MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym. Będziemy oznaczać : a n (b n, c n itd.) - n-ty wyraz ciągu (wyraz o numerze n), (a n ) 0 n=, (b n ) n= (lub krócej (a n ), (b n )...) cały ciąg. (Niektóre) sposoby określania ciągów liczbowych Przez wypisanie wszystkich wyrazów (tylko dla ciągu skończonego), np. 2, 5, 5 2, 3, 3, 2, 2π, 5, 6 (czyli: a = 2, a 2 = 5,, a 8 = 5 ). Przez podanie wzoru na wyraz ogólny, np. a n = n 2 6 więc w tym przypadku a = 5, a 2 = 2, a 3 = 3, a 0 = 94 Suma wyrazów ciągu liczbowego: Dla dwóch liczb całkowitych z, Z takich że z Z, (suma Z z + składników) W szczególności: (suma m składników). Z n=z m n= a n = a z + a z+ + + a Z. a n = a + a 2 + + a m.
Proste przykłady: 8 n= 0 k=7 8 i=4 5 j= 5 5 n=0 n = + 2 + 3 + + 8 = 36 ; k = 7 + 8 + 9 + 0 = 34 ; (i 3) = (4 3) + (5 3) + (6 3) + (7 3) + (8 3) = 5 ; j 2 = ( 5) 2 + ( 4) 2 + + 4 2 + 5 2 = 0 ; 2 n = 2 0 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = + 2 + 4 + 8 + 6 + 32 = 63..2. NAJWAŻNIEJSZE WŁASNOŚCI (a) Z (a n + b n ) = Z a n + Z (b) n=z z n=z a n = a z np. n=z 5 n=5 b n n=z n = 5 (c) Z (c a n ) = c n=z Z a n n=z np. 8 n=0 (7 n 2 ) = 7 8 n 2 n= (d) dla z w Z w n=z a n + Z n=w+ a n = Z a n n=z (np. 7 n= (2n ) + 9 (2n ) = 9 (2n ) ) n=8 n= (e) Z n=z c = (Z z + ) c np 9 n=3 5 = 5 + 5 + + 5 = 7 5 = 35..3. OBLICZANIE 9 j= 3 n= 2 3 = 27 i podobnie 4 3 = 27; j=6 (2n + ) = 2 ( 2) + + 2 ( ) + + 2 0 + + 2 3 +
a prościej: = 3 n= 2 2n + 3 n= 2 = 2 3 n= 2 n + 6 = 2 ; 6 k=3 k 2 = 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 86 0 i= 0 i = 0 (dlaczego?) 4 j=0 (2 3 j ) = 2 4 3 j = 242 j=0.4. ZAPISYWANIE Zapisać z użyciem znaku sumy: 3 + 4 + 5 + + 5 ; x + x 2 + x 3 + x 4 ; x 2 + x 4 + + x 50 5 k=3 oraz k 4 x n 25 x 2k n= k= 5 + 6 + + 29 ; 5x 2 + 6x 4 + 7x 6 + + 29x 50 29 n=5 n (lub 25 (n + 4)) n= 25 n= (n + 4)x 2n.5. INTERPRETACJA Przykład: Sieć ma w mieście M = 4 bary (A, B, C, D), w każdym jest sprzedawane N = 5 gatunków piwa (H, K, L, T, Ż). Oznaczamy przez x ij liczbę litrów piwa typu j sprzedanych dziś w barze nr i. Wówczas: liczba litrów piwa sprzedanych dziś w barze nr 3 to 5 x 3j j= a liczba litrów Żywca nalanych dziś w całym mieście to 4 i= x i5. Jeżeli bar nr i kupuje piwo typu j po cenie p ij, a sprzedaje po z ij za litr, to jego dzisiejszy utarg na piwie wynosi 5 (z ij x ij ), a zysk j= 5 ((zij p ij ) x ij ).
A ile litrów piwa nalano dziś łącznie we wszystkich barach tej sieci? Sumując kolejno po wszystkich barach i łączną sprzedaż w barze (s i ) dostaniemy 4 i= s i = 4 5 x ij. i= j= Sumując kolejno po wszystkich typach piwa j łączną sprzedaż tego piwa w mieście (r j ) dostaniemy 5 r j = 5 4. j= Tę wielkość zapisujemy jako sumę podwójną: 4 5 i= j= j= x ij = 5 x ij i= 4 j= i= x ij..6. SUMA PODWÓJNA Definicja jak wyżej: Podstawowe właściwości: Y Z i=y j=z Y Z i=y j=z (a ij + b ij ) = Y Z i=y j=z (a i b j ) = Y a i i=y Z j=z Y Z x ij = Z Y x ij = i=y j=z j=z i=y = Y Z x ij = Z Y x ij. i=y j=z j=z i=y a ij + Y b j. Z i=y j=z b ij ; Przykład: ale prościej: = 4 3 m=0 n= m + n 4 = + + 3 m=0 n= 4 (m + ) ( + 2 3) + ( 2 + + 2 2 + 2 + 3) ( 5 + 5 2 + 5 3) m + = 4 3 (m + ) n m=0 n= n ( 3 = 5 n + 2 + 3) = 6 + 22 6 + 55 6 = 65 6 ( ) = = 5 6 = 65 6 = 55 2.
.7. ŚREDNIA Średnia z liczb a, a 2, a n to ni= a i n. 2 i= i Na przykład średnia z liczb, 2,..., 2 to =. 2 Zazwyczaj średnią z liczb x, x 2, x n oznacza się przez x. Właściwości:. min(x, x 2, x n ) x max(x, x 2, x n ) i jeżeli liczby x, x 2, x n nie są wszystkie jednakowe, to obie nierówności są ostre; 2. n i= (x i x) = 0 (suma odchyleń wszystkich liczb od ich średniej = średnia odchyleń od średniej = 0)..8. ILOCZYN Na przykład: Z n=z a n = a z a z+ a Z. 5 j= j = 2 3 4 5 = 20 = 5! ; 4 i=0 9 j= j = 0 ; 2 i = 2 4 i=0 i = 2 0 = 024 ; n k= n j= 2 n= 2 k = n! ; a = a n ; 5 n =.
. x y = 0 wektory x i y są prostopadłe 2. Algebra liniowa 2.. WEKTORY DZIAŁANIA, LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ Wektor n-wymiarowy x układ n liczb rzeczywistych: x = (x, x 2,, x n ). Często wektory utożsamia się z punktami przestrzeni n-wymiarowej R n (a w fizyce ze strzałkami prowadzącymi od początku układu do danego punktu). Będziemy je zapisywać jako wektory kolumnowe: x = lub jako wektory wierszowe: x = [x x 2 x n ]. Działania na wektorach Dodawanie (tylko wektorów tego samego wymiaru) : Dla x = [x x 2 x n ], y = [y y 2 y n ] R n np. [2 3 5] + [3 0 ] = [5 3 4]. Mnożenie wektora przez liczbę x x 2 x n x + y = [x + y x 2 + y 2 x n + y n ] Dla x = [x x 2 x n ] R n i liczby c R c x = [cx cx 2 cx n ] np. 3 [2 3 5] = [6 9 5]. Iloczyn skalarny (tylko wektorów tego samego wymiaru) Dla x = [x x 2 x n ], y = [y y 2 y n ] R n x y = x y + x 2 y 2 + x n y n = n x j y j (liczba), np. [2 3 5] [3 0 ] = 6 + 0 + ( 5) =. Uwaga (geometryczna) j=
2. x x = kwadrat długości wektora x. Wektor d R n jest kombinacją liniową wektorów a, a 2,, a k R n jeżeli istnieją liczby z, z 2,, z k (współczynniki kombinacji) takie że Jeśli z, z 2,, z k 0 i Np. wektor d = 3 8 k j= (bo d = 3a a 2 ), a wektor e = wektor a wektor 2 5 d = z a + z 2 a 2 + + z k a k. z j =, to taka kombinacja jest kombinacją wypukłą. jest kombinacją liniową wektorów a = 0 3 3 nie jest; jest kombinacją wypukłą wektorów 2 2 Wektory a, a 2,, a k liniową pozostałych. Np. wektory a = a, a 2 i a 4 = 6 3 i 0 6 jest ich kombinacją liniową, ale nie wypukłą. 3 3, 3 i a 2 = R n są liniowo niezależne, jeżeli żaden z nich nie jest kombinacją, a 2 = 0 2 i a 3 = 0 3 3 0 2 są liniowo niezależne, a wektory nie są (bo a 4 = a 2a 2 ), czyli są liniowo zależne. Uwaga. Układ liniowo niezależnych wektorów w R n może składać się z co najwyżej n wektorów. Najprostszy układ wektorów liniowo niezależnych w R n : [ 0 0], [0 0 0],, [0 0 0 ] (baza kanoniczna układ wszystkich wersorów).
2.2. MACIERZE OKREŚLENIE Macierz wymiaru m n = Prostokątna tablica liczb o m wierszach i n kolumnach. A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Macierz wymiaru n wektor wierszowy długości n Macierz wymiaru m wektor kolumnowy długości m. 2.3. DZIAŁANIA NA MACIERZACH Transpozycja A T = ( A transponowana, wymiaru n m). Np. gdy A = (A T ) T = A. 3 0 2 4, to A T = a a 2 a m a 2 a 22 a m2 a n a 2n a nn 3 2 0 4. Mnożenie przez liczbę Gdy c R, A macierz wymiaru m n to c A taka macierz C wymiaru m n że dla każdego i, j c ij = c a ij. Np. gdy A = 3 3 0 2 4, to 4 A = 2 2 0 8 4 6.
Dodawanie macierzy TYLKO TEGO SAMEGO WYMIARU! Gdy A, B macierze wymiaru m n to A + B taka macierz C wymiaru m n że dla każdego i, j c ij = a ij + b ij. Np. gdy A jak wyżej, B = A + B = 4 3 4 2 3 2 0 5, to Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne. Mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy, A + 2 B = Gdy A macierz wymiaru m n, x wektor kolumnowy długości n, to y = A x wektor kolumnowy długości m otrzymany tak: y k = n (a kj x j ) dla k =, 2, m j= (iloczyn skalarny k-tego wiersza macierzy A i wektora x). Np. 3 0 0 4 2 2 0 = 3 ( 2) + 0 + 0 0 ( 2) + 4 0 + 2 = Przykład. W przykładzie z piwem z poprzednich zajęć: gdy 6 2 5 6 6 6 X macierz (4 5) liczb litrów piwa poszczególnych rodzajów nalanych w poszczególnych barach, q wektor kolumnowy długości 5, gdzie x j cena sprzedaży litra piwa typu j to z = X q jest wektorem długości 4 ; z k = utarg baru nr k na piwie Mnożenie macierzy Gdy A macierz wymiaru m n, B macierz wymiaru n p. (TYLKO TAKIE MOŻNA MNOŻYĆ!) to C = A B macierz wymiaru m p otrzymana tak:. c kl = n (akj b jl ) dla k =, 2, m, l =, 2, p.
c kl = k-ty wiersz A l-ta kolumna B. Czyli: kolumny macierzy C powstają z pomnożenia A przez odpowiednie kolumny macierzy B. Na przykład: 3 0 0 4 2 2 4 0 3 = 3 + 4 + 0 3 3 ( 2) + 0 + 0 0 + 4 4 + 2 3 0 ( 2) + 4 0 + 2 = 7 6 22 2. Innymi słowy : A B istnieje A ma tyle samo kolumn ile B ma wierszy wiersze A są tej samej długości co kolumny B. Macierz kwadratowa A (n n) jest : symetryczna A = A T i,j a ij = a ji np. trójkątna górna (i > j a ij = 0) trójkątna dolna (i < j a ij = 0) diagonalna (i j a ij = 0) jednostkowa a ij = gdy i = j, 0 gdy i j np. np. np. 2 3 2 5 4 3 4 0 2 3 0 5 4 0 0 6 0 0 2 5 0 3 4 6 0 0 0 5 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 ; ; ; ;. Macierz jednostkową wymiaru n n oznaczamy przez I n.
Własności mnożenia macierzy: jest łączne (tj. A (B C) = (A B) C ), nie jest przemienne może zachodzić A B B A nawet gdy oba iloczyny istnieją, iloczyn A A T zawsze istnieje i jest macierzą symetryczną, (A B) T = B T A T, dla dowolnej macierzy A wymiaru m n A I n = I m A = A. 2.4. DOPEŁNIENIA ALGEBRAICZNE I WYZNACZNIK tylko macierzy kwadratowych! Gdy A jest macierzą (n n), oznaczamy: A ij macierz wymiaru n n utworzona z A przez usunięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny; det A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn wyznacznik macierzy A ; a D ij dopełnienie algebraiczne elementu a ij i określamy je tak: dla n = : a D nie istnieje, det [a ] = a ; dla n > a D ij = ( ) i+j det A ij, det A = n k= (a k a D k).
Przykład dla n = 2 : B = 2 4 3 b D = ( ) + det B = det[ 3] = 3, b D 2 = ( ) +2 det B 2 = det[] =, b D 2 = ( ) 2+ det B 2 = det[4] = 4, b D 22 = ( ) 2+2 det B 22 = det[2] = 2. Więc macierz dopełnień algebraicznych macierzy B : B D = 3 4 2 i wyznacznik: det B = b b D + b 2 b D 2 = 2 ( 3) + 4 ( ) = 0. Prosty wzór na wyznacznik macierzy 2 2 : det Przykład dla n = 3 : E = 2 0 0 2 e D = ( ) + det E = det e D 2 = ( ) +2 det E 2 = det e D 3 = ( ) +3 det E 3 = det (uzupelnić!) i wyznacznik:. Mamy: a a 2 a 2 a 22 2 = a a 22 a 2 a 2. = 2 ( ) ( ) =, 0 = (0 ( ) ( )) =, 0 2 = 0 ( ) 2 ( ) = 2 det E = 3 (e k e D k) = 2 + ( ) + 0 2 =. k= Prosta metoda liczenia wyznacznika macierzy 3 3 schemat Sarrusa.
Właściwości wyznacznika: jeżeli A ma kolumnę (lub wiersz) samych zer, to det A = 0, jeżeli A ma dwie kolumny (lub dwa wiersze) równe lub proporcjonalne, to det A = 0, jeżeli A trójkątna lub diagonalna, to co? (praca domowa) dodanie do kolumny (wiersza) innej kolumny (wiersza) pomnożonej(-go) przez stałą nie zmienia wyznacznika macierzy, zamiana miejscami dwóch wierszy (lub kolumn) zmienia znak wyznacznika, det(c A) = c n det A, det(a B) = det A det B. Ponadto: det A = n (a k a D k) = n (a mk a D mk) k= dla dowolnego m =, 2, n, tzn. sumowanie możemy wykonać dla dowolnego (niekoniecznie pierwszego) wiersza macierzy. k= (Także dla dowolnej kolumny: det A = n (a km a D km)) rozwinięcie Laplace a według dowolnego wiersza lub kolumny. k= Jeszcze inne własności: det A T = det A, jeżeli A jest wymiaru m n i m > n, to det(a A T ) = 0. Macierz kwadratowa B jest osobliwa jeżeli det B = 0 ; w przeciwnym razie B jest nieosobliwa.
Interpretacja geometryczna wyznacznika det A = (gdy A jest macierzą 2 2) = pole równoległoboku (gdy A jest macierzą 3 3) = objętość równoległościanu którego bokami są wektory w R 2 (R 3 ) równe kolumnom macierzy A. Rząd macierzy A (niekoniecznie kwadratowej), rz A to największa liczba liniowo niezależnych wierszy macierzy A = największa liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy A = liczba różnych wersorów które można uzyskać w kolumnach macierzy otrzymanej z A przez operacje elementarne Uwaga.. Gdy macierz A jest wymiaru m n, to rz A min(m, n). (o których dalej). 2. Gdy macierz A jest wymiaru n n, to rz A = n wtedy i tylko wtedy, gdy det A 0.
2.5. MACIERZ ODWROTNA tylko macierzy kwadratowej nieosobliwej! Gdy A jest macierzą wymiaru n n i det A 0, określamy: A = macierz X taka, że A X = I n. Stwierdzenie: Dla macierzy A wymiaru n n. A istnieje A jest nieosobliwa rz A = n ; 2. A A = I n ( i wobec tego (A ) = A ); 3. jeżeli A istnieje, to jest wyznaczona jednoznacznie. Wzór: A = det A (AD ) T. Przykład: Dla macierzy A = 7 2 4 więc A = det A (AD ) T = 0 4 2 7 mamy A = 0 oraz A D = T = 0, 4 0, 7 0, 2 0,. 4 2 7, Przykład: mamy: Dla macierzy F D = 6 4 8 7 6 0 F = 3 2 3 2 2 2 5 4 oraz det F = [3 2 3] [ 6 4 8] = 2, więc F = det F (FD ) T = 2 6 7 4 6 0 8 = 3 7 2 2 2 3 0 4 2 2. Inna metoda wyliczania: przez operacje elementarne (dalej).
2.6. UKŁADY (CRAMEROWSKIE) RÓWNAŃ LINIOWYCH Każdy układ m równań liniowych z n niewiadomymi postaci: można zapisać w postaci wektorowej : x a a 2 a m lub w postaci macierzowej : a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = b m + x 2 a 2 a 22 a m2 a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn + + x n x x 2 x n (czyli A x = b, gdzie A jest macierzą wymiaru m n, x x 2 x = jest wektorem z R n, b = x n b b 2 b m a n a 2n a mn = b b 2 b m wektorem z R m ). = b b 2 b m Szczególny przypadek: Gdy m = n (niewiadomych jest tyle ile równań) i macierz A jest nieosobliwa, układ równań o takiej macierzy nazywamy cramerowskim. Np. układ równań a układ 5x 3x 2 = 7 2x + x 2 = 6 jest cramerowski, x + 3x 2 + x 3 = 8 2x + 4x 2 + x 3 = nie.
ROZWIĄZYWANIE cramerowskich układów równań: Twierdzenie : Jeśli układ równań o postaci macierzowej A x = b jest cramerowski, to ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim wektor x = A b. Dowód: Skoro A x = b, to A (A x) = A b (A istnieje bo układ jest cramerowski, a więc det A 0), czyli I n x = x = A b. Stąd uniwersalna metoda rozwiązywania takich układów: Odwrócić macierz układu A i pomnożyć uzyskaną A przez prawą stronę, b. Inna metoda: Wzory Cramera : Rozwiązanie x cramerowskiego układu równań A x = b jest postaci x j = det A [j/b] det A j =, 2, n gdzie A [j/b] jest macierzą powstającą z A przez zastąpienie j-tej kolumny wektorem b. Przykład : Układ równań ma postać macierzową 2x x 2 = 4 2x 2 x 3 = 6 x x 2 + x 3 = 3 2 0 0 2 x x 2 x 3 = 4 6 3 i jego macierz (oznaczmy ją E) jest nieosobliwa bo det E =. Nadto E = 2 2 2 3 4
(sprawdzić!), a więc x = E x =, x 2 = 2, x 3 = 2. 4 6 3 = 2 2 2 3 4 4 6 3 = 2 2 ; Lub z wzorów Cramera: E [b] = 4 0 6 2 3, E [2b] = 2 4 0 0 6 3, E [3b] = 2 4 0 2 6 3 i det E [b] =, det E [2b] = 2, det E [3b] = 2 a więc x = / =, x 2 = 2/ = 2, x 3 = 2/ = 2. Jeszcze inna metoda (i jedyna która działa dla układów NIEcramerowskich) przez operacje elementarne.
Operacje elementarne na macierzy: zamiana wierszy : w i /w j pomnożenie wiersza przez stałą : c w i dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez stałą : w i + c w j. Mają one zastosowanie do: wyliczania macierzy odwrotnej macierzy nieosobliwej, wyliczania rzędu macierzy, rozwiązywania układów równań liniowych. Wpływ operacji elementarnych na wyznacznik (macierzy kwadratowej): w i /w j zmienia znak det, w i + c w j nie zmienia wyznacznika, c w i mnoży det przez c. Rozwiązywanie cramerowskich układów równań przez operacje elementarne:. Zapisać układ w postaci macierzowej 2. Obok jego macierzy wpisać prawą stronę układu (wektor wyrazów wolnych) 3. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewej stronie macierzy jednostkowej 4. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy wektor będący rozwiązaniem układu równań. Przykład : Rozwiązać układ równań 5x 3x 2 + 6x 3 = 7 3x + 2x 2 4x 3 = 4 2x x 2 + 3x 3 = 6. w 3 w 5 3 6 7 3 2 4 4 2 3 6 2 2 3 3 2 4 4 0 0 3 w + w 2 w 2 + 2w 2 2 3 3 2 4 4 2 3 6 2 2 3 0 0 2 0 0 3
w 2w 2 w 0 2 0 0 2 0 0 3 0 0 7 0 0 2 0 0 3 w 2w 3 w /w 2 0 0 7 0 0 2 0 0 3 0 0 2 0 0 7 0 0 3 rozwiązanie: x = 2, x 2 = 7, x 3 = 3. Odwracanie macierzy nieosobliwych przez operacje elementarne:. Obok odwracanej macierzy zapisać macierz jednostkową tego samego wymiaru. 2. Przeprowadzać na obu naraz te same operacje elementarne aż do otrzymania po lewej stronie macierzy jednostkowej 3. W tym momencie po prawej stronie otrzymamy macierz odwrotną do wyjściowej. Przykład. Odwrócenie macierzy z poprzedniego przykładu: w 3 w 5 3 6 0 0 3 2 4 0 0 2 3 0 0 2 2 0 3 2 4 0 0 0 0 w + w 2 w 2 + 2w w /w 2 2 2 0 3 2 4 0 0 2 3 0 0 0 0 2 3 0 0 0 3 2 0 0 macierz odwrotna po prawej stronie.
2.7. UKŁADY NIECRAMEROWSKIE Uwaga. Układ równań A x = b czyli a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = b m ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wektor a a 2 a m, a 2 a 22 a m2,, a n a 2n a mn. b b 2 b m jest kombinacją liniową wektorów Tzn. gdy wektor b jest kombinacją liniową kolumn macierzy A. (Dowód oczywisty z postaci wektorowej układu; rozwiązania x, x n = współczynniki tej kombinacji). Dla takiego układu równań oznaczamy: A b macierz m (n + ) powstała przez dodanie do macierzy A kolumny wyrazów wolnych b. TWIERDZENIE. Układ m równań z n niewiadomymi A x = b (jak wyżej) : ma jedno rozwiązanie rz A = rz A b = n (tak jest w szczególności dla układów cramerowskich); ma nieskończenie wiele rozwiązań rz A = rz A b < n ; nie ma rozwiązań (jest sprzeczny) rz A < rz A b. Praktyczne rozwiązywanie przez operacje elementarne. Dla układów mających nieskończenie wiele rozwiązań dzielimy zmienne na bazowe te w których kolumnach występują różne wersory swobodne wszystkie pozostałe po czym za każdą zmienną swobodną wstawiamy osobny parametr i otrzymujemy rozwiązanie ogólne
Przykład. Układ równań x + x 2 + x 3 = 5 2x + 3x 2 + x 3 = 7 sprowadzamy przez operacje elementarne do postaci z dwoma różnymi wersorami w kolumnach [ 5 2 3 7 ] w 2 2w [ 5 0 3 ] w w 2 [ 0 2 8 0 3 ] ; zmienne x i x 2 (odpowiadające kolumnom z różnymi wersorami) są bazowe, za zmienną swobodną x 3 wstawiamy parametr: x 3 = s i przepisujemy układ w postaci x + 2s = 8, x 2 + s = 3, czyli x = 8 2s, x 2 = s 3, x 3 = s ; rozwiązanie ogólne rodzina wszystkich rozwiązań, dla dowolnych wartości parametru s. Po podstawieniu dowolnej wartości s (np. s = 7) dostaniemy rozwiązanie szczególne (np. x = 6, x 2 = 4, x 3 = 7). Szczególny przypadek rozwiązania bazowe w zmiennych bazowych x 2, x 3 (x = 0) : s = 4 ; x = 0, x 2 =, x 3 = 4 w zmiennych bazowych x, x 3 (x 2 = 0) : s = 3 ; x = 2, x 2 = 0, x 3 = 3 w zmiennych bazowych x, x 2 (x 3 = 0) : s = 0 ; x = 8, x 2 = 3, x 3 = 0. Rozwiązania nieujemne czyli takie, że x, x 2, x 3 0 muszą spełniać czyli występują dla takich s że 3 s 4. 8 2s 0, s 3 0, s 0 Przykład 2. Operacje elementarne: [ 2 2 3 2 3 4 x 2x 2 + x 3 x 4 = 2 3x + 2x 2 + 3x 3 x 4 = 4 ] w 2 3w ; w 2 2 ; w + w 2 Zmienne bazowe: x 3, x 4 (można zamiast tego wziąć x i x 4 ), dwa parametry x = s i x 2 = t, [ 2 0 3 0 4 0 5 rozwiązanie ogólne: x = s, x 2 = t, x 3 = 3 s 2t,, x 4 = 5 4t. ]