Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: jusyna.godlewska1@gmail.com Sreszczenie Zasadniczym celem niniejszego arykułu było wyznaczenie prognozy miesięcznego średniego kursu kupna USD. Zrealizowano go, opierając się na szczegółowych badaniach doyczących analizy porównawczej jakości prognoz wyznaczonych różnymi meodami. Do badania wykorzysano dane od sycznia 2010 do września 2012 roku, pochodzące ze srony inerneowej Narodowego Banku Polskiego. Począkowo je przeanalizowano, dokonano dekompozycji analizowanego szeregu czasowego. Nasępnie wyznaczono prognozę miesięcznego średniego kursu kupna USD, wykorzysując między innymi akie meody, jak zmodyfikowany model meody naiwnej oraz model Hola. Dalej przeprowadzono ocenę jakości orzymanych prognoz i dokonano rekomendacji zbudowanych modeli prognosycznych. Słowa kluczowe prognoza kursu walu, model Hola, zmodyfikowane modele meody naiwnej, jakość prognozy Wsęp Rynek wymiany walu (z ang. Foreign Exchange Marke Forex) o rynek ypu OTC (over he couner), czyli zdecenralizowany rynek pozagiełdowy (Marciniak- Neider, 2011). Głównymi jego uczesnikami są banki, kóre działają na własny Economics and Managemen 1/2013 19
Kaarzyna Halicka, Jusyna Godlewska rachunek lub w imieniu swoich klienów oraz banki cenralne, podejmujące przedsięwzięcia w celu sabilizowania ruchów kursów waluowych. Rynek ransakcji Forex charakeryzuje się wysokim ryzykiem kursowym; jego uczesnikom bardzo przydane są więc prognozy kursu walu. Zasadniczym celem niniejszego arykułu, jes wyznaczenie na podsawie badania prognozy średniego miesięcznego kursu kupna USD liczonego w PLN na październik 2012 roku. Dokonano w nim analizy porównawczej jakości prognoz uzyskanych z zasosowaniem różnych meod. Do budowy modeli prognosycznych wykorzysano miesięczne dane rzeczywise, od sycznia 2010 r. do września 2012 r., pochodzące ze srony inerneowej Narodowego Banku Polskiego. Auorki wykorzysały do prognozowania jak najprossze oraz najmniej czasochłonne meody. Akcepowalną warość średniego modułu względnego błędu prognozy usalono na poziomie 3%. Analizując zebrane dane można zauważyć niewielką endencję wzrosową. Średnia warość kursu kupna USD w analizowanym okresie wynosiła 3,04 PLN. Największe umocnienie USD w sosunku do PLN w ym okresie miało miejsce w czerwcu 2012 r. i wynosiło 3,41 PLN. Z kolei najniższą warość USD osiągnął w maju 2011 r. i wynosiła ona 2,72 PLN. W analizowanym okresie dane charakeryzowały się niewielką zmiennością na poziomie około 7%. Zazwyczaj kluczowymi czynnikami zmienności kursów są czynniki ekonomiczne akie, jak: poziom sóp procenowych, produk krajowy bruo, inflacja, bezrobocie, bilans płaniczy czy eż zmiany w poliyce makroekonomicznej i mikroekonomicznej (Marciniak- Neider, 2011). 1. Przegląd lieraury Opracowane modele prognosyczne kursów walu zazwyczaj charakeryzują się niską jakością i bardzo częso określane są przez auorów jako nieskueczne (Pacelli, 2012). Do prognozowania walu wykorzysywano między innymi model naiwny, model regresji liniowej, model regresji kwadraowej, modele ARIMA (Shahriari, 2011), modele klasy Garch (Osińska, 2011), modele wygładzania wykładniczego (Akincilar i in., 2011). W lieraurze przedmiou podejmowano liczne próby oszacowania przyszłej warości kursów walu. Przykładowo, S. Rajapakse i M. Siriwardana prognozowały kurs dolara ausralijskiego z wykorzysaniem akich meod, jak model naiwny i model ARIMA. W niekórych publikacjach wspomniano, że przy prognozowaniu kursów walu meody błądzenia losowego są bardziej efekywne niż meody opare na wskaźnikach makroekonomicznych, ale ylko w krókim horyzoncie czasowym (Fă i Dezsi, 2011). Zauważono, że częso 20 Economics and Managemen 1/2013
Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD prose meody dają zbliżone rezulay lub nawe lepsze od ych bardziej skomplikowanych. W celu znalezienia meody prognozowania kursu walu, o jakości akcepowalnej przez zleceniodawców, auorzy w swych publikacjach skupiają się na porównaniu warości pierwiaska ze średniokwadraowego błędu prognozy ex pos (RMSE), (Shahriari, 2011) oraz warości średniego modułu względnego błędu prognozy (MAPE), (Boiroju i in., 2011). 2. Meodologia Założeniem przeprowadzonego badania było sosowanie najprosszych meod do prognozowania kursu kupna USD. Wykorzysano podsawowy model meody naiwnej, zmodyfikowany model meody naiwnej dla szeregu czasowego z endencją rozwojową oraz model liniowy Hola. Nasępnie zbadano rafność orzymanych prognoz. Podsawowy model meody naiwnej jes jedną z najprosszych meod i jes sosowany w przypadku szeregów czasowych, w kórych wysępuje składowa sysemayczna w posaci sałego średniego poziomu i niewielkie wahania przypadkowe. Naomias zmodyfikowany model meody naiwnej oraz model liniowy Hola jes sosowany w przypadku szeregów czasowych, w kórych wysępuje składowa sysemayczna w posaci endencji rozwojowej i składnika losowego (Cieślak, 2001). Ponieważ, w analizowanym szeregu czasowym, składowa sysemayczna nie jes jednoznacznie określona, auorki wyznaczyły prognozy wykorzysując zarówno meodę sosowaną w przypadku sałego średniego poziomu, jak i meody wykorzysywane do niewielkich rendów. Dokonując dekompozycji szeregu czasowego, począkowo można wnioskować, że składowa sysemayczna ma posać sałego średniego poziomu oraz składnik losowy wysępuje w posaci niewielkich wahań przypadkowych. Uzasadnione wydaje się więc wykorzysanie do prognozowania średniego miesięcznego kursu kupna USD meody naiwnej. Graficzna inerpreacja szeregu czasowego badanej zmiennej zosała zaprezenowana na rys. 1. Economics and Managemen 1/2013 21
Kaarzyna Halicka, Jusyna Godlewska Rys. 1. Średni miesięczny kurs kupna USD w poszczególnych miesiącach Źródło: opracowanie własne na podsawie: Narodowy Bank Polski, dosęp zdalny: hp://nbp.pl/home.aspx?f=/ kursy/kursy_archiwum.hml [03.02.2012]. Po dogłębnym przeanalizowaniu danych zauważono jednak niewielką endencję rozwojową (rys. 2). W celu rozwiązania zadania prognosycznego wybrano więc kolejne dwie meody: zmodyfikowany model meody naiwnej; model liniowy Hola. Rys. 2. Średni miesięczny kurs kupna USD w poszczególnych miesiącach linia rendu Źródło: opracowanie własne na podsawie: ibidem. Wszyskie obliczenia związane z wyznaczaną prognozą zosały wykonane za pomocą arkusza kalkulacyjnego Excel. 22 Economics and Managemen 1/2013
3. Wyniki badań Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Meody naiwne bazują na bardzo prosych przesłankach odnoszących się do przyszłości, zgodnie z kórymi nie wysąpią zmiany w obecnym sposobie oddziaływania czynników określających warości zmiennej prognozowanej (Dimann, 1999). W odniesieniu do analizowanego przypadku, oznacza o, że średni miesięczny kurs kupna USD w październiku 2012 r. będzie kszałował się na doychczasowym poziomie. Model podsawowy ma posać (Cieślak, 2001): y ( 1) = y 1 gdzie: y prognoza zmiennej Y wyznaczona na momen lub okres, y warość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie -1. 1 Zgodnie z zasosowaną meodą, prognoza średniego miesięcznego kursu kupna USD w październiku 2012 r. wyniosła 3,20 PLN. Warość średniego modułu względnego błędu prognozy MAPE wynosi 3,06%. Naomias pierwiasek ze średniokwadraowego błędu prognozy ex pos osiąga warość 0,12 PLN. Warości rzeczywise oraz warości prognozowane zaprezenowano na rys. 3. Rys. 3. Meoda naiwna z modelem podsawowym Źródło: opracowanie własne na podsawie: ibidem. Economics and Managemen 1/2013 23
Kaarzyna Halicka, Jusyna Godlewska Ze względu na zaobserwowanie na wykresie z danymi rzeczywisymi niewielkiego rendu (rys. 2) zasosowano meodę naiwną z modelem zmodyfikowanym rendu. Prognoza wyznaczona na okres +1 ma posać: y y + ( y y 1) ( 2) + 1 = gdzie: y prognozowana warość zmiennej Y wyznaczona na momen lub okres +1, +1 y, y 1 rzeczywise warości zmiennej prognozowanej Y w momenach lub okresach, -1. Rys. 4. Meoda naiwna z modelem zmodyfikowanym rendu Źródło: opracowanie własne na podsawie: ibidem. Prognoza średniego miesięcznego kursu kupna USD w październiku 2012 r. wyznaczona za pomocą zmodyfikowanego modelu naiwnego wyniosła 3,13 PLN. Przecięnie prognoza różniła się od warości rzeczywisej o 0,14 PLN (RMSE), co sanowi 3,92% (MAPE) warości rzeczywisej. Warości rzeczywise oraz warości prognozowane zaprezenowano na rys. 4. Analizując rys. 3 i 4 można zauważyć, że warości prognozowane meodą naiwną z modelem zmodyfikowanym rendu odchylają się od warości rzeczywisych bardziej niż w przypadku meody naiwnej z modelem podsawowym. Na prognozę ą meodą większy wpływ mają wahania przypadkowe. Kolejną wykorzysywaną w badaniu meodą był model wygładzania wykładniczego model Hola. Równanie prognozy na momen lub okres +m ma posać (Nazarko, 2004): 24 Economics and Managemen 1/2013
gdzie: y + m Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD y + m = L + b m ( 3) prognoza zmiennej Y, wyznaczona na momen lub okres +m, L wygładzona ocena warości poziomu szeregu na momen lub okres, b wygładzona ocena warości przyrosu rendu szeregu na momen lub okres, m liczba kroków w przód, dla kórych wyznaczana jes prognoza zmiennej Y. Warości L i b wyznacza się za pomocą równań: = αy + ( 1 α)( L + 1 b 1) b = β L L 1 ) + (1 β ) b gdzie: α, β paramery wygładzania modelu (Nazarko, 2004). L ( 1 ( 4) ( 5) Parameryα i β przyjmują warości z przedziału (0,1). Są one dobierane doświadczalnie ak, aby pierwiasek ze średniego kwadraowego błędu prognozy był jak najmniejszy. Wyznaczając paramery α i β użyo dodaek Solver arkusza kalkulacyjnego Excel (Nazarko, 2004). Prognoza średniego miesięcznego kursu kupna USD w październiku 2012 r. wyznaczona przy wykorzysaniu modelu liniowego Hola wyniosła 3,20 PLN. Prognoza obciążona jes niewielkimi błędami: warość średnia modułu względnego błędu prognozy MAPE: 2,98%; średniokwadraowy błąd prognozy RMSE: 0,12 PLN. Warości rzeczywise oraz warości prognozowane zaprezenowano na rys. 5. Rys. 5. Meoda wygładzania wykładniczego z modelem Hola Źródło: opracowanie własne na podsawie: ibidem. Economics and Managemen 1/2013 25
Kaarzyna Halicka, Jusyna Godlewska Analizując rys. 5 można zaobserwować, że warości prognozowane są bardziej wygładzone niż w meodzie naiwnej z modelem zmodyfikowanym rendu, a kszał wykresu przypomina kszał wykresu prognozy wyznaczonej meodą naiwną z modelem podsawowym. Do swierdzenia, kóra z meod była bardziej efekywna należy przeanalizować orzymane warości błędów wyznaczonych prognoz. 4. Dyskusja wyników W celu ocenienia rafności wyznaczonych prognoz wykorzysano średni względny błąd prognozy ex pos (MAPE), maksymalny względny błąd prognozy (maxape) oraz pierwiasek ze średniokwadraowego błędu prognozy ex pos RMS (Chodakowska i in., 2005). Wyznaczone błędy zesawiono w abeli 1. Zgodnie z modelem podsawowym meody naiwnej prognoza kursu kupna USD na październik 2012 r. wyniosła 3,20 PLN. Warości prognozowanej zmiennej odbiegają od warości rzeczywisych przecięnie o 0,12 PLN, sanowi o 3,06% warości rzeczywisej. Z kolei w przypadku wykorzysania zmodyfikowanej meody naiwnej rendu prognoza wyniosła 3,13 PLN. Warości prognozowanej zmiennej odbiegają od warości rzeczywisych przecięnie o 0,14 PLN, sanowi o 3,92% warości rzeczywisej. Naomias prognoza kupna USD na październik 2012 r. meodą wygładzania wykładniczego z modelem Hola wyniosła 3,20 PLN. Warości prognozowanej zmiennej odbiegają od warości rzeczywisych przecięnie o 0,12 PLN. Z kolei przecięne odchylnie prognoz od warości rzeczywisych w analizowanym okresie wynosiło 2,98% warości rzeczywisej. Tabela 1. Błędy prognoz Rodzaj błędu Meoda naiwnamodel prosy Meoda naiwna- model zmodyfikowany rendu MAPE 3,06% 3,92% 2,98% maxape 10,37% 9,91% 10,37% RMS 0,12 0,14 0,12 Źródło: opracowanie własne na podsawie: ibidem. Meoda wygładzania wykładniczego-model Hola Niskie warości maxape świadczą o ym, że nie wysępują błędy znacznie przewyższające przecięne. Maksymalna różnica między warością rzeczywisą a prognozą wysąpiła w maju 2010 r., w przypadku wszyskich zasosowanych 26 Economics and Managemen 1/2013
Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD meod prognosycznych. Wynosiła ona 0,33 PLN w przypadku podsawowego modelu meody naiwnej, 0,32 PLN dla meody zmodyfikowanej rendu oraz 0,33 PLN dla modelu liniowego Hola. Sanowiło o odpowiednio 10,37%, 9,91%, 10,37% warości rzeczywisej. Na podsawie obliczonych błędów można zauważyć, że wszyskie modele są podobnej, akcepowalnej jakości. Jednak najmniejsze warości błędów orzymano w przypadku wykorzysania meody Hola. Graficzne inerpreacje prognoz wyznaczonych wszyskimi zasosowanymi meodami przedsawiono na rys. 6. Rys. 6. Porównanie prognoz Źródło: opracowanie własne na podsawie: ibidem. Dopasowanie modelu do warości rzeczywisych można również ocenić wizualnie. Analizując rys. 6 można zauważyć, że prognoza wyznaczona za pomocą modelu linowego Hola najlepiej odzwierciedla warości rzeczywise. Podsumowanie Głównym celem przeprowadzonego badania było wyznaczanie prognozy średniego miesięcznego kursu kupna USD liczonego w PLN. Wykorzysując meodę Hola usalono warość prognozy kursu kupna USD w październiku 2012 roku w wysokości 3,20 PLN. Zasadniczy cel niniejszego arykułu zosał więc osiągnięy. Ze względu na niejednoznaczny charaker szeregu czasowego zasosowano meody służące do prognozowania w przypadku szeregu czasowego ze składowymi w posaci sałego średniego poziomu i niewielkich wahań przypadkowych - podsawowy model meody naiwnej oraz meody sosowane w przypadku szeregów, z endencją rozwojową oraz wahaniami przypadkowymi - zmodyfikowany model Economics and Managemen 1/2013 27
Kaarzyna Halicka, Jusyna Godlewska meody naiwnej oraz model liniowy Hola. Kolejnym celem badań było przeprowadzanie analizy porównawczej jakości prognoz orzymanych rożnymi meodami. W wyniku przeprowadzonej analizy zauważono, że spośród rzech zasosowanych meod najrafniejszą prognozę wyznaczono za pomocą meody wygładzania wykładniczego z modelem Hola. Orzymane rezulay (niewielka warość średniego modułu względnego błędu prognozy, nieznaczące odchylenie warości rzeczywisej od warości prognozowanej) dowodzą, że model linowy Hola jes użyecznym narzędziem prognozowania, znajdującym zasosowanie w prakyce. Dopasowanie modelu do warości rzeczywisych zosało również ocenione wizualnie (rys. 6). Prognoza wyznaczona za pomocą modelu linowego Hola dobrze odzwierciedla warości rzeczywise. Mimo, że zasosowane meody prognosyczne są najprossze, osiągnięe rezulay jakości prognoz są zadowalające. Lieraura 1. Akincilar A., Temiz I., Sahin E. (2011), An Applicaion Of Exchange Rae Forecasing In Turkey, Gazi Universiy Journal of Science GU J Sci 24 (4), s. 817-828 2. Boiroju N. K., Venugopala Rao M., Krishna Reddy M. (2011), Forecasing Foreign Exchange Raes Using Fuzzy Time Series, Inernaional Journal of Saisics and Sysems 6 (1) 3. Chodakowska E., Halicka K., Kononiuk A., Nazarko J. (2005), Prognozowanie cen energii elekrycznej na Towarowej Giełdzie Energii SA z wykorzysaniem modeli ARI- MA, w: Nazarko J., Kiełyka L. (red.), Technologie informayczne i prognozowanie w zarządzaniu: wybrane zagadnienia, Wydawnicwo Poliechniki Białosockiej, Białysok 4. Cieślak M. (red.), (2001), Prognozowanie gospodarcze. Meody i zasosowanie, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa 5. Dimann P. (1999), Meody prognozowania sprzedaży w przedsiębiorswie, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław 6. Fă C. M., Dezsi E. (2011), Exchange-Raes Forecasing: Exponenial smoohing echniques and ARIMA models, Annals of he Universiy of Oradea, Economic Science Series 20 (1), s. 499-508 7. Marciniak-Neider D. (red.), (2011), Rozliczenia międzynarodowe, Polskie Wydawnicwo Ekonomiczne, Warszawa 8. Narodowy Bank Polski, dosęp zdalny: hp://nbp.pl/home.aspx?f=/kursy/kursy_archiwum.hml, [03.10.2012] 28 Economics and Managemen 1/2013
Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD 9. Nazarko J. (red.), (2004), Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem, cz. 2, Prognozowanie na podsawie szeregów czasowych, Wydawnicwo Poliechniki Białosockiej, Białysok 10. Nazarko J. (red.), (2004), Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem, cz. 1, Wprowadzenie do meodyki prognozowania, Wydawnicwo Poliechniki Białosockiej, Białysok 11. Nazarko J. (red.), (2005), Prognozowanie w zarządzaniu przedsiębiorswem, cz. 3, Prognozowanie na podsawie modeli adapacyjnych, Wydawnicwo Poliechniki Białosockiej, Białysok 12. Osińska M. (2010), Qualiy of he Forecass of Currencies Exchange Raes Volailiies, Inernaional Research Journal of Finance and Economics 60 13. Pacelli V. (2012), Forecasing Exchange Raes: a Comparaive Analysis, Inernaional Journal of Business and Social Science 3 (10) 14. Rajapakse S., Siriwardana M. (2007), Over-opimism Bias in Marke Analyss Forecass: The Case of he Ausralian Dollar, Journal of he Asia Pacific Economy 12 (1) 15. Shahriari M. (2011), A Combined Forecasing Approach o Exchange Rae Flucuaions, Inernaional Research Journal of Finance and Economics 79 Forecas of monhly average buying rae of USD Absrac The principal aim of he paper was o deermine he forecas of monhly average USD buying rae. However, he specific objecive of he sudy was o conduc a comparaive analysis of he qualiy of forecass obained wih differen mehods. In he sudy daa from he period from January 2010 o Sepember 2012, from he websie of he Naional Polish Bank were used. Firs, he daa were colleced, hen he analyzed ime series was decomposed. Nex, he forecas of monhly average USD buying rae was deermined wih he usage of such mehods as he modified model of naive mehod and he Hol model. Aferwards he assessmen of he qualiy of he forecass and recommendaions of forecasing models were buil. Keywords exchange rae forecas, Hol model, modified models of naive mehod, he qualiy of forecass Economics and Managemen 1/2013 29