Wykład 5: Dynamika d inż. Zbigniew Szklaski szkla@agh.edu.pl http://laye.uci.agh.edu.pl/z.szklaski/
Pzyczyny uchu - zasady dynamiki dla punktu mateialnego Jeśli ciało znajduje się we właściwym miejscu, to jego uch jest możliwy jedynie pod wpływem działania sił zewnętznych. Z wyjątkiem ciał niebieskich stanem nomalnym jest stan spoczynku. Każde ciało o twa w swym stanie: spoczynku lub uchu postoliniowego i jednostajnego, jeśli siły pzyłożone one nie zmuszają ciała a do zmiany tego stanu. 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 1642-1727 2
Pincipia Mathematica Philosophiae Natualis 1687 zasady dynamiki Istnieje układ inecjalny tzn. układ odniesienia, w któym ciało, na któe nic nie działa, spoczywa lub pousza się bez pzyspieszenia. Zasada bezwładności Newtona jest postulatem istnienia układu inecjalnego. Jeśli istnieje jeden układ inecjalny, to każdy inny układ pouszający się względem niego z pędkościąv = const jest też układem inecjalnym; istnieje więc nieskończenie wiele układów inecjalnych 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 3
Duga zasada dynamiki Niezeowa wypadkowa sił zewnętznych działających na ciało nadaje ciału pzyspieszenie o kieunku i zwocie zgodnym z kieunkiem i zwotem siły wypadkowej oaz watości wpost popocjonalnej do watości tej siły a odwotnie popocjonalnej do masy ciała. a = F wyp m 2 d stąd F w = m 2 Czyli jeśli znamy ozkład sił i masę ciała dt oaz waunki początkowe dla położenia i pędkości, to ozwiązując ównanie uchu otzymamy układ tzech ównań skalanych, opisujących zachowanie ciała w czasie: y= y(t z= z(t) x= x(t) ) 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 4
Pzykłady ównań Newtona: m m m d dt d dt d dt 2 2 2 2 2 2 = = = d q dt qe mg B Ruch ładunku w polu magnetycznym Ruch ładunku w polu elektycznym Ruch masy w polu gawitacyjnym Uogólniona II zasada dynamiki: Jeżeli m = const to F w = m dv dt = d ( mv) dt = dp dt 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 5
Tzecia zasada dynamiki Newtona Każdemu działaniu (akcji) towazyszy pzeciwdziałanie (eakcja) F BA F AB Siła działająca na ciało A ze stony ciała B (F AB ) jest ówna sile działającej na ciało B ze stony ciała A (F BA ). Siły te występują paami. Czy one się ównoważą? Nie! Każda siła działa na inne ciało! 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 6
Pzykład: Z wysokości h nad ziemią spada swobodnie kula z gliny. Na wysokości h/2 tafił ją w śodek, pouszający poziomo się z pędkością V 0 pocisk, któy utkwił w kuli. Masa pocisku jest k = 5 azy mniejsza od masy kuli. Oblicz szybkość kuli w momencie upadku na ziemię. Dane g. 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 7
Pzykłady istotnych sił zeczywistych Siła gawitacji (ciężkości) Siła nacisku/eakcji Siła napężenia Siła tacia (opou) F T Siła eakcji podłoża R Q Siła dośodkowa Siła gawitacji działająca na pudło Siła nacisku działająca na podłogę 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 8
Tacie Źódłem siły tacia jest oddziaływanie pomiędzy ciałem a powiezchnią, po któej jest wpawiane w uch. Tacie jest powodowane pzez oddziaływanie elektomagnetyczne między cząstkami/atomami stykających się ciał. Siła tacia jest sumą wektoową sił działających między atomami na powiezchni jednego i dugiego ciała. Powiezchnia zeczywistego kontaktu mikoskopowego obu ciał może być nawet 10 000 azy mniejsza od powiezchni pozonego makoskopowego kontaktu. 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 9
Tacie zewnętzne wewnętzne poślizgowe toczne statyczne kinetyczne 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 10
Właściwości siły tacia 1. Jeśli ciało się nie pousza, to siła tacia statycznego ównoważy składową siły ównoległą do powiezchni. Siła tacia statycznego dopasowuje się do siły usiłującej wpawić ciało w uch. 2. Maksymalna watość siły tacia statycznego dana jest wzoem T Smax = µ s N, gdzie µ s jest współczynnikiem tacia statycznego, N jest watością siły nacisku - postopadłej do powiezchni, ównej sile eakcji działającej na ciało. 3. Jeżeli watość składowej siły F, ównoległej do powiezchni pzekacza watość T Smax to ciało zaczyna się ślizgać. Watość siły tacia gwałtownie wówczas maleje do T k = µ k N, gdzie jest µ k jest współczynnikiem tacia kinetycznego 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 11
Pzykładowe współczynniki tacia: Mateiał Wsp. tacia statycznego µ s Wsp. tacia kinetycznego µ k stal / stal 0.6 0.4 po dodaniu smau do stali 0.1 0.05 metal / lód 0.022 0.02 opona / sucha nawiezchnia opona / moka nawiezchnia 0.9 0.8 0.8 0.7 HWR,1 Rys.6.1 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 12
Tacie toczne wynika ono z baku symetii oddziaływań w obszaze styku, siła eakcji podłoża nie pzypada w miejscu działania nacisku lecz jest pzesunięta w kieunku toczenia i jest odchylona od pionu, pzy toczeniu twozą się i ozywają połączenia mostkowe (adhezyjne) między ciałami (ważne w F1!), następuje defomacja plastyczna w miejscu styku ciał. opona z większą zawatością siaki mniejsze opoy toczenia! wpływ ugięcia ścian opony - szesze mają mniejsze ugięcie - mniejsze opoy guba zeźba bieżnika większy opó większy ozmia koła mniejszy opó ciśnienie w oponie większe, to mniejszy opó ale staty enegii pzy pzeskoku nad nieównościami 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 13
Tacie wewnętzne lepkość Lepkość to opó, powstający pomiędzy wastwami (stugami) cieczy lub gazu pzemieszczającymi się względem siebie. Rodzaj pzepływu okeśla liczba Reynoldsa: vρl vl Re = = η υ η - wspł. lepkości (dynamiczny) V pędkość; ρ - gęstość υ - wspł. lepkości (kinematyczny) L chaakteystyczny ozmia ciała [ Pa s] m 2 s pzepływ laminany Re << 1 pzepływ tubulentny Re > 2000 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 14
Pędkość ganiczna V g = 2F C ρ S C wspł. opou ρ - gęstość ośodka S - pole pzekoju V g = g ( m m ) k p 6πη g pędkość ganiczna kulki m Siła Stokes a Kulka o pomieniu pousza się w ośodku lepkim (mała liczba Reynoldsa) F o = 6πηV F w = m p g F g = m k g gdzie: m p - masa płynu wypatego pzez kulkę m k - masa kulki F o -Siła opou Równanie uchu kulki: k dv dt = m g m g 6πη V k p F w - Siła wypou F g - Siła gawitacji 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 15
Pzykład: Kostka o masie M = 100 g spoczywa na płaskiej poziomej powiezchni. Do kostki pzyłożono poziomą siłęf, któej watość z każdą sekundą ośnie liniowo o 2 N. Pzyjąć g = 10 m/s 2, współczynnik tacia statycznego µ s = 0,4 a współczynnik tacia kinematycznego µ K = 0,2. a) Naysuj wykesy: siły F i wypadkowej siły działającej na kostkę w funkcji czasu, z zaznaczeniem maksymalnej watości tacia statycznego oaz tacia kinetycznego. b) Oblicz czas, po jakim kostka uszy z miejsca. c) Napisać ównania pzyspieszenia i pędkości kostki w funkcji czasu wynikające z paw Newtona. 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 16
Dynamika w układach nieinecjalnych ZASADY DYNAMIKI NEWTONA OBOWIĄZUJ ZUJĄ W UKŁADACH INERCJALNYCH!! Co można zobić aby móc m c stosować te zasady w układach nieinecjalnych? Siły y pozone, Siły y bezwładno adności F b ma = pzyspieszenie u układu II zasada dynamiki: F w = F z + F b = ma 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 17
Pzykład cięża pozony Winda usza w góę ze stałym pzyspieszeniem a. Jaki cięża wskaże waga spężynowa? F R F g = a u m a u F R waga wskazuje siłę F N F g ale F R = F N więc F N = F g + m a u F N 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 18
Dynamika w uchu po okęgu Roto Obsewato w układzie inecjalnym wskaże siły Siły zeczywiste: Obsewato w układzie nieinecjalnym Siła pozona: siła gawitacji siła eakcji na nacisk siła tacia siła odśodkowa bezwładności Dla obsewatoa w układzie inecjalnym siła eakcji na nacisk pełni olę siły dośodkowej Dla obsewatoa w układzie nieinecjalnym wszystkie siły: zeczywiste i siła odśodkowa (bezwładności) się ównoważą 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 19
Czy Ziemia jest układem inecjalnym? Rotacja Ziemi wokół własnej osi a Z 3 10 2 m/s 2 Obieg wokół Słońca a O 6 10 3 m/s 2 Obieg Słońca w Galaktyce a S 3 10 10 m/s 2 Z czym poównać oszacowane watości pzyspieszeń? g = 9,81m/s 2 Wniosek? 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 20
Wahadło matematyczne Układ inecjalny Układ nieinecjalny F N F N F g = mg F g = mg F d F F = N + g czyli F d = F N - F g F b F =0 F F + F = 0 wyp N + g b mv 2 = F N mg 2 mv F N = + mg 2 czyli F N = F g + F b 2 mv F N = mg+ 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 21
Pzyspieszenie i siła Coiolisa Mówka na płycie gamofonowej Płyta obaca się ze stałą pędkością kątową ω. Mówka pousza się względem płyty uchem jednostajnym, posto- ω=const A V V S A V liniowym - wzdłuż pomienia, + V S1 z punktu A do punktu A w czasie t z pędkością V. Pędkość styczna V S ośnie waz z odległością od śodka płyty. W tym czasie płyta obaca się o kąt φ 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 22
Skoo Φ jest małe to V= V Φ czyli dv dt = V V t dφ dt Φ = V dla t 0 można zapisać: t czyli a 1 =V ω V V Φ V Pędkość V S zmienia się od: V S = ω do watości V S1 = ω ( + ) a więc V S = ω ( + ) - ω czyli V S = ω : t V otzymujemy S dv = ω dla t 0 S d = ω czyli a 2 =V ω t t dt dt a 1 i a 2 to watości wektoów o tym samym kieunku-wzastającego φ Całkowite pzyspieszenie a C = a 1 + a 2 =2V ω pzyspieszenie Coiolisa W układzie nieinecjalnym mówka jest w stanie ównowagi 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 23
Tacie działające na mówkę ma dwie składowe: adialną ównoważona pzez siłę odśodkową oaz styczną (zgodną z kieunkiem obotu płyty) ównoważoną pzez siłę działającą stycznie, pzeciwnie do kieunku obotu płyty siłę Coiolisa jest to SIŁA POZORNA działa w obacającym się układzie odniesienia! Ciało wyzucone w punkcie X, na półkuli północnej, pionowo w góę z pędkościąv, doznaje pzyspieszenia Coiolisa stycznego do ównoleżnika pzechodzącego pzez punkt X. Z kolei ciało pouszające się z pędkością styczną do ównoleżnika pzechodzącego pzez punkt Y doznaje pzyspieszenia Coiolisa skieowanego do śodka Ziemi. F = V C 2m ω X ω 2V ω Y ω ω 2V V V 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 24
Siła Coiolisa - wnioski Opisując uch w układzie inecjalnym: 2mV ω a i a = + + pzysp. w ukł. pzysp. w ukł. pzyspieszenie ω ω V ( pzyspieszenie inecjalnym obacającym się Coiolisa dośodkowe Pzykładowe zadania na siłę Coiolisa Dwaj myśliwi stzelali do szyszek. A stzelał do szyszki znajdującej się na zachód od niego, B do szyszki znajdującej się w kieunku południowym. Obydwaj spudłowali i tłumaczyli swoje niepowodzenia istnieniem siły Coiolisa. Któy z nich miał większe pawo tak się tłumaczyć? Jak jest wielkość odchylenia pocisku, jeżeli śednia pędkość v 0 = 300m/s, czas lotu t = 1s a szeokość geogaficzna ϕ= 49 0. ODP.: x A 2,2 cm x B 1,7 cm ) 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 25
Podsumowanie Błędnym jest pzekonanie, że do podtzymania uchu potzebna jest siła (patz zasada bezwładności I zasada dynamiki Newtona) Pojęcia: uch i spoczynek mają sens jedynie względem konketnego układu odniesienia Zasady dynamiki obowiązują w układzie inecjalnym. W układach nieinecjalnych wpowadza się siły pozone, aby móc nadal stosować zasady dynamiki Ziemia może być taktowana jak układ inecjalny, lecz są zjawiska, któe mogą być wyjaśnione jedynie pzy uwzględnieniu sił pozonych: odśodkowej i Coiolisa 2017-03-16 Wydział Infomatyki, Elektoniki i Telekomunikacji - Teleinfomatyka 26