IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE
|
|
- Kornelia Lidia Dziedzic
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE 4.. Rozkład zmeej losowej dwuwymarowej Defcja 4.. Uporządkowaą parę (X, Y) azywamy zmeą losową dwuwymarową, jeśl każda ze zmeych X Y jest zmeą losową. Defcja 4.. Fukcję rzeczywstą F(, y) zmeych rzeczywstych y określoą a całej płaszczyźe Oy jako prawdopodobeństwo, że zmea losowa X przyjme wartość mejszą od oraz zmea losowa Y przyjme wartość mejszą od y azywamy dystrybuatą zmeej losowej dwuwymarowej, czyl Dystrybuata F(, y) jest względem każdego z argumetów y fukcją: a) emalejącą, b) co ajmej lewostroe cągłą, c) spełającą waruk gracze d) o własośc gdze < y < y ozaczają lczby rzeczywste. Powyższe waruk są zarazem koecze wystarczające a to, by fukcja F(, y) była dystrybuatą dwuwymarowej zmeej losowej (X, Y). Defcja 4.3. Mówmy, że zmea losowa dwuwymarowa (X, Y) jest typu skokowego, jeżel dla każdej pary wskaźków oraz k jest określoa fukcja spełająca waruek F(, y) = P( X <, Y < y). lm F(, y) =, lm F(, y) = 0, lm F(, y) = 0, y dla każdej pary wartośc rzeczywstych y. y F(, y ) F(, y ) F(, y ) + F(, y ), 0 P( X =, Y = y ) = p >0 k k F(, y) = p k < y < y k
2 76 IV. Zmee losowe dwuwymarowe Fukcję tę azywa sę fukcją prawdopodobeństwa, pukty (, y k ) puktam skokowym, a prawdopodobeństwa p k skokam. Bezpośredo z podaej defcj wyka, że p k =., k Defcja 4.4. Mówmy, że zmea losowa (X, Y) jest typu cągłego, gdy steje taka eujema całkowala a całej płaszczyźe Oy fukcja f(, y), że dla każdej pary wartośc rzeczywstych y. Fukcję f(, y) azywa sę gęstoścą prawdopodobeństwa lub krótko gęstoścą zmeej losowej cągłej (X, Y). Z defcj tej wyka, że Mówmy, że jest day rozkład prawdopodobeństwa zmeej losowej (X, Y), gdy jest zaa dystrybuata albo też gdy jest zaa fukcja prawdopodobeństwa dla zmeej losowej skokowej lub gęstość prawdopodobeństwa dla zmeej losowej cągłej. Przykład 4.. Zbadać, czy fukcja F(, y) = f ( s, t) dsdt y f (, y) ddy =. ( y ) e dla y, f (, y) = 8 0 dla ych (, y) jest gęstoścą dwuwymarowej zmeej losowej (X, Y). Podaa fukcja jest eujema, gdyż dla y # mamy! y $ 0. Wystarczy zatem sprawdzć, że Mamy f (, y) ddy =. f (, y) dy = ( y ) e dy = e dy e y dy y = e y e e e e = = Stąd.
3 4.. Rozkład zmeej losowej dwuwymarowej 77 f (, y) dy 3 d = e d = Γ( 4) =! = Przykład 4.. Zmea losowa (X, Y) podlega rozkładow o gęstośc dla 0< y, f (, y) = y 0 dla ych (, y). Zaleźć dystrybuatę zmeej losowej (X, Y). Dystrybuatę wyzaczymy kolejo dla obszarów przedstawoych a poższym rysuku. W obszarze A mamy # 0 lub y # 0. Z określea gęstośc f(, y) wyka, że w tym obszarze mamy F(, y) = 0. Obszar B jest określoy erówoścam 0 < # oraz # y #. Dla puktów (, y) położoych w tym obszarze mamy (zob. rys. a)) y y F(, y) = y dy d = y dy d = y = ( y ) d = d y = d = y = y W obszarze C są spełoe erówośc 0 < # oraz < y < 4. W obszarze tym mamy (zob. rys. b)) F(, y) = dy d F(, ), = = y 0 przy czym wykorzystalśmy tu wyk otrzymay dla obszaru B. y y d d
4 78 IV. Zmee losowe dwuwymarowe W obszarze D mamy 0 < < 4 oraz 0 < y # y <, a węc (zob. rys. C) y y F(, y) = dy d F( y, y) y, = = y 0 przy czym poowe wykorzystalśmy wyk otrzymay dla obszaru B. Wreszce, dla obszaru E spełoe są erówośc < < 4 oraz < y < 4 otrzymujemy (zob. rys. d)) F(, y) = f (, y) dy d = F(, ) = Rozkłady brzegowe Nech prawdopodobeństwo p k będze określoe wzorem p = P( X =, Y = y ) > 0. k k Ozaczmy p = P( X =, Y = y lub X =, Y = y lub K)
5 4.. Rozkłady brzegowe 7 podobe = = = + = = + = P ( X, Y y ) P ( = = = X, Y y ) P( X, Y yk) pk k K p k = P( X =, Y = yk) = pk. k Ozacza to, że wartość p jest prawdopodobeństwem, że zmea losowa X przyjme war- tość, gdy zmea losowa Y przyjme którąkolwek z możlwych wartośc, a wartość p k jest prawdopodobeństwem, że zmea losowa Y przyjme wartość y k, gdy zmea losowa X przyjme którąkolwek z możlwych wartośc. Mamy przy tym p = p = p = p =. k k k k k Defcja 4.5. Rozkład prawdopodobeństwa wyzaczoy przez lczby p lub p k azywamy rozkładem brzegowym zmeej losowej skokowej X lub Y w dwuwymarowym rozkładze zmeej losowej (X, Y), a wyrażee p lub p k azywamy fukcją prawdopodobeństwa tego rozkładu. Fukcję prawdopodobeństwa moża podać w postac wzoru lub tzw. tablcy dwuwejścowej (gdy zmea losowa przyjmuje skończoą lczbę wartośc). Dystrybuatę F () określa wzór F( ) = p = pk, < < k co ozacza, że sumowae dotyczy wszystkch wartośc k oraz tych wartośc wskaźka, dla których jest spełoa erówość <. Podobe jest określoa dystrybuata F (y): Podobe, jak dla zmeej losowej skokowej, wprowadza sę pojęce rozkładów brzegowych dla zmeej losowej cągłej. Nech f(, y) ozacza gęstość dwuwymarowej zmeej losowej (X, Y). Wprowadźmy ozaczea Fukcje te są całkowale a całej os, eujeme oraz spełają waruk F ( y) = p k = pk. y k < y y < y k f ( ) = f (, y) dy, f ( y) = f (, y) d. f( ) d = f (, y) dy d =, f ( y) dy = f (, y) d dy. = k Defcja 4.6. Rozkład wyzaczoy przez fukcje f () lub f (y) azywamy rozkładem brzegowym zmeej losowej cągłej X lub Y w dwuwymarowym rozkładze zmeej
6 80 IV. Zmee losowe dwuwymarowe losowej (X, Y), a fukcje f () lub f (y) azywamy gęstoścam prawdopodobeństwa tych rozkładów. Dystrybuaty są określoe astępującym wzoram: Przykład 4.3. Daa jest fukcja F( ) = f( ) d = f (, y) dy d, y y F( y) = f( y) dy = f (, y) d dy. Cy dla, y 4, f (, y) = 0 dla ych y. A. Wyzaczyć stałą C tak, aby podaa fukcja określała rozkład. B. Podać rozkłady brzegowe. C. Określć dystrybuatę. Ad. A. Stałą wyzaczamy z waruku Z uwag a defcję fukcj f(, y) mamy Zatem C =, skąd C = /. Ad. B. Mamy f (, y) ddy =. 4 4 f (, y) d dy = Cy d dy = C y d dy 4 C y 4 = dy = C y dy 4 = C ydy = C y = C( 8 ) = C. 4 f f y dy ydy y ( ) = (, ) = ( 8 ), = = = dla 3 f y f y d y d y ( ) = (, ) = = y y y 4. = = dla 6 4
7 4.. Rozkłady brzegowe 8 Możemy zatem apsać f dla, ( ) = 3 0 dla ych, f y dla y 4, ( y) = 6 0 dla ych y. Ad. C. Dystrybuatę wyzaczymy kolejo dla obszarów pokazaych a poższym rysuku. Dla obszaru A mamy # lub y #. Poeważ fukcja gęstośc f(, y) jest w tym obszarze rówa 0, węc F(, y) = 0. W obszarze B spełoe są erówośc # # oraz # y # 4 mamy y y F(, y) = ydyd = ydy d y = d y y = d = d = ( y ) = ( y 4) ( y )( ) 8 = 36 4 = ( y 4 y + 4). 36 Dla obszaru C mamy # # oraz 4 # y < 4, węc 4 F(, y) = ydyd = F(, 4) = ( + ) = ( ) = F ( ), przy czym skorzystalśmy tu z wyku uzyskaego dla obszaru B.
8 8 IV. Zmee losowe dwuwymarowe W obszarze D zachodzą erówośc < < 4 oraz # y # 4 poowe korzystając z wyku dla obszaru B otrzymujemy y F(, y) = ydyd = F(, y) = ( y y + ) = ( y ) = F ( y) Wreszce, dla obszary E, w którym zachodzą erówośc < < 4 4 < y < 4, mamy 4 F(, y) = ydyd = F( 4, ) = ( ) =. 36 Zadaa. Podać gęstośc rozkładów brzegowych zmeych X Y w dwuwymarowym rozkładze zmeej losowej (X, Y) o gęstośc daej wzorem ( y ) e dla y, f (, y) = 8 0 dla ych (, y).. Podać rozkłady brzegowe zmeych X Y rozkładu podaego w przykładze Zaleźć gęstośc dystrybuaty brzegowe zmeych X Y rozkładu w dwuwymarowym rozkładze zmeej losowej (X, Y) o gęstośc f (, y) = e dla 0 <, y <, 0 dla ych (, y). 4. Wyzaczyć dystrybuatę F(, y), gęstośc brzegowe f (), f (y), dystrybuaty brzegowe F (), F (y) rozkładu prawdopodobeństwa dwuwymarowej zmeej losowej (X, Y), jeśl gęstość jest daa wzorem dla 0, y, f (, y) = 0 dla ych (, y).
9 V. ELEMENTY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ 5.. Przedmot zadaa statystyk matematyczej Statystyka jest auką zajmującą sę lczbowym opsywaem masowych zjawsk procesów. Najpowszechej zaa statystyka zajmuje sę rejestrowaem daych potrzebych ludzom zajmującym sę poltyką gospodarką. Dae te dotyczą zwykle ludośc, jej podzału a róże zawody, welkośc produkcj w poszczególych dzałach gospodark arodowej, welkośc obrotów hadlowych, welkośc spożyca różych artykułów tp. Baday zbór azywa sę populacją (ekoecze mus to być zbór ludz, p. populacja przedsęborstw, populacja gospodarstw rolych). Dla daej populacj wyróża sę pewą cechę (lub cechy) każdemu elemetow populacj przyporządkowuje sę pewą wartość cechy. Zbór par (wartość cechy, lczba jedostek w populacj o daej wartośc cechy) azywa sę rozkładem cechy w populacj. Często pojawa sę koeczość uzyskaa daych w y sposób ż za pomocą spsywaa wszystkch jedostek populacj. Te y sposób to tzw. badae reprezetacyje lub badae wyrywkowe. Polega oo a tym, że z populacj wybera sę tylko pewą lczbę jedostek każdej z wybraych jedostek, w wyku odpowedego badaa, przyporządkowuje sę wartość badaej cechy. Zbór badaych jedostek azywa sę próbką. Powstaje problem uogólea wyków badaa wyrywkowego a całą populację. Pojawają sę atychmast astępujące pytaa:! czy take uogólee jest możlwe,! jeżel tak, to jak je przeprowadzć,! jak jest warygodość tak uogóloych daych? Zagadee opsaa populacj przez podae rozkładu teresującej as cechy sprowadza sę do zadaa podaa rozkładu pewej zmeej losowej. Często jest wystarczające oszacowae tylko pewych sytetyczych wskaźków dotyczących tej cechy. Take zadaa sprowadzają sę do szacowae ektórych parametrów zmeych losowych lub prawdopodobeństw pewych zdarzeń losowych. Zadaa szacowaa rozkładu zmeych losowych, parametrów tych rozkładów (p. wartośc oczekwaej) lub prawdopodobeństw różych zdarzeń azywają sę zadaam estymacj. Często w praktyce zdarza sę, że rozważając pewe zagadee mamy gotową hpotezę dotyczącą tego zagadea zadae polega a tym, żeby hpotezę tę sprawdzć. Hpotezą statystyczą azywa sę każde przypuszczee o rozkładze zmeej losowej, jego parametrach lub prawdopodobeństwach pewych zdarzeń. Część statystyk, która zajmuje sę metodam sprawdzaa takch hpotez azywa sę teorą weryfkacj hpotez statystyczych lub teorą testów statystyczych.
10 84 V. Elemety statystyk matematyczej Przykład 5.. Wyjmjmy z portmoetk dowolą moetę. Sprawdzee, czy jest oa symetrycza sprowadza sę do zweryfkowaa hpotezy, że zmea losowa przyjmująca wartość, gdy wykem rzutu moetą jest orzeł wartość 0 w przecwym przypadku, ma wartość oczekwaą rówą /. Hpoteza ta może być rówoważe sformułowaa astępująco: zdarzee polegające a wyrzuceu orła jest rówe /. 5.. Pojęce próbk Rozważmy przykład 5.. W celu sprawdzea, czy moeta jest symetrycza, wykoujemy serę ezależych rzutów tą moetą. Nech X ozacza zmeą losową przyjmują wartość, gdy wykem rzutu jest orzeł wartość 0 w przecwym przypadku. Nech X ozacza zmeą losową wyk -tego rzutu. Lczba wszystkch rzutów ech wyos. Każda ze zmeych losowych X ma jedakowy rozkład, tak jak zmea losowa X zmee losowe X są ezależe. Zadae polega a sformułowau pewych wosków o rozkładze zmeej losowej X a podstawe wyków X, X,..., X przeprowadzoych rzutów. Zmee losowe X, X,..., X staową próbkę w aszym zagadeu. Defcja 5.. Nech X ozacza zmeą losową. Próbką -elemetową azywamy cąg ezależych zmeych losowych X, X,..., X o jedakowym rozkładze, takm jak rozkład zmeej losowej X. Woskowae statystycze polega a formułowau różych twerdzeń o rozkładze zmeej losowej X a podstawe próbk X, X,..., X Zagadea estymacj Rozpatrzmy problem ogóly. Nech X ozacza zmeą losową o ezaej dystrybuace F(X), a X, X,..., X próbkę dla zmeej losowej X. Przypuśćmy, że zadae polega a oszacowau pewego parametru lczbowego ϑ w tym rozkładze (p. wartośc oczekwaej, waracj, prawdopodobeństwa pewego ustaloego zdarzea, p. P(X > a), gdze a ozacza pewą stałą). Za oszacowae parametru ϑ przyjmemy zaobserwowaą wartość pewej fukcj określoej a zborze wszystkch wartośc z próbk, tz. fukcj, której argumetam są zmee losowe X, X,..., X. Ozaczmy tę fukcję astępująco: $ ϑ = $ ϑ ( X, X, K, X ). Fukcję ϑ$ azywamy estymatorem parametru ϑ. Określając fukcję ϑ$ dla każdej wartośc, otrzymujemy cąg fukcj ϑ$ ( =,,..., ). Aby estymator ϑ$ mógł być praktycze wykorzystay, muszą być spełoe pewe dodatkowe waruk, które powy zagwaratować, że obserwowae w próbce wartośc ϑ$ e będą bardzo odbegały od prawdzwych wartośc parametru ϑ. Ograczymy sę do dwóch waruków.
11 5.3. Zagadea estymacj 85 Defcja 5.. Jeżel dla każdej dodatej lczby g Defcja 5.3. Jeśl to estymator ϑ$ azywamy estymatorem zgodym. to estymator ϑ$ azywamy estymatorem eobcążoym. Przykład 5.. Nech daa będze zmea losowa X ech zadae polega a oszacowau prawdopodobeństwa p = P(X > a), gdze a ozacza pewą stałą. Nech X, X,..., X ozacza próbkę zdefujmy owe zmee losowe Pokazać, że estymator $p jest zgodym eobcążoym estymatorem parametru p. Z określea zmeych losowych Y wyka, że zdarzee, ż zmea losowa Y jest rówa jest rówoważe zdarzeu, że zmea losowa X przyjme wartość wększą od a. Poeważ zmee losowe X są ezależe, węc zdarzea X > a są też ezależe. Suma Y + Y Y może być węc terpretowaa jako lczba zajść pewego zdarzea w schemace Beroullego. W takm przypadku jest spełoe tzw. prawo welkch lczb Berollego: Twerdzee 5.. Jeżel {X } ozacza cąg zmeych losowych o wspólym rozkładze zero-jedykowym, tj. oraz ( ) lm P ϑ$ ϑ > ε = 0, E ( ϑ ) $ = ϑ,, gdy X > a, Y = 0, gdy X a. Określmy astępe estymator $p parametru p: p$ = ( ). Y + Y + K + Y P( X = ) = p, P( X = 0) = p Y = = X, to cąg U jest stochastycze zbeży do p. Dowód pomjamy. Y = # Iym słowy: poeważ zmea Y jest zmeą losową o rozkładze dwumaowym, która przyjmuje wartośc k (k = 0,,..., ), a ułamek k/ ozacza częs-
12 86 V. Elemety statystyk matematyczej tość względą pojawea sę określoego zdarzea w dośwadczeach przeprowadzoych według schematu Beroullego, to możemy powedzeć, że Stąd wyka, że estymator Poadto mamy lm P k p ε = 0. $p jest estymatorem zgodym. Ale wartość oczekwaa sumy zmeych losowych jest rówa sume wartośc oczekwaych tych zmeych, węc Korzystając z twerdzea 3.7 mamy ( ) a to ozacza, że estymator $p jest estymatorem eobcążoym parametru p. Wyk uzyskay dla parametru p z powyższego przykładu może być uogóloy. Twerdzee 5.. Średa z próbk jest zgodym eobcążoym estymatorem wartośc oczekwaej, jeśl tylko ta wartość oczekwaa steje. Dowód. Ozaczmy średą z próbk przez Mamy X. EY ( ) = PX ( > a) + 0 PX ( a) = p. EY ( + Y + K + Y) = EY ( ) = p. gdze X ozacza zmeą losową o takm samym rozkładze, jak X, X,..., X, czyl jak próbka. Dowód zgodośc estymatora X wyka z tzw. prawa welkch lczb Chczya, którego dowód pomjamy: Twerdzee 5.3. Nech X, X,..., X ozacza cąg ezależych zmeych losowych o jedakowym rozkładze. Jeżel wartość oczekwaa m = E(X) steje, to dla każdej lczby g > 0 = E p$ = E ( Y + Y + + Y ) = EY ( + Y + + Y ) = p, K K E( X) = E ( X+ X + K+ X) = E ( X + X + K+ X ) ( E ( X ) E ( X ) E ( X = + + K + )) = E ( X ) = E ( X ), lm P X + X + K + X m ε = 0. #
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE
VI. TWIERDZENIA GRANICZNE 6.. Wprowadzee Twerdzea gracze dotyczą własośc graczych cągów zmeych losowych dzelą sę a:! twerdzea lokale opsują zbeżośc cągu fukcj prawdopodobeństwa w przypadku cągu {X } zmeych
Bardziej szczegółowoPOPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1
POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.
Bardziej szczegółowo. Wtedy E V U jest równa
Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo
Bardziej szczegółowoROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH ZMIENNA LOSOWA Defcja. Zmeą losową jest fukcja: X: E -> R która każdemu zdarzeu elemetaremu E przypsuje lczbę rzeczywstą e X ( e) R DYSTRYBUANTA Dystrybuatą zmeej losowej X
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoW zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =
4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji
Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz
Bardziej szczegółowoN ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.
3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby
Bardziej szczegółowoW loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:
Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,
Bardziej szczegółowo( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości
Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Zadae. W kolejych okresach czasu t =, ubezpeczoy, charakteryzujący sę parametrem ryzyka Λ, geeruje N t szkód. Dla daego Λ = λ zmee N, N są warukowo ezależe mają (brzegowe) rozkłady Possoa: k λ Pr( N t
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta
Bardziej szczegółowoJEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA
JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:
Bardziej szczegółowoZadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84
Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x
Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka
Bardziej szczegółowoL.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH
L.Kowalsk PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE TESTY STATYSTYCZNE poteza statystycza to dowole przypuszczee dotyczące rozkładu cechy X. potezy statystycze: -parametrycze dotyczą ezaego parametru, -parametrycze
Bardziej szczegółowoTESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).
TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu
Bardziej szczegółowoma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m
Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
Prawdopodobeństwo statystyka 4.0.00 r. Zadae Nech... będą ezależym zmeym losowym z rozkładu o gęstośc θ f ( x) = θ xe gdy x > 0. Estymujemy dodat parametr θ wykorzystując estymator ajwększej warogodośc
Bardziej szczegółowoTablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)
Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,
Bardziej szczegółowoZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ
ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ Podstawowe pojęca rachuu prawdopodobeństwa: zdarzee losowe, zdarzee elemetare, prawdopodobeństwo, zbór zdarzeń elemetarych. Def. Nech E będze zborem
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jacka wykład II, 3.05.016 PORÓWNANIE WIĘCEJ NIŻ DWÓCH POPULACJI TESTY NIEPARAMETRYCZNE Pla a dzsaj 1. Porówywae węcej ż dwóch populacj test jedoczykowej aalzy waracj (ANOVA).
Bardziej szczegółowoPojęcie statystyki. Definicja. Wektorową funkcję mierzalną T: X T(X)=(T 1 (X),...,T k (X)) R k wymiarową statystyką. próby X nazywamy k
Statystya Wyład Adam Ćmel A4 5 cmel@agh.edu.pl Pojęce statysty Pojęce statysty w statystyce matematyczej jest odpowedem pojęca zmeej losowej w rachuu prawdopodobeństwa. Nech X(X,...,X ) będze próbą z pewej
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)
Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?
Bardziej szczegółowoRóżniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f
Bardziej szczegółowoŚrednia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne
Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2
Bardziej szczegółowoRegresja REGRESJA
Regresja 39. REGRESJA.. Regresja perwszego rodzaju Nech (, będze dwuwyarową zeą losową, dla które steje kowaracja. Nech E( y ozacza warukową wartość oczekwaą zdefowaą dla przypadku zeych losowych typu
Bardziej szczegółowoStatystyka Inżynierska
Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe
Bardziej szczegółowoopisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn
ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Iducja matematycza Twerdzee. zasada ducj matematyczej Nech T ozacza pewą tezę o lczbe aturalej. Jeżel dla pewej lczby aturalej 0 teza T 0 jest prawdzwa dla ażdej lczby aturalej 0 z prawdzwośc tezy T wya
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa
Matematyka dyskreta 10. Fukcja Möbusa Defcja 10.1 Nech (P, ) będze zborem uporządkowaym. Mówmy, że zbór uporządkoway P jest lokale skończoy, jeśl każdy podzał [a, b] P jest skończoy, a, b P Uwaga 10.1
Bardziej szczegółowowyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=
ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej
Bardziej szczegółowok k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2
Pojęce przedzału ufośc Przyład: Rozważmy pewe rzad proces (tz. ta tórego lczba zajść podlega rozładow Possoa). W cągu pewego czasu zaobserwowao =3 tae zdarzea. Oceć możlwy przedzał lczby zdarzeń tego typu
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5
Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja
Bardziej szczegółowo8.1 Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego
Rozdzał 8 Cąg szereg fukcyje 8.1 Zbeżość cągu szeregu fukcyjego Dla skrócea zapsu przyjmjmy pewe ozaczee. Defcja. Nech X, Y. Przez Y X ozaczamy zbór wszystkch fukcj określoych a zborze X o wartoścach w
Bardziej szczegółowoMetoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1
Metoda Mote-Carlo e zagadea Metoda Mote-Carlo Są przypadk kedy zamast wykoać jakś eksperymet chcelbyśmy symulować jego wyk używając komputera geeratora lczb (pseudolosowych. Wększość bblotek programów
Bardziej szczegółowoPermutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2
Permutacje { 2,,..., } Defcja: Permutacją zboru lczb azywamy dowolą różowartoścową fukcję określoą a tym zborze o wartoścach w tym zborze. Uwaga: Lczba wszystkch permutacj wyos! Permutacje zapsujemy w
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.
Pradopodobeństo statystya 6..3r. Zadae. Rzucamy symetryczą moetą ta długo aż dóch olejych rzutach pojaą sę resz. Oblcz artość oczeaą lczby yoaych rzutó. (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) (E) 6 Wsazóa: jeśl rzuce umer
Bardziej szczegółowoPlanowanie eksperymentu pomiarowego I
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak
Bardziej szczegółowo( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min
Fukca warogodośc Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x;. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; f ( x ; L Twerdzee (Cramera-Rao: Mmala wartość warac m dowolego eobcążoego
Bardziej szczegółowoELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI
ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI Opracował: M. Kweselewcz Zadeh (978) wprowadzł pojęce rozkładu możlwośc jako rozmyte ograczee, kóre odzaływuje w sposób elastyczy a wartośc przypsae daej zmeej. Defcja. Nech
Bardziej szczegółowoMETODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH
POLITECHNIKA Ł ÓDZKA TOMASZ W. WOJTATOWICZ METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH Wybrae zagadea ŁÓDŹ 998 Przedsłowe Specyfką teor pomarów jest jej wtóry charakter w stosuku do metod badawczych stosowaych
Bardziej szczegółowoFunkcja wiarogodności
Fukca warogodośc Defca: Nech będze daa próba losowa prosta o lczebośc z rozkładu f (x; θ. Fukcą warogodośc dla próby x azywamy welkość: ( x; θ f ( x ; θ L Uwaga: Fukca warogodośc to e to samo co łącza
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5
L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.
Metody probablstycze statystyka Wykład 7: Statystyka opsowa. Rozkłady prawdopodobestwa wystpujce w statystyce. Podstawowe pojca Populacja geerala - zbór elemetów majcy przyajmej jed włacwo wspól dla wszystkch
Bardziej szczegółowoPodstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki
tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga
Bardziej szczegółowoEKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
Joaa Ceślak, aula Bawej ESTREA FUNCJI ESTREA FUNCJI JEDNEJ ZIENNEJ Otoczeem puktu R jest każdy przedzał postac,+, gdze >. Sąsedztwem puktu jest każdy zbór postac,,+, gdze >. Nech R, : R oraz ech. De. ówmy,
Bardziej szczegółowoBadania niezawodnościowe i statystyczna analiza ich wyników
Badaa ezawodoścowe statystycza aalza ch wyków. Co to są badaa ezawodoścowe jak sę je przeprowadza?. Metody prezetacj opsu daych pochodzących z eksperymetu 3. Sposoby wyzaczaa rozkładu zmeej losowej a podstawe
Bardziej szczegółowo1. Relacja preferencji
dr Mchał Koopczyńsk EKONOMIA MATEMATYCZNA Wykłady, 2, 3 (a podstawe skryptu r 65) Relaca preferec koszyk towarów: przestrzeń towarów: R + = { x R x 0} x = ( x,, x ) X X R+ x 0 x 0 =, 2,, x~y xf y x y x
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,,, ~ B, β ( β β ( ( Γ( β Γ + f ( Γ ( + ( + β + ( + β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β + β β β Γ + β Γ + Γ + β Γ + + β E ( Γ Γ β Γ Γ + + β Γ + Γ β β + β Metoda mometów polega a przyrówau
Bardziej szczegółowoMiary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej
Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ
9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoPDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1
Statystyka opsowa Statystyka zajmuje sę zasadam metodam uogólaa wyków otrzymaych z próby losowej a całą populację (czyl zborowość, z której została pobraa próba). Take postępowae azywamy woskowaem statystyczym.
Bardziej szczegółowoStatystyczne charakterystyki liczbowe szeregu
Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc
Bardziej szczegółowoWyrażanie niepewności pomiaru
Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway
Bardziej szczegółowo5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe
Bardziej szczegółowoTARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA
Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej
Bardziej szczegółowoMonika Jeziorska - Pąpka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
DYNAMICZNE MODELE EKONOMERYCZNE X Ogólopolske Semarum Naukowe, 4 6 wrześa 2007 w oruu Katedra Ekoometr Statystyk, Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu Moka Jezorska - Pąpka Uwersytet Mkołaja Koperka w oruu
Bardziej szczegółowoSTATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt
STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia. J. de Lucas
Aalza Matematycza Ćwczea J. de Lucas Zadae. Oblczyć grace astępujących fucj a lm y 3,y 0,0 b lm y 3 y ++y,y 0,0 +y c lm,y 0,0 + 4 y 4 y d lm y,y 0,0 3 y 3 e lm,y 0,0 +y 4 +y 4 f lm,y 0,0 4 y 6 +y 3 g lm,y
Bardziej szczegółowo[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7
6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram
Bardziej szczegółowoMiary statystyczne. Katowice 2014
Mary statystycze Katowce 04 Podstawowe pojęca Statystyka Populacja próba Cechy zmee Szereg statystycze Wykresy Statystyka Statystyka to auka zajmująca sę loścowym metodam aalzy zjawsk masowych (występujących
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski
PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH dr Mchał larsk I Pracowa Fzycza IF UJ, 9.0.06 Pomar Pomar zacowae wartośc prawdzwej Bezpośred (welkość fzycza merzoa jest
Bardziej szczegółowoPODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE
Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka
Bardziej szczegółowoJego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.
Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.
Bardziej szczegółowoŚrednia harmoniczna (cechy o charakterze ilorazu np. Prędkość, gęstość zaludnienia)
Mary przecęte Średa arytmetycza Dla szeregu rozdzelczego cechy skokowej x k x k Średa harmocza (cechy o charakterze lorazu p. Prędkość, gęstość zaludea) x H k x Średa geometrycza x x x... G x średa arytmetycza
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania MODELOWANIE I PODSTAWY IDENTYFIKACJI
Poltechka Gdańska Wydzał Elektrotechk Automatyk Katedra Iżyer Systemów Sterowaa MODELOWANIE I PODSAWY IDENYFIKACI Wybrae zagadea z optymalzacj. Materały pomoccze do zajęć ćwczeowych 5 Opracowae: Kazmerz
Bardziej szczegółowoFUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam
Bardziej szczegółowoX i T (X) = i=1. i + 1, X i+1 i + 1. Cov H0. ( X i. k 31 ) 1 Φ(1, 1818) 0, 12.
Zadae p (X p (X ( ( π 6 6 e 6 X m ( π 6 6 e 6 ( X C e m 6 X, gdze staªa C e zale»y od statystyk X (X,, X 6, a m jest w ksze od zera Zatem p (X/p (X jest emalej c fukcj statystyk T (X 6 X ªatwo pokaza,»e
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym
Bardziej szczegółowoLekcja 1. Pojęcia podstawowe: Zbiorowość generalna i zbiorowość próbna
TECHNIKUM ZESPÓŁ SZKÓŁ w KRZEPICACH PRACOWNIA EKONOMICZNA TEORIA ZADANIA dla klasy II Techkum Marek Kmeck Zespół Szkół Techkum w Krzepcach Wprowadzee do statystyk Lekcja Statystyka - określa zbór formacj
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych
dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s
Bardziej szczegółowobędzie próbką prostą z rozkładu normalnego ( 2
Zadae. eh K będze próbką prostą z rozkładu ormalego ( μ σ ) zaś: ( ) S gdze:. Iteresuje as względy błąd estymaj: σ R S. σ rzy wartość ozekwaa E R jest rówa ( ) (A).8 (B).9 (C). (D). (E). Zadae. eh K K
Bardziej szczegółowoZJAZD 1. STATYSTYKA OPISOWA wstępna analiza danych
ZJAZD Przedmotem statystyk jest zberae, prezetacja oraz aalza daych opsujących zjawska losowe. Badau statystyczemu podlega próbka losowa pobraa z populacj, aczej populacj geeralej. Na podstawe uzyskaych
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.
Wkład. Całka podwója. Zamaa a całkę terowaą. Oblczae pól obszarów objętośc brł.. Całka podwója w prostokące. Jak pamętam, całka ozaczoa z cągłej fukcj jedej zmeej wprowadzoa bła w celu oblczaa pola powerzch
Bardziej szczegółowoStatystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna
Aalza zależośc Rodzaje zależośc mędzy zmeym występujące w praktyce: Fukcyja wraz ze zmaą wartośc jedej zmeej astępuje ścśle określoa zmaa wartośc drugej zmeej (p. w fzyce: spadek swobody gt s ) tochastycza
Bardziej szczegółowoBadania Maszyn CNC. Nr 2
Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,
Bardziej szczegółowoAnaliza danych pomiarowych
Materały pomoccze dla studetów Wydzału Chem UW Opracowała Ageszka Korgul. Aalza daych pomarowych wersja trzeca, uzupełoa Lteratura, Wstęp 3 R OZDZIAŁ SPRAWOZDANIE Z DOŚWIADCZENIA FIZYCZNEGO 4 Stałe elemety
Bardziej szczegółowoSPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI
SPOŁECZNA AKDAEMIA NAUK W ŁODZI KIERUNEK STUDIÓW: ZARZĄDZANIE PRZEDMIOT: METODY ILOŚCIOWE W ZARZĄDZANIU (MATERIAŁ POMOCNICZY PRZEDMIOT PODSTAWOWY ) Łódź Sps treśc Moduł Wprowadzee do metod loścowych w
Bardziej szczegółowo3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Wybrae zaadea badań operacyjych dr ż. Zbew Tarapata 3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też oprócz
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu 7 ze Statystyki
Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoPŁASKA GEOMETRIA MAS. Środek ciężkości figury płaskiej
PŁAKA GEOMETRIA MA Środek cężkośc fgury płaskej Mometam statyczym M x M y fgury płaskej względem os x lub y (rys. 7.1) azywamy gracę algebraczej sumy loczyów elemetarych pól d przez ch odległośc od os,
Bardziej szczegółowoPortfel złożony z wielu papierów wartościowych
Portfel westycyy ćwczea Na odst. Wtold Jurek: Kostrukca aalza, rozdzał 4 dr Mchał Kooczyńsk Portfel złożoy z welu aerów wartoścowych. Zwrot ryzyko Ozaczea: w kwota ulokowaa rzez westora w aery wartoścowe
Bardziej szczegółowoUOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y J E Nr 2 2007 Aa ĆWIĄKAŁA-MAŁYS*, Woletta NOWAK* UOGÓLNIONA ANALIA WRAŻLIWOŚCI YSKU W PREDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW Przedstawoo ajważejsze elemety
Bardziej szczegółowoPlan: Wykład 3. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wstęp do probabilistyki i statystyki. Pojęcie zmiennej losowej
--8 Wstęp do probablsty statysty Wyład. Zmee losowe ch rozłady dr hab.ż. Katarzya Zarzewsa, prof.agh, Katedra Eletro, WIET AGH Wstęp do probablsty statysty. wyład Pla: Pojęce zmeej losowej Iloścowy ops
Bardziej szczegółowoNieparametryczne Testy Istotności
Neparametryczne Testy Istotnośc Wzory Neparametryczne testy stotnośc schemat postępowana punkt po punkce Formułujemy hpotezę główną odnoszącą sę do: zgodnośc populacj generalnej z jakmś rozkładem, lub:
Bardziej szczegółowoZadania z rachunku prawdopodobieństwa
Zadaa z rachuku prawdopodobeństwa Dzesęć osób zajmuje mejsca przy okrągłym stole. Oblczyć prawdopodobeństwo tego, że osoby A B będą sedzeć obok sebe. Jake będze prawdopodobeństwo tego samego zdarzea jeśl
Bardziej szczegółowoModele wartości pieniądza w czasie
Joaa Ceślak, Paula Bawej Modele wartośc peądza w czase Podstawowe pojęca ozaczea Kaptał (ag. prcpal), kaptał początkowy, wartośd początkowa westycj - peądze jake zostały wpłacoe a początku westycj (a początku
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer
Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław
Bardziej szczegółowoPERMUTACJE Permutacją zbioru n-elementowego X nazywamy dowolną wzajemnie jednoznaczną funkcję f : X X X
PERMUTACJE Permutacą zboru -elemetowego X azywamy dowolą wzaeme edozaczą fucę f : X X f : X X Przyład permutac X = { a, b, c, d } f (a) = d, f (b) = a, f (c) = c, f (d) = b a b c d Zaps permutac w postac
Bardziej szczegółowo