15. Wyład 15: Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. 15.1. Podciała, podciała geerowae przez zbiór, rozszerzeia ciał. Defiicja 15.1. Niech F będzie ciałe. Podzbiór L zbioru F azyway podciałe ciała F (piszey L<F), gdy (L, + L L, L L ) jest ciałe. Jeżeli L<F to ówiy, że F jest rozszerzeie ciała L. (1) Q < R, (2) R < C. Twierdzeie 15.1. Niech F będzie ciałe i iech L F.Następującewaruisąrówoważe: (1) L<F, (2) L a astępujące własości: 1 L, x, y L(x y L), x, y L(x y 1 L). Twierdzeie 15.2. Niech R = {L i : i I} będzie rodzią podciał ciała F ; (1) i I L i jest podciałe ciała F, (2) i I L i jest podciałe ciała F,oileR jest łańcuche. Defiicja 15.2. Niech F będzie ciałe oraz A F pewy zbiore. Niech poadto L<F.Najiejsze w sesie iluzji podciało ciała F zawierające zbiór L A (tj. przerój wszystich podciał ciała F zawierających L A) azywaypodciałe geeroway przez A ad L (rozszerzeie ciała L ozbióra, rozszerzeieciałal oeleetyzbiorua) iozaczayl(a). Jeżeli A = {a 1,...,a },tociałol({a 1,...,a }) azyway podciałe sończeie geeroway przez A ad L (rozszerzeie sończeie geeroway ciała L ozbióra) iozaczay L(a 1,...,a ). Jeżeli A = {a} to sończeie geerowae rozszerzeie L(a) ciała L oeleeta azyway rozszerzeie prosty. Twierdzeie 15.3 (o postaci eleetów rozszerzeia ciała o zbiór). Niech F będzie ciałe oraz A F pewy zbiore. Niech L<F. Wówczas Wiose 15.1. L(A) ={ f(a 1,...,a ) g(a 1,...,a ) : f,g L[x 1,...,x ],g(a 1,...,a ) 0,a 1,...,a A, N}. (1) Niech F będzie ciałe oraz iech a F.NiechL<F.Wówczas L(a) ={ x 0 + x 1 a +...+ x a y 0 + y 1 a +...+ y a : y 0 + y 1 a +...+ y a 0, N {0},x i,y i K}. (2) Niech F będzie ciałe oraz iech {a 1,...,a } F.NiechK<F.Wówczas L(a 1,...,a )={ f(a 1,...,a ) g(a 1,...,a ) : f,g L[x 1,...,x ],g(a 1,...,a ) 0}. (to zaczy eleety rozszerzeia ciała o zbiór sończoy są wartościai fucji wyierych o współczyiach z daego ciała). 85
86 (3) Niech F = C, 2 C, L = Q < C. Wówczas: Q( 2) = { f( 2) g( 2) : f,g Q[x],g( 2) 0}. Defiicja 15.3. Niech F będzie ciałe oraz iech L 1 <F,L 2 <F,...,L <F.Podciałogeerowae przez L 2... L ad L 1 azyway opozyte (lub iloczye) ciałl 1,L 2,...,L iozaczay L 1 L 2... L. Uwaga 15.1. (1) Niech F będzie ciałe oraz iech L 1 <F,L 2 <F.Niech{a 1,...,a } F oraz {b 1,...,b } F.Wówczas: L 1 (a 1,...,a ) L 2 (b 1,...,b )=L 1 L 2 (a 1,...,a,b 1,...,b ). (2) Niech F będzie ciałe oraz iech L<F.Niech{a 1,...,a } F oraz {b 1,...,b } F.Wówczas L(a 1,...,a ) L(b 1,...,b )=L(a 1,...,a,b 1,...,b ). (3) Niech F będzie ciałe oraz iech L 1 <F,L 2 <F.NiechK 1 <L 1 oraz iech K 2 <L 2.Wówczas K 1 K 2 <L 1 L 2. Uwaga 15.2. Niech F, L będą ciałai, iech φ : F L będzie hooorfize. Wówczas φ jest różowartościowy. Poieważ φ jest hooorfize, więc er φ F.PoieważjedaF jest ciałe, więc er φ {{0},F}. Gdybyer φ = F,towszczególościφ(1) = 0, awięcφ ie byłby hooorfize. Zate er φ = {0}. Defiicja 15.4. Niech F będzie ciałe, iech F < K i F < L będą jego rozszerzeiai. Niech poadto φ : K L będzie hooorfize. Jeśli φ F = id F,toφ azyway F -zaurzeie. Twierdzeie 15.4. Niech F, L będą ciałai, iech F 1 <F, L 1 <L,iechφ : F L będzie hooorfize. Wówczas: (1) φ(f 1 ) <L, (2) φ 1 (L 1 ) <F. 15.2. Charaterystya pierścieia i ciała, ciała proste i lasyfiacja ciał prostych. Defiicja 15.5. Niech R będzie pierścieie. Liczbę: { 0, gdy r(1) = wgrupieaddytywej(r, +), charr =, gdy r(1) = wgrupieaddytywej(r, +), azyway charaterystyą pierścieia R. (1) charz =0, charq =0; (2) charz 4 =4, charz 7 =7; (3) charr[x] =0; (4) charz 5 [x] =5.
87 Uwaga 15.3. Niech R będzie pierścieie. Odwzorowaie φ : Z R dae wzore jest hooorfize pierściei. Jeśli charr =0,toer φ = {0}. JeślicharR =, toer φ =(). Bez trudu poazujey, że φ jest hooorfize. Załóży, że charr =0.Poażey,żeer φ = {0}. Ustaly er φ. Wówczas er φ 1=0 =0. Załóży, że charr =. Poażey,żeer φ =(). Ustaly er φ. Wówczas Wiose 15.2. Niech R będzie pierścieie. er φ 1=0 (). (1) Jeśli charr =0,toR zawiera podpierścień izoorficzy z Z. (2) Jeśli charr =, tor zawiera podpierścień izoorficzy z Z. (1) Zdefiiujy odwzorowaie φ : Z R wzore. Ozaczy R 1 = iφ. Wobectwierdzeiaoizoorfizie Poieważ er φ = {0}, więcr = Z/{0} = Z. (2) Aalogiczie. Z/ er φ = R 1. Wiose 15.3. Niech R będzie pierścieie. (1) Jeśli R jest pierścieie całowity, to charr =0lub charr = p dla pewej liczby pierwszej p. (2) Jeśli R jest ciałe, to charr =0lub charr = p dla pewej liczby pierwszej p. (1) Przypuśćy, że charr = pq, dlapewychliczbpierwszychp, q. WówczasR zawiera pierścień izoorficzy z Z pq,awięcp, q D(Z pq ) D(R), codajesprzeczość. (2) Oczywiste. (5) charr =0; (6) charz p = p, gdziep jest dowolą liczbą pierwszą. Uwaga 15.4. Niech R będzie pierścieie i iech R 1 <R.WówczascharR 1 =charr. Uwaga 15.5. Niech R będzie pierścieie i iech charr = p. Wówczas (1) a, b R(a + b) p = a p + b p ; (2) a, b R(a + b) p = a p + b p.
88 oraz więc (2) Iducja. (1) Poieważ p (a + b) p = a b p =0 {1,...,p 1}p {1,...,p 1} a b p =0. Defiicja i Uwaga 15.1. Niech F będzie ciałe i iech charf = p. Wówczasodwzorowaieφ : F F dae wzore φ(a) =a p jest hooorfize ciał. Obraz iφ ozaczay przez F p iazywayp-potęgą ciała F. Defiicja 15.6. Ciało F azyway ciałe prosty gdy ie zawiera podciał właściwych. Twierdzeie 15.5. Niech F będzie ciałe. Wówczas F zawiera podciało proste. Zdefiiujy K = {L : L<F}. Wówczas K jest podciałe ciała F.Poażey,żeK jest ciałe prosty. Ustaly M<K.Wówczas M<F,więcK M itysayk = M. Twierdzeie 15.6 (o lasyfiacji ciał prostych). Niech F będzie ciałe prosty. Wówczas (1) Jeśli charf =0,toF = Q. (2) Jeśli charf =, tof = Z p. (1) Odwzorowaie φ : Z F dae wzore jest różowartościowy hooorfize. Wobec własości uiwersalej ciała ułaów, istieje doładie jede hooorfiz różowartościowy ψ :(Z) F tai, że ψ λ = φ, gdzie λ : Z (Z) jest hooorfize aoiczy. Poadto iψ <FisoroF jest proste, więc iψ = F.WobectegoQ = (Z) = F. (2) Odwzorowaie φ : Z F dae wzore jest hooorfize tai, że er φ =(p). Wobectwierdzeiaohooorfizieistiejedoładie jede hooorfiz ψ : Z/(p) F tai, że ψ κ = ψ, gdzie κ : Z Z/(p) jest epiorfize aoiczy. Poadto Z/(p) jest ciałe, więc ψ jest różowartościowy. Poadto iψ <FisoroF jest ciałe prosty, to iψ = F.Wobectego Z p = F.
Wiose 15.4. Niech F będzie ciałe. Wówczas (1) Jeśli charf =0,toF zawiera podciało izoorficze z Q. (2) Jeśli charf = p, tof zawiera podciało izoorficze z Z p. Wiose 15.5. Niech F będzie ciałe o p eleetach, gdzie p jest liczbą pierwszą. Wówczas F = Z p. Charaterystya ciała F jest róża od 0, a zate rówa pewej liczbie pierwszej q. Tysay F zawiera podciało izoorficze z Z q.wszczególościgrupaaddytywa(f, +) ciała F zawiera jao podgrupę grupę izoorficzą z grupą addytywą (Z q, +) ciała Z q.stąd,wobectwierdzeialagrage a, q p iwosewecjiq = p. Defiicja 15.7. Niech F będzie ciałe. Pierścieie prosty zawarty w ciele F azyway Z, jeżelicharf =0, Z p,jeżelicharf = p, dlapewejliczbypierwszejp. Uwaga 15.6. Niech F będzie ciałe prosty, iech F < K i F < L będą jego rozszerzeiai. Niech poadto φ : K L będzie hooorfize. Wówczas φ jest F -zaurzeie. Zdefiicjiφ(1) = 1 isoroφ jest hooorfize, to ( ) =. Jeśli charf = p, todowódjestzaończoy.jeślicharf =0,to,dalejzdefiicjihooorfizu,ay: ( ) φ ( ) =. 89