Metoda Rónic Skoczonych

Transkrypt

1 Metoda Rónic Skoczonych Cz 3 Prostoktna płyta na sprystym podłou Zadanie Wyznaczy przemieszczenia i siły wewntrzne w prostoktnej płycie na sprystym podłou dla nastpujcych warunków: współczynnik podatnoci podłoa C = 0 5 k/m 3, moduł sprystoci materiału płyty E = 0 9 kpa, współczynnik Poissona materiału płyty ν = 0.5, grubo płyty t = 0. m, wymiary płyty B = 0m, L = 0m. Płyta jest obciona w rodku geometrycznym małym prostoktnym wycinkiem obcienia równomiernie rozłoonego p=00kpa (rysunek poniej). q=00kpa 0m 0m q=00kpa X Krok Dyskretyzacja układu Rozwizanie zadania Dzielimy płyt na wzły: przyjmiemy siatk n x = na n y =, razem wzłów o stałej, wzajemnej odległoci x = y =m. a rysunku poniej zaznaczono siatk z numeracj wzłów. Y Krok Operatory rónicowe Zastpujemy równanie róniczkowe ugicia płyty równaniem liniowym o postaci: w w + x x y w + + y C w = p

2 gdzie: wk s ( +)( w + w ) + + ( w + w ) p x k ( + w + w + w ) +( w + w ) + ( w + w ) = 0 + w i+ l+ i l k+ k+ k k m l h i + y = x C x s = Powysze równanie mona przedstawi w postaci graficznej tzw. operatora centralnego: Operator C m l- l l+ / -(+/) k- k- k k+ k+ -(+) 6(+/)+8+s p k x / -(+) i- i i+ y -(+/) h x / W Matlabie, cz powyszego równania (bez składnika zawierajcego obcienie wzłowe p k ) formułujemy funkcj operatorc (operator centralny, zdefiniowany w pliku operatorc.m), stosujc schemat wyznaczania numerów ssiednich wzłów w siatce n x na n y :

3 wezel-n x wezel-n x - wezel-n x wezel-n x + wezel- wezel- wezel wezel+ wezel+ wezel+n x - wezel+n x wezel+n x + wezel+n x function k = operatorc(, ni, s, alfa, nx, ny, wezel) %operator centralny MRS %wyswietla informacje o operatorze info = sprintf('operator centralny. Wezel: %3d', wezel); disp(info); %zeruje wynik k = zeros(,nx.*ny); %sprawdza, czy wystarczy wezlow do obliczenia operatora if (nx<5) (ny<5) disp('za mala wartosc nx lub ny!'); else %stale obliczeniowe ialfa =./ alfa; %wyznacza skladniki operatora k(,wezel) = 6.* ( alfa + ialfa) alfa.* s; k(,wezel-) = -.* ( + alfa); k(,wezel+) = -.* ( + alfa); k(,wezel-) = alfa; k(,wezel+) = alfa; k(,wezel-nx) = -.* ( + ialfa); k(,wezel+nx) = -.* ( + ialfa); k(,wezel-nx-) = ; k(,wezel-nx+) = ; k(,wezel+nx-) = ; k(,wezel+nx+) = ; k(,wezel-.*nx) = ialfa; k(,wezel+.*nx) = ialfa; end Prosz sprawdzi z równaniem!

4 Powyszy operator nie da si wprowadzi dla wzłów brzegowych i naronych, bo w równaniu wystpi wzły poza płyt. Rozwizalimy ten problem (wykład) z warunków brzegowych, uzyskujc dodatkowe 8 operatorów (oznaczenia na rysunku poniej): E E E EE E E Biorc pod uwag symetryczno operatorów wzgldem brzegów prostoktnej płyty, łatwo je rozpisa dla naroy W, EW i SE. Komendy budujce zestaw operatorów dla wszystkich wzłów płyty zostały umieszczone w pliku operatory.m (tak jak dla belki, na poprzednich zajciach). Krok 3 Obcienia Prawe strony równa liniowych nie s zerowe, lecz zawieraj przerzucone składniki zawierajce obcienia wzłowe p k. Układamy w wektor kolumnowy (dla kadego wzła wewntrznego) funkcj silac(w pliku silac.m): function p = silac(pk, dx, alfa, ) %Obciazenie wezlowe p = -pk.* dx.^.* alfa./ ; Obcienie z naszego zadania przyłoymy tylko w wle rodkowym płyty, co mona zrealizowa komendami: %zerowanie wektora obcie pk = zeros(nx.*ny,); %w srodku pk(6) = silac(00, dx, alfa, ); Powysze komendy zostały wpisane w pliku zadanie.m

5 Krok Rozwizanie układu równa, wyznaczenie przemieszcze MRS zamieniła równanie róniczkowe na układ równa liniowych o postaci: K w = gdzie K to kwadratowa macierz o wymiarze n x x n y współczynników utworzonych operatorami MRS, w wektor kolumnowy nieznanych przemieszcze o wysokoci n x *n y, a p k to wektor kolumnowy o wymiarze n x *n y zbudowany ze znanych obcie wzłowych. Układ rozwiemy w nastpujcy sposób: tzn. K p k K w = K w = K p k i dlatego odwrócilimy wczeniej macierz K, zapisujc wynik w zmiennej invk. Powysze działanie realizujemy komend (w skrypcie zadanie.m): %rozwizanie ukladu rownan w = invk * pk; Poniewa poza operatorem centralnym wyprowadzilimy take operatory brzegowe, wyznaczylimy przemieszczenia dla wszystkich wzłów płyty. Moemy narysowa wykres przemieszcze dla całej płyty poleceniami (w skrypcie zadanie.m): Poniewa Matlab tworzy wykresy D z macierzy a nie z wektorów, musimy najpierw przepisa wyniki z wektora kolumnowego w(n x *n y ) w macierz W(n x,n y ) o wymiarach n x na n y : %uporzadkowanie przemieszczen - wektor zamieniamy na macierz %aby wyswietlic wykresy W = []; k = 0; for i=:ny for j=:nx k=k+; W(i,j) = w(k); end end Podobnie jest z wektorami zawierajcymi współrzdne x i y wzłów, zamieniamy wektory x(n x ) i y(n y )w macierze X(n x,n y ) i Y(n x,n y ) jednym poleceniem: %zamienia wektory x i y na macierze X i Y [X,Y] = meshgrid(x,y); p k

6 teraz moemy ju wywietli mapk: %wyswietla mapke przemieszczen surfc(x,y,w); %ustawia skale kolorow colormap jet %koloruje mapke shading interp %opisuje osie xlabel('x [m]'); ylabel('y [m]'); zlabel('w [m]'); Powinien pojawi si rysunek ugicia płyty: Krok 5 Postprocessing, wyznaczenie sił wewntrznych Skoro znamy ju przemieszczenia, moemy wyznaczy rozkład wartoci momentu zginajcego, opisanego równaniem: tzn., w zapisie rónicowym: M x w w + ν x y = M x,k w w x + w k+ k k = w + ν l w y k + w i

7 Analogicznie wyznacza si wartoci momentu M y. Wyznaczenie wartoci momentów Mx i My we wszystkich wzłach realizuje funkcja Moment.m: function [mx,my]=moment(w, nx, ny, dx, dy,, ni) %oblicza sily wewnetrzne %zerowanie wyników mx = zeros(nx,ny); my = zeros(nx,ny); %zmienne pomocnicze dx = dx.* dx; dy = dy.* dy; %obliczenia dla wzłów wewntrznych for j=:(ny-) for i=:(nx-) k = (j-).* nx + i; mx(j,i) = -.* ((w(k+) -.* w(k) + w(k-))./ dx + ni.* (w(k-nx) -.* w(k) + w(k+nx))./ dy); my(j,i) = -.* (ni.* (w(k+) -.* w(k) + w(k-))./ dx + (w(k-nx) -.* w(k) + w(k+nx))./ dy); end end Dlaczego nie moemy, ale i nie musimy wyznacza momentów na brzegu? Z powyszej funkcji korzystamy w nastpujcy sposób: %WYZACZEIE MOMETOW ZGIAJACYCH [Mx,My]=Moment(w, nx, ny, dx, dy,, ni); Pozostaje wykona wykres poleceniami: %WYKRES MOMETU Mx surfc(x,y,mx); colormap jet shading interp xlabel('x [m]'); ylabel('y [m]'); zlabel('mx [km]'); i powinien pojawi si rysunek:

8 analogicznie tworzymy wykres My: Wszystkie polecenia Matlaba zostały przygotowane w dwóch skryptach: operatory.m oraz zadanie.m. Całe zadanie rozwizuje si dwiema komendami: >>operatory

9 >>zadanie po ukazaniu si wykresu przemieszcze, kolejne nacinicia dowolnego klawisza spowoduje wykrelenie mapek momentów. Zadania do samodzielnego rozwizania Zadanie Analogicznie do rysunku przedstawionego poniej, rozrysowa w zeszycie połoenie pozostałych operatorów brzegowych stosujc oznaczenia kierunków z Róy Wiatrów. Ile w sumie bdzie operatorów MRS dla prostoktnej płyty? E E E EE E E Zadanie Znajc operator brzegowy EE: -ν -(-ν)+ -/(-ν ) -8-+ν 8(-ν)++ +5/(-ν ) -ν -(-ν)+ -/(-ν ) (-ν )/ zapisa operator ESE i WSW. Zadanie 3 Rozwiza omawiany przykład płyty stosujc obcienie wzłowe 00 kpa w miejscu zaznaczonym na rysunku:

10 Zadanie Powtórzy obliczenia zmieniajc liczb wzłów oraz proporcj x do y. Jaki wpływ ma znaczne zwikszenie lub zmniejszenie wartoci współczynnika?