Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w zborze Y. Defcja cągu fukcyjego. Nech X R, X. Fukcję określoą a zborze N o wartoścach w zborze fukcj R X azywamy cągem fukcyjym ozaczamy (f ) N lub (f ) lub f : X R, = 1, 2,..., pszemy róweż (f ) N R X lub (f ) R X. Defcja zbeżośc cągu fukcyjego. Nech (f ) R X. Mówmy, że cąg fukcyjy (f ) jest zbeży, gdy steje fukcja f : X R taka, że dla każdego x X zachodz f(x) = lm f (x). Fukcję f azywamy gracą cągu (f ) pszemy f = lm f. Cąg fukcyjy, który e jest zbeży, azywamy rozbeżym. Uwaga 8.1.1. Nech (f ), (g ) R X bądą cągam fukcyjym zbeżym odpowedo do f, g : X R. Wprost z własośc grac cągów lczbowych dostajemy, że: suma (f + g ), różca (f g ) loczy (f g ) są cągam zbeżym odpowedo do f + g, f g fg. Jeśl poadto g(x) 0, g (x) 0 dla x X oraz N, to cąg ( ) f jest zbeży do f. g g Defcja szeregu fukcyjego. Nech (f ) R X będze cągem fukcyjym. Cąg fukcyjy s = f 1 + + f, = 1, 2,... azywamy cągem sum częścowych cągu (f ). Szeregem fukcyjym azywamy parę uporządkowaą ((f ), (s ) ) ozaczamy f. Wtedy cąg (s ) azywamy cągem sum częścowych szeregu f. Defcja zbeżośc szeregu fukcyjego. Szereg fukcyjy f, gdze (f ) R X azywamy zbeżym, gdy zbeży jest jego cąg sum częścowych. Jeśl s : X R jest 183
184 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE gracą cągu sum częścowych szeregu s, fukcję s zaś azywamy sumą tego szeregu pszemy s = f, to mówmy, że szereg te jest zbeży do Szereg fukcyjy, który e jest zbeży azywamy rozbeżym. Uwaga 8.1.2. Nech f (x) = x, x ( 1, 1],,2,... Cąg te jest zbeży do fukcj g : ( 1, 1] R określoej wzorem g(x) = 0 dla x ( 1, 1) oraz g(1) = 1. Szereg fukcyjy zaś f (x) jest rozbeży, gdyż rozbeży jest w pukce x = 1. Szereg te rozważay w zborze ( 1, 1) jest zbeży jego sumą jest x. 1 x Uwaga 8.1.3. Przypomjmy, że dla k Z ozaczamy Z k = {m Z : m k}. Podobe jak w przypadku cągów szeregów lczbowych, w welu zagadeach wygode jest rozważać cąg szereg fukcyje w eco ogólejszym sese, gdze wskaźk przebegają zbór Z k. Dokładej, ech X R, X. Fukcję określoą a zborze Z k o wartoścach w zborze fukcj R X azywamy cągem fukcyjym ozaczamy (f ) Zk lub (f ) =k lub f : X R, = k, k + 1,... lub f k, f k+1,..., pszemy róweż (f ) =k R X. Podobe postępujemy dla szeregów fukcyjych. Nech (f ) =k R X będze cągem fukcyjym. Cąg fukcyjy s = f k + + f, = k, k + 1,... azywamy cągem sum częścowych cągu (f ) =k. Szeregem fukcyjym azywamy parę uporządkowaą ((f ) =k, (s ) =k) ozaczamy f. Wtedy cąg (s ) =k azywamy cągem sum częścowych szeregu f. =k Podobe jak wyżej deujemy pojęca zbeżośc cągu szeregu fukcyjego. W dalszym cągu ograczymy sę główe do cągów szeregów których wskaźk przebegają zbór lczb aturalych (wyjątek staową szereg potęgowe). Wprowadzoe dalej pojęca udowodoe twerdzea przeoszą sę łatwo a ogóly przypadek. 8.2 Jedostaja zbeżość cągu fukcyjego Defcja jedostajej zbeżośc cągu fukcyjego. Mówmy, że cąg fukcyjy (f ) R X jest jedostaje zbeży, gdy steje fukcja f : X R taka, że dla każdego ε > 0 steje N R, że dla każdego N takego, że > N oraz dla każdego x X zachodz f (x) f(x) < ε. Wtedy mówmy, że cąg (f ) jest jedostaje zbeży do fukcj f pszemy f f. Uwaga 8.2.1. Nech (f ) R X oraz ech f : X R. Z defcj zbeżośc mamy oraz f. f = lm f x X ε>0 N R >N f (x) f(x) < ε f f ε>0 N R >N x X f (x) f(x) < ε Różca mędzy defcją zbeżośc cągu fukcyjego zbeżośc jedostają polega a tym, że w perwszej defcj doberamy N do x oraz do ε, w drugej zaś doberamy N do ε, wspóle dla wszystkch x X =k
8.2. JEDNOSTAJNA ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU FUNKCYJNEGO 185 Bezpośredo z defcj dostajemy astępującą własość. Własość 8.2.2. Jeśl cąg fukcyjy (f ) R X jest jedostaje zbeży do fukcj f : X R, to cąg te jest zbeży do f. Uwaga 8.2.3. Defcje zbeżośc zbeżośc jedostajej e są rówoważe. Na przykład cąg fukcyjy f : R R, N określoy wzorem f (x) = x, x R jest zbeży do fukcj f(x) = 0 dla x R. Cąg te e jest jedak zbeży jedostaje do fukcj f. Podobe jak dla szeregów lczbowych dostajemy Własość 8.2.4. Nech (f ), (g ) R X oraz ech f, g : X R. Jeśl f f g g,to (f + g ) (f + g) oraz (f g ) (f g). Dowód. Weźmy dowole ε > 0. Poeważ f f, g g, to steje N R, że dla każdego > N oraz x X zachodz f (x) f(x) < ε 2 oraz g (x) g(x) < ε 2. Wówczas dla > N oraz x X mamy f (x) + g (x) f(x) g(x) f (x) f(x) + g (x) g(x) < ε oraz To daje tezę. f (x) g (x) f(x) + g(x) f (x) f(x) + g (x) g(x) < ε. Własość 8.2.5. Nech (f ), (g ) R X oraz f, g : X R. Jeśl f f, g g oraz steje M R, M > 0, że f (x), g (x) M dla wszystkch x X oraz N, to (f g ) (fg). Dowód. Weźmy dowole ε > 0. Poeważ f f, g g, to steje N R, że dla każdego > N oraz x X zachodz f (x) f(x) < ε 2M oraz g (x) g(x) < ε 2M. Poeważ g (x) M dla x X oraz N, węc przechodząc do gracy mamy g(x) M dla x X. W kosekwecj dla > N oraz x X mamy f (x)g (x) f(x)g(x) f (x) g (x) g(x) + g(x) f (x) f(x) < M ε 2M +M ε 2M = ε. To daje tezę. Uwaga 8.2.6. W powyższej własośc założea, że fukcje f, g są ograczoe e moża opuścć. Maowce cąg f (x) = x, g (x) = 1, x R, N są jedostaje zbeże lecz cąg (f g ) e jest jedostaje zbeży. Poadto cąg (f ) e jest ograczoy.
186 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Podobe jak własość 8.2.5 dowodzmy Własość 8.2.7. Nech (f ) R X oraz f f, gdze f : X R. Jeśl g : X R jest fukcją ograczoą, to (f g) (fg). Własość 8.2.8. Nech (f ) R X będze cągem fukcyjym oraz ech f : X R. Ozaczmy M = sup{ f (x) f(x) : x X} dla N. Wówczas astępujące waruk są rówoważe: (a) f f. (b) steje m N, że M R dla m oraz lm M = 0. Dowód. Ad. (a) (b) Poeważ f f, węc steje m N, że dla każdego m oraz x X mamy f (x) f(x) < 1. Zatem 0 M 1, a węc M R dla m. Weźmy dowole ε > 0. Wówczas, wobec (a), steje N m take, że dla > N oraz x X zachodz f (x) f(x) < ε. Stąd z określea M 2 dla > N mamy M 0 = M ε < ε. To daje, że lm M 2 = 0. Ad. (b) (a) Weźmy dowole ε > 0. Wówczas, wobec (b), steje N m, że dla > N zachodz M < ε. Poeważ z określea M dostajemy, że dla x X zachodz f (x) f(x) M, węc dla > N oraz x X mamy f (x) f(x) < ε. To daje jedostają zbeżość cągu (f ) do fukcj f. Twerdzee 8.2.9. (waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągu fukcyjego). Nech (f ) będze cągem fukcyjym, gdze f : X R dla N. Wówczas cąg (f ) jest jedostaje zbeży wtedy tylko wtedy, gdy speła astępujący waruek Cauchy ego: (8.1) ε>0 N R,l>N x X f (x) f l (x) < ε. Dowód. Załóżmy ajperw, że cąg (f ) jest jedostaje zbeży, powedzmy do fukcj f : X R. Weźmy dowole ε > 0. Wtedy steje N R, że dla > N oraz x X mamy f (x) f(x) < ε. Zatem dla każdych, l > N oraz x X mamy 2 f (x) f l (x) f (x) f(x) + f(x) f l (x) < ε 2 + ε 2 = ε. To daje, że cąg (f ) speła waruek Cauchy ego (8.1). Załóżmy teraz, że cąg (f ) speła waruek Cauchy ego (8.1). Wówczas dla każdego x X cąg lczbowy (f (x)) speła waruek Cauchy ego. Zatem a podstawe twerdzea Cauchy ego 4.7.3 dla każdego x X steje skończoa graca lm f (x). Ozaczając tę gracę przez f(x) dla x X mamy określoą fukcję f : X R do której jest zbeży cąg (f ). Pokażemy, że f f. Weźmy dowole ε > 0. W myśl (8.1) steje N R, że dla, l > N oraz x X zachodz f (x) f l (x) < ε. Zatem przechodząc do gracy przy 2 l dostajemy, że dla > N oraz x X zachodz f (x) f(x) ε < ε. To daje 2 f f.
8.3. JEDNOSTAJNA ZBIEŻNOŚĆ SZEREGU FUNKCYJNEGO 187 ZADANIA Zadae 8.2.1. Nech (f ) (g ) będą cągam fukcyjym, gdze f, g : X R dla N. Nech f f, g g, gdze f, g : X R. Wówczas jeśl steją M, K R, M, K > 0 że g (x) M, f(x) K dla x X oraz N, to f g f g. 8.3 Jedostaja zbeżość szeregu fukcyjego Defcja jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego. Mówmy, że szereg fukcyjy f, gdze f : X R dla N, jest jedostaje zbeży, gdy cąg sum częścowych tego szeregu jest jedostaje zbeży. Bezpośredo z defcj dostajemy astępującą własość. Własość 8.3.1. Każdy szereg fukcyjy zbeży jedostaje jest zbeży. Z własośc 8.2.4 8.2.7 dostajemy atychmast Własość 8.3.2. Nech szereg (f ), (g ) R X. Wówczas (a) szereg (f + g ), (f g ) są zbeże jedostaje. f (b) jeśl fukcja g : X R jest ograczoa, to szereg g będą zbeże jedostaje, przy czym f g jest zbeży jedostaje. Z waruku Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągu fukcyjego 8.2.9 dostajemy Twerdzee 8.3.3. (waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej szeregu fukcyjego). Nech (f ) R X będze cągem fukcyjym. Wówczas szereg f jest jedostaje zbeży wtedy tylko wtedy, gdy speła astępujący waruek Cauchy ego: m (8.2) ε>0 N R m l>n x X f (x) < ε. Udowodmy kryterum Weerstrassa jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego Twerdzee 8.3.4. (kryterum Weerstrassa jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego). Nech (f ) R X będze cągem fukcyjym. Jeśl steje cąg lczbowy (M ) tak, że dla każdego N zachodz f (x) M dla x X oraz szereg lczbowy M jest zbeży, to szereg f jest jedostaje zbeży. Dowód. Pokażemy, że szereg f speła waruek Cauchy ego (8.2). Istote, weźmy dowole ε > 0. Poeważ szereg lczbowy =l M jest zbeży, węc z twerdzea
188 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Cauchy ego 5.1.6, steje N R, że dla każdych m l > N mamy M l + + M m < ε. Zatem dla każdego m l > N oraz x X mamy f l (x) + + f m (x) f l (x) + + f m (x) M l + + M m < ε. To daje, że szereg dostajemy tezę. f speła waruek Cauchy ego (8.2). Stąd z twerdzea 8.3.3 Uwaga 8.3.5. Ne zachodz twerdzee odwrote do kryterum Weerstrassa. Na przykład szereg ( 1) x jest w przedzale [0, 1] zbeży jedostaje (co czytelk sprawdz bez trudu) lecz dla x (0, 1], szereg te e jest zbeży bezwzględe. Udowodmy kryterum Abela jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego. Twerdzee 8.3.6. (kryterum Abela jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego). Nech (f ), (g ) R X będą cągam fukcyjym. Jeśl () steje M R, M > 0, że dla każdego N oraz x X zachodz f (x) M, () dla każdego x X cąg (f (x)) jest malejący, () szereg to szereg g jest jedostaje zbeży, f g jest zbeży jedostaje. Dowód. Weźmy dowole ε > 0. Poeważ, wobec (), szereg g jest zbeży jedostaje, węc z waruku Cauchy ego 8.3.3 steje N N, że dla każdego m l N oraz x X zachodz m g (x) < ε 4M. Ustalmy l N. Zatem, ozaczając mamy =l A (x) = g j (x) dla x X, = l, l + 1,..., j=l (8.3) A (x) < ε 4M dla = l, l + 1,... Stosując przekształcee Abela (patrz dowód kryterum Drchleta 5.4.1) uwzględając (8.3), () oraz () dla m > l oraz x X dostajemy m m 1 f (x)g (x) = A (x)(f (x) f +1 (x)) + A m (x)f m (x) =l m 1 =l m 1 =l =l A (x) f (x) f +1 (x) + A m (x) f m (x) ε (f 4M (x) f +1 (x)) + ε f 4M m(x) = ε f 4M l(x) ε f 4M m(x) + ε f 4M m(x) ε 4M M + ε 4M M + ε 4M M < ε.
8.4. ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA A CIĄGŁOŚĆ 189 Dla m = l zaś mamy m f (x)g (x) = f l g l M ε =l 4M < ε. Reasumując szereg =k f g speła waruek Cauchyego zbeżośc jedostajej szeregów 8.3.3, węc jest to szereg zbeży jedostaje. To kończy dowód. Powtarzając dowód kryterum Drchleta zbeżośc szeregu lczbowego 5.4.1 dostajemy Twerdzee 8.3.7. (kryterum Drchleta jedostajej zbeżośc szeregu fukcyjego). Nech (f ), (g ) R X będą cągam fukcyjym. Jeśl m () steje M R, że dla każdego m N oraz x X zachodz f (x) M, () dla każdego x X cąg (g (x)) jest malejący, () Cąg (g ) jest jedostaje zbeży do fukcj tożsamoścowo rówej zeru, to szereg f g jest zbeży jedostaje. 8.4 Zbeżość jedostaja a cągłość Twerdzee 8.4.1. Nech cąg fukcyjy (f ) R X, gdze X R, będze zbeży jedostaje do fukcj f : X R. Jeśl wszystke fukcje f, N, są cągłe w pukce x 0 X, to f jest fukcją cągłą w pukce x 0. Dowód. Weźmy dowole ε > 0. Poeważ f f, węc steje N N, że dla każdego N oraz x X zachodz f (x) f(x) < ε. W szczególośc dla = N mamy 3 (8.4) f N (x) f(x) < ε 3 dla x X. Poeważ f N jest fukcją cągłą, węc steje δ > 0, że dla każdego x X takego, że x x 0 < δ mamy (8.5) f N (x) f N (x 0 ) < ε 3. Reasumując z (8.4) (8.5) dla każdego x X takego, że x x 0 < δ mamy f(x) f(x 0 ) f(x) f N (x) + f N (x) f N (x 0 ) + f N (x 0 ) f(x 0 ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. To daje cągłość fukcj f w pukce x 0. Z twerdzea 8.4.1 dostajemy atychmast Twerdzee 8.4.2. Jeśl cąg (f ) R X, gdze X R, fukcj cągłych jest zbeży jedostaje do fukcj f : X R, to f jest fukcją cągłą.
190 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Aalogcze jak twerdzea 8.4.1 dowodzmy Twerdzee 8.4.3. Jeśl cąg (f ) R X, gdze X R, fukcj jedostaje cągłych jest zbeży jedostaje do fukcj f : X R, to f jest fukcją jedostaje cągłą. Z twerdzea 8.4.1 dostajemy Twerdzee 8.4.4. Nech (f ) R X, gdze X R, będze cągem fukcyjym zbeżym jedostaje do fukcj f : X R. Nech x 0 będze puktem skupea zboru X oraz dla każdego N steje skończoa graca a = lm f (x). Wówczas cąg (a ) x x0 jest zbeży, fukcja f ma gracę skończoą w pukce x 0 oraz lm f(x) = lm a ( 1 ). x x 0 Dowód. Dla N określmy fukcje h : X {x 0 } R wzoram h (x) = f (x) dla x X \ {x 0 } oraz h (x 0 ) = a. Wtedy z założea, że a = x x0 lm f (x) dostajemy, że fukcje h są cągłe w pukce x 0. Pokażemy, że cąg fukcyjy (h ) jest jedostaje zbeży. Istote, weźmy dowole ε > 0. Poeważ cąg (f ) jest jedostaje zbeży, węc z waruku Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągu fukcyjego 8.2.9 dostajemy, że steje N R, że dla każdych m, l N oraz x X zachodz f m (x) f l (x) < ε 2. Przechodząc w powyższej erówośc do gracy przy x x 0 dostajemy h m (x 0 ) h l (x 0 ) ε < ε dla m, l N. Stąd mamy 2 h m (x) h l (x) < ε dla x X {x 0 }, m, l N. Zatem z twerdzea 8.2.9 dostajemy jedostają zbeżość cągu (h ). W szczególośc cąg (a ) jest zbeży. Nech a = lm a. Określmy fukcję h : X {x 0 } R wzoram h(x) = f(x) dla x X \ {x 0 } oraz h(x 0 ) = a. Wówczas cąg (h ) jest zbeży do h. Poeważ cąg te jest jedostaje zbeży, węc jest o jedostaje zbeży do h. W kosekwecj z twerdzea 8.4.1 wyka cągłość fukcj h w pukce x 0. Poadto To kończy dowód. Z twerdzea 8.4.1 dostajemy Wosek 8.4.5. Jeśl szereg fukcyjy lm f(x) = lm h(x) = h(x 0 ) = a. x x 0 x x0 f, gdze (f ) R X, X R, jest jedostaje zbeży wszystke fukcje f, N, są cągłe w pukce x 0 X, to suma tego szeregu jest fukcją cągłą w pukce x 0. 1 aczej lm x x 0 ( lm f (x)) = lm ( lm x x 0 f (x)).
8.5. ZBIEŻNOŚĆ JEDNOSTAJNA A RÓŻNICZKOWALNOŚĆ 191 Dowód. Istote, sumy częścowe szeregu f są fukcjam cągłym w pukce x 0, jako sumy skończoej lośc fukcj cągłych w pukce x 0. Zatem z twerdzea 8.4.1 dostajemy tezę. Z wosku 8.4.5 dostajemy Wosek 8.4.6. Jeśl szereg fukcyjy f, gdze (f ) R X, X R, jest jedostaje zbeży wszystke fukcje f, N, są cągłe, to suma tego szeregu jest fukcją cągłą. Wobec faktu, że suma fukcj jedostaje cągłych jest jedostaje cągła, z twerdzea 8.4.3 dostajemy Wosek 8.4.7. Jeśl szereg fukcyjy f, gdze (f ) R X, X R, jest jedostaje zbeży wszystke fukcje f, N, są jedostaje cągłe, to suma tego szeregu jest fukcją jedostaje cągłą. 8.5 Zbeżość jedostaja a różczkowalość Twerdzee 8.5.1. Nech (f ) będze cągem fukcj różczkowalych a przedzale [a, b]. Jeśl cąg (f ) jest jedostaje zbeży (a [a, b]) oraz dla pewego x 0 [a, b] cąg (f (x 0 )) jest zbeży, to (a) cąg (f ) jest jedostaje zbeży do pewej fukcj różczkowalej f : [a, b] R, (b) f = lm f, to zaczy f (x) = lm f (x) dla x [a, b]. Dowód. Poeważ cąg (f ) jest zbeży jedostaje oraz cąg (f (x 0 )) jest zbeży, węc z waruku Cauchy ego dostajemy, że dla każdego ε > 0 steje N ε R, że (8.6) f m(x) f l (x) < ε 2(b a) dla każdych m, l > N ε oraz x [a, b], (8.7) f m (x 0 ) f l (x 0 ) < ε 2 dla każdych m, l > N ε. Pokażemy, że cąg (f ) jest zbeży jedostaje w [a, b]. Istote, wystarczy pokazać, że cąg te speła waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej. Weźmy węc dowole ε > 0 ech N = N ε. Zauważmy, że (8.8) f m (x) f l (x) < ε dla każdych m, l > N oraz x [a, b]. Istote, ech m, l > N. Dla x = x 0 (8.8) wyka z (8.7). Dla x [a, b]\{x 0 } z twerdzea Lagrage a o wartośc średej 7.3.7 steje c leżący mędzy x x 0, że (f m (x) f l (x)) (f m (x 0 ) f l (x 0 )) = (f m(c) f l (c))(x x 0 ),
192 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE węc z (8.6), Stąd z (8.7) mamy f m (x) f l (x) f m (x 0 ) + f l (x 0 ) < ε 2(b a) x x 0 ε 2. f m (x) f l (x) f m (x) f l (x) f m (x 0 ) + f l (x 0 ) + f m (x 0 ) f l (x 0 ) < ε 2 + ε 2 = ε. To daje (8.8). Z dowolośc ε > 0 oraz z (8.8) wyka, że cąg (f ) speła waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągów fukcyjych, węc z twerdzea 8.2.9 jest to cąg zbeży jedostaje. Nech węc f : [a, b] R będze gracą cągu (f ). Pokażemy teraz, że (8.9) f (x) = lm f (x) dla x [a, b]. Istote, weźmy dowoly x 1 [a, b] rozważmy lorazy różcowe ϕ (x) = f (x) f (x 1 ) x x 1, ϕ(x) = f(x) f(x 1) x x 1, x [a, b] \ {x 1 }, N. Z określea fukcj f dostajemy, że (8.10) lm ϕ (x) = ϕ(x) dla x [a, b] \ {x 1 }. Poadto z założea o różczkowalośc fukcj f dla N mamy (8.11) lm x x1 ϕ (x) = f (x 1 ) dla N. Pokażemy, że cąg (ϕ ) jest zbeży jedostaje. Istote, weźmy dowole η > 0 ech ε > 0 będze take, że ε 2(b a) < η. Nech N = N ε, gdze N ε jest dobrae a początku dowodu tak, że zachodz (8.6). Nech m, l > N. Wówczas, z twerdzea Lagrage a o wartośc średej, dla dowolego x [a, b] \ {x 1 } steje c leżący mędzy x x 1 tak, że f m (x) f l (x) f m (x 1 ) + f l (x 1 ) = f m(c) f l (c) x x 1 < ε 2(b a) x x 1 < η x x 1, węc f m (x) f l (x) f m (x 1 ) + f l (x 1 ) ϕ m (x) ϕ l (x) = x x 1 < η x x 1 = η. x x 1 To daje, że cąg (ϕ ) speła waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągu fukcyjego w kosekwecj jest to cąg jedostaje zbeży. To, wraz z (8.10) daje, że cąg (ϕ ) jest jedostaje zbeży do ϕ. Stąd, wobec (8.11), mamy spełoe wszystke założea twerdzea 8.4.4. Zatem steje skończoa graca lm f (x 1 ) oraz f (x 1 ) = lm x x1 ϕ(x) = lm f (x 1 ). To daje, że fukcja f jest różczkowala oraz zachodz (b). W kosekwecj, wobec jedostajej zbeżośc cągu (f ) do f, mamy (a). To kończy dowód.
8.6. SZEREGI POTĘGOWE 193 Uwaga 8.5.2. W twerdzeu 8.5.1 e moża opuścć założea o jedostajej zbeżośc cągu (f ), awet kosztem wzmocea założea o zbeżośc cągu (f ). Istote, rozważmy cąg fukcyjy f : R R, N określoy wzoram f (x) = 2 x dla x 1 Moża pokazać, że oraz f (x) = 2 x 2 + 1 dla x < 1. (a) cąg (f ) jest jedostaje zbeży do fukcj f(x) = 2 x, x R, która e jest różczkowala, (b) cąg pochodych jest zbeży do fukcj g : R R określoej wzoram g(x) = 2 dla x < 0, g(0) = 0 oraz g(x) = 2 dla x > 0. Wosek 8.5.3. Nech [a, b]. Jeśl szereg szereg (a) szereg różczkowalą, (b) s = f f (x 0 ) jest zbeży, to f będze szeregem fukcj różczkowalych a przedzale f jest jedostaje zbeży (a [a, b]) oraz dla pewego x 0 [a, b] jest jedostaje zbeży jego suma s : [a, b] R jest fukcją f, to zaczy s (x) = 8.6 Szereg potęgowe f (x) dla x [a, b]. W pukce 5.9 wprowadzlśmy pojęce szeregu potęgowego. W śwetle wprowadzoych w tym rozdzale pojąć, jest to szereg fukcyjy postac (8.12) =0 Borąc ϱ =lm sup a (x x 0 ), x R gdze (a ) =0 jest ustaloym cągem lczbowym oraz x 0 ustaloym puktem. a, zgode z (5.10), promeem zbeżośc szeregu (8.12) jest 0 dla ϱ = +, R = 1/ϱ dla 0 < ϱ < +, + dla ϱ = 0. Z twerdzea Cauchy ego-hadamarda 5.9.1 wadomo, że szereg (8.12) jest zbeży bezwzględe w przedzale {x R : x x 0 < R} (zwaym przedzałem zbeżośc szeregu potęgowego) oraz rozbeży dla x R takch, że x x 0 > R. Twerdzee 8.6.1. Nech R > 0 będze promeem zbeżośc szeregu potęgowego (8.12). Wówczas dla każdego r R takego, że 0 < r < R, szereg (8.12) jest jedostaje zbeży w przedzale {x R : x x 0 r}.
194 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Dowód. Weźmy dowole r R take, że 0 < r < R. Wówczas x 0 + r ależy do przedzału zbeżośc szeregu (8.12). Poeważ szereg potęgowy jest zbeży bezwzględe w swom przedzale zbeżośc, węc szereg a r jest zbeży. Poadto dla x R takch, =0 że x x 0 r mamy a (x x 0 ) a r dla 0. Zatem z kryterum Weerstrassa zbeżośc jedostajej szeregów 8.3.4 dostajemy zbeżość jedostają szeregu (8.12) w {x R : x x 0 r}. To daje tezę. Defcja. Szeregem pochodych szeregu (8.12) azywamy szereg a (x x 0 ) 1. Uwaga 8.6.2. Szereg pochodych szeregu potęgowego moża traktować jako szereg potęgowy, bowem moża go zapsać w postac ( + 1)a +1 (x x 0 ). =0 Własość 8.6.3. Promee zbeżośc szeregu potęgowego (8.12) szeregu pochodych a (x x 0 ) 1 są rówe. Dowód. Poeważ lm = 1, węc lm sup a =lm sup Zatem promee zbeżośc szeregu (8.12) szeregu x x 0 szereg pochodych =0 =0 a. =0 a (x x 0 ) są rówe. Dla a (x x 0 ) jest zbeży wtedy tylko wtedy, gdy zbeży jest szereg a (x x 0 ) 1 = a (x x 0 ) 1. Reasumując mamy tezę. Twerdzee 8.6.4. Nech R > 0 będze promeem zbeżośc szeregu potęgowego (8.12) oraz ech f będze sumą tego szeregu w przedzale zbeżośc P = {x R : x x 0 < R}. Wówczas fukcja f jest klasy C w P oraz (8.13) f (k) (x) = =k!a ( k)! (x x 0) k dla x P. Dowód. W myśl własośc 8.6.3, promee zbeżośc szeregu (8.12) szeregu pochodych a (x x 0 ) 1 są rówe. Pokażemy (8.13) dla k = 1. Istote, weźmy dowoly x 1 P ech r R będze take, że x 1 x 0 < r < R. Wobec twerdzea 8.6.1, szereg (8.12) jego szereg pochodych są jedostaje zbeże w przedzale otwartym {x R : x x 0 < r}. Zatem z wosku 8.5.3 dostajemy (8.13) dla k = 1. Postępując dalej dukcyje dostajemy (8.13) dla wszystkch k N. W kosekwecj f jest fukcją klasy C. To daje tezę. Z twerdzea 8.6.4 dostajemy atychmast Wosek 8.6.5. Nech R > 0 będze promeem zbeżośc szeregu potęgowego (8.12) oraz ech f będze sumą tego szeregu w przedzale zbeżośc P = {x R : x x 0 < R}. Wówczas fukcja f jest cągła w P.
8.6. SZEREGI POTĘGOWE 195 Defcja rozwęca fukcj w szereg potęgowy. Jeśl fukcja f w pewym otoczeu puktu x 0 R jest sumą szeregu potęgowego o środku x 0 postac, (8.14) f(x) = a (x x 0 ) w pewym otoczeu puktu x 0, =0 to mówmy, że fukcja f rozwja sę w otoczeu puktu x 0 w szereg potęgowy lub w szereg Taylora. Wtedy szereg w (8.14) azywamy rozwęcem fukcj f w szereg potęgowy w otoczeu puktu x 0 lub rozwęcem w szereg Taylora. Twerdzee 8.6.6. Jeśl fukcja f rozwja sę w pewym otoczeu puktu x 0 w szereg potęgowy f(x) = a (x x 0 ), to rozwęce to jest określoe jedozacze, poadto =0 (8.15) a = f () (x 0 )! dla = 0, 1,... W szczególośc rozwęce fukcj f w szereg Taylora jest szeregem Taylora tej fukcj. Dowód. W myśl twerdzea 8.6.4 mamy, że f jest fukcją klasy C w pewym otoczeu puktu x 0, poadto, z (8.13) mamy f (k) (x 0 ) = k!a k dla k N oczywṡce f(x 0 ) = a 0. To daje (8.15), że współczyk rozwęca fukcj w szereg potęgowy są określoe jedozacze, a węc rozwęce jest określoe jedozacze. Uwaga 8.6.7. Fukcja f : R R określoa wzoram f(x) = e 1 x dla x > 0 oraz f(x) = 0 dla x 0 jest klasy C, poadto f () (0) = 0 dla = 0, 1,..., węc suma szeregu Taylora tej fukcj zka tożsamoścowo. Zatem, wobec twerdzea 8.6.6 fukcja ta e rozwja sę w szereg potęgowy w otoczeu puktu 0 Twerdzee 8.6.8. Rozwęcem fukcj f(x) = l(1 + x), x ( 1, 1), w szereg potęgowy w otoczeu zera jest ( 1) +1 (8.16) l(1 + x) = x dla x ( 1, 1). ( 1) Dowód. Poeważ lm +1 = 1, węc z twerdzea Cauchy ego-hadamarda 5.9.1 dostajemy, że szereg potęgowy po prawej stroe (8.16) jest zbeży w ( 1, 1). Zatem z twerdzea 8.6.4, suma g : ( 1, 1) R tego szeregu jest różczkowala oraz g (x) = ( 1) +1 x 1 = 1 1 + x dla x ( 1, 1). Z drugej stroy f (x) = 1 dla x ( 1, 1), węc f = g. Stąd z wosku 7.3.11, fukcja 1+x f g jest stała w ( 1, 1). Poeważ f(0) = 0 g(0) = 0, węc f = g. To daje tezę. Defcja fukcj aaltyczej. Nech X R będze zborem otwartym oraz f : X R. Mówmy, że f jest fukcją aaltyczą w pukce x 0 X, gdy f rozwja sę w szereg potęgowy w otoczeu puktu x 0. Mówmy, że f jest fukcją aaltyczą, gdy f jest fukcją aaltyczą w każdym pukce zboru X.
196 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Uwaga 8.6.9. Wprost z defcj fukcj sus cosus mamy, s x = =0 Zatem dla każdego x 0 R mamy ( 1) (2 + 1)! x2+1, cos x = =0 ( 1) (2)! x2 dla x R. s x = s(x x 0 ) cos x 0 + cos(x x 0 ) s x 0 = a (x x 0 ), =0 x R gdze a 2+1 = ( 1) cos x 0 oraz a (2+1)! 2 = ( 1) s x 0 dla = 0, 1,... Stąd wyka, że fukcja (2)! sus jest aaltycza. Aalogcze pokazujemy, że fukcja cosus jest aaltycza. Uwaga 8.6.10. Z twerdzea 5.9.5 mamy e x = x 0 R mamy e x = e x x 0 e x 0 = =0 =0 x! dla x R. Zatem dla każdego e x 0! (x x 0), x R. W kosekwecj fukcja f(x) = e x, x R jest aaltycza. Uwaga 8.6.11. W uwagach 8.6.9 8.6.10 fukcje aaltycze w R rozwjały sę w szereg potęgowy zbeży w całym zborze R. Ne mus to zachodzć dla każdej fukcj aaltyczej. Na przykład moża sprawdzć, że fukcja f(x) = 1, x R, jest aaltycza lecz jej 1+x 2 rozwęce w otoczeu puktu 0 jest postac 1 x 2 + 1 = =0 ( 1) x 2 x ( 1, 1). Promeem zbeżośc powyższego szeregu potęgowego jest 1, węc szereg te e jest zbeży w całym zborze R. 8.7 Rozwęce fukcj potęgowej w szereg potęgowy Defcja cągu reszt we wzorze Taylora. Nech f : (a, b) R będze fukcją klasy C oraz x 0 (a, b). Dla N, fukcję R : (a, b) R taką, że 1 (8.17) f(x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + R (x) dla x (a, b) k! azywamy -tę resztą we wzorze Taylora. Cąg fukcyjy (R ) azywamy cągem reszt we wzorze Taylora. Uwaga 8.7.1. Nech f : (a, b) R będze fukcją klasy C oraz x 0 (a, b). Ze wzoru Taylora I, II, III (twerdzea 7.5.4, 7.5.10, 7.5.11) mamy stee reszt R. Poadto moża przyjąć R (x 0 ) = 0 oraz dla x x 0 reszta w postac Lagrage a ma postać R (x) = f () (c) (x x 0 ), gdze c jest pewym puktem leżącym mędzy x x 0,!
8.7. ROZWINIĘCIE FUNKCJI POTĘGOWEJ W SZEREG POTĘGOWY 197 reszta w postac Cauchy ego ma zaś postać R (x) = f () (c)(1 θ) 1 (x x 0 ), ( 1)! gdze c jest pewym puktem leżącym mędzy x x 0 oraz θ = c x 0 x x 0, Bezpośredo z defcj (8.17) dostajemy Twerdzee 8.7.2. Nech f : (a, b) R będze fukcją klasy C, x 0 (a, b) oraz (R ) będze cągem reszt we wzorze Taylora. Wówczas fukcja f rozwja sę w otoczeu Ω (a, b) puktu x 0 w szereg potęgowy wtedy tylko wtedy, gdy dla każdego x Ω zachodz lm R (x) = 0. Defcja. Nech α R. Wówczas przyjmujemy ( ) α = α(α 1) (α + 1)! dla N oraz ( ) α = 1. 0 Uwaga 8.7.3. Dla α R oraz Z, 0, symbol ( ) α jest aturalym uogóleem symbolu Newtoa. Naturalym uogóleem wzoru dwumeego Newtoa jest astępujące Twerdzee 8.7.4. Nech α R. Wówczas ( ) α (8.18) (1 + x) α = x dla x ( 1, 1). =0 Dowód. Nech f(x) = (1 + x) α, x ( 1, 1). Dla x = 0 rówość (8.18) jest oczywsta. Pokażemy (8.18) dla x ( 1, 1) \ {0}. ) Jeśl α Z, α 0, to teza wyka ze wzoru dwumeego Newtoa, gdyż wtedy = 0 dla > α. Załóżmy węc, że α R e jest lczbą całkowtę eujemą. Wtedy ( α ( α ) 0 dla Z, 0. Stosując kryterum d Alemberta zbeżośc szeregów dostajemy, że szereg jest zbeży dla x ( 1, 1). Zatem z waruku koeczego zbeżośc szeregów mamy (8.19) lm ( ) α x = 0 dla x ( 1, 1). Idukcyje pokazujemy, że dla x ( 1, 1) mamy f () (x) = α(α 1) (α + 1)(1 + x) α, N, węc a mocy wzoru Taylora III 7.5.11 dla N mamy 1 (8.20) f(x) = k=0 ( ) α x k + R (x) dla x ( 1, 1) \ {0}, k =0 ( α ) x
198 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE gdze R jest resztą w postac Cauchy ego. Weźmy dowoly x ( 1, 1) \ {0}. Wówczas dla każdego N steje c R leżący mędzy x 0, że kładąc mamy 0 < θ < 1 oraz θ = c x, (8.21) R (x) = f () (c )(1 θ ) 1 x = ( 1)! ( ) α x (1 θ ) 1 (1 + c ) α. Jeśl x (0, 1), to c (0, 1), węc 1 + c > 1 dla α mamy 0 < (1 + c ) α 1. Poadto 0 < (1 θ ) 1 1, węc 0 < (1 θ ) 1 (1 + c ) α 1 dla α. Zatem wobec (8.19) mamy lm R (x) = 0. Stąd z (8.20) dostajemy (8.18) dla x (0, 1). Załóżmy, że x ( 1, 0). Poeważ x < c < 0, węc 0 < 1 θ 1+c 1, zatem W kosekwecju (1 θ ) 1 (1 + c ) α = ( ) 1 1 θ (1 + c ) α 1 (1 + c ) α 1. 1 + c (1 θ ) 1 (1 + c ) α 1, gdy α 1, (1 θ ) 1 (1 + c ) α (1 + x) α 1, gdy α 1. Reasumując z (8.21) (8.19) dostajemy lm R (x) = 0. Stąd z (8.20) dostajemy (8.18) dla x ( 1, 0). To kończy dowód. 8.8 Twerdzee Weerstrassa o aproksymacj Każda fukcja aaltycza jest lokale sumą szeregu potęgowego, węc lokale jest gracą jedostaje zbeżego cągu welomaów. W pukce tym udowodmy twerdzee Weerstrassa mówące o tym, że każda fukcja cągła w przedzale domkętym jest gracą jedostaje zbeżego cągu welomaów. Jest to uogólee wspomaego faktu. Jedak pojęce aaltyczośc ese zacze wększe kosekwecje ż zapowadae twerdzee Weerstrassa. Twerdzee 8.8.1. (erówość Schwarza). Jeśl a 0,..., a, b 0,..., b R, to (8.22) Dowód. Nech A = a 2, B = 2 a b a 2 b 2, C = b 2. a b. Wówczas mamy (Ba Cb ) 2 = B 2 a 2 2BC a b + C 2 b 2 = B 2 A BC 2 = B(AB C 2 ).
8.8. TWIERDZENIE WEIERSTRASSA O APROKSYMACJI 199 Poeważ perwsza suma w powyższym wzorze jest eujema, węc B(AB C 2 ) 0. Jeśl B = 0, to b 0 = = b = 0, węc C = 0 teza jest oczywsta. Jeśl zaś B > 0, to AB C 2 0, co daje (8.22) kończy dowód. Lemat 8.8.2. Dla każdego N oraz x [0, 1] zachodz erówość (8.23) ( ) x x (1 x) 1 2. (8.24) oraz (8.25) Dowód. Ze wzoru dwumeego Newtoa mamy ( ) x (1 x) = 1 dla x R ( ) e y (1 x) = (e y + (1 x)) dla x, y R. Różczkując dwukrote względem y rówość (8.25), otrzymujemy ( ) e y (1 x) = e y (e y + (1 x)) 1, ( ) 2 e y (1 x) = e y (e y + (1 x)) 1 + ( 1)e 2y (e y + (1 x)) 2. Stąd dla x = e y, a węc dla x > 0 mamy (8.26) ( ) x (1 x) = x, ( ) 2 x (1 x) = x + ( 1)x 2. Powyższe rówośc zachodzą róweż dla x = 0. Z (8.26) (8.24) dla x 0 dostajemy ( ) ( x) 2 x (1 x) = ( ) 2 x (1 x) 2x ( ) x (1 x) + 2 x 2 = x + ( 1)x 2 2xx + 2 x 2 = x(1 x). Dzeląc tę rówość przez 2 dostajemy ( ) ( x)2 x (1 x) = 1 x(1 x). ( ) x (1 x) Stąd z erówośc x(1 x) 1 4 dla x [0, 1], mamy (8.27) ( ) ( )2 x x (1 x) 1, x [0, 1]. 4
200 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Ozaczając a = x ( ) ( ) x (1 x), b = x (1 x), = 0,...,, z erówośc Schwarza 8.8.1 dostajemy ( ) x x (1 x) ( ) 2 x x (1 x) Stąd, z (8.24) (8.27) wyka (8.23). To kończy dowód. ( ) x (1 x). Defcja modułu cągłośc fukcj. Nech f będze fukcją cągłą w przedzale [a, b]. Modułem cągłośc fukcj f a przedzale [a, b] azywamy fukcję ω : (0, + ) R określoą wzorem: ω(δ) = sup{ f(x ) f(x ) : x, x [a, b], x x < δ}, gdze δ > 0. Uwaga 8.8.3. Defcja modułu cągłośc jest poprawa, bowem fukcja cągła a zborze zwartym jest ograczoa. Własość 8.8.4. Nech f będze fukcją cągłą w przedzale [a, b] oraz ω będze modułem cągłośc fukcj f a przedzale [a, b]. Wówczas lm δ 0 ω(δ) = 0. Dowód. Weźmy dowole ε > 0. Poeważ f jest fukcją cągłą a zborze zwartym [a, b], węc jest to fukcja jedostaje cągła, a węc steje δ 0 > 0 taka, że dla każdego 0 < δ < δ 0 każdych x, x [a, b] takch, że x x < δ zachodz f(x ) f(x ) < ε 2. Zatem, z defcj modułu cągłośc mamy ω(δ) 0 ε 2 < ε dla 0 < δ < δ 0. To daje tezę. Lemat 8.8.5. Nech f będze fukcją cągłą w przedzale [a, b] oraz ω będze modułem cągłośc fukcj f a przedzale [a, b]. Wówczas dla każdych x 1, x 2 [a, b] mamy (8.28) f(x 1 ) f(x 2 ) ( x 1 x 2 1 δ + 1)ω(δ) dla każdego δ > 0. Dowód. Weźmy dowole x 1, x 2 [a, b]. Jeśl x 1 = x 2, to (8.28) jest oczywste. Zatem, bez zmejszea ogólośc możemy założyć, że x 1 < x 2. Weźmy dowole δ > 0 ech N będze take, że (8.29) (x 2 x 1 ) 1 δ < (x 2 x 1 ) 1 δ + 1. Oczywśce taka lczba steje. Połóżmy a = x 1 + (x 2 x 1 ) dla = 0,...,. Wówczas x 1 = a 0 < a 1 < < a = x 2 z (8.29) mamy a a +1 < δ, węc f(a ) f(a +1 ) ω(δ) dla = 0,..., 1. Zatem, f(x 1 ) f(x 2 ) = (f(a 0 ) f(a 1 )) + (f(a 1 ) f(a 2 )) + + (f(a 1 ) f(a )) f(a 0 ) f(a 1 ) + f(a 1 ) f(a 2 ) + + f(a 1 ) f(a ) ω(δ).
8.8. TWIERDZENIE WEIERSTRASSA O APROKSYMACJI 201 Stąd z (8.29) dostajemy f(x 1 ) f(x 2 ) ( x 1 x 2 1 δ + 1)ω(δ), czyl mamy (8.28). Defcja welomaów Berstea. Nech f będze fukcją cągłą w przedzale [0, 1]. Weloma ( ) ( B (x) = f x ) (1 x) azywamy -tym welomaem Berstea dla fukcj f ( 2 ). Twerdzee 8.8.6. Nech f będze fukcją cągłą w przedzale [0, 1]. Wówczas cąg {B } welomaów Berstea dla fukcj f jest jedostaje zbeży do fukcj f w przedzale [0, 1]. Poadto (8.30) B (x) f(x) 3 ( ) 1 2 ω dla x [0, 1], gdze ω jest modułem cągłośc fukcj f a przedzale [0, 1]. Dowód. Wobec własośc 8.8.4 8.2.8, wystarczy wykazać erówość (8.30). Ze wzoru dwumeego Newtoa mamy Zatem z lematu 8.8.5 dla x [0, 1], dostajemy ( ) x (1 x) = 1 dla x [0, 1]. B (x) f(x) = ( ) [ ( ) ] f f(x) x (1 x) ω ( ) [ 1 1 + ( ) ] x x (1 x). Poeważ z lematu 8.8.2 mamy ( ) x x (1 x) 1 2 dla x [0, 1], węc dostajemy (8.30). Udowodmy teraz tytułowe twerdzee tego puktu Twerdzee 8.8.7. (Weerstrassa). Każda fukcja f cągła w przedzale domkętym [a, b] jest gracą pewego jedostaje zbeżego w [a, b] cągu welomaów. Dowód. Nech f będze fukcją cągłą w przedzale domkętym [a, b]. Weźmy fukcję ϕ : [0, 1] [a, b] określoą wzorem 2 Przyjmujemy tutaj 0 0 = 1 ϕ(t) = a + t(b a) dla t [0, 1].
202 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Łatwo sprawdzamy, że ϕ jest homeomorfzmem fukcją odwrotą do ϕ jest weloma ϕ 1 (x) = 1 b a x a b a, x [a, b]. Zatem f ϕ jest fukcją cągłą w przedzale [0, 1] z twerdzea 8.8.6 steje cąg welomaów {B } zbeży jedostaje w przedzale [0, 1] do fukcj f ϕ. Ozaczmy M = sup{ B (t) f ϕ(t) : t [0, 1]} dla N. Wówczas z własośc 8.2.8 mamy (8.31) lm M = 0. Fukcje 1 W (x) = B ( b a x a ), x R, b a są welomaam, poadto W (ϕ(t)) = B (t) dla t [0, 1]. Zatem sup{ W (x) f(x) : x [a, b]} = sup{ B (t) f ϕ(t) : t [0, 1]} = M dla N. Stąd, z (8.31) własośc 8.2.8 dostajemy, że cąg welomaów {W } jest jedostaje zbeży w [a, b] do fukcj f. To kończy dowód. Uwaga 8.8.8. Moża pokazać, że jeśl fukcja f : [0, 1] R jest klasy C p, to dla cągu -tych pochodych, p, welomaów Berstea, mamy B () f () w [0, 1]. 8.9 Twerdzee Ascolego-Arzel Defcja ograczoej rodzy fukcj. Nech X R, X oraz ech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a zborze X. Mówmy, że rodza R jest ograczoa w pukce x 0 X, gdy steje M R, że dla każdej fukcj f R zachodz f(x 0 ) M. Mówmy, że rodza R jest ograczoa, gdy steje M R, że dla każdej fukcj f R oraz każdego x X zachodz f(x) M. Defcja jedakowo cągłej rodzy fukcj. Nech X R, X oraz ech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a zborze X. Mówmy, że rodza R R X jest jedakowo cągła, gdy dla każdego ε > 0 steje δ > 0, że dla każdej fukcj f R oraz każdych x, x X takch, że x x < δ zachodz f(x ) f(x ) < ε. Udowodmy twerdzee Ascolego-Arzel. Zaczjmy od dwóch lematów. Lemat 8.9.1. Nech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a przedzale ograczoym P o końcach a, b R, a < b. Jeśl R jest rodzą jedakowo cągłą, to dla każdego ε > 0 steją l N, l 2, lczby a 0,..., a l R, że a = a 0 < a 1 < < a l = b oraz dla każdej fukcj f R (8.32) dla każdego x P, jeśl a 1 x a +1, to f(x) f(a ) < ε.
8.9. TWIERDZENIE ASCOLIEGO-ARZELI 203 Dowód. Weźmy dowoly ε > 0. Poeważ R jest rodzą jedakowo cągłą, węc steje δ > 0, że dla każdej fukcj f R oraz dla każdych x, x P takch, że x x < δ zachodz f(x ) f(x ) < ε. Nech, wobec zasady Archmedesa, l N będze taką lczbą, że b a < δ. l Połóżmy (b a) a = a +, = 0,..., l. l Wtedy a = a 0 < a 1 < < a l = b oraz a 1 a < δ dla = 1,..., l. Zatem dla każdego x P, takego, że a 1 x a +1 mamy x a < δ w kosekwecj f(x) f(a ) < ε. Reasumując mamy (8.32). Lemat 8.9.2. Nech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a przedzale ograczoym P. Jeśl R jest rodzą jedakowo cągłą ograczoą w pewym pukce x 0 przedzału P, to R jest rodzą ograczoą. Dowód. Z założea, że rodza R jest ograczoa w pukce x 0, steje M R, że (8.33) dla każdej fukcj f R zachodz f(x 0 ) M. Weźmy ε = 1 ech a, b R, a < b będą końcam przedzału P. W myśl lematu 8.9.1 2 steje l N, l 2, lczby a 0,..., a l R, że a = a 0 < a 1 < < a l = b oraz (8.34) dla każdego x P, jeśl a 1 x a +1, to f(x) f(a ) < 1 2. Weźmy dowolą fukcję f R. Z (8.34) dostajemy, że (8.35) f(a ) M + l 2 dla = 0,..., l. Istote, z wyboru lczb a 0,..., a mamy, że steje 0 {1,..., l 1}, że a 0 1 x 0 a 0 +1. Jeśl 0, to z (8.34) (8.33) dostajemy f(a ) f(a ) f(a 1 ) + + f(a 0 ) f(x 0 ) + f(x 0 ) l 2 + M. jeśl < 0, to aalogcze dostajemy f(a ) f(a ) f(a +1 ) + + f(a 0 ) f(x 0 ) + f(x 0 ) l 2 + M. Zatem udowodlśmy (8.35). Weźmy dowoly x P. Wówczas steje {1,..., l 1}, że a 1 x a. Wówczas z (8.34) (8.35) wyka, że f(x) f(x) f(a ) + f(a ) 1 2 + M + l 2. To daje tezę.
204 ROZDZIAŁ 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE Twerdzee 8.9.3. (Ascolego-Arzel). Nech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a przedzale ograczoym P. Jeśl R jest rodzą jedakowo cągłą ograczoą w pewym pukce x 0 P, to z każdego cągu (f ) R tej rodzy moża wybrać podcąg jedostaje zbeży. Dowód. Poeważ P jest przedzałem ograczoym R rodzą jedakowo cągłą ograczoą w pukce x 0 P, węc z lematu 8.9.2, rodza R jest ograczoa. Nech E = P Q. E jest zborem gęstym w P przelczalym. Isteje węc bjekcja σ : N E. Ozaczając e m = σ(m) dla m N, mamy E = {e m : m N}. Weźmy dowoly cąg (f ) R. Pokażemy, że steje rodza podcągów (f k,j) k=1, j N, cągu (f ) takch, że (8.36) każdy cąg (f k,j) k=1 jest podcągem cągu (f k,j 1) k=1 dla j > 1, (8.37) każdy cąg (f k,j(e m )) k=1 jest zbeży dla j m. Istote, poeważ (f (e 1 )) jest cągem ograczoym, węc z twerdzea Bolzao- Weerstrassa 4.6.4 steje podcąg (f k,1) k=1 cągu (f ) tak, że cąg (f k,1(e 1 )) k=1 jest zbeży. Aalogcze steje podcąg (f k,2) k=1 cągu (f k,1) k=1 tak, że cąg (f k,2(e 2 )) k=1 jest zbeży. Wtedy róweż cąg (f k,2(e 1 )) jest zbeży. Postępujęc dalej dukcyje, dostajemy (8.36) (8.37) ( 3 ). Weźmy podcąg (f k ) k=1 cągu (f ) określoy wzorem f k = f k,k dla k N. Pokażemy, że podcąg (f k ) k=1 jest jedostaje zbeży. Wystarczy pokazać, że podcąg te speła waruek Cauchy ego zbeżośc jedostajej cągu fukcyjego (patrz twerdzee 8.2.9). Weźmy dowole ε > 0 ech a, b R, a < b będą końcam przedzału P. Z lematu 8.9.1 steje l N, l 2 oraz lczby a 0,..., a l R take, że a = a 0 < a 1 < < a l = b oraz dla każdego x P, jeśl a 1 x a +1, to f(x) f(a ) < ε 6 dla wszystkch f R. Zatem dla każdej fukcj f R oraz każdych x, x P, (8.38) jeśl x, x [a 1, a +1 ], to f(x ) f(x ) < ε 3. Zbór E jest gęsty w P, węc w każdym przedzale (a 1, a +1 ), gdze {1,..., l 1} steje elemet b zboru E. W kosekwecj cąg (f k (b )) k=1 jest zbeży, węc z własośc 4.7.2 jest cągem Cauchy ego. Zatem steje N N, że (8.39) f p (b ) f r (b ) < ε 3 dla p, r N, p, r N oraz = 1,..., l 1. Weźmy dowoly x P. Wówczas steje {1,..., l 1}, że a 1 x a +1, zatem z (8.39) (8.38) dla p, r N mamy f p (x) f r (x) f p (x) f p (b ) + f p (b ) f r (b ) + f r (b ) f r (x) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. To daje tezę. 3 Zakładając, że steje podcąg (f k,j) k=1 cągu (f k,j 1) k=1 zbeży w puktach e 1,..., e j, wobec ograczoośc cągu (f k,j) k=1, zajdzemy podcąg (f k,j+1) k=1 cągu (f k,j) k=1, zbeży w puktach e 1,..., e j+1. W te sposób określmy rodzę cągów (f k,j) k=1 dla j N takch, że każdy astępy jest podcągem poprzedego oraz każdy cąg (f k,j(e m )) k=1 dla j m jest zbeży.
8.9. TWIERDZENIE ASCOLIEGO-ARZELI 205 Uwaga 8.9.4. W twerdzeu Ascolego-Arzel 8.9.3 założea o ograczoośc przedzału P e moża opuścć. Istote, cąg (f ) określoy wzoram f (x) = 0 dla x, f (x) = x dla x (, + 1) oraz f (x) = 1 dla x jest rodzą ograczoą jedakowo cągłą (dla każdego ε > 0 wystarczy przyjąć δ = ε). Poadto lm f (x) = 0 dla x R oraz M = sup{ f (x) 0 : x R} = 1. Zatem wobec własośc 8.2.8 cąg (f ) e jest jedostaje zbeży w R. Wprowadza sę róweż pojęce jedakowej cągłośc w pukce rodzy fukcj. Defcja jedakowo cągłej w pukce rodzy fukcj. Nech X R, X oraz ech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a zborze X. Mówmy, że rodza R R X jest jedakowo cągła w pukce x 0 X, gdy dla każdego ε > 0 steje δ > 0, że dla każdej fukcj f R oraz każdego x X takego, że x x 0 < δ zachodz f(x) f(x 0 ) < ε. Uwaga 8.9.5. Moża pokazać, astępującą ogólejszą wersję twerdzea Ascolego-Arzel: (Ascolego-Arzel). Nech R będze rodzą fukcj rzeczywstych określoych a zborze zwartym X R. Wówczas z każdego cągu (f ) R tej rodzy moża wybrać podcąg jedostaje zbeży, wtedy tylko wtedy, gdy rodza ta jest jedakowo cągłą w każdym pukce zboru X jest ograczoa w każdym pukce zboru X.