Baza i stopień rozszerzenia.
|
|
- Dawid Tomaszewski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Baza i stopień rozszerzenia.
2 Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F.
3 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar przestrzeni liniowej L nad ciałem F nazywamy stopniem rozszerzenia ciała L nad ciałem F i oznaczamy rl : F s. 2. Bazę przestrzeni liniowej L nad ciałem F nazywamy bazą rozszerzenia.
4 Przykłady: 1. Rozważmy ciało R i jego rozszerzenie C. Wówczas rc : Rs 2 i bazą rozszerzenia jest t1, iu. 2. Rozważmy dowolne ciało F. Wówczas rf : F s 1 i bazą jest t1u. 3. Rozważmy dowolne ciało F. Wówczas rf pxq : F s 8.
5 Twierdzenie (o stopniu rozszerzeń w wieży ciał) Niech F, L, M będą ciałami. Niech F Ă L Ă M i niech rl : F s n ă 8, rm : Ls m ă 8. Wówczas rm : F s nm.
6 Dowód: Niech pα 1,..., α n q będzie bazą rozszerzenia F Ă L, zaś pβ 1,..., β m q bażą rozszerzenia L Ă M. Pokażemy, że pα 1 β 1,..., α 1 β m, α 2 β 1,..., α 2 β m,..., α n β 1,..., α n β m q jest liniowo niezależny nad ciałem F. Ustalmy x 11,..., x 1m, x 21,..., x 2m,..., x n1,..., x nm P F i niech x 11 α 1 β 1`...`x 1m α 1 β m`x 21 α 2 β 1`...`x 2m α 2 β m`...`x n1 α n β 1`...`x
7 Wówczas px 11 β 1`...`x 1m β m qα 1`px 21 β 1`...`x 2m β m qα 2`...`px n1 β 1`...`x nm i wobec liniowej niezaleźności α 1,..., α n otrzymujemy x 11 β 1 `... ` x 1m β m 0,..., x n1 β 1 `... ` x nm β m. Korzystając z liniowej niezależności β 1,..., β m otrzymujemy teraz x 11 0,..., x 1m 0, x 21 0,..., x 2m 0,..., x n1 0,..., x nm 0.
8 Pozostaje pokazać, że układ pα 1 β 1,..., α 1 β m, α 2 β 1,..., α 2 β m,..., α n β 1,..., α n β m q jest generujący. Ustalmy element γ P M. Wówczas γ ř m j 1 y jβ j, dla pewnych y 1,..., y m P L. Ponadto y j ř n i 1 x ijα i, dla pewnych x 1j,..., x nj P F, j P t1,..., mu. Wobec tego: γ x 11 α 1 β 1`...`x 1m α 1 β m`x 21 α 2 β 1`...`x 2m α 2 β m`...`x n1 α n β 1`.
9 Wniosek Niech F 1,..., F r będą ciałami. Niech F 1 Ă F 2 Ă... Ă F r i niech rf 2 : F 1 s n 1,..., rf r : F r 1 s n r 1. Wówczas rf r : F 1 s n 1... n r 1.
10 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, niech L 1 i L 2 będą rozszerzeniami ciała F i niech rl 1 : F s r 1, rl 2 : F s r 2. Załóżmy ponadto, że NW Dpr 1, r 2 q 1. Wówczas rl 1 L 2 : F s rl 1 : F s rl 2 : F s.
11 Dowód. Ponieważ F Ă L 1 Ă L 1 L 2 oraz F Ă L 2 Ă L 1 L 2, więc r 1 rl 1 L 2 : F s i r 2 rl 1 L 2 : F s. Zatem r 1 r 2 rl 1 L 2 : F s. Ponieważ baza L 2 nad F generuje rozszerzenie L 1 L 2 nad L 1, więc rl 1 L 2 : F s ď rl 2 : F s. Zatem rl 1 L 2 : F s rl 1 L 2 : L 1 s rl 1 : F s ď rl 2 : F s rl 1 : F s r 1 r 2, skąd rl 1 L 2 : F s r 1 r 2.
12 Elementy algebraiczne i przestępne.
13 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L. 1. Element α nazywamy algebraicznym nad F, jeżeli istnieje wielomian 0 f P F rxs taki, że fpαq Element α nazywamy przestępnym nad F, jeżeli nie jest algebraiczny.
14 Przykłady: 1. Rozważmy ciało Q i jego rozszerzenie C. Element? 2 P C. Wówczas? 2 jest algebraiczny nad Q. 2. Rozważmy ciało F i jego rozszerzenie F pxq. Element f P F pxqzf jest przestępny nad F.
15 Uwaga Niech F, L, M będą ciałami i niech F Ă L Ă M. Wówczas 1. jeżeli α P F, to α jest algebraiczny nad F ; 2. jeżeli α P M jest algebraiczny nad F, to jest też algebraiczny nad L.
16 Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L będzie elementem algebraicznym nad F. 1. Zbiór I α tf P F rxs : fpαq 0u jest ideałem maksymalnym. 2. Ideał I α jest ideałem głównym.
17 Dowód. 1. Z łatwością sprawdzamy, że I α istotnie jest ideałem. Pokażemy, że jest ideałem pierwszym. Ustalmy f, g P F rxs i niech fg P I α. Wówczas fgpαq 0. Wobec tego fpαq 0 lub gpαq 0, a więc f P I α lub g P I α. Ponieważ F rxs jest pierścieniem ideałów głównych, więc ideał I α jest maksymalny. 2. Oczywiste.
18 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L będzie elementem algebraicznym nad F. Wielomian f P F rxs taki, że pfq I α nazywamy wielomianem minimalnym elementu α, a deg f stopniem elementu algebraicznego.
19 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L będzie elementem algebraicznym nad F. Następujące warunki są równoważne: 1. f P F rxs jest wielomianem minimalnym elementu α P L; 2. f P F rxs jest wielomianem unormowanym, nierozkładalnym i fpαq 0; 3. f P F rxs jest wielomianem unormowanym i najmniejszego stopnia spośród tych wielomianów, które zerują się w α.
20 Dowód. p1q ñ p3q : Ustalmy g P F rxs, unormowany i taki, że gpαq 0. Wówczas g P I α. Zatem f g, a więc deg f ď deg g. p3q ñ p2q : Przypuśćmy, że f jest rozkładalny. Niech f gh, g, h P F rxs. Możemy założyć, że g i h są unormowane. Ponieważ fpαq 0, więc gpαq 0 lub hpαq 0 i deg g ă deg f oraz deg h ă deg f sprzeczność. p2q ñ p1q : Oczywiście f P I α, więc pfq Ă I α. Ponieważ F rxs jest pierścieniem ideałów głównych i f jest nierozkładalny, więc pfq jest maksymalny. Stąd pfq I α.
21 Przykłady: 3. Rozważmy ciało Q, jego rozszerzenie C i element? 2 P C. Wówczas x 2 2 jest wielomianem minimalnym elementu? 2. Stopień? 2 jest więc równy Rozważmy ciało Q, jego rozszerzenie C i element ξ p cos 2π p ` i sin 2π p, gdzie p P P jest liczbą pierwszą. Wówczas x p 1 ` x p 2 `... ` x ` 1 jest wielomianem minimalnym elementu ξ p. Stopień ξ p jest więc równy p 1.
22 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L będzie elementem algebraicznym nad F stopnia n. Wówczas: 1. F pαq trpαq : r P F rxs, deg r ď n 1u; 2. p1, α,..., α n 1 q jest bazą rozszerzenia F Ă F pαq; 3. rf pαq : F s n.
23 Dowód: 1. Niech f P F rxs będzie wielomianem minimalnym elementu α. Niech γ P F pαq. Wówczas γ hpαq gpαq, dla pewnych h, g P F rxs, gpαq 0. Ponieważ gpαq 0, więc f g. Ponieważ f jest nierozkładalny, więc g f. Wobec tego 1 NW Dpf, gq i tym samym istnieją elementy u, v P F rxs takie, że uf ` vg 1. Zatem upαqfpαq ` vpαqgpαq 1, skąd vpαqgpαq 1 i tym samym vpαq 1 hpαq gpαq. Wobec tego γ gpαq hpαqvpαq. Dzieląc hv przez f otrzymujemy hv fq ` r oraz deg r ď degf 1 n 1.
24 Ponadto hpαqvpαq fpαqgpαq ` rpαq rpαq, więc γ rpαq i deg r ď n To, że układ p1, α,..., α n 1 q generuje F pαq. Pozostaje wykazać, że jest to układ liniowo niezależny. Przypuśćmy, że istnieją elementy c 0, c 1,..., c n 1 P F takie, że c 0 ` c 1 α `... ` c n 1 α n 1 0. Wówczas wielomian gpxq c 0 ` c 1 x `... ` c n 1 x n 1 jest unormowany, gpαq 0 oraz deg g n 1 ă n deg f, co stanowi sprzeczność.
25 2. Wynika natychmiast z części (1).
26 Przykład: 5. Rozważmy ciało Q i jego rozszerzenie C oraz element 3? 5 P C. Wówczas Qp 3? 5q ta 0 ` a 1 3? 5 ` a 2 3? 25 : a 0, a 1, a 2 P Qu.
27 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L będzie elementem algebraicznym nad F stopnia n. Bazę p1, α,..., α n 1 q rozszerzenia F Ă F pαq nazywamy bazą potęgową.
28 Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α P L. Wówczas α jest algebraiczny nad F wtedy i tylko wtedy, gdy rf pαq : F s ă 8.
29 Dowód. pñq: wynika wprost z Twierdzenia 0.4. pðq: Załóżmy, że rf pαq : F s n ă 8. Wówczas elementy 1, α, α 2,..., α n są liniowo zależne, więc istnieją elementy a 0, a 1,..., a n P F takie, że a 0 ` a 1 α `... ` a n α n 0, a więc α jest algebraiczny.
30 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α 1,..., α n P L będą elementami algebraicznymi nad F. Wówczas 1. rf pα 1,..., α n q : F s ă 8; 2. F pα 1,..., α n q trpα 1,..., α n q : r P F rx 1,..., x n su.
31 Rozszerzenia algebraiczne i skończone.
32 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Rozszerzenie to nazywamy rozszerzeniem algebraicznym, gdy każdy element ciała L jest algebraiczny nad F. Rozszerzenie nazywamy skończonym, gdy rl : F s ă 8.
33 Twierdzenie Każde rozszerzenie skończone jest algebraiczne.
34 Dowód. Załóżmy, że F Ă L jest rozszerzeniem skończonym, rl : F s n ă 8. Niech α P L. Wówczas F Ă F pαq Ă L, więc rf pαq : F s ď rl : F s ă 8. Zatem α jest algebraiczny nad F.
35 Przykład: 1. Rozważmy ciało Q i jego rozszerzenie Qp? 2, 3? 2, 4? 2,...q. Wówczas jest to rozszerzenie algebraiczne, ale nie jest skończone.
36 Twierdzenie Każde rozszerzenie skończone jest skończenie generowane.
37 Dowód. Załóżmy, że F Ă L jest rozszerzeniem skończonym, a pα 1,..., α n q bazą tego rozszerzenia. Wówczas L F pα 1,..., α n q.
38 Przykład: 2. Rozważmy dowolne ciało F i jego rozszerzenie F pxq. Wówczas jest to rozszerzenie skończenie generowane, ale nie jest skończone.
39 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α 1,..., α n P L. Następujące warunki są równoważne: 1. α 1,..., α n P L są elementami algebraicznymi nad F ; 2. F Ă F pα 1,..., α n q jest rozszerzeniem skończonym; 3. F Ă F pα 1,..., α n q jest rozszerzeniem algebraicznym.
40 Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Niech S Ă L będzie zbiorem elementów algebraicznych nad ciałem F. Wówczas F Ă F psq jest rozszerzeniem algebraicznym.
41 Twierdzenie Niech F, L, M będą ciałami i niech F Ă L Ă M. Wówczas F Ă M jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy F Ă L i L Ă M są skończone.
42 Twierdzenie Niech F, L, M, N będą ciałami i niech F Ă L Ă M. Niech ponadto N Ă L. Wówczas jeżeli F Ă M jest skończone, to NF Ă NM jest skończone i rnm : NF s ď rm : F s.
43 Dowód. Niech pα 1,..., α n q będzie bazą rozszerzenia F Ă M. Wówczas M F pα 1,..., α n q. Wobec tego NM NF pα 1,..., α n q. Ponieważ rm : F s ă 8 więc α 1,..., α n są algebraiczne nad F, a więc także nad NF. Zatem dla γ P NM, γ gpα 1,..., α n q, gdzie g P NF rx 1,..., x n s. Ponadto α k 1 1,..., αkn n P M, dla k 1,..., k n ě 0, więc α k αkn n c 1 α 1 `... ` c n α n, dla pewnych c 1,..., c n P F. Zatem dla dowolnego g P NF rx 1,..., x n s zachodzi gpα 1,..., α n q d 1 α 1 `... ` d n α n, dla pewnych d 1,..., d n P NF. Stąd rnm : NF s ď n rm : F s.
44 Wniosek Niech F będzie ciałem, niech L 1 i L 2 będą rozszerzeniami skończonymi ciała F. Wówczas F Ă L 1 L 2 jest rozszerzeniem skończonym oraz rl 1 L 2 : F s ď rl 1 : F s rl 2 : F s.
45 Dowód. Wobec Twierdzenia 0.10 rl 1 L 2 : L 1 s ď rl 2 : F s, więc rl 1 L 2 : F s rl 1 L 2 : L 1 srl 1 : F s ď rl 1 : F s rl 2 : F s.
46 Twierdzenie Niech F, L, M będą ciałami i niech F Ă L Ă M. Wówczas F Ă M jest algebraiczne wtedy i tylko wtedy, gdy F Ă L i L Ă M są algebraiczne.
47 Dowód. pñq : oczywiste. pðq : Ustalmy γ P M. Ponieważ rozszerzenie L Ă M jest algebraiczne, więc istnieją elementy b 0, b 1,..., b n P L takie, że b 0 ` b 1 γ `... ` b n γ n 0. Niech gpxq b 0 ` b 1 x `... ` b n x n. Wówczas g P F pb 0, b 1,..., b n qrxs i γ jest algebraiczny nad ciałem F pb 0, b 1,..., b n q. Wobec tego rozszerzenie F pb 0, b 1,..., b n q Ă F pb 0, b 1,..., b n qpγq jest skończone. Ponieważ rozszerzenie F Ă L jest algebraiczne, więc elementy b 0, b 1,..., b n P L są algebraiczne nad F i wobec tego rozszerzenie F Ă F pb 0, b 1,..., b n q jest skończone. Zatem i rozszerzenie F Ă F pb 0, b 1,..., b n qpγq jest skończone, a więc i algebraiczne. Tym samym element γ jest algebraiczny nad ciałem F.
48 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech α, β P L będą algebraiczne nad ciałem F. Wówczas elementy α β, α β oraz α β (o ile β 0) są algebraiczne nad F.
49 Dowód. Ponieważ α i β są algebraiczne nad ciałem F, więc rozszerzenie F Ă F pα, βq jest skończone, a więc i algebraiczne. Oczywiście α β, α β oraz α β są elementami ciała F pα, βq.
50 Wniosek Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Niech F alg plq tα P L : α jest algebraiczny nad F u. Wówczas F alg plq jest ciałem.
51 Wniosek Niech F będzie ciałem, niech L 1 i L 2 będą rozszerzeniami algebraicznymi ciała F. Wówczas rozszerzenie F Ă L 1 L 2 też jest algebraiczne.
52 Dowód. Niech L będzie rozszerzeniem ciała F zawierającym ciała L 1 i L 2. Ponieważ rozszerzenia F Ă L 1 oraz F Ă L 2 są algebraiczne, więc L 1, L 2 Ă F alg plq. Wobec tego L 1 L 2 Ă F alg plq i rozszerzenie F Ă L 1 L 2 jest algebraiczne.
53 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Ciało F alg plq nazywamy domknięciem algebraicznym ciała F w ciele L. 2. Jeżeli F F alg plq to mówimy, że F jest algebraicznie domknięte w L.
54 Przykład: 3. Rozważmy ciało Z 2 i ciało czteroelementowe L zawierająze Z 2 jako podciało proste, a więc w szczególności rozszerzenie ciała Z 2. Wówczas Z 2 jest algebraicznie domknięte w L, ale oczywiście Z 2 nie jest algebraicznie domknięte.
55 Algebraiczne domknięcie ciała.
56 Twierdzenie Niech F będzie ciałem. Następujące warunki są równoważne: 1. F jest algebraicznie domknięte, 2. jeżeli L jest ciałem i rozszerzenie F Ă L jest skończone, to F L, 3. jeżeli L jest ciałem i rozszerzenie F Ă L jest algebraiczne, to F L.
57 Dowód. p1q ñ p3q : Załóżmy, że F jest algebraicznie domknięte i F Ă L jest rozszerzeniem algebraicznym. Niech α P L. Wówczas α jest algebraiczne nad F. Niech f P F rxs będzie wielomianem minimalnym elementu α. Wówczas f jest nierozkładalny w F rxs, a więc liniowy. Zatem α P F. p3q ñ p2q : Każde rozszerzenie skończone jest algebraiczne. p2q ñ p1q : Niech f P F rxs i niech L będzie ciałem, w którym f ma pierwiastek, przy czym F Ă L. Niech α P L będzie pierwiastkiem wielomianu f. Wówczas α jest algebraiczny nad F. Zatem F Ă F pαq jest skończone, a więc F pαq F i α P F.
58 Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Jeżeli 1. L jest ciałem algebraicznie domkniętym, 2. F Ă L jest rozszerzeniem algebraicznym, to L nazywamy algebraicznym domknięciem ciała F i oznaczamy F.
59 Przykład: 1. Rozważmy ciało R. Wówczas C jest algebraicznym domknięciem ciała R.
60 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F, niech ponadto L będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wówczas F alg plq jest algebraicznym domknięciem ciała F.
61 Dowód. Niech f P F alg plqrxs. Wówczas również f P Lrxs, więc f ma pierwiastek α P L. Wobec tego α jest algebraiczny nad ciałem F alg plq, więc rozszerzenie F alg plq Ă F alg plqpαq jest algebraiczne. Ponadto F Ă F alg plq jest algebraiczne, więc F Ă F alg plqpαq jest algebraiczne. Zatem α jest algebraiczny nad F, a więc α P F alg plq.
62 Wniosek Niech F będzie ciałem. Wówczas istnieje algebraiczne domknięcie F ciała F.
63 Dowód. Wobec Twierdzenia?? istnieje ciało algebraicznie domknięte L takie, że F Ă L. Z kolei wobec Twierdzenia 0.14 F F alg plq.
64 Twierdzenie Niech F będzie ciałem, niech L 1, L 2 będą algebraicznymi domknięciami ciała F. Wówczas istnieje F izomorfizm φ : L 1 Ñ L 2.
65 Dowód poprzedzimy dwoma lematami.
66 Lemat Niech F, F 1, F 2 będą ciałami i niech F Ă F 1 Ă F 2 będą rozszerzeniami algebraicznymi. Niech φ 1 : F 1 Ñ F będzie F -zanurzeniem. Wówczas istnieje zanurzenie φ 2 : F 2 Ñ F takie, że φ 2 F1 φ 1.
67 Dowód: Niech R tpl, φq : L jest ciałem, F 1 Ă L Ă F 2, φ : L Ñ F jest F -zanurzeniem W rodzinie R definiujemy relację ă wzorem: pl, φq ă pl 1, φ 1 q wtedy i tylko wtedy, gdy L Ă L 1 oraz φ 1 L φ. Bez trudu sprawdzamy, że jest to relacja częściowego porządku. Ponadto pf 1, φ 1 q P R, a więc R H. Łatwo jest również sprawdzić, że każdy łańcuch w rodzinie R ma ograniczenie górne. Wobec lematu Kuratowskiego-Zorna w rodzinie R istnieje element maksymalny pl 0, φ 0 q. Pokażemy, że F 2 L 0.
68 Przypuśćmy, że F 2 L 0. Wówczas istnieje element a P F 2 zl 0. Ponieważ rozszerzenie F Ă F 2 jest algebraiczne, więc a jest algebraiczny nad F, a tym samym jest też algebraiczny nad L 0. Niech f P L 0 rxs będzie wielomianem minimalnym elementu a. Niech ponadto φ 0 : L 0 rxs Ñ F rxs będzie przedłużeniem zanurzenia φ 0 : L Ñ F na pierścień wielomianów. Wówczas wielomian φ 0 pfq jest nierozkładalny w pierścieniu φ 0 pl 0 qrxs, jako obraz elementu nierozkładalnego. Ponieważ ciało F jest algebraicznie domknięte, więc wielomian φ 0 pfq ma pierwiastek b P F. Wobec Twierdzenia?? istnieje przedłużenie izomorfizmu φ 0 : L 0 Ñ φ 0 pl 0 q do zanurzenia φ 1 0 : L 0paq Ñ φ 0 pl 0 qpbq Ă F. Wówczas pl 0, φ 0 q ă pl 0 paq, φ 1 0 q oraz L 0 Ĺ L 0 paq, więc element pl 0, φ 0 q nie może być maksymalny w rodzinie R, co daje sprzeczność.
69 Lemat Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem algebraicznym ciała F. Wówczas istnieje F -zanurzenie φ : L Ñ F.
70 Dowód. W poprzednim lemacie wystarczy przyjąć F 2 L, F 1 F oraz φ 1 id F.
71 Przechodzimy do dowodu Twierdzenia 0.15:
72 Dowód. Wobec poprzedniego lematu istnieje F -zanurzenie φ : L 1 Ñ L 2. Ciało φpl 1 q jest algebraicznie domknięte. Ponadto rozszerzenie φpl 1 q Ă L 2 jest algebraiczne, a więc φpl 1 q L 2.
ciałem F i oznaczamy [L : F ].
11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowoRozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
Bardziej szczegółowoPodciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.
Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli
Bardziej szczegółowoPodstawowe pojęcia teorii podzielności.
Podstawowe pojęcia teorii podzielności. Definicja Niech pr, `, q będzie pierścieniem 1 całkowitym. Mówimy, że element a dzieli b, a, b P R, (lub że a jest dzielnikiem b, lub że b jest wielokrotnością a)
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoPojęcie pierścienia.
Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to
Bardziej szczegółowoAlgebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.
Algebra II Wykład 1 0. Przypomnienie Zbiór R z działaniami +, : R R R, wyróżnionymi elementami 0, 1 R i operacją : R R nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) a, b, c R : a +
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoWielomiany wielu zmiennych.
Wielomiany wielu zmiennych. Definicja i uwaga: Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Wielomianem zmiennych x 1,..., x n o współczynnikach z pierścienia R będziemy nazywali wyrażenie postaci ÿ a i1...i
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoCO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoWielomiany i rozszerzenia ciał
Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoDefinicja. Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G,
Grupy rozwiązalne. Definicja Niech pg, q będzie grupą. Wówczas ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G p0q G, G piq rg pi 1q, G pi 1q s, dla i P N nazywamy górnym ciągiem centralnym grupy
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoAlgebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoTeoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I
Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I Bazyli Klockiewicz 22 czerwca 2014 1 Rugownik pary wielomianów oraz wyróżnik wielomianu. Poniższe stwierdzenia opisują
Bardziej szczegółowoRodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.
1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowojest przemienny. h f J.
12. Wykład 12: Moduły injektyne. Deinicja 12.1. Niec będzie pierścieniem, leym -modułem. eżeli dla każdego -modułu M i omomorizmu : M Ñ zacodzi następujący arunek: dla każdego leego -modułu N idlakażdego
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych
Podprzestrzenie niezmiennicze nilpotentnych operatorów liniowych, Markus Schmidmeier, FAU Maj, 2015 Oznaczenia K ciało algebraicznie domknięte α, β, γ partycje, tzn. nierosnące ciągi liczb naturalnych
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowo(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ;
10. Wykład 10: Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. 10.1. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Definicja 10.1. Niech P, R będą pierścieniami. (1) Odwzorowanie
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoAlgebraiczna geometria rzutowa
Algebraiczna geometria rzutowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń, (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Czerwiec 2003 Spis treści
Bardziej szczegółowoŁatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.
Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoPojęcia wstępne. Piotr P. Karwasz. Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Uniwersytet Gdański
Piotr P. Karwasz Uniwersytet Gdański Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Redukcja Niech p Z będzie liczbą pierwszą oraz π p kanonicznym homomorfizmem: π p : Z F p. Twierdzenie (wersja dla studentów) Niechaj w(x)
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że
Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowo... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1
4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowoWniosek Niech R będzie pierścieniem, niech I R. WówczasI R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest jądrem pewnego homomorfizmu.
11. Wykład 11: Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Ideały pierwsze i maksymalne. 11.1. Pierścień ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Definicja i Uwaga 11.1. Niech R będzie pierścieniem,
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =
Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii
Bardziej szczegółowoĘ ľü ď Ż Ż ć Ż ď ż ď ď Ą Ż ć Ą Ą í Ą ý Ź Ź ŕ Ą Ą Ą Ą Ż ż Ż Ą ď ż ľ Ż Ż
Ę ľ ľ Ł ż Ą í Ą Ą í í Í Ź ż ż Ę ľü ď Ż Ż ć Ż ď ż ď ď Ą Ż ć Ą Ą í Ą ý Ź Ź ŕ Ą Ą Ą Ą Ż ż Ż Ą ď ż ľ Ż Ż ď Ź Ę ż ż Ę Ą Í Ł Ł Ę í ż ď Ą ď Ź ý Ż Ż Ż Ź ż ż Ć ď ÁĄ ď ď Ą ď ď Ą ď Ż ď Ą ŕ Ł Ł Ę í í ż ż ý ý ć á Ż
Bardziej szczegółowoO ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowo19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6
Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia dzienne Wykład 6 1 Kody cykliczne: dekodowanie Definicja 1 (Syndrom) Niech K będzie kodem cyklicznym z wielomianem generuja- cym g(x). Resztę z dzielenia słowa
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoDefinicje- Algebra III
Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń
Bardziej szczegółowoStruktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Bardziej szczegółowoHipoteza Grothendiecka dla równania Rischa y = ay + b M. van der Put
Hipoteza Grothendiecka dla równania Rischa y = ay + b M. van der Put A. Nowel kwiecień 2017 Marius van der Put, Grothendieck s conjecture for the Risch equation y = ay + b. Indag. Math. (N.S.) 12 (2001),
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowoCo to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany
Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN
Bardziej szczegółowoAlgebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Bardziej szczegółowo