5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

Transkrypt

1 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe zadaa decyzyje (NZD). Zadae decyzyje azywamy elowym, jeżel fukcja celu lub chocaż jede z waruków oraczających są elowe (p. kwadratowe, wykładcze, loarytmcze, tp.). Przykład praktyczeo zaadea o charakterze elowym (zaadee wyboru optymaleo portfela akcj) Stopa zysku ryzyko Rozważmy astępujący problem decyzyjy. Iwestor posadający określoy kaptał chce o ulokować a ełdze kupując akcje. Każda akcja jest charakteryzowaa przez dwa podstawowe czyk, stote dla westora podejmująceo decyzje o zakupe akcj: stopę zysku (zwrotu) ryzyko. Stopa zysku (zwrotu) to stosuek zysku, jak przyos daa akcja, do kosztu jej zakupu. Stopę zysku w okrese t oblczamy wedłu wzoru: (4.) R ( P P ) [ D P, t t t t ]/ t dze: P t wartość akcj a koec okresu t, P t- wartość akcj a początku okresu t, D t welkość dywdedy w okrese t. Uwaa! Dla dzeych stóp zwrotu przyjmujemy ajczęścej, że dywdeda jest rówa zero. Czasam stopę zwrotu defuje sę róweż pomjając składk D t.

2 Wszystke decyzje zwązae z westowaem w akcje są decyzjam dotyczącym przyszłośc, podejmowaym w warukach epewośc. Tak węc, stopa zysku jest w stoce przyszłą, oczekwaa stopą zysku, jaka zostae osąęta w pewym okrese. Stąd uzyskae ustaloej wartośc stopy zysku wąże sę z ryzykem. Stopa zysku jest zmeą losową, która może przyjmować róże wartośc z określoym prawdopodobeństwam. Prawdopodobeństwa te zależą od sytuacj a ełdze, a te z kole od różych czyków, p. od stau ospodark czy sytuacj poltyczej. Przykład 4. Rozważmy akcje dwóch spółek A B. W Tabel 4. przedstawoo rozkłady stóp zwrotu tych akcj. Tabela 4. Możlwy sta Prawdopodobeństwo Stopa zwrotu ospodark p R A (w %) R B (w %) Powstaje pytae: jak a podstawe tych przewdywaych stóp zysku oszacować jede wskaźk, który mółby umożlwć podjęce decyzj o zakupe akcj? Do teo celu służy oczekwaa stopa zysku (zwrotu). Określa sę ją wedłu wzoru: (4.) R p R m dze: R oczekwaa stopa zwrotu; R -ta możlwa wartość stopy zwrotu;

3 p prawdopodobeństwo osąęca przez stopę zwrotu -tej wartośc; m lczba możlwych do osąęca wartośc stopy zwrotu. Po podstaweu do wzoru (4.) wartośc z Tabel 4. otrzymamy: dla spółk A: R 0.60% 0.30% 0.40% 0.( 0%) 0.( 40%) 0% A R B dla spółk B: 0. 0% 0. 4% 0.4 0% 0. 6% 0. 0% 0% Rozkład prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk A Rozkład prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk B 0,4 0,4 0, 0, 0,0 0, Wartośc możlwych stóp zwrotu Wartośc możlwych stóp zwrotu a) b) Wykres 4. Rozkłady prawdopodobeństwa stóp zwrotu akcj spółk A a) oraz B b) Z oblczoych wartośc oczekwaych stóp zwrotu wyka, że westowae w obe spółk jest tak samo atrakcyje (te sam oczekway zysk ). Aalza wykresów 4.a) 4.b) pozwala jedakże stwerdzć, że w przypadku akcj spółk A możemy rówe dobrze dużo zyskać (60% z prawdopodobeństwem 0.) jak dużo stracć (-40% z prawdopodobeństwem 0.). Dzeje sę tak dlateo, że rozrzut możlwych wartośc stopy zwrotu wokół oczekwaej stopy zwrotu (R A 0%) jest duży. Takej złej cechy e posada rozkład stopy zwrotu spółk B. Wdać z wykresu 4.b, że w ajorszym przypadku możemy a e stracć, a e zyskać (dla R 5B 0%) atomast w ajlepszym przypadku wprawdze zyskujemy tylko 0% (czyl mej ż dla ajlepszeo przypadku dla spółk A, tz. dla R A 60%), ale mamy mejszy rozrzut możlwych wartośc stopy zwrotu wokół wartośc oczekwaej (tz. wokół R B 0%). Dlaczeo? Poeważ z akcją B wąże sę zacze mejsze ryzyko, ż z akcją A. 3

4 Im wększe zróżcowae możlwych stóp zysku, tym wększe ryzyko zwązae z daą akcją. Powstaje zasadczy problem: Jak zmerzyć ryzyko, jak wyrazć je sytetycze za pomocą jedej lczby? Ryzyko zwązae z daą akcją moża zmerzyć za pomocą waracj stopy zysku określoej wzorem: (4.3) m V p( R R) dze: V waracja stopy zwrotu; R oczekwaa stopa zwrotu. Częścej stosuje sę ą marę ryzyka, maowce odchylee stadardowe s stopy zwrotu (stadard devato of returs): (4.4) s V p m ( R R) dze: s odchylee stadardowe stopy zwrotu. Odchylee stadardowe wskazuje przecęte odchylee możlwych stóp zwrotu od oczekwaej stopy zwrotu, przy czym m wększe jest odchylee stadardowe, tym wększe ryzyko. Ze wzoru (4.3) oraz Tabel 4. mamy: - dla akcj spółk A V A 0.(0.6 0.) 0.( 0. 0.) 0.(0.3 0.) 0.( ) 0.4(0. 0.)

5 - dla akcj spółk B 0.(0. 0.) V B 0.( ) oraz ze wzoru (4.4): 0.(0.4 0.) 0.(0 0.) 0.4(0. 0.) s s A B VA VB % % Powyższe oblczea potwerdzają fakt zaobserwoway a wykrese 4., że akcje spółk B cechują sę 5-co krote mejszym ryzykem, bo s B <s A. Portfel akcj Gdy westor kupuje klka akcj, stote jest powązae ch stóp zysku, merzoe za pomocą współczyka korelacj. Dla dwóch akcj, ozaczoych umeram, współczyk korelacj określoy jest wzorem: m p ( R R ) ( R R ) (4.5) ρ, s s Rozważaa asze oprzemy o tzw. portfel dwuskładkowy, tz. składający sę z akcj tylko dwóch spółek. Wprowadzmy astępujące ozaczea: s, s - odchylea stadardowe stóp zwrotu akcj spółk ; R, R - oczekwae stopy zwrotu akcj spółk ; ρ, - współczyk korelacj stóp zwrotu akcj obu spółek; w, w - udzały akcj obu spółek w portfelu, przy czym : w w. Oczekwaa stopa zwrotu R p portfela akcj dwóch spółek daa jest wzorem: (4.6) R p w R w R Przypadek, dy wykluczamy krótką sprzedaż. Wówczas udzały akcj w portfelu są lczbam eujemym. 5

6 Waracja V p stopy zwrotu portfela dwuskładkoweo wyraża sę wzorem: (4.7) V p w s w s w w s s ρ, Z kole odchylee stadardowe stopy zwrotu portfela dwuskładkoweo lczymy astępująco: (4.8) s p Vp Przykład 4. (decyzyje zadae westycyje jako zadae PN) Rozpatrzmy zaadee doboru optymaleo -składkoweo portfela akcj. Chodz zatem o to, aby tak dobrać udzały poszczeólych akcj w portfelu, by: stopa zwrotu portfela R p (por. wzór (4.6)) była jak ajwększa; ryzyko portfela V p (merzoe za pomocą waracj stopy zwrotu portfela (por. wzór (4.7))) było jak ajmejsze. Tak zdefoway problem decyzyjy jest problemem dwukryteralym, trudym do rozwązaa w tej postac. Najczęścej problem te aalzuje sę jako dwa uproszczoe problemy jedokryterale: problem I - ustalć tak portfel akcj, aby: a). stopa zwrotu portfela była jak ajwększa; b). ryzyko portfela było e wększe ż ustaloy dopuszczaly pró wartośc. problem II - ustalć tak portfel akcj, aby: a). ryzyko portfela było jak ajmejsze; b). stopa zwrotu portfela była e mejsza ż ustaloy dopuszczaly pró wartośc. 6

7 Przyjmjmy astępujące ozaczea: lczba akcj w portfelu; R oczekwaa stopa zwrotu akcj -tej spółk (por. (4.)),, ; udzał akcj -tej spółk w portfelu,, ; s odchylee stadardowe akcj -tej spółk (por. (3.3.6)),, ; ρ współczyk korelacj mędzy akcją -tej j-tej spółk, j,, j, ; R pdop dopuszczaly (doly) pró wartośc oczekwaej stopy zwrotu portfela; V pdop dopuszczaly (óry) pró wartośc waracj stopy zwrotu portfela. Oba podproblemy moża zdefować astępująco: podproblem I - wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów), aby: (4.9) R ma przy oraczeach: (4.0) j s j j s j s ρj V pdop j (4.) j (4.) 0,, Zadae (4.9) (4.) ze wzlędu a waruek (4.0) jest elowym zadaem decyzyjym, trudym do rozwązaa. Fukcja celu (4.9) opsuje oczekwaą stopę zwrotu z portfela. Waruek (4.0) odpowedzaly jest za to, że ryzyko portfela (merzoe za pomocą waracj stopy zwrotu portfela) e przekroczy wartośc dopuszczaleo prou. Waruek (4.) zapewa to, że udzały w portfelu muszą sę sumować do jedośc (aczej: do 00%). 7

8 podproblem II - wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów), aby: (4.3) j s j j s j s ρ j m j przy oraczeach: (4.4) R Rpdop (4.5) j (4.6) 0,, To zadae jest róweż zadaem elowym, dyż elowość wprowadza fukcja celu (4.3). Mmalzuje oa warację stopy zwrotu z portfela. Waruek (4.4) zapewa to, że stopa zwrotu z portfela będze e mejsza ż ustaloa wartość proowa R pdop. Waruek (4.5) zapewa to, że udzały w portfelu muszą sę sumować do jedośc (aczej: do 00%). Zbudujmy optymaly portfel składający sę z akcj dwóch spółek A B, które charakteryzują sę astępującym parametram: oczekwae stopy zwrotu dla obu spółek wyoszą odpowedo: R A 0.009, R B ; odchylea stadardowe stopy zwrotu dla obu spółek wyoszą odpowedo: s A , s B 0.036; współczyk korelacj mędzy akcjam spółk A B wyos: ρ AB 0.5. Perwszy westor ozajmł, że zadowol o take rozwązae, które zapew mu maksymalą stopę zwrotu z portfela, przy średm odchyleu możlwych stóp zwrotu z portfela od wartośc oczekwaej e węcej ż o 4%. Dru westor e chce ryzykować, teresuje o węc tak portfel, który mmalzuje ryzyko. Wymaa przy tym stopy zwrotu z portfela e mejszej ż %. 8

9 Dla perwszeo westora mamy węc astępujące zadae optymalzacj: wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów) A oraz B, aby: (4.7) 0,009 0,0095 ma przy oraczeach: A B (4.8) A 0,0547 B 0,036 A 0,0547 B 0,0360,5 0,04 (4.9) A B (4.0), 0 A B Rozwązując to zadae otrzymujemy astępujące rozwązae optymale: A 0.58 B 0. 48, oraz wartość fukcj celu (oczekwaą stopę zwrotu z portfela) rówą 0.054, czyl.54%. Jest to maksymala możlwa do osąęca oczekwaa stopa zwrotu z portfela przy ryzyku (waracj stopy zwrotu z portfela) e wększym ż Z kole dla drueo westora mamy astępujące zadae optymalzacj: wyzaczyć take wartośc zmeych decyzyjych (udzałów) A oraz B, aby: (4.) 0,0547 0,036 0,0547 0,0360,5 m A przy oraczeach: B (4.) A 0,009 B 0,0095 0, 0 (4.3) A B (4.4), 0 A B A B 9

10 Rozwązując to zadae otrzymujemy astępujące rozwązae optymale: 0.9, oraz wartość fukcj celu A B (warację stopy zwrotu z portfela) rówą Jest to mmala możlwa do osąęca wartość ryzyka (merzoeo za pomocą waracj stopy zwrotu z portfela), przy zapeweu pozomu dochodów e mejszeo ż %. Należy zauważyć, że przyjęce zbyt wysokej mmalej stopy zwrotu z portfela R pdop prowadz do sprzeczośc zadaa lub portfela akcj o bardzo dużym ryzyku (w zadau (4.) (4.4)). Podobe przyjęce zbyt skeo pozomu ryzyka V pdop w zadau (4.7) (4.0) spowoduje bądź emożość spełea oraczeń, bądź zalezee portfela akcj o bardzo małym dochodze. Przydatość propoowaych model dla wyzaczaa optymaleo portfela akcj zależy od waryodośc formacj, tz. od teo, czy dyspoujemy dobrym szacukam dotyczącym przyszłośc lub czy moża wykorzystać dae z przeszłośc do podejmowaa decyzj dotyczących przyszłośc. 0

11 Typy zadań WŁASNOŚCI ZADAŃ PROGRAMOWANIA NIELINIOWEGO Zadae decyzyje postac: f() ma, (4.5) przy or. ( ) 0 (,, m), ( ) 0 ( m,, r), (4.6) (4.7) f() m, (4.5 ) przy or. ( ) 0 (,, m), ( ) 0 ( m,, r), (4.6 ) (4.7 ) azywamy zadaem proramowaa eloweo (PN), jeżel fukcja celu f() lub chocaż jede z waruków oraczających ( ) są elowe, przy czym (,..., ) ozacza - wymarowy wektor zmeych decyzyjych. W proramowau elowym podstawowe zaczee mają dwa rodzaje fukcj: fukcja wypukła fukcja wklęsła. Wykresy fukcj wypukłej oraz fukcj wklęsłej przedstawoo a rysuku pożej. 0.5^ ^ 4 6 fukcja wypukła fukcja wklęsła

12 Moża wyróżć dwa podstawowe typy zadań proramowaa eloweo:. zadaa proramowaa wypukłeo (PW),. zadaa proramowaa ewypukłeo (PNW). Zadaem proramowaa wypukłeo azywamy take zadae proramowaa eloweo, w którym: - mmalzujemy wypukłą bądź maksymalzujemy wklęsłą fukcję celu, - zbór rozwązań dopuszczalych jest zborem wypukłym. Każde e zadae proramowaa eloweo azywamy zadaem proramowaa ewypukłeo. Wśród zadań proramowaa wypukłeo szczeóle zaczee zajmują zadaa proramowaa kwadratoweo, a wśród zadań proramowaa ewypukłeo zadaa proramowaa wklęsłeo. Zadaem proramowaa kwadratoweo azywamy zadae PW, w którym: - fukcja celu jest fukcją kwadratową, - wszystke fukcje ( ) są lowe (zbór rozwązań dopuszczalych jest weloścaem wypukłym), Zadaem proramowaa wklęsłeo azywamy zadae proramowaa ewypukłeo, w którym: - mmalzujemy wklęsłą bądź maksymalzujemy wypukłą fukcję celu, - zbór rozwązań dopuszczalych jest weloścaem wypukłym. Idetyfkacja typu zadaa jest bardzo stota, pozwala bowem określć trudośc, jake moą wystąpć przy szukau rozwązaa optymaleo, oraz wybrać odpowedą metodę rozwązaa.

13 Waruk optymalośc Kuha-Tuckera (K-T) Dla zadań proramowaa eloweo waruk optymalośc rozwązań określa twerdzee Kuha-Tuckera. TWIERDZENIE Kuha-Tuckera (K-T) Jeżel jest rozwązaem optymalym zadaa (4.5) (4.7), to spełoe są astępujące waruk 3 : (a) jest rozwązaem dopuszczalym, czyl: ( ) 0 (,, m), (4.8) 0 m,, r ( ) ( ), (b) steją take lczby (możk) (,, r), że: 0, dla,..., m dowole, dla m,..., r (4.9) ( ) 0 (,, m), (c) spełoa jest formuła: r (4.30) f ( ) ( ) 0 dze 0 ozacza -wymarowy wektor zer. Waruk typu (a) określają spełee oraczeń. Jeżel któreś z oraczeń małoby zwrot, to ależy to oraczee pomożyć przez. Podobe, jeśl fukcja celu f() podleałaby mmalzacj, to ależy ją przemożyć przez fukcja f() podlea wówczas maksymalzacj 4. W warukach typu (b) możk muszą być eujeme tylko dla waruków zadaa PN w postac erówośc, przy czym, dy waruek jest spełoy z ostrą erówoścą, to z (4.9) wyka, że odpowadający mu możk mus być rówy zero. Waruków typu (c) jest tyle, le elemetów (zmeych) ma wektor (czyl ). 3 Uwaa! W lteraturze spotyka sę róże, rówoważe, defcje waruków K-T. 4 Wyka to z teo, że: m f() ma ( f()). 3

14 Symbol ozacza radet fukcj f(), czyl wektor pochodych cząstkowych tej fukcj, tz.: ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f,...,, oraz ozacza radet fukcj ( ) (): ( ) ( ) ( ) ( ),...,, dze: ( ) j f - pochoda cząstkowa fukcj f wzlędem j-tej składowej wektora, ( ) j - pochoda cząstkowa fukcj wzlędem j-tej składowej wektora. Zapsując waruek typu (c) w postac skalarej otrzymamy astępujących waruków: (4.30a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r r r r f f f 4

15 Waruk różczkowe Kuha-Tuckera są warukam koeczym optymalośc (e są, w oólym przypadku, warukam wystarczającym). Każde rozwązae optymale zadaa proramowaa eloweo mus spełać waruk (a)-(c), ale rozwązae spełające te waruk ekoecze jest optymale. Istote jest, że dla zadań proramowaa wypukłeo waruk Kuha-Tuckera są warukam wystarczającym. Jeżel rozwązae dopuszczale speła waruk różczkowe Kuha-Tuckera, to jest rozwązaem optymalym. Jeżel atomast waruków e speła, to e jest rozwązaem optymalym. Moża zatem powedzeć, że: Dla zadań proramowaa wypukłeo waruk Kuha-Tuckera pozwalają jedozacze oceć, czy badae rozwązae jest optymale. Dla zadań proramowaa ewypukłeo waruk Kuha-Tuckera są spełoe przez każde rozwązae będące ekstremum lokalym, wobec teo e moża woskować, czy otrzymae rozwązae jest rozwązaem optymalym (lobale). 5

16 Przykład 4.3 Rozważmy zadae proramowaa eloweo: (4.3) f ( ) 3 ma, przy or. (4.3) Wykres fukcj celu (4.3) przedstawoo a rysuku. f<> ^ Fukcja celu (4.3) jest wklęsła, a zadae jest a maksmum, węc jest to zadae proramowaa wypukłeo. Z rysuku wyka, że optymalym rozwązaem zadaa (4.3) (4.3) jest pukt 0, z maksymalą wartoścą fukcj celu f( )3. 6

17 Zapszmy waruek (4.3) w kowecj przyjętej w proramowau elowym: ( ) 0, ( ) 0. Dla zadaa (4.3) (4.3) waruk Kuha-Tuckera mają postać: (a) 0, 0, (b), 0, ( ) 0, ( ) 0, (c) ( ) 0 bo f ( ) ( 3 ) ( 3 ) oraz ( ) ( ) ( ) ( ) Jedyym puktem ze zboru rozwązań dopuszczalych, który speła waruk Kuha-Tuckera (a)-(c), jest 0 z możkem 0, 0. Pukt 0 jest rozwązaem optymalym zadaa (4.8) (4.9) (ale e jest werzchołkem zboru rozwązań dopuszczalych!). WNIOSEK! Rozwązae optymale zadaa proramowaa wypukłeo e mus zajdować sę w werzchołku lub a brzeu zboru rozwązań dopuszczalych (tak, jak to było w przypadku zadań PL). 7

18 Przykład 4.4 Z elektrocepłow eera przesyłaa jest do dwóch zużywających ją zakładów produkcyjych. Fukcja kosztów przesyłaa eer do tych zakładów w zależośc od welkośc przesyłu (odpowedo, do zakładu I, do zakładu II ) daa jest wzorem: ( ) f 4 8, Rozdzelć dzeą produkcję eer wyoszącą 6 MWh pomędzy te dwa zakłady tak, aby mmalzować koszty przesyłu eer. Rozwązae Zode z treścą, zadae do rozwązaa jest astępujące: (4.33) f ( ) m przy oraczeach:, (4.34) (, ) 6 (4.35) (, ) 0 (4.36) ( ) 0 3, Wykres fukcj celu (4.33) przedstawoo pożej. 500 f<,y>

19 Najperw musmy zapsać zadae (4.33)-(4.36) w rówoważej postac, jako zadae typu (4.5)-(4.7), dyż podae w (4.8)- (4.30) waruk Kuha-Tuckera dotyczą zadaa postac (4.5)- (4.7). Otrzymamy zadae: (4.33 ) f ( ) ma, przy oraczeach (4.34)-(4.36). Waruk Kuha-Tuckera dla teo zadaa są astępujące: (a) 6 0, 0, 0 (b) 0, (c) 3 I II Waruek (c).i otrzymalśmy oblczając: f (, ) (, ) (, ) ( ) 3, 3 atomast waruek (c).ii oblczając: dze: f (, ) (, ) (, ) ( ) 3, 3 3 9

20 f (, ) f (, ) 0 8 (, ) (, ) (, ) (, ),, ( ) ( ) Rozwązae układu rówań erówośc określoeo przez waruk (a)-(c) możemy dokoać p. poprzez przyjmowae pewych założeń co do wartośc możków, a astępe sprawdzae, czy spełoe są wszystke waruk (a)-(c). Przyjmjmy a początek, że 3 0. Przy tych założeach otrzymujemy, że spełoe są waruk typu (b) oraz pozostaje am do rozwązaa astępujący układ rówań (przy czym musmy pamętać, że otrzymae wartośc zmeych, muszą być eujeme, aby spełć pozostałe dwa założea wykające z waruku typu (a)): (a) 6 0 (c) Elmujemy z (c.i) (c.ii) poprzez pomożee (c.i) przez (-) dodae stroam obu rówań: ( 4 0 Otrzymamy: ) 0

21 Dodając rówae (a) otrzymujemy układ rówań: I II Z rówaa II wyzaczamy 6 wstawamy do I, otrzymując: oraz ( 6 ) / : Otrzymalśmy astępujące rozwązae: 9, 7,, 3 0. Zauważmy, że wszystke waruk typu (a)-(c) dla otrzymaeo rozwązaa są spełoe, zatem para (, ) (9, 7) jest rozwązaem optymalym problemu (4.33)- (4.36). Wartość fukcj celu (4.33) dla otrzymaeo rozwązaa jest maksymala wyos f (, ) 89.