Szkoła Odkrywców Taletów Tytuł zajęć: Fukcja liiowa zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała Opis zajęć: Ucziowie w gimazjum dobrze pozają własości fukcji Ucziowie przygotowujący się do kokursu matematyczego mają wystarczająco dużo wiedzy, aby uzupełić tabelę, którą prezetuje u dołu stroy Rysuję tę tabelę a tablicy i proszę ucziów o uzupełieie drugiego wiersza, wyjaśiam przy tym, że w kolejych kolumach ależy uwzględić róże położeia wykresu w układzie współrzędych Na ogół ie ma kłopotów z wykresami y = ax + b, a 0, b 0, y = ax, a 0 oraz y = b, b 0, ale czwarta koluma zostaje ieuzupełioa Wówczas próbujemy wspólie zastaowić się o jakie charakterystycze położeie wykresu może tu chodzić Najczęściej ucziowie sami wpadają ma pomysł, że chodzi tu o wykres pokrywający się z osią OX czyli y = 0 Teraz proszę ucziów o apisaie wzorów, z uwzględieiem wartości współczyików i uzupełiamy pierwszy wiersz Następie, korzystając główie z wykresu, wypełiamy koleje wiersze ( w wierszu 5 i 6 propouje drobe rachuki ) Czasami zdarzają się bardzo pouczające sytuacje, raz a przykład padło pytaie: "Dlaczego ie ma piątej kolumy a prostą rówoległą do osi OY czyli prostą o rówaiu x = c?" Zawsze zajdą się ucziowie, którzy sami potrafią wyjaśić, że ta prosta ie jest wykresem fukcji W te sposób problem zostaje rozwiązay a przy tym pojawia się refleksja a temat wzoru fukcji liiowej i rówaia prostej wzór fukcji liiowej wykres dziedzia 4 zbiór wartości 5 miejsca zerowe 6 pukty przecięcia z osiami układu współrzędych 7 różowartościowość 8 mootoiczość 9 parzystość / ieparzystość 0 ajmiejsza i ajwiększa wartość Opis dokoań ucziów: Lubię obserwować zdziwieie ucziów, gdy dowiedzą się, że jest fukcja liiowa, która ma ieskończeie wiele miejsc zerowych lub fukcja parzysta i ieparzysta rówocześie
Ucziowie wypełiają tabelę bardzo sprawie, są zaiteresowai i aktywi Zebraie wiadomości w tabeli ułatwia zapamiętaie tylu iformacji i umożliwia porówywaie własości fukcji liiowej w zależości od wartości współczyików Zachęcam do przeprowadzeia tej lekcji! POMYSŁ NA DRUGIE ZAJĘCIA Dowodzeie ie wprost zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Jak przeprowadzić dowód twierdzeia p q? Jedą z możliwości jest dowód ie wprost, który opiera się a tautologii [( p q) p] ( p q) W dowodzie ie wprost uważamy założeie p za prawdziwe i łączymy je z zaprzeczeiem tezy ( q), które azywamy hipotezą Następie przeprowadzamy rozumowaie, które doprowadza as do wiosku, że koiukcja założeia i hipotezy jest fałszywa lub wyika z iej zdaie fałszywe Poieważ założeie było prawdziwe, rozumowaie poprawe, zatem hipoteza (zaprzeczeie tezy) jest fałszywa, co ozacza, że teza jest prawdziwa Tyle teorii, teraz praktyka! Zadaia Wszystkich pól zwykłej szachowicy ie moża obejść skoczkiem zaczyając a polu arożym, kończąc a przeciwległym polu arożym i będąc dokładie raz a każdym polu Jeżeli w kwadracie o boku długości wybierzemy 5 puktów, to wśród ich są trzy takie, które ależą do pewego koła o promieiu 7 Smok ma 000 głów Rycerz może ściąć jedym cięciem miecza głowy lub głów, lub 7 głów, lub głowę Smokowi dorastają wówczas odpowiedio 48, 0, 4 lub 49 głów Smok zostaje zabity, gdy wszystkie głowy będą ścięte Czy rycerz może zabić smoka? 4 Udowodij, że liczba x = 000 0 ie jest kwadratem liczby aturalej 00 m 5 Udowodij, że liczba 000 ie da się przedstawić w postaci różicy kwadratów dwóch liczb całkowitych Wskazówki i odpowiedzi Załóżmy, że szachowicę moża obejść w poday w zadaiu sposób Poieważ w każdym ruchu skoczek zmieia kolor pola, więc start i meta są a polach o różych kolorach Ale dwa przeciwległe pola aroże mają te sam kolor Mamy zatem sprzeczość Podzielmy day kwadrat o boku (za pomocą prostych rówoległych odpowiedio do boków kwadratu) a 5 kwadratów o boku 5 Przypuśćmy, że do każdego "małego" kwadratu ależą co ajwyżej dwa pukty, ale wówczas do "dużego" kwadratu ależałoby co ajwyżej 50 puktów Mamy sprzeczość Zatem istieje taki "mały" kwadrat K, do którego ależą trzy spośród 5 puktów Promień okręgu
opisaego a kwadracie K ma długość R = oraz 0 0 = < = Trzy spośród 5 puktów 50 49 7 ależące do kwadratu K ależą też do pewego koła o promieiu 7 Niech x liczba cięć po głowy, y liczba cięć po głów, z liczba cięć po 7 głów, t liczba cięć po głowie, x, y, z, t N Smok zostaie zabity, jeśli istieją takie x, y, z, t N, że 48 x + 0 y + 7 4 z + 49 t = ( ) ( ) ( ) ( ) 000 5 x + y + z 48t = 000 ( 5 + 7y + z 6t ) 000 x = Powyższe rówaie jest sprzecze, gdyż lewa stroa jest podziela przez, a prawa ie jest Zatem rycerz ie może zabić smoka 4 Suma cyfr liczby x = 000 0 wyosi 00, a więc liczba x jest podziela przez 00 Przypuśćmy, że istieje taka liczba aturala, że także byłoby podziela przez, tz gdyż m x = Wtedy = k, k N Stąd 9k jest podziele przez 9, a x ie jest podziele przez 9 Zatem liczba jest kwadratem liczby aturalej byłoby podziele przez, a więc x = 9k Ta ostatia rówość jest fałszywa, x = 000 0 ie 5 Przypuśćmy, że istieją liczby całkowite i k takie, że 000 = k, czyli 000 = ( k)( + k) Jeżeli obydwie liczby, k są parzyste lub obydwie są ieparzyste, to liczby k oraz + k są parzyste, a więc liczba ( k)( + k) jest podziela przez 4, a liczba 000 ie jest podziela przez 4 W przypadku gdy jeda z liczb, k jest parzysta, a druga ieparzysta, to liczby k oraz + k są k + k jest liczbą ieparzystą, a liczba 000 jest parzysta ieparzyste, iloczy ( )( ) Zatem rówość 000 = k jest iemożliwa dla, k całkowitych Bibliografia Aleksader Śieżek, Paweł Tęcza, Zbiór zadań z algebry dla szkół średich, Wydawictwa Szkole i Pedagogicze, Warszawa 994, str 8, 0 Czasopismo Matematyka, WSiP, 4'000, str 7-8 Roma Leiter, Wojciech Żakowski, Matematyka dla kadydatów a wyższe uczelie techicze, część I, Wydawictwa Naukowo-Techicze, Warszawa 980, str4, 5 00 m Pomysł a trzecie zajęcia Nierówości między średimi zajęcia dodatkowe dla gimazjalistów Nie od dziś wiadomo, że matematyka (w końcu królowa auk) rozwija umiejętości kluczowe w auczaiu Opisae przeze mie zajęcia kształtują u ucziów: umiejętość rozwiązywaia problemów,
łączeie i porządkowaie wiedzy, umiejętość radzeia sobie z ietypowymi, złożoymi sytuacjami, umiejętość orgaizowaia i oceiaia własej pracy Na początku zajęć zdefiiowałam średie Średia arytmetycza liczb a,, a, a, a jest rówa A = a + a + + a Średia geometrycza liczb dodatich a,, a, a, a jest rówa G = a a a Średia harmoicza liczb dwóch liczb dodatich a i b jest rówa harmoiczej jest średią arytmetycza dla odwrotości a i b H ab = Odwrotość średiej a + b Dla = ucziowie udowodili, że A G H, co przyszłemu studetowi AGH skojarzyło się jedozaczie, a pozostałym ucziom ułatwiło zapamiętaie ierówości Przedstawiłam ucziom ierówość Cauchy'ego: jeśli a, a, a,, a są liczbami rzeczywistymi ieujemymi, jest liczbą ie miejszą iż, a + a + + a to prawdziwa jest ierówość Cauchy'ego a a a, jako uogólieie udowodioej ierówości, a chętych do zapozaia się z jej dowodem odesłałam do literatury Przyszedł czas a wykorzystaie ierówości między średimi w praktyce Zadaia x y z Dla dowolych liczb dodatich x, y, z : + + y z x Dla dowolych liczb dodatich x, y, z : ( x + y + z ) + + 9 x y z a b c Dla dowolych dodatich liczb a, b, c : + + bc ac ab 4 Dla dowolych liczb dodatich a, b, c : ( a + b + c ) + + 9 ab bc ac cd da ab bc 5 Dla dowolych dodatich liczb a, b, c, d : + + + 4 ab bc cd da 6 Jeżeli a, a,, a R+ i a a a =, to ( + a )( + a ) ( + a ) 7 Jeżeli a, b, c 0,, to abc ( a )( b )( c ) 64 Wskazówki i odpowiedzi Zadaie
x y z Przyjmij, że a =, b =, c = i zastosuj ierówość y z x a + b + c abc Zadaie Zauważ, że x + y + z xyz i + +, a astępie pomóż te ierówości stroami x y z x y z Zadaie Niech a b c x + y + z x =, y =, z = i zastosuj ierówość bc ac ab xyz Zadaie 4 Zauważ, że a + b + c a b c i + +, a astępie pomóż te ierówości ab bc ac a b c stroami Zadaie 5 Przyjmij, że Zadaie 6 cd da ab bc x + y + z + v x =, y =, z =, v = i zastosuj ierówość 4 ab bc cd da 4 xyzv Dla każdego i mamy + a i a Pomóż te ierówości stroami, otrzymasz ( )( + a ) ( + a ) + = a a a a Zadaie 7 a + a b + b 8 abc a b c c + c ( ) Zauważ, że: ( a)a ( ), ( b)b ( ), ( c)c stroami, otrzymasz ( )( )( ) Pomóż ierówości, a astępie podieś tę ierówość do kwadratu Zadaia do samodzielego rozwiązaia 8 Wykaż, że dla każdych a, b, c R+ takich, że a + b + c = prawdziwa jest ierówość ( a )( b )( c ) 8abc 9 Udowodij, że dla liczb dodatich a, b, c zachodzi ierówość a + b + c + a + b + b + c + a + c + ( )( )( ) ( )( )( )
0 Niech a, a, a,, a będą liczbami z przedziału 0, Wykaż, że wtedy ( a )( a ) ( a ) + a + a + + a Bibliografia 4 Aleksader Śieżek, Paweł Tęcza, Zbiór zadań z algebry dla szkół średich, Wydawictwa Szkole i Pedagogicze, Warszawa 994, str, 5 Czasopismo Matematyka, WSiP, '97 str4, '97 str77