację nieznanych wcześniej w polskiej lieraurze wag Akaike a oraz ilorazu szans do zagadnienia wyboru modeli spośród określonego zesawu modeli, a akże wyznaczania prognoz kombinowanych. Celem arykułu jes zaproponowanie procedury wyznaczania prognoz kombinowanych według wag Akaike a, a akże porównanie prognoz kombinowanych orzymanych według wag Akaike a i wag jednakowych w odniesieniu do prognoz indywidualnych wyznaczonych z jednego, najlepszego modelu wybranego według kryerium Akaike a oraz według radycyjnego podejścia oparego na esowaniu hipoez saysycznych. Analiza zosanie przeprowadzona w ramach eksperymenu symulacyjnego, w kórym jako modele aproksymacyjne przyjmuje się modele auoregresyjne oraz przyczynowo-skukowe przy założeniu, że nie jes znany model generujący. Srukura arykułu jes nasępująca. W podrozdziale drugim zosanie przedsawiona konsrukcja wag Akaike a, w rzecim zosanie zaproponowana procedura wyznaczania prognoz kombinowanych z wykorzysaniem wag Akaike a. Nasępnie zosaną przedsawione wyniki dwóch eksperymenów numerycznych. W osanim podrozdziale zaware będą wnioski.

Prognozy kombinowane z wykorzysaniem wag Akaike a 53 2. WAGI AKAIKE A Kryerium informacyjne Akaike a (AIC) służy do wyboru najlepszego modelu spośród zbioru modeli-kandydaów, przy czym celem wyboru modelu według AIC jes oszacowanie sray informacji, gdy rozkład prawdopodobieńswa f związany z prawdziwym (generującym) modelem jes aproksymowany rozkładem prawdopodobieńswa g związanym z modelem, kóry ma być oszacowany. Miarą rozbieżności między prawdziwym i aproksymacyjnym modelem jes informacja (odległość) Kullbacka-Leiblera (K-L). Akaike (1973) pokazał, że wybór modelu z najniższą oczekiwaną sraą informacji (j. modelu, kóry minimalizuje oczekiwaną miarę K-L) jes asympoycznie równoważne wyborowi modelu M i (i = 1, 2,, R), kóry ma najniższą warość kryerium AIC. Akaike zdefiniował kryerium informacyjne (AIC) nasępująco 2 : AIC = 2ln L( ˆ) θ + 2K, (1) gdzie L (θˆ ) funkcja wiarygodności dla modelu-kandydaa, kóra jes korygowana o liczbę szacowanych paramerów K. Pierwszy składnik kryerium AIC zmniejsza się w miarę jak więcej paramerów zawiera model, naomias drugi składnik (2K) saje się większy w miarę jak rośnie liczba paramerów modelu. Przy wyznaczaniu wag Akaike a korzysa się nie z bezwzględnych warości AIC orzymanych dla poszczególnych modeli-kandydaów, a z różnic kryeriów 3 AIC dla modeli-kandydaów w sosunku do warości AIC dla najlepszego modelu (AIC min ), j. Δ i = AIC i AIC min. (2) Warości Δ i są ławe do inerpreacji i pozwalają na szybkie porównanie i sworzenie rankingu modeli-kandydaów. Najlepszy model spośród całego zesawu modeli ma Δ i Δ min = 0. Im większa jes różnica Δ i, ym mniej prawdopodobne jes, że dany model jes dobrym modelem w sensie kryerium K-L przy założeniu określonego zbioru danych. Dla modeli zagnieżdżonych podaje się nasępującą prakyczną zasadę wyboru modelu (Burnham, Anderson, 2002): dla Δ i < 2 poparcie dla i-ego modelu jes znaczne, dla 4< Δ i <7 znacznie mniejsze, warości Δ i >10 oznaczają brak poparcia i modele akie powinny być pominięe, ponieważ nie wyjaśniają znacznej zmienności badanego zjawiska. W prakyce akcepuje się modele, dla kórych Δ < 4. i 2 Kryerium AIC jes równoważne esymaorowi oczekiwanej informacji K-L, j. ln L( ˆ) θ K, przemnożonemu przez 2, przy czym K sanowi obciążenie funkcji wiarygodności, kóre na ogół inerpreowane jes w kaegoriach kary (por. Akaike, 1973; Burnham, Anderson, 2002). 3 Por. Akaike, 1978; Burnham, Anderson, 2002.

54 MARIOLA PIŁATOWSKA Na podsawie różnic Δ i można uzyskać ocenę relaywnej wiarygodności i-ego modelu (jego relaywnej przewagi w zbiorze modeli-kandydaów) obliczając wiarygodność modelu przy założeniu zbioru danych, j. L( g i x), kórą Akaike (1983) określił nasępująco: L( g i x) exp( 0.5Δi ), (3) gdzie oznacza jes proporcjonalny. Po normalizacji relaywnych wiarygodności modelu orzymuje się wagi Akaike a (Burnham, Anderson, 2002) exp( 0.5Δi ) w i = R, w i = 1. (4) i= 1 exp( 0.5Δ ) r= 1 r R Dana waga w i jes inerpreowana jako prawdopodobieńswo, że model M i jes najlepszym modelem (w sensie AIC, j. modelem, kóry minimalizuje informację K-L) spośród R modeli-kandydaów przy założeniu danego zbioru danych. Dodakowo wagi w i są przydane do oceny relaywnej przewagi modelu najlepszego (o największej wadze w i ) nad pozosałymi modelami ze zbioru R. W ym celu oblicza się ilorazy szans (evidence raios) w i / w j, a szczególnie sosunki w 1 / w j, gdzie w 1 jes wagą dla najlepszego modelu, a w j reprezenuje wagę j-ego modelu ze zbioru R. Sosunki wag informują o skali przewagi najlepszego w sensie K-L modelu nad pozosałymi modelami. Waro zwrócić uwagę, że w podejściu ym prawdziwy model generujący nie musi znajdować się w zbiorze R modeli. Rozważa się ylko ranking modeli w konekście informacji (odległości) K-L 4. 3. PROCEDURA WYNACZANIA PROGNOZ KOMBINOWANYCH Z WAGAMI AKAIKE A Przysępując do wyznaczenia prognoz kombinowanych na bazie wag Akaike a powinny być spełnione pewne warunki 5. Mianowicie, wszyskie modele w zbiorze modeli-kandydaów muszą być oszacowane na podsawie ej samej liczby obserwacji, ponieważ wnioskowanie na bazie kryeriów informacyjnych jes przeprowadzane warunkowo względem danego zbioru danych. Ponado, wszyskie modele w zbiorze R modeli muszą mieć ę samą zmienną objaśnianą. Powszechnym błędem jes porównywanie modeli dla zmiennej y z modelami dla zmiennej po ransformacji np. ln y czy Δy. 4 Jes o zasadnicza różnica w sosunku do bayesowskiego podejścia do uśredniania modeli, w kórym zakłada się że prawdziwy model znajduje się w zbiorze R modeli lub jes nim model orzymany w wyniku uśredniania modeli. 5 Warunki e doyczą eż syuacji wyboru modelu za pomocą kryeriów informacyjnych.

Prognozy kombinowane z wykorzysaniem wag Akaike a 55 Procedurę wyznaczania prognoz kombinowanych z wagami Akaike a przesawiają nasępujące eapy. Eap 1. Usalenie wyjściowego zesawu R modeli opisujących dane zjawisko i ich specyfikacji. Należy podkreślić, że w przypadku modeli przyczynowoskukowych przy określaniu specyfikacji należy kierować się informacjami z eorii ekonomicznej związanej z danym zjawiskiem. W przypadku dużej liczby zmiennych nie zaleca się posępowania zmierzającego do sworzenia wszyskich możliwych regresji. Zesaw modeli powinien być wiarygodny pod względem ekonomicznym, a nie pochodzić z auomaycznego wyboru. Podejście o nie wymaga specyfikacji prawdziwego modelu. Eap 2. Szacowanie indywidualnych modeli (i=1,2,,r), wyznaczenie kryerium informacyjnego AIC oraz wyznaczenie różnic Δ i. Modele powinny być poprawne pod względem saysycznym i ekonomicznym. Eap 3. Sworzenie zredukowanego zesawu modeli (i=1,2,,r * ), dla kórego Δ i < 4, czyli zesawu modeli, dla kórych jes duże prawdopodobieńswo, że są o modele dobre w sensie kryerium K-L. Eap 4. Wyznaczenie wag Akaike a i prognoz kombinowanych. Przy wyznaczaniu prognoz kombinowanych sosuje się nasępującą formułę: * R y ˆ, + h = wi, h fi,, + h, w i, h = 1, i= 1 * R i= 1 gdzie y ˆ, + h prognoza kombinowana, w i, h waga przypisana prognozie f i,, + h bazującej na i-ym indywidualnym modelu. Przy wyznaczaniu wag chodzi o akie wagi, kóre będą minimalizować funkcję sray zależną od błędów prognozy. Na ogół jako funkcję sray przyjmuje się średni błąd prognoz ex pos (MSFE, mean square forecas errror). 4. WYNIKI EKSPERYMENTU SYMULACYJNEGO Celem eksperymenu numerycznego jes porównanie prognoz kombinowanych orzymanych według wag Akaike a i wag jednakowych w odniesieniu do prognoz indywidualnych wyznaczonych z jednego, najlepszego modelu wybranego według kryerium Akaike a oraz według radycyjnego podejścia oparego na esowaniu hipoez saysycznych. Analiza zosanie przeprowadzona w ramach eksperymenu symulacyjnego, w kórym jako modele aproksymacyjne przyjmuje się modele auoregresyjne oraz przyczynowo-skukowe przy założeniu, że nie jes znany model generujący (prawdziwy). Scenariusz eksperymenu jes nasępujący: Model generujący Y miał posać:

56 MARIOLA PIŁATOWSKA Y = β + β X + β X + β X + ε, ε N (0, σ ), σ = 1, 2, 3 0 1 1, 2 2, 3 3, ~ ε ε, z paramerami: β 0 = 10, β1 = 1.5, β2 = 1.2, β3 = 2, dla liczby obserwacji: n = 100, 50 (liczba replikacji m = 1000). Procesy X 1,, X 2, i X 3, miały nasępującą srukurę: X1, = 12 + 0.8X1, 1 + ζ + 0.6ζ 1, ζ ~ N (0, 1), X 2, = 14 + 0.7X 2, 1 + η + 0.8η 1, η ~ N (0, 1), X 3, = 8 + 1.2X 3, 1 0.4X 3, 2 + ξ, ξ ~ N(0, 1). Jako modele aproksymacyjne przyjęo modele auoregresyjne Y = γ + γ Y +... γ Y, q = 1, 2, 3, 4, 0 1 1 + q q oraz modele przyczynowo-skukowe, przy czym założono, że nie jes znany model prawdziwy (generujący), sąd w specyfikacji modeli przyczynowoskukowych pominięo zmienną X 2, i X 3,. Modele e miały posać 6 : Y α + v (M1) = 0 + α1y 1 + α2y 2 + α3y 3 + α4y 4 + γ 1X 1, + γ 2 X 1, 1 = 0 + α1y 1 + α2y 2 + α3y 3 + γ 1X 1, + γ 2 X 1, 1 = 0 + α1y 1 + α2y 2 + γ 1X 1, + γ 2 X 1, 1 = 0 1 1 1 1, 2 1, 1 Y α + v (M2) Y α + v (M3) Y α + α Y + γ X + γ X + v. (M4) Y α + α Y + α Y + γ X + v, (M5) = 0 1 1 2 2 1 1, Y = α + α Y + γ X + v, (M6) 0 1 1 1 1, Analiza była prowadzona oddzielnie dla modeli auoregresyjnych i modeli przyczynowo-skukowych. W każdej replikacji do dalszej analizy były brane modele, dla kórych Δ i < 4. Dla ych modeli wyznaczano wagi Akaike a i wagi jednakowe (1/R * ), a nasępnie po obliczeniu prognoz indywidualnych 7 wyznaczano prognozy kombinowane na h-okresów naprzód (h = 1, 2,,10). Prognozy porównywano za pomocą średniego błędu prognoz (MSFE). Błędy e wyznaczono również dla prognoz indywidualnych orzymanych z modeli wybranych jako najlepsze (według kryerium AIC i według meody selekcji a poseriori sosowanej do wersji M1 modelu przyczynowo-skukowego 8 ) w celu porównania prognoz kombinowanych i prognoz indywidualnych. Wyniki prezenuje abela 1 (dla n = 100) oraz abela 2 (dla n = 50). 6 Po analizie na podsawie wsępnych symulacji modele e zosały uznane za wiarygodne. 7 Prognozy indywidualne były prognozami dynamicznymi, przy czym za warości zmiennej X 1 w okresie prognozowanym zosały wzięe warości generowane. 8 Eliminacja w meodzie selekcji a poseriori przebiegała przy założeniu poziomu isoności α = 0,05.

Tabela 1. Średnie błędy prognoz (MSFE) dla liczby obserwacji n = 100 h Modele przyczynowo-skukowe Modele auoregresyjne waic wjedn. minaic msel. waic wjedn. minaic σ ε = 1 1 2,950 2,973 2,935 3,050 3,102 3,117 3,096 2 2,290 2,301 2,287 2,357 2,530 2,547 2,523 3 2,471 2,500 2,456 2,604 2,568 2,595 2,548 4 3,280 3,320 3,254 3,436 2,569 2,602 2,537 5 4,064 4,097 4,043 4,192 3,706 3,748 3,653 6 3,949 3,985 3,926 4,092 3,413 3,452 3,367 7 3,807 3,842 3,785 3,944 3,192 3,225 3,156 8 3,589 3,622 3,568 3,717 3,038 3,073 3,001 9 3,503 3,528 3,488 3,607 2,931 2,960 2,906 10 3,903 3,915 3,900 3,961 3,266 3,280 3,265 σ ε = 2 1 1,958 1,944 2,008 2,035 2,220 2,217 2,229 2 2,200 2,175 2,280 2,207 3,111 3,105 3,121 3 3,236 3,221 3,284 3,266 2,890 2,885 2,899 4 4,795 4,794 4,823 4,901 3,200 3,198 3,204 5 6,334 6,342 6,350 6,497 4,696 4,698 4,697 6 6,333 6,341 6,347 6,484 4,836 4,838 4,835 7 5,971 5,978 5,984 6,107 4,596 4,598 4,595 8 5,675 5,681 5,689 5,792 4,359 4,361 4,358 9 5,397 5,403 5,410 5,508 4,172 4,173 4,171 10 5,224 5,229 5,237 5,324 4,087 4,088 4,086 σ ε = 3 1 3,172 3,177 3,168 3,222 4,430 4,415 4,459 2 3,456 3,455 3,459 3,477 5,061 5,048 5,087 3 5,283 5,251 5,321 5,211 6,934 6,921 6,961 4 7,320 7,320 7,331 7,361 9,907 9,897 9,933 5 8,008 8,014 8,010 8,066 11,199 11,189 11,225 6 7,621 7,624 7,625 7,670 10,966 10,957 10,992 7 7,171 7,172 7,178 7,215 10,380 10,371 10,405 8 6,794 6,796 6,802 6,836 9,846 9,837 9,870 9 6,514 6,518 6,520 6,563 9,339 9,331 9,362 10 6,260 6,262 6,267 6,305 8,993 8,985 9,015 W kolumnach w AIC, w JEDN. znajdują się średnie błędy prognoz kombinowanych według odpowiednio wag AIC i wag jednakowych, a w kolumnach min AIC., m SEL prognozy orzymane z modelu wybranego według minimum AIC oraz modelu orzymanego w wyniku sosowania meody selekcji a poseriori w odniesieniu do modelu M1, przy czym selekcji dokonywano przy poziomie isoności α = 0,05. Źródło: obliczenia własne.

Tabela 2. Średnie błędy prognoz (MSFE) dla liczby obserwacji n = 50 h Modele przyczynowo-skukowe Modele auoregresyjne waic wjedn. minaic msel. waic wjedn. minaic σ ε = 1 1 1,019 1,018 1,018 1,023 1,069 1,069 1,076 2 1,502 1,587 1,409 1,888 2,712 2,705 2,721 3 1,564 1,576 1,570 2,002 2,804 2,796 2,815 4 2,440 2,393 2,493 2,494 2,489 2,482 2,498 5 3,599 3,486 3,722 3,251 2,288 2,283 2,296 6 3,685 3,609 3,761 3,274 2,136 2,132 2,144 7 3,455 3,391 3,518 3,144 2,219 2,212 2,229 8 3,279 3,212 3,352 3,093 2,443 2,435 2,456 9 3,164 3,110 3,224 2,988 2,342 2,334 2,355 10 3,669 3,642 3,699 3,412 2,569 2,565 2,576 σ ε = 2 1 3,522 3,508 3,539 4,230 5,419 5,399 5,414 2 3,854 3,803 3,918 4,644 5,739 5,711 5,744 3 4,199 4,100 4,318 4,900 5,669 5,641 5,677 4 4,832 4,671 5,018 5,261 5,483 5,458 5,489 5 5,379 5,222 5,555 5,668 5,679 5,660 5,685 6 5,493 5,324 5,683 5,616 5,356 5,340 5,362 7 6,133 5,955 6,329 5,949 5,273 5,262 5,280 8 6,171 6,016 6,346 5,890 5,139 5,130 5,146 9 6,311 6,195 6,456 6,048 5,362 5,357 5,369 10 6,286 6,189 6,411 6,034 5,380 5,376 5,387 σ ε = 3 1 5,088 5,096 5,085 5,335 7,026 6,997 7,064 2 6,378 6,371 6,389 6,498 8,233 8,203 8,276 3 6,968 6,952 6,987 6,993 8,696 8,683 8,720 4 6,578 6,562 6,597 6,599 8,389 8,386 8,399 5 6,193 6,175 6,213 6,205 7,944 7,945 7,948 6 5,803 5,788 5,823 5,821 7,391 7,393 7,396 7 5,599 5,579 5,627 5,593 6,938 6,939 6,942 8 5,504 5,484 5,532 5,492 6,593 6,594 6,597 9 5,325 5,308 5,351 5,334 6,456 6,458 6,459 10 5,181 5,166 5,206 5,228 6,601 6,603 6,603 Objaśnienia jak w abeli 1. Źródło: obliczenia własne.

Prognozy kombinowane z wykorzysaniem wag Akaike a 59 Wyniki przedsawione w abeli 1 i 2 pokazują, że różnice między średnimi błędami prognozy (MSFE, mean square forecas error) orzymanymi dla prognoz kombinowanych (według wag AIC i wag jednakowych) oraz prognoz indywidualnych (z najlepszego modelu wybranego według minimum kryerium AIC oraz według meody selekcji a poseriori) są nieznaczne. Mogłoby o wskazywać, że prognozy kombinowane nie mają przewagi w sensie niższego błędu MSFE nad prognozami indywidualnymi, jednak w ramach orzymanych wyników można zauważyć pewne prawidłowości świadczące o przydaności prognoz kombinowanych. W przypadku σ ε = 1 prognozy kombinowane według wag AIC (w AIC ) na podsawie modeli przyczynowo-skukowych mają nieznacznie mniejsze błędy MSFE niż prognozy kombinowane według wag jednakowych (w JEDN. ) w całym horyzoncie prognozowania (por. abela 1). Ta nieznaczna przewaga jes zachowana dla σ ε = 2 i 3 dla dłuższego horyzonu prognozy (h > 5), naomias dla krószego horyzonu prognozy niższe MSFE orzymuje się dla prognoz kombinowanych według wag jednakowych. Można zauważyć, że błędy MSFE dla prognoz kombinowanych według wag AIC i jednakowych są już wyraźnie mniejsze niż MSFE dla prognoz indywidualnych orzymanych po zasosowaniu meody selekcji a poseriori (m SEL. ); doyczy o wszyskich poziomów zakłócenia σ ε (por. abela 1). Wskazywałoby o na przewagę prognoz kombinowanych nad prognozami indywidualnymi. Najniższe błędy MSFE orzymuje się dla prognoz z modelu wybranego według minimum kryerium AIC (dla σ ε = 1), naomias dla σ ε = 2 i 3 niższe błędy MSFE mają prognozy kombinowane według wag jednakowych dla horyzonu h 5, a dla h 6 prognozy kombinowane według wag AIC. Te niższe błędy MSFE dla prognoz z modeli wybranych według minimum AIC dla zakłócenia σ ε = 1 odpowiadały syuacji, w kórej zbiór modeli-kandydaów był niewielki, a dodakowo jeden z modeli miał wysoką wagę AIC (w AIC > 0,7). W ym przypadku najczęściej zbiór modeli wykorzysywanych przy wyznaczaniu prognoz kombinowanych składał się z modelu M3 i M4, w kórych jeden miał wysoką wagę AIC. W przypadku naomias większego zakłócenia σ ε = 2 i 3 zbiór modeli brany do obliczenia prognoz kombinowanych składał się najczęściej z modeli M3, M4, M5, M6, z kórych żaden nie miał wysokiej wagi AIC. Wedy mniejsze błędy MSFE miały prognozy kombinowane (według wag jednakowych czy wag AIC), a nie prognozy wyznaczone z modelu wybranego według minimum kryerium AIC. W przypadku modeli auoregresyjnych najniższe błędy MSFE orzymano dla prognoz obliczonych na podsawie modeli wybranych według minimum kryerium AIC, a błędy MSFE dla prognoz kombinowanych według wag AIC są niższe niż według wag jednakowych (dla σ ε = 1) por. abela 1. Takie wyniki związane były z syuacją, w kórej w większości przypadków do zbioru modeli wchodziły modele AR(2), AR(3) i AR(4), przy czym model AR(2) dominował

60 MARIOLA PIŁATOWSKA na pozosałymi, bo miał wyższą wagę AIC (w granicach 0,5 0,6), sąd lepsze wyniki w sensie błędów MSFE dawały prognozy z modelu pojedynczego, wybranego według minimum kryerium AIC. Dla większego zakłócenia, j. σ ε = 2 (czyli większej niepewności) i krókiego horyzonu prognozowania (h 5) przewagę mają prognozy kombinowane według wag jednakowych, a dla horyzonu h 6 niższe błędy orzymuje się dla prognoz kombinowanych według wag AIC. Naomias prognozy wyznaczone z modeli wybranych według minimum kryerium AIC mają błędy MSFE wyższe niż błędy dla prognoz kombinowanych. Zaznaczyć jednak należy, że różnice e nie są duże. Dla zakłócenia σ ε = 3 przewagę w całym horyzoncie prognozowania mają prognozy kombinowane wyznaczone według wag jednakowych. Błędy MSFE dla prognoz kombinowanych według wag AIC (w AIC ) są nieznacznie większe niż według wag jednakowych (w JEDN. ) i nieznacznie mniejsze niż błędy prognoz orzymane dla modeli wybranych według minimum kryerium AIC (min AIC ) por. abela 1. Ta relaywna przewaga prognoz kombinowanych nad prognozami indywidualnymi związana była z syuacją, w kórej do zbioru modeli wykorzysywanych do obliczenia prognoz kombinowanych najczęściej wchodziły wszyskie modele AR i żaden z nich nie miał przewagi wyraźnej nad pozosałymi (w sensie wag AIC). Wedy niższe błędy MSFE orzymuje się dla prognoz kombinowanych. Wyniki zaware w abeli 2, dla liczby obserwacji n = 50, pokazują, że błędy MSFE na podsawie modeli przyczynowo-skukowych są niższe dla prognoz kombinowanych według wag jednakowych niż według wag AIC doyczy o wszyskich poziomów zakłócenia σ ε (z wyjąkiem σ ε = 1 i h = 2, 3, gdy niższe są MSFE dla prognoz kombinowanych według wag AIC). Przewaga prognoz kombinowanych czy prognoz indywidualnych (min AIC, m SEL. ) zależy od długości horyzonu prognozowania i wielkości zakłócenia σ ε. Dla krószego horyzonu h 4 i zakłócenia σ ε = 1 (dla σ ε = 2 i h 7) błędy MSFE dla prognoz kombinowanych (w AIC, w JEDN. ) są niższe niż dla prognoz z modelu wybranego według meody a poseriori (m SEL. ), a dla h 5 błędy MSFE są niższe dla prognoz z m SEL., jednak przewaga m SEL. nie wysępuje dla σ ε = 3 (por. abela 2). Prognozy z modelu wybranego według kryerium minimum AIC (min AIC ) mają większe błędy MSFE niż prognozy kombinowane, a akże są na ogół wyższe niż błędy MSFE dla prognoz z m SEL.. W przypadku prognoz obliczanych na podsawie modeli auoregresyjnych błędy MSFE dla prognoz kombinowanych są zawsze niższe niż dla prognoz z modeli wybranych według min AIC (por. abela 2). Naomias prognozy kombinowane według wag jednakowych (w JEDN. ) mają przewagę nad prognozami orzymanymi według wag AIC (w AIC ). 5. PODSUMOWANIE Z porównania prognoz kombinowanych według wag AIC i wag jednakowych (w AIC, w JEDN. ) wynika, że prognoz kombinowanych według w AIC nie opłaca

Prognozy kombinowane z wykorzysaniem wag Akaike a 61 się wyznaczać, jeżeli waga AIC jednego z modeli wchodzących do zbioru modeli-kandydaów jes wyraźnie większa, j. w AIC > 0,7, niż dla pozosałych modeli, co oznacza, że relaywna przewaga danego modelu jako modelu najlepszego w sensie kryerium AIC spośród zbioru modeli-kandydaów jes duża. Powoduje o, że błędy prognoz MSFE będą większe niż przy założeniu prosych wag jednakowych. W akiej syuacji wagi AIC mogą służyć do sworzenia rankingu modeli, a akże obliczenia ilorazów szans informujących o skali przewagi najlepszego w sensie AIC modelu (j. modelu, kóry minimalizuje informację K L) nad pozosałymi modelami. Korzyści ze sosowania wag AIC pojawiają się, gdy w zbiorze modeli-kandydaów jes większa liczba modeli i żaden nie ma przewagi na pozosałymi, j. brak modelu z dominującą wagą w AIC. Waro podkreślić, że wyniki orzymane w eksperymencie wskazały na przewagę prognoz kombinowanych nad prognozami indywidualnymi wyznaczanymi na podsawie modeli auoregresyjnych. Przewaga a dla prognoz z modeli przyczynowo-skukowych wybranych według meody a poseriori (m SEL. ) i minimum kryerium AIC (min AIC ) wysępuje szczególnie dla dużego zakłócenia σ ε, kóre wiąże się z większą niepewnością co do wyboru modelu. Wykorzysanie zaem podejścia bazującego na kryeriach informacyjnych, w ym szczególnie zasosowanie wag AIC do worzenia rankingu modeli i wyznaczania prognoz kombinowanych można rakować jako alernaywne w sosunku do podejścia bazującego na esowaniu hipoez saysycznych i zmierzającego do wyboru jednego, najlepszego modelu i na jego podsawie wyznaczania indywidualnej prognozy. LITERATURA Akaike H. (1973), Informaion Theory as an Exension of he Maximum Likelihood Principle, [w:] Perov B. N., Csaki F., Second Inernaional Symposium on Informaion Theory, Akademia Kiado, Budapes. Akaike H. (1978), On he Likelihood of a Time Series Model, The Saisician, 27, 217 235. Armsrong J. S. (2001), Principles of Forecasing, Springer. Akinson A. C. (1980), A Noe on he Generalized Informaion Crieria for Choice of a Model, Biomerika, 67 (2), 413 418. Baes J. M., Granger C. W. J. (1969), The Combinaions of Forecass, Operaions Research Quarerly, 20, 415 468. Burnham K. P., Anderson D. R. (2002), Model Selecion and Mulimodel Inference, Springer. Jagannahan R. Ma T. (2003), Risk Reducion in Large Porfolios: Why Imposing he Wrong Consrains Helps, The Journal of Finance, 58 (4), 1651 1684. Kapeanios G., Labhard V., Price S. (2008), Forecasing using Bayesian and Informaionheoreic Model Averaging: an Applicaion o U.K. Inflaion, Journal of Business and Economics Saisics, 26 (1), 33 41. Kichen J., Monaco R. (2003), Real-Time Forecasing in Pracice, Business Economics, 38 (4), 10 19. Marcellino M. (2004), Forecas Pooling for Shor Time Series of Macroeconomic Variables, Oxford Bullein of Economic and Saisics, 66, 91 112.

62 MARIOLA PIŁATOWSKA Min C. K., Zellner A. (1993), Bayesian and Non-Bayesian Mehods for Combining Models and Forecass wih Applicaions o Forecasing Inernaional Growh Raes, Journal of Economerics, 53 (1 2), 89 118. Sock J. H., Wason M. (2004), Combinaion Forecass of Oupu Growh in a Seven-Counry Daa Se, Journal of Forecasing, 8, 230 251. Sock J. H., Wason M. (2006), Forecasing wih Many Predicors, [w:] Ellio G., Granger C. W. J., Timmermann A. (ed.), Handbook of Economic Forecasing, Elsevier. Swanson N. R., Zeng T. (2001), Choosing Among Compeing Economeric Forecass: Regression-based Forecas Combinaion using Model Selecion, Journal of Forecasing, 20, 425 440. Timmermann A. (2006), Forecas Combinaions, [w:] Ellio G., Granger C. W. J., Timmermann A. (ed.), Handbook of Economic Forecasing, Elsevier. COMBINING FORECASTS USING THE AKAIKE WEIGHTS A b s r a c. The focus in he paper is on he informaion crieria approach and especially he Akaike informaion crierion which is used o obain he Akaike weighs. This approach enables o receive no one bes model, bu several plausible models for which he ranking can be buil using he Akaike weighs. This se of candidae models is he basis of calculaing individual forecass, and hen for combining forecass using he Akaike weighs. The procedure of obaining he combined forecass using he AIC weighs is proposed. The performance of combining forecass wih he AIC weighs and equal weighs wih regard o individual forecass obained from models seleced by he AIC crierion and he a poseriori selecion mehod is compared in simulaion experimen. The condiions when he Akaike weighs are worh o use in combining forecass were indicaed. The use of he informaion crieria approach o obain combined forecass as an alernaive o formal hypohesis esing was recommended. K e y w o r d s: combining forecass, weighing schemes, informaion crieria.