Wielomiany i rozszerzenia ciał
|
|
- Jadwiga Kozak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo klasa funkcji. Później dowiadujemy się, że inne funkcje można przybliżać wielomianami i Czytelnik z pewnością zna już niektóre metody aproksymacji. W tym rozdziale przyjmiemy nieco inną definicję wielomianu, dogodniejszą z punktu widzenia algebry. Własności analityczne wielomianów pominiemy, choć jest to trochę wbrew naturze, o czym może świadczyć fakt, że chyba wszystkie dowody zasadniczego twierdzenia algebry posługują się metodami analitycznymi. Definicja 1. Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie wszystkie równe 0 (tzn. istnieje takie n, że f m = 0 dla m > n). W zbiorze wielomianów wprowadzamy działania: f + g = (f 0, f 1, f 2,...) + (g 0, g 1, g 2,...) = (f 0 + g 0, f 1 + g 1, f 2 + g 2,...) Po wprowadzeniu oznaczeń: widzimy, że fg = (f 0 g 0, f 0 g 1 + f 1 g 0, f 0 g 2 + f 1 g 1 + f 2 g 0,...) (0, 0, 0,...) = 0, (1, 0, 0,...) = 1, (0, 1, 0,...) = X (0, 0, 1, 0,...) = X 2, (0, 0, 0, 1, 0,...) = X 3 itd. 1
2 Możemy wobec tego napisać: f = (f 0, f 1, f 2,..., f n ) = f 0 + f 1 X + f 2 X f n X n i wtedy działania na wielomianach można wykonywać tak, jak to się robiło w szkole średniej. Jak widać, zmienna X, która pojawia się w zapisie, pełni rolę czysto formalną ułatwia zapis wielomianu i wykonywanie działań na wielomianach. A więc słowo wielomian oznacza tu coś innego niż w szkole średniej. Tam wielomianem zmiennej rzeczywistej X nazywaliśmy funkcję X f 0 + f 1 X + + f n X n. Również tutaj każdemu wielomianowi o współczynnikach z P można przyporządkować funkcję wielomianową f : P P : P a f 0 + f 1 a f n a n P. Element f 0 + f 1 a + + f n a n nazywać będziemy wartością wielomianu w punkcie a P. Rozróżnienie między wielomianami a funkcjami wielomianowymi nie jest tylko formalizmem. Bowiem zdarza się, że dwa różne wielomiany określają tę samą funkcję. Np. w pierścieniu Z 3 wielomiany 1 + X oraz 1 + X 3 wyznaczają tę samą funkcję: 0 1, 1 2, 2 0. Jednak przy odpowiednich założeniach o pierścieniu P odpowiedniość: wielomian funkcja wielomianowa jest wzajemnie jednoznaczna. Łatwo udowodnić poniższe twierdzenie (dowód pomijamy). Twierdzenie 1. Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach z P z działaniami + i oraz wyróżnionymi wielomianami 0 i 1 jest pierścieniem. Oznaczamy go przez P [X]. Stopień wielomianu f, tzn. największą z liczb n, dla których f n 0, będziemy oznaczali przez deg f. Przyjmujemy, że deg 0 =. łatwo zauważyć, że deg(f + g) max(deg f, deg g), deg(fg) deg f + deg g. Jeżeli najwyższy współczynnik wielomianu f (lub wielomianu g) nie jest dzielnikiem zera, to deg(fg) = deg f + deg g. 2
3 Twierdzenie 2. Niech P będzie pierścieniem, a f wielomianem z P [X], którego najwyższy współczynnik nie jest dzielnikiem zera. Wówczas f nie jest dzielnikiem zera w P [X]. Jeżeli P jest dziedziną całkowitości, to i P [X] jest dziedziną całkowitości. Dowód. Niech fg = 0. Wówczas deg f +deg g =. Ponieważ deg f > 0, więc deg g =, a stąd g = Dzielenie wielomianów Definicja 2. Niech f, g P [X]. Mówimy, że w P [X] jest wykonalne dzielenie z resztą wielomianu g przez wielomian f, gdy istnieją takie wielomiany q, r P [X], że g = fq + r, przy czym deg r < deg f. Wielomian f nazywamy unormowanym, jeżeli f 0 i jego najwyższy współczynnik jest równy 1. Twierdzenie 3. Jeżeli f P [X] jest wielomianem unormowanym, a g P [X] dowolnym wielomianem, to w P [X] jest wykonalne dzielenie z resztą g przez f. Dowód. Twierdzenie jest prawdziwe gdy deg g < deg f (wtedy q = 0, r = g). Niech m = deg g, m n, n = deg f. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianu g stopnia mniejszego niż m. Niech teraz deg g = m i niech g g m X m n f = h. W wielomianie h współczynnik przy X m jest równy 0. Stąd deg h < m. Na mocy założenia indukcyjnego istnieją takie q, r P [X], deg r < n, że h = fq + r. Wobec tego g = g m X m n f + h = g m X m n f + fq + r = (g m X m n + q)f + r, co należało wykazać. Pytanie: Jaki warunek musi spełniać wielomian, aby można go było unormować? Z twierdzenia 3 wynika, że dzielenie dwóch wielomianów jest wykonalne, gdy dzielnik można unormować. Tak więc w pierścieniu wielomianów nad ciałem wykonalne jest dzielenie dowolnych dwu wielomianów; jeśli natomiast pierścień współczynników nie jest ciałem, to dzielenie nie zawsze będzie możliwe. Zauważmy przy okazji, że pierścień wielomianów nad ciałem jest porządny także pod innymi względami. Twierdzenie 4. Pierścień K[X] wielomianów nad dowolnym ciałem K jest pierścieniem ideałów głównych. Dowód tylko nieznacznie różni się od dowodu twierdzenia??. 3
4 1.3 Obliczanie wartości wielomianów Na zakończenie poświęćmy chwilę uwagi problemowi obliczania wartości wielomianów. Niech f P [X], f(x) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0. Aby obliczyć wartość f(a) dla jakiegoś a P, można obliczać każdy człon osobno i potem dodać. Wymaga to j mnożeń do obliczenia j tego składnika, czyli n = n(n + 1)/2 mnożeń oraz n dodawań. Poprawimy efektywność, jeśli będziemy wykorzystywać już obliczone wartości licząc X j+1 = XX j. Wtedy wymaga to 2n 1 mnożeń oraz n dodawań. Jednak najbardziej efektywny sposób znajdziemy pisząc wielomian w postaci zagnieżdżonej: f(a) = ( ((a n a + a n 1 )a + a n 2 ) a + ) a + a 0. Ten schemat postępowania (schemat Hornera) wymaga tylko n mnożeń oraz n dodawań. Schemat ten zapisujemy następująco: a n a n 1 a n 2 a 1 a 0 ab n ab n 1 ab 2 ab 1 a b n = a n b n 1 b n 2 b 1 b 0 = f(a) Co ciekawe, liczby pojawiające się po drodze mają interesującą interpretację. Okazuje się bowiem, że f(x) = (b n X n 1 + b n 1 X n b 2 X + b 1 )(X a) + b 0. Sprawdzenie. Porównując współczynniki po lewej i prawej stronie otrzymujemy układ równości: czyli: b n = a n b n 1 b n a = a n 1. b 2 b 3 a = a 2 b 1 b 2 a = a 1 b 0 b 1 a = a 0,.. 4
5 b n = a n b n 1 = b n a + a n 1... b 2 = b 3 a + a 2 b 1 = b 2 a + a 1 b 0 = b 1 a + a 0. A więc wielomian q = b n X n 1 + b n 1 X n b 2 X + b 1 jest ilorazem z dzielenia f(x) przez X a. Wniosek 1 (twierdzenie Bézout). Reszta z dzielenia f(x) przez X a wynosi f(a). Przykład. Obliczymy f(3) dla f(x) = X 5 + 4X 4 + 3X 3 2X Zatem f(3) = 643. Jednocześnie widzimy, że dzieląc f(x) = X 5 + 4X 4 + 3X 3 2X +1 przez X 3 otrzymujemy q(x) = X 4 +7X 3 +24X 2 +72X +214 i resztę Charakterystyka ciała 2.1 Określenie charakterystyki ciała Symbolem n a będziemy oznaczać sumę a + a + + a. Z prawa rozdzielności: }{{} n (a + a + + a) (b + b + + b) = ab + ab + + ab }{{}}{{}}{{} m n mn wynika następujący wzór: (m a)(n b) = (mn) (ab). (1) 5
6 Definicja 3. Charakterystyką ciała K nazywamy najmniejszą liczbę naturalną n taką, że n a = 0 dla każdego elementu a K. Jeśli n a 0 dla każdego n N i każdego a K (K = K \ {0} jest zbiorem niezerowych elementów ciała K), to mówimy, że K jest ciałem charakterystyki 0. Charakterystykę ciała K oznaczamy symbolem ch(k). Uwaga. W przypadku charakterystyki niezerowej ch(k) można równoważnie określić jako rząd dowolnego niezerowego elementu grupy addytywnej ciała K (wszystkie elementy mają ten sam rząd). Zauważymy najpierw, że jeśli charakterystyka ciała nie jest równa zeru, to jest liczbą pierwszą. Istotnie, gdyby n = ch(k) = rs, gdzie liczby naturalne r, s są różne od 1, to n 1 = (r 1)(s 1) = 0 na mocy wzoru (1). Ponieważ jednak n jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że n 1 = 0, więc r 1 0 i s 1 0, tzn. w K byłyby dzielniki zera, co jest niemożliwe. Zatem charakterystyka ciała jest równa zeru albo jest liczbą pierwszą. Np. ciała Q, R, C są ciałami charakterystyki zero. Natomiast ciało Z p (ciało reszt modulo p ) jest ciałem charakterystyki p, gdzie p jest liczbą pierwszą. 2.2 Arytmetyka ciał o charakterystyce p 0 W ciałach o charakterystyce p 0 znacznemu uproszczeniu ulegają wzory na potęgę sumy x + y o wykładniku postaci p m, gdzie m jest dowolną liczbą naturalną. Mianowicie (x + y) pm = x pm + y pm. (2) Dowód przeprowadzimy stosując indukcję względem m. Dla m = 1 mamy (x + y) p = ( ) p p k=0 k x p k y k. Łatwo zauważyć, że dla 0 < k < p liczba ( ) p k jest podzielna przez p (p dzieli p!, a ponieważ p! = ( ) p k k!(p k)! i p nie dzieli k!(p k)!, więc p dzieli ( ( ) p k) ), a zatem iloczyn p k x p k y k równa się zeru). Załóżmy teraz, że (x + y) pm 1 = x pm 1 + y pm 1 dla pewnej liczby naturalnej m. Wtedy (x + y) pm = (x pm 1 + y pm 1 ) p = x pm + y pm. 6
7 To kończy dowód. Wzór (2) wykorzystamy w następnym podrozdziale. 3 Pierwiastki wielomianów 3.1 Definicja i elementarne własności pierwiastków Znajdowanie pierwiastków wielomianów było kiedyś istotą algebry i źródłem innych działów algebry, np. teorii grup czy też konstrukcji ciała C. Na rolę tego właśnie ciała zwracamy z góry uwagę Czytelnika. Element a P jest pierwiastkiem wielomianu f P [X], jeśli f(a) = 0. Twierdzenie 5. Element a P jest pierwiastkiem wielomianu f P [X] wtedy i tylko wtedy, gdy f jest podzielny przez (X a). Dowód. ( ) Na mocy twierdzenia 3 f = (X a)q + r, deg r < 1, czyli r jest stałą. Ponieważ f(a) = 0, więc 0 = f(a) = (a a)q(a) + r. Stąd r = 0. ( ) Odwrotnie, jeśli f = (X a)q, to f(a) = (a a)q(a) = 0, co kończy dowód twierdzenia. Definicja 4. Jeżeli f = (X a) k q, gdzie q(a) 0, to a nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f. Elementy pierścienia P nie będące pierwiastkami wielomianu f nazywamy 0-krotnymi pierwiastkami wielomianu. Każdy pierwiastek niezerowego wielomianu ma jakąś krotność nie większą niż deg f, gdyż wielomian stopnia n nie może być podzielny przez (X a) k dla k > n. Twierdzenie 6. Niech pierścień P będzie dziedziną całkowitości, f P [X], f 0, i niech a 1, a 2,..., a n będą różnymi pierwiastkami wielomianu f o krotnościach m 1, m 2,..., m n. Wielomian f można przedstawić w postaci f = (X a 1 ) m 1 (X a 2 ) m2 (X a n ) mn h, (3) gdzie h jest pewnym wielomianem. Dowód można przeprowadzić przez indukcję względem n. Łatwe szczegóły pomijamy. 7
8 Wniosek 2. Jeżeli a 1,..., a n są różnymi pierwiastkami wielomianu f P [X] o krotnościach odpowiednio m 1,..., m n, to gdzie m = deg f. m m n m, Dowód. Istotnie stopień wielomianu (3) jest równy m m n + deg h, a deg f = m, więc m m n m. Twierdzenie 7 (wzory Viete a) Niech f K[X], gdzie K jest ciałem. Jeżeli f(x) = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 i c 1, c 2,..., c n są różnymi pierwiastkami wielomianu f, to n c k = a n 1, a n k=1 n i,j=1,i j n k=1 c i c j = a n 2 a n,... c k = ( 1) n a 0 a n. Dowód.Wystarczy przedstawić wielomian f w postaci f = a n (X c 1 )(X c 2 ) (X c n ) wymnożyć i porównać z pierwotną postacią. 3.2 Pierwiastki dwumianu X n b Niech K będzie ciałem i 0 b K. Rozpatrzmy dwumian X n b. Twierdzenie 8. (a) Jeżeli ch(k) = 0, to każdy pierwiastek dwumianu X n b jest jednokrotny. (b) Jeżeli ch(k) = p 0, to mamy następujące możliwości: n jest niepodzielne przez p; wtedy X n b ma co najwyżej n pierwiastków i każdy pierwiastek jest jednokrotny; n jest podzielne przez p; wtedy istnieją takie liczby m, n o N, że n = p m n o oraz (p, n 0 ) = 1; wówczas każdy pierwiastek dwumianu X n b, b 0, jest p m -krotny; w szczególności, gdy n = p m, to istnieje co najwyżej jeden pierwiastek. 8
9 Dowód. W przypadku gdy ch(k) = 0 i a jest pierwiastkiem tego dwumianu, mamy X n b = X n a n = (X a)(x n 1 + X n 2 a + + a n 1 ) = (X a) g, gdzie g(a) = na n 1 0, bo na n 1 = 0 tylko dla n = 0. Zatem, gdy ch(k) = 0 i a jest pierwiastkiem dwumianu X n b, to jest jego pierwiastkiem jednokrotnym. W przypadku gdy ch(k) = p 0 oraz p dzieli n, przedstawimy liczbę n w postaci p m n o, gdzie m, n N, (p, n 0 ) = 1 (symbol (k, l) oznacza największy wspólny dzielnik liczb k i l). Wówczas, gdy a jest pierwiastkiem dwumianu X n b, mamy: X n b = X n a n = (X no a no ) pm = = [ (X a)(x no 1 + ax no a no 2 X + a no 1 ) ] p m = = (X a) pm g pm, gdzie g = X no 1 +ax no 2 + +a no 2 X +a no 1, przy czym g(a) = n o a no 1 0, bo p nie jest dzielnikiem n 0. Element a jest w tym przypadku pierwiastkiem p m -krotnym. 3.3 Pierwiastki z jedności Definicja 5. Pierwiastkiem stopnia n z elementu b K nazywamy każdy pierwiastek dwumianu X n b. Kolejne twierdzenie pokazuje specjalną rolę pierwiastków z jedności. Twierdzenie 9. Niech element a K będzie pierwiastkiem stopnia n z elementu b K, b 0, i niech ε 1, ε 2,..., ε r będą wszystkimi pierwiastkami stopnia n z 1 w K. Wówczas elementy ε 1 a, ε 2 a..., ε r a są wszystkimi pierwiastkami stopnia n z elementu b. Dowód. Przede wszystkim elementy ε i a dla i = 1,..., r są pierwiastkami stopnia n z elementu b ponieważ (ε i a) n = ε n i a n = 1 a n = b. Ponadto, jeśli a 1 jest dowolnym pierwiastkiem stopnia n z b, to a 1 a 1 jest pierwiastkiem stopnia n z 1, gdyż (a 1 a 1 ) n = a n 1(a n ) 1 = bb 1 = 1. Wobec tego a 1 a 1 = ε i dla pewnego i = 1,..., r, a stąd a 1 = aε i, co kończy dowód. Oczywiście, jeśli w powyższym twierdzeniu ε i ε j dla i j, to ε i a ε j a dla i j. Otrzymujemy więc poniższy wniosek. 9
10 Wniosek 3. Jeżeli 0 b K ma w K pierwiastek stopnia n, to liczba pierwiastków stopnia n z b w ciele K równa się liczbie pierwiastków stopnia n z 1 w K. Definicja 6. Pierwiastek ε stopnia n z 1 nazywamy pierwiastkiem pierwotnym stopnia n, jeżeli ε nie jest pierwiastkiem z 1 stopnia mniejszego niż n. Twierdzenie 10. Każdy pierwiastek z 1 w ciele K jest pierwiastkiem pierwotnym dokładnie jednego stopnia. Jeśli ε jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia n, to w ciele tym istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n z 1; są to potęgi ε 0 = 1, ε 1 = ε,..., ε n 1. Do wyznaczenia wszystkich pierwiastków z 1 stopnia n wystarczy więc znaleźć jakikolwiek pierwiastek pierwotny stopnia n. Przykład. Łatwo uzasadnić, że wszystkie pierwiastki stopnia n z jedności w ciele liczb zespolonych są potęgami pierwiastka ε 1 = cos(2π/n) + i sin(2π/n). Dodamy teraz (bez dowodu) następuj acą uwagę. Na to, by liczba ε k była n-tym pierwiastkiem pierwotnym z jedności, potrzeba i wystarcza, by liczby k i n były względnie pierwsze. Na przykład, dla n = 5 pierwotne są ε 1, ε 2, ε 3, ε 4. Dla n = 6 pierwotne są tylko ε 1 i ε 5. Łatwo uzasadnić, że pierwiastki 1, ε 1,..., ε n 1 1 są wierzchołkami n-kąta wypukłego foremnego wpisanego w okrąg jednostkowy. Gdy weźmiemy zamiast ε 1 inny pierwiastek pierwotny ε k i połączymy po kolei wierzchołki 1, ε k, ε 2 k,..., ε n 1 k, otrzymamy gwiaździsty n-bok foremny wpisany w koło jednostkowe. 4 Ciało algebraicznie domknięte Definicja 7. Ciało K nazywamy algebraicznie domkniętym, gdy każdy wielomian f K[X] stopnia dodatniego ma w K pierwiastek. Twierdzenie 11. K jest ciałem algebraicznie domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wielomian f K[X] stopnia nie mniejszego niż 1 można rozłożyć na iloczyn wielomianów liniowych należących do pierścienia K[X]. 10
11 Jeżeli K jest ciałem algebraicznie domkniętym, to każdy wielomian f K[X], deg f = n 1, ma dokładnie n pierwiastków w ciele K, o ile każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność. Istotnie, z twierdzenia 1 Bézouta mamy wówczas f = (X a)h dla pewnego a K i h K[X], ale jeśli deg h > 0, to h ma również pierwiastek w K, a więc h = (X b)h, dla pewnego b K i h K[X]. Kontynuując ten proces dojdziemy do rozkładu na czynniki liniowe. Twierdzenie 12. Żadne ciało skończone nie jest algebraicznie domknięte. Dowód. Niech K będzie ciałem skończonym, a a 1,..., a n układem wszystkich elementów tego ciała. Wielomian: (X a 1 )(X a 2 ) (X a n ) + 1 należy do K[X], jest stopnia dodatniego i nie ma w ciele K pierwiastka. Wśród omawianych ciał jedynym przykładem ciała algebraicznie domkniętego jest ciało liczb zespolonych. Ta własność ciała liczb zespolonych wynika z następujacego twierdzenia, nazywanego tradycyjnie zasadniczym twierdzeniem algebry. Twierdzenie 13. Każdy wielomian stopnia dodatniego o współczynnikach zespolonych posiada w ciele liczb zespolonych co najmniej jeden pierwiastek. Znanych jest kilkadziesiąt dowodów tego twierdzenia (pierwszy był Gaussa z 1799 r.), niestety wszystkie należy uznać za zbyt trudne, aby je tu przedstawiać. Przy tym dowody czysto algebraiczne właściwie nie istnieją, zatem tradycyjna nazwa jest myląca to twierdzenie należałoby właściwie zaliczyć do analizy zespolonej. 1 Zauważmy, że z twierdzenia 13 wynika prosto poniższy wniosek. Wniosek 4. Dowolny wielomian stopnia n o współczynnikach zespolonych posiada w ciele liczb zespolonych dokładnie n pierwiastków (pierwiastki wielokrotne liczymy tyle razy, ile wynosi ich krotność). Ciała Q i R nie są algebraicznie domknięte, bo wielomian X nie ma pierwiastka w R (a tym bardziej w Q). Ciało Z p (dla dowolnej liczby pierwszej p) również nie jest algebraicznie domknięte. 1 Stosunkowo krótki dowód w oparciu o tw. Liouville a: jeżeli wielomian nie ma pierwiastków, to jego odwrotność jest funkcją holomorficzną i ograniczoną w całej płaszczyźnie, a więc jest stałą. 11
12 5 Rozszerzenie ciała 5.1 Podciało i rozszerzenie ciała Definicja 8. Podzbiór K ciała L, zawierający 0 i 1 i taki, że wykonalne są w nim działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia przez element różny od 0, nazywamy podciałem. Ciało L nazywamy wtedy rozszerzeniem ciała K. Definicja 9. Ciało, które nie zawiera żadnego podciała właściwego, nazywamy ciałem prostym. Twierdzenie 14 (o podciele prostym). Każde ciało K zawiera dokładnie jedno ciało proste K 0. Ciało K 0 jest izomorficzne z ciałem Q albo z ciałem Z p dla pewnej liczby pierwszej p. Dowód. Rozważmy rodzinę A wszystkich podciał ciała K. Ponieważ K A, więc rodzina A jest niepusta. Niech K 0 oznacza część wspólną podciał rodziny A. K 0 jest ciałem. Krótkie uzasadnienie: jeśli x, y K 0, to x, y L dla każdego L A, zatem x y L i x/y L, a więc x y K 0 i x/y K 0. K 0 jest ciałem prostym, bo gdyby istniało ciało M K 0, M K 0, to M należałoby do A i część wspólna podciał rodziny A byłaby mniejsza od K 0. Wreszcie gdyby istniało inne podciało proste K 1 ciała K, to część wspólna K 0 K 1 byłaby podciałem ciała K zawartym w K 0, co jest niemożliwe. To kończy pierwszą część twierdzenia. Drugą część wykażemy konstruując podciało proste danego ciała. Niech p = ch(k). Jeśli p = 0, to elementy o postaci n 1, n Z, należą do K i są dla n 0 różne od zera. Ponieważ w ciele jest wykonalne dzielenie, n 1 więc do K należą także wszystkie ułamki w postaci, m 0. Zbiór tych m 1 ułamków jest, jak łatwo sprawdzić, ciałem, izomorficznym z Q. Jeśli p 0, to p 1 = 0 i, jak łatwo sprawdzić, zbiór {k 1 : k = 0, 1,..., p 1} tworzy ciało izomorficzne z Z p. W ten sposób wykazaliśmy, że ciało K zawiera podciało proste Q lub Z p. Potrzeba rozszerzania ciał bierze się z obliczania pierwiastków wielomianów. Jak już wiemy, nie wszystkie wielomiany z Q[X] i Z[X] mają pierwiastki. Np. wielomian X 2 2 nie ma pierwiastków w Q. Jeśli rozszerzymy ciało Q dołączając do niego 2 i wszystkie liczby, które można otrzymać z tego pierwiastka przez działania wymierne, otrzymamy ciało Q( 2), w którym równanie X 2 2 = 0 ma już rozwiązanie. Nadal jednak nie ma w tym ciele 12
13 rozwiązania równanie X 2 3 = 0, a więc należy je dalej rozszerzyć. W ten naturalny sposób można rozszerzać dane ciało coraz bardziej, chyba że na którymś etapie otrzyma się ciało algebraicznie domknięte. Trzeba jednak od razu zaznaczyć, że istnieją ciała, których nie da się w ten sposób uzyskać z ich podciała prostego. Np. ciało R zawiera liczby π i e, które nie są pierwiastkami żadnego wielomianu o współczynnikach z Q. Rozważmy wobec tego sytuację następującą. Niech K będzie danym ciałem, L jego rozszerzeniem, a elementem L. Zbiór elementów ciała L w postaci f(a) = f 0 + f 1 a + + f n a n (f i K, i = 1,..., n) tworzy podpierścień ciała L generowany przez K i a (oznaczany K[a]). Zbiór ułamków postaci f(a), gdzie g(a) 0, tworzy podciało ciała L (generowane g(a) przez K i a), które oznaczamy K(a). Mówimy, że ciało K(a) jest rozszerzeniem pojedynczym ciała K. Poniższa definicja zawiera terminologię dla rozróżniania rozszerzeń, np. Q( 2) i Q(π). Definicja 10. Element a rozszerzenia L jest algebraiczny nad ciałem K, jeśli istnieje wielomian f K[X] różny od zera i taki, że f(a) = 0. Jeśli element a nie jest algebraiczny nad K, to mówimy, że jest przestępny nad K. Przykład. 2 jest algebraiczny nad Q. Liczby π i e są przestępne nad Q (ale oczywiście algebraiczne nad R, bo przecież należą do R). 5.2 Rozszerzenie o element przestępny Łatwiejsza do opisania jest struktura rozszerzenia przestępnego i od niego zaczniemy. Twierdzenie 15. Jeżeli element a jest przestępny względem K, to podciało K(a) jest izomorficzne z ciałem K(X) funkcji wymiernych zmiennej X o współczynnikach z ciała K. Izomorfizm ten można tak dobrać, by a X i c c dla każdego c K. Dowód. K(a) zawiera K i wszystkie ułamki f(a) o współczynnikach z K. g(a) Jeśli f 1 (a) = f 2 (a) w K(a), to współczynniki wielomianów f 1 i f 2 muszą być równe (bo w przeciwnym wypadku a byłoby pierwiastkiem wielomianu 13
14 niezerowego f 1 f 2, a przecież a jest przestępne względem K). Dalej już nietrudno uzasadnić, że przyporządkowanie f(a) g(a) f(x) g(x) jest szukanym izomorfizmem. Istotą powyższego dowodu był fakt, że jeśli f 1 (a) = f 2 (a), to f 1 = f 2. Nie jest on prawdziwy dla elementów algebraicznych (np. 2 jest pierwiastkiem różnych równań : X 2 2 = 0, X 3 2X = 0, X 4 4 = 0 itd.). 5.3 Wielomian nierozkładalny i minimalny Wielomian f K[X] nazywamy nierozkładalnym, jeśli nie można go przedstawić w postaci iloczynu g(x)h(x), gdzie deg g < deg f i deg h < deg f. Twierdzenie 16. Niech L będzie rozszerzeniem ciała K, a L, a 0, i niech a będzie elementem algebraicznym nad K. Wtedy istnieje wielomian nierozkładalny p K[X] taki, że p(a) = 0. Wielomian ten jest określony dla danego a jednoznacznie z dokładnością do czynnika stałego. Ponadto, jeśli f(a) = 0 dla f 0, f K[X], to p dzieli f, tzn. wielomian p jest wielomianem minimalnego stopnia w K[X] o własności p(a) = 0. Uwaga. W pierścieniu K[X] wielomianów nad ciałem K każdy wielomian nierozkładalny jest pierwszy, tzn. jeśli dzieli on iloczyn dwu wielomianów, to dzieli przynajmniej jeden z czynników. Dowód pomijamy. Definicja 11. Wielomian p określony w powyższym twierdzeniu i mający współczynnik przy najwyższej potędze równy 1 nazywamy wielomianem minimalnym elementu algebraicznego a nad ciałem K. Przykład. X 2 2 jest wielomianem minimalnym dla a = 2 nad Q. Definicja 12. Stopień n = [a : K] elementu algebraicznego względem ciała K jest to stopień wielomianu minimalnego elementu a. 14
15 5.4 Rozszerzenie o element algebraiczny Niech a będzie elementem algebraicznym nad ciałem K stopnia n. Z jakich elementów składa się K(a)? Ze względu na to, że w ciele muszą być wykonalne działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, K(a) musi zawierać wszystkie elementy postaci: c 0 + c 1 a + c k a k,, c i K. (4) Okazuje się, że możemy ograniczyć się do wykładników k mniejszych od n. Jeśli bowiem g jest elementem postaci: to rozważmy wielomian: c 0 + c 1 a + c k a k, k n, g = c 0 + c 1 X + c k X k. Podzielmy g przez wielomian minimalny p elementu a: Mamy wtedy g = qp + r, deg r < n, r = d 0 + d 1 X + + d n 1 X n 1. g(a) = q(a)p(a) + r(a), czyli g(a) = r(a). Zatem dowolny element ciała K(a) dający się przedstawić w postaci (4) przedstawia się w postaci: c 0 + c 1 a + c k a k, k < n. (5) Okazuje się, że zbiór elementów w postaci (5) stanowi podciało ciała L. Aby to wykazać wystarczy stwierdzić, że różnica oraz iloraz elementów o postaci (5) też są elementami tej postaci. Dla różnicy jest to oczywiste. Aby wykazać, że iloraz dwóch wyrażeń rozważanej postaci też ma tę postać, wystarczy stwierdzić, że jeśli c 0 + c 1 a + c n 1 a n 1 0, to odwrotność: też jest elementem tej postaci. (c 0 + c 1 a + c n 1 a n 1 ) 1 15
16 Niech g = c 0 + c 1 X + c n 1 X n 1. Wielomian g jest względnie pierwszy z wielomianem minimalnym elementu a. Zatem istnieją (z algorytmu Euklidesa) wielomiany φ i ψ, dla których: φp + ψg = 1. Ale p(a) = 0, więc g(a) 1 = ψ(a), gdzie ψ(a) = d 0 + d 1 a + + d k a k, przy czym jak stwierdziliśmy, można założyć, że k < n. Wykazaliśmy więc, że zbiór {c 0 + c 1 a + c k a k : c i K} stanowi podciało ciała L, które zawiera ciało K i element a. Jest to oczywiście najmniejsze ciało o tej własności, czyli jest to K(a). Uwaga. Algorytm Euklidesa znajdowania największego wspólnego dzielnika (a, b) polega na wykonywaniu kolejnych dzieleń: a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r r n 2 = r n 1 q n + r n r n 1 = r n q n+1 dopóki nie uzyskamy reszty 0. Ostatnia niezerowa reszta to właśnie (a, b). Ten sam algorytm może służyć do przedstawienia (a, b) explicite przez kombinację sa + tb. Przykłady 1. Q( 2) = {a + b 2 : a, b Q}. 2. Q( 3 2) = {a + b c 3 4 : a, b, c Q}. 3. Niech ε 5 = cos(2π/5) + i sin(2π/5). Jak wiadomo, jest to pierwiastek pierwotny stopnia 5 z jedności. Ale ε 5 jest liczbą algebraiczną stopnia czwartego; jest pierwiastkiem wielomianu X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. Zatem Q(ε 5 ) = {c 0 + c 1 ε 5 + c 2 ε c 3 ε 3 5 : c i Q}. 4. Wielomian X 5 2X 3 + 4X 2 6 jest nierozkładalny nad Q (tu Czytelnik musi uwierzyć na słowo, ewentualnie odszukać w literaturze kryterium Eisensteina). Niech a oznacza pierwiastek tego wielomianu. Wtedy Q(a) = {c 0 + c 1 a + c 4 a 4 16 : c i Q}.
17 Powstaje pytanie, czy ciało K(a), gdzie a jest pierwiastkiem pewnego wielomianu nierozkładalnego, zawiera wszystkie pozostałe pierwiastki wielomianu. Może tak być, jak pokazuje przykład 3: pozostałymi pierwiastkami wielomianu X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 są ε 2 5, ε 3 5, ε 4 5. Ale nie musi tak być, co pokazuje poniższy przykład. Przykład. Wielomian X 4 2 jest wielomianem nierozkładalnym nad Q. Jego pierwiastkami są: i jest jasne, że: a 1 = 4 2, a 2 = i 4 2, a 3 = 4 2, a 4 = i 4 2 Q( 4 2) Q(i 4 2), bo Q( 4 2) nie zawiera liczb zespolonych. Ponieważ jak stwierdziliśmy: K(a) = {c 0 + c 1 a + c n 1 a n 1 : c i K}, więc K(a) można traktować jako przestrzeń wektorową n wymiarową nad ciałem K. Układ elementów : {1, a, a 2,..., a n 1 } stanowi bazę tej przestrzeni. Oczywiście nie jest to jedyna baza, np. dla Q( 2) oprócz bazy {1, 2} można rozpatrywać bazę { 1+ 2, 1 2}, bo a b 2 = (a + b) (a b) 1 2, a także inne bazy. 2 2 Ogólniej, rozpatrzmy rozszerzenie K L. Definicja 13. Bazą rozszerzenia K L nazywamy układ B elementów ciała L, gdy: 1) każdy element ciała L można przedstawić w postaci kombinacji liniowej skończonej liczby elementów zbioru B o współczynnikach z ciała K; 2) przedstawienie dowolnego elementu ciała L w postaci takiej kombinacji liniowej jest jednoznaczne. Twierdzenie 17. Dla każdego rozszerzenia K L istnieje baza. Każde dwie bazy tego samego rozszerzenia są równoliczne. Dowód jest łatwy, więc go pomijamy. 17
18 Definicja 14. Jeśli pewna baza rozszerzenia K L ma n elementów, to mówimy, że stopień tego rozszerzenia wynosi n i piszemy (L : K) = n; jeśli natomiast pewna baza rozszerzenia K L ma nieskończenie wiele elementów, to mówimy, że stopień rozszerzenia jest nieskończony i piszemy (L : K) =. Twierdzenie 18. Jeżeli K L M oraz (L : K) = n, (M : L) = m, to (M : K) = mn. Dowód pomijamy. Przykład. Obliczymy stopień rozszerzenia (Q( 2, 3) : Q): (Q( 2, 3) : Q) = (Q( 2) : Q) (Q( 2, 3) : Q( 2)) = 2 2 = 4. Przedstawimy teraz bardziej zwięzłą analizę struktury rozszerzenia algebraicznego. Spójrzmy jeszcze raz na twierdzenia 15 i 16. Rozważmy homomorfizm: φ a : K[X] L, φ a (f) = f(a), przyporządkowujący wielomianowi f element f(a) ciała K. Jak zauważyliśmy, gdy a jest elementem przestępnym względem K, to homomorfizm φ a jest zanurzeniem. Jeśli natomiast a jest algebraiczny, to jądro homomorfizmu f jest równe ideałowi generowanemu przez wielomian minimalny p elementu a: ker φ a = {f K[X] : f jest podzielny przez p} = (p). Można uzasadnić (dowód pomijamy), że (p) jest ideałem maksymalnym pierścienia K[X] (w dowodzie istotne jest to, że p(x) jest nierozkładalny). Z tego wynika, że pierścień ilorazowy K[X]/(p) jest ciałem. Ciało to jest izomorficzne z obrazem φ a (K[X]). To podciało φ a (K[X]) ciała L jest najmniejszym podciałem L zawierającym K i a, a więc φ a (K[X]) = K(a). Zatem K(a) jest izomorficzne z ciałem K[X]/(p). Ale elementami tego ostatniego ciała są warstwy względem ideału (p). Dwa wielomiany f i g należą do tej samej warstwy wtedy i tylko wtedy, gdy różnica f g jest podzielna przez p, tzn., gdy reszty z dzielenia f : p i g : p są takie same. A zatem ciało K[X]/(p) można identyfikować ze zbiorem wszystkich możliwych reszt z dzielenia przez p, tzn. ze zbiorem wszystkich wielomianów stopnia mniejszego niż p. Zatem wykazaliśmy poniższe twierdzenie. 18
19 Twierdzenie 19. Niech L = K(a) będzie rozszerzeniem ciała K i niech a będzie elementem algebraicznym nad K. Jeśli ponadto stopień wielomianu minimalnego p dla a jest równy n, n > 1, to każdy element ciała L można przedstawić jednoznacznie w postaci: b 0 + b 1 a + + b n 1 a n 1, b i K, i = 1, 2,..., n 1 Przykład. Liczba zespolona i jako pierwiastek wielomianu X jest elementem algebraicznym nad ciałem R liczb rzeczywistych. Rozszerzenie R(i) składa się z elementów w postaci: b 0 + b 1 i, b 0, b 1 R, a więc jest identyczne z ciałem liczb zespolonych. Podobnie, rozszerzenie Q(i) ciała liczb wymiernych jest identyczne z ciałem liczb zespolonych postaci b 0 + b 1 i, b 0, b 1 Q. Z twierdzenia 19 wynika, że K(a) jest n-wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem K z bazą {1, a,...,, a n 1 }. Wymiar tej przestrzeni nazywamy stopniem rozszerzenia K(a) nad K. Przykłady 1. Wielomian p(x) = X 2 2 jest wielomianem minimalnym dla 2 nad Q. Stąd bazę rozszerzenia Q( 2) tworzą liczby 1, 2 i jest to rozszerzenie stopnia Wielomian p(x) = X 3 2 jest wielomianem minimalnym dla 3 2 nad Q. Bazę tego rozszerzenia Q( 3 2) nad Q tworzą 1, 3 2, 3 4. Każda liczba z Q( 3 2) daje się więc zapisać w postaci a + b c 3 4, co jednak nie oznacza, że dokonanie tego zapisu jest łatwe. Teoria rozszerzeń ciał jest obecnie bardzo rozbudowanym działem algebry. Interesujące jest to, że dopiero ta teoria pozwoliła rozstrzygnąć (negatywnie) problem trysekcji dowolnego kąta, podwojenia sześcianu czy rozwiązywalności równań algebraicznych stopnia wyższego niż 4 przez pierwiastkowanie. 19
Maciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoRównania wielomianowe
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoWielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0, 1) gdzie n N, a i R i = 0,,n), 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,,n)
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoCO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których
Bardziej szczegółowociałem F i oznaczamy [L : F ].
11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoKongruencje pierwsze kroki
Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoPodciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowoBaza i stopień rozszerzenia.
Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): -
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Sylabus modułu: Wstęp do algebry i teorii liczb (03-M01N-WATL) Nazwa wariantu modułu (opcjonalnie): - 1. Informacje ogólne koordynator
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowoAlgebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoWielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy
Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania
Bardziej szczegółowoDr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki
liczbowe Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl podręcznik: i algebra liniowa
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowo