etody komputerowe i obliczeniowe etoda Elementów Skoczonych Element dwuwymiarowy liniowy : belka Jest to element bardzo podobny do prta: współrzdne lokalne i globalne jego wzłów s takie same nie potrzeba adnych transformacji układów współrzdnych, a jego sztywno zdefiniowana jest porednio, za pomoc momentu bezwładnoci I, długoci L oraz modułu sprystoci E. Jest to element liniowy, tzn. liniowo interpoluje si przemieszczenia pomidzy jego kocami, które zdefiniowane s wzłami (UWAGA! Kółeczka na schematach oznaczaj wzły, a nie przeguby!!!). y i wzeł element j wzeł x L Kady wzeł moe przemieci si w kierunku osi y i obróci si (ma dwa stopnie swobody: u y i, pomija si przemieszczenie w kierunku osi x) - macierz sztywnoci elementu zdefiniowanego dwoma wzłami (a wic czteroma stopniami swobody) zapisuje si jako macierz 4x4 (kady wymiar macierzy to liczba stopni swobody całego elementu): EI 6L K = L 6L 6L 4L 6L L 6L 6L 6L L 6L 4L jeli w całym układzie wielu połczonych ze sob prtów wystpi n wzłów, to macierz sztywnoci bdzie miała wymiar nxn. W dalszym cigu obowizuje ogólny układ równa liniowych metody: [K]{u} = {f} gdzie: [K] macierz sztywnoci, {u} wektor przemieszcze wzłów, {f} wektor sił działajcych w wzłach. Jeli znamy sztywno elementu oraz przemieszczenia wzłów moemy wyliczy działajce siły, a jeli znamy siły, to po rozwizaniu równania moemy wyliczy przemieszczenia. Ponisze zbiory polece naley przepisa umieszczajc je w osobnych plikach -ile, nadajc im nazwy takie, jakie maj zawarte w nich funkcje: function y = SztywnoscElementBelkowy(E,I,L) %funkcja tworzy macierz sztywnosci dla pojedynczego elementu belkowego %wymiar wyniku : 4x4 y = E*I/(L*L*L)*[ 6*L 6*L ; 6*L 4*L*L 6*L *L*L ; - 6*L 6*L ; 6*L *L*L 6*L 4*L*L];
function y = ZlozSztywnoscBelek(K,k,i,j) %funkcja sklada w jedna macierz sztywnosci K wszystkie belki %w zadaniu laczac wszystkie sztywnosci pojedynczych elementow %UWAGA! unkcja moze byc wywolana po wczesniejszym uruchomieniu %funkcji SztywnoscElementBelkowy! %skladanie K(*i-,*i-) = K(*i-,*i-) + k(,); K(*i-,*i) = K(*i-,*i) + k(,); K(*i-,*j-) = K(*i-,*j-) + k(,); K(*i-,*j) = K(*i-,*j) + k(,4); K(*i,*i-) = K(*i,*i-) + k(,); K(*i,*i) = K(*i,*i) + k(,); K(*i,*j-) = K(*i,*j-) + k(,); K(*i,*j) = K(*i,*j) + k(,4); K(*j-,*i-) = K(*j-,*i-) + k(,); K(*j-,*i) = K(*j-,*i) + k(,); K(*j-,*j-) = K(*j-,*j-) + k(,); K(*j-,*j) = K(*j-,*j) + k(,4); K(*j,*i-) = K(*j,*i-) + k(4,); K(*j,*i) = K(*j,*i) + k(4,); K(*j,*j-) = K(*j,*j-) + k(4,); K(*j,*j) = K(*j,*j) + k(4,4); %i wynik zwracany przez funkcje y = K; function y = SilyElementBelkowy(k,u) %funkcja wylicza sily wezlowe na podstawie znanych przemieszczen u i %sztywnosci k y = k * u; function TWykresElementBelkowy(f,L) %funkcja rysuje wykres sily tnacej na podstawie sil wezlowych f i dlugosci %elementu L x = [ ; L]; z = [f() ; -f()]; hold on title('wykres sily tnacej'); plot(x,z); y = [ ; ]; plot(x,y,'k'); function WykresElementBelkowy(f,L) %funkcja rysuje wykres momentu zginajacego na podstawie sil wezlowych f %i dlugosci elementu L x = [ ; L]; z = [-f() ; f(4)]; hold on title('wykres momentu zginajacego'); plot(x,z); y = [ ; ]; plot(x,y,'k');
Przykład nr. Dla podanej belki wykonanej z materiału o znanym module E = GPa, momencie bezwładnoci I = 6.* -5 m 4 i sile obciajcej P = kn wyznaczy ponisze niewiadome:. macierz sztywnoci układu. przemieszczenie w punkcie działania siły P. rotacje wzłów podporowych 4. reakcje w wzłach podporowych 5. rozkład siły tncej i momentu zginajcego w belce P m m Rozwizanie: Krok dyskretyzacja zadania Zadanie dzielimy na elementy i wzły : P - element nr zdefiniowany jest wzłami nr i= i j= - element nr zdefiniowany jest wzłami nr i= i j= W wzłach nr i s podpory, w wle nr jest przyłoona siła. Krok utworzenie macierzy sztywnoci dla kadego elementu Wprowadzamy zmienne globalne, które przechowuj dane materiałowe i geometryczne naszego zadania: E, I i L >>E=e6 >>I=6e-5 >>L= amy dwa elementy, zatem tworzymy dwie macierze sztywnoci : k i k komendami: >>k=sztywnoscelementbelkowy(e,i,l) >>k=sztywnoscelementbelkowy(e,i,l) Krok składanie macierzy sztywnoci elementów w jedn globaln macierz dla całego układu Poniewa w układzie mamy wzły, wic globalna macierz sztywnoci bdzie miała wymiar *x* = 6x6. acierz K naley przed składaniem wyzerowa, co wykonujemy komend: >>K=zeros(6,6) Poniewa mamy dwa elementy, to funkcj ZlozSztywnoscBelek trzeba wywoła dwa razy niezalenie dla kadego elementu, podajc jako parametry globaln macierz K (która jest
wynikiem), macierz elementu k (k, a potem k) i numery wzłów definiujce dany element (najpierw i, a potem i ): >>K=ZlozSztywnoscBelek(K,k,,) >>K=ZlozSztywnoscBelek(K,k,,) Na odpowiednich miejscach w macierzy K pojawi si sumowane sztywnoci poszczególnych elementów (PROSZ SPRAWDZI!). Krok 4 uwzgldnienie warunków brzegowych Układ równa [K]{u}={f} mona rozpisa w posta: 89 89-89 89 89 5-89 6-89 -89 78-89 89 89 6 54-89 6-89 -89 89-89 U 89U 6-89U 5 y y y y = gdzie siła, moment, U przemieszczenie, obrót. Warunkami brzegowymi w naszym zadaniu s: U y = =, y = -, =, U =, = (dlaczego?) Po uwzgldnieniu powyszych wiadomych, układ równa przyjmuje posta: 89 89-89 89 89 5-89 6-89 -89 78-89 89 89 6 54-89 6-89 -89 89-89 y 89Uy = 6-89 5 Krok 5 rozwizanie równa Jak poprzednio, wykrelimy z macierzy sztywnoci układu wiersze i kolumny odpowiadajce znanym wartociom {u}: 89 89-89 89 89 5-89 6-89 -89 78-89 89 89 6 54-89 6-89 -89 89-89 y 89Uy = 6-89 5
78 89 54 6 89U 6 5 y = w atlabie realizujemy to poleceniami: przepisanie wyrazów z, 4 i 6 wiersza oraz, 4 i 6 kolumny z K do k: >>k=[k(:4,:4) K(:4,6) ; K(6,:4) K(6,6)] stworzenie wektora wyrazów wolnych (prawej strony równania) ze znanymi siłami: >>f=[- ; ; ] wyliczamy nieznane przemieszczenia poleceniem (eliminacja Gaussa): >>u=k\f i otrzymujemy w wyniku: u =.e- * -.959 -.984.797 zatem: U y = -.959 - m, = -.984 - rad i =.797 - rad. Jakie s kierunki przemieszcze i obrotów? Prosz przeanalizowa schemat statyczny. Krok 6 obróbka wyników (postprocessing) ajc przemieszczenia wszystkich wzłów, moemy obliczy reakcje w podporach. Najpierw zbierzmy przemieszczenia w jeden wektor: >>U=[ ; ; u() ; u() ; ; u()] a potem wyliczmy siły: >>=K*U otrzymamy: =.75 5. -.. 6.5. czyli: =.75 kn i = 5. knm oraz = 6.5kN i =. knm. Jakie s kierunki reakcji? Czy zgadza si obcienie w wle nr? Siły w elementach wyznaczymy dziki funkcji SilyElementBelkowy(k,u), której parametrami s: macierz sztywnoci elementu (k i k) oraz przemieszczenia wzłów definiujcych dany element: najpierw przygotujemy po DWIE PARY przemieszcze dla kadego elementu: >>u=[u() ; U() ; U() ; U(4)]
>>u=[u() ; U(4) ; U(5) ; U(6)] a potem wyznaczymy siły: >>f=silyelementbelkowy(k,u) f =.75 5. -.75.5 >>f=silyelementbelkowy(k,u) f = -6.5 -.5 6.5. Wyniki pokazuj wartoci siły tncej oraz momentu zginajcego. Które liczby reprezentuj siły, a które momenty? Narysujemy teraz wykresy sił wewntrznych w elementach: >>TWykresElementBelkowy(f,L) >>TWykresElementBelkowy(f,L) >>WykresElementBelkowy(f,L)
>>WykresElementBelkowy(f,L) Przykład nr. Dla podanej belki wykonanej z materiału o module E = GPa, I = 5* -6 m 4 i obcionej q = 7kN/m wyznaczy:. macierz sztywnoci układu. rotacje w punktach, i. reakcje w punktach,, i 4 4. rozkład siły tncej i momentu zginajcego q 4 m 4m m Rozwizanie: Krok dyskretyzacja zadania Wspornik dzielimy na elementy i 4 wzły: - element nr zdefiniowany jest wzłami nr i= i j= - element nr zdefiniowany jest wzłami nr i= i j=
- element nr zdefiniowany jest wzłami nr i= i j=4 Obcienie równomiernie rozłoone naley zamieni na równowane obcienie wzłowe (warunki brzegowe przemieszczenia i/lub obcienia - moemy nakłada tylko w wzłach): siły wzłowe: q * L / = 7 * 4 / = 4 kn momenty wzłowe: q * L / = 7 * 4 / = 9. knm Schemat zastpczy 4 kn 4 kn 9. knm 9. knm 4 m 4m m Krok utworzenie macierzy sztywnoci dla kadego elementu Tworzymy zmienne globalne. Dla kadego elementu wyliczamy jego pole przekroju dla x w rodku rozpitoci danego elementu: >>E=e6 >>I=5e-6 >>L= >>L=4 >>L= amy trzy elementy, zatem tworzymy trzy macierze sztywnoci : od k do k komendami: >>k=sztywnoscelementbelkowy(e,i,l) >>k=sztywnoscelementbelkowy(e,i,l) >>k=sztywnoscelementbelkowy(e,i,l) Krok składanie macierzy sztywnoci elementów w jedn globaln macierz dla całego układu Poniewa w układzie mamy 4 wzły, wic globalna macierz sztywnoci bdzie miała wymiar 8x8. acierz K naley przed składaniem wyzerowa, co wykonujemy komend: >>K=zeros(8,8) Poniewa mamy trzy elementy, to funkcj ZlozSztywnoscBelek trzeba wywoła trzy razy niezalenie dla kadego elementu, podajc jako parametry globaln macierz K (która jest wynikiem), macierz elementu k (od k do k) i numery wzłów definiujce dany element: >>K=ZlozSztywnoscBelek(K,k,,) >>K=ZlozSztywnoscBelek(K,k,,) >>K=ZlozSztywnoscBelek(K,k,,4) Na odpowiednich miejscach w macierzy K pojawi si sumowane sztywnoci poszczególnych elementów. Krok 4 uwzgldnienie warunków brzegowych Układ równa [K]{u}={f} mona rozpisa w posta (nie pokazano K ze wzgldu na zbyt due wymiary):
= 4 4y y y 4 4y y y 8x8 U U U U * K Warunkami brzegowymi w naszym zadaniu s: U y = = U y = U = U 4y = 4 =, = -9., = 9. (dlaczego?) Po uwzgldnieniu powyszych wiadomych, układ równa przyjmuje posta: = 4 4y y y 8x8 9. 9. * K nie znamy zatem rotacji, a take reakcji y, y,, 4y i 4. Krok 5 rozwizanie równa Układ równa rozwiemy po kawałku, wykrelajc z K,, 5, 7 i 8 wiersz oraz kolumn, zostawiajc reszt (prosz to rozpisa w zeszytach). W atlabie realizujemy to poleceniami: przepisanie wierszy, 4 i 6 i kolumn, 4 i 6 z K do k (macierz K jest tak poszatkowana, e trzeba kopiowa poszczególne jej wyrazy): >>k=[k(,) K(,4) K(,6) ; K(4,) K(4,4) K(4,6) ; K(6,) K(6,4) K(6,6)] stworzenie wektora f ze znanymi obcieniami: >>f=[ ; -9. ; 9.] wyliczamy nieznane przemieszczenia poleceniem (eliminacja Gaussa): >>u=k\f i otrzymujemy w wyniku: u =.7 -.54.9
Prosz przyporzdkowa wyniki niewiadomym. Krok 6 obróbka wyników (postprocessing) Wyliczenie sił i stworzenie wykresów prosz zrealizowa samodzielnie. Zadanie nr. Zadania do samodzielnego rozwizania: Dla układu jak na rysunku poniej, majc: E=GPa, I=7* -4 m 4 oraz =5kN, wyznaczy:. macierz sztywnoci układu. rotacje wzłów nr, i. reakcje w wzłach nr, i 4. sił w kadym elemencie 5. wykresy sił wewntrznych.5m m Zadanie nr. Rozwiza układ jak na rysunku poniej, majc: E=GPa, I=5* -5 m 4 kn/m kn 4 m m m m Zadanie nr. Rozwiza układ jak na rysunku poniej, majc: E=7GPa, I=4* -5 m 4 i k=5kn/m. kn E,I E,I m k m 4