Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak Wkład FIZYK I 9. Ruch drgając swobodn Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak Insttut Fizki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizka.html
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak RUCH DRGJĄCY Drganie (ruch drgając) ruch (lub zmiana stanu), któr charakterzuje się powtarzalnością w czasie wielkości fizcznch, określającch ten ruch lub stan (np. położenie, prędkość). Drganie okresowe (periodczne) powtarzanie zachodzi zawsze po tm samm czasie T, zwanm okresem. Drganie [okresowe] harmoniczne położenie ciała opisuje funkcja sinus (bądź kosinus): W ruchu harmonicznm: Prędkość: Przspieszenie: są również funkcjami harmonicznmi! t sin t t cost t sin t ( t) v a
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak DRGNI HRMONICZNE Przpomnienie: Druga zasada dnamiki Newtona: Ruch harmoniczn to taki, dla którego: a d dt F k F m Siła jest proporcjonalna do wchlenia i przeciwnie do niego skierowana (prawo Hooke a). (F - siła harmoniczna) Ogólne równanie różniczkowe drgań harmonicznch: dt t d t Wkładnicz sposób zapisu rozwiązania równania drgań harmonicznch: t epi t t
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak DRGNI HRMONICZNE Wielkości opisujące ruch harmoniczn prost (drgania harmoniczne): t sin t - jest amplitudą drgań (maksmalną zmianą względem położenia równowagi); - to faza drgań (mierzona w radianach bądź stopniach); t T - to częstość kołowa (pulsacja) (w radianach na sekundę); - to faza początkowa. T - Częstotliwość drgań: (Hz herc) f
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak DRGNI HRMONICZNE - PRZYKŁDY Wahadło matematczne: Punkt materialn, zawieszon na nieważkiej i nierozciągliwej nici; g t g sin s l d s dt l d g dt sin g Okres drgań: T l g
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak DRGNI HRMONICZNE - PRZYKŁDY Wahadło fizczne: Ciało doskonale sztwne, które pod działaniem własnego ciężaru waha się dookoła osi poziomej, nie przechodzącej przez środek ciężkości ciała; Okres drgań: T I mgl
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak DRGNI HRMONICZNE - PRZYKŁDY Sprężna: Prawo Hooke a: F k F Równanie ruchu: d dt k m t Okres drgań: T k m
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak DRGNI HRMONICZNE - PRZYKŁDY Obwód LC: q C di dt U C U L 0 L 0 I dq dt d q dt q LC 0 Okres drgań: T LC
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH Zasada superpozcji: Jeżeli ciało podlega jednocześnie dwóm drganiom, to jego wchlenie jest sumą wchleń, wnikającch z każdego ruchu. Składanie drgań harmonicznch, odbwającch się wzdłuż jednej prostej: ) przpadek dwóch ruchów harmonicznch, odbwającch się z jednakową częstością : cos t cos t
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH Wpadkowa jest drganiem z tą samą częstością! w w cos t w gdzie: w tg w cos sin cos sin cos amplituda faza mplituda drgania wpadkowego zależ od różnic początkowch faz ( - ) drgań składowch. Jeśli ta różnica nie zmienia się z upłwem czasu, to takie drgania snchroniczne nazwam koherentnmi.
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH w cos Przpadki szczególne: Różnica faz drgań składowch równa się zeru albo całkowitej wielokrotności : k k 0,,,... Maksmalna amplituda drgań jest sumą amplitud drgań składowch.
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH w cos Przpadki szczególne: Różnica faz drgań składowch równa się nieparzstej wielokrotności : k k 0,,,... Maksmalna amplituda drgań jest różnicą amplitud drgań składowch.
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH Przpadek dwóch ruchów harmonicznch, odbwającch się z różną częstotliwością: wpadkowa jest prostm drganiem harmonicznm tlko wted, gd stosunek obu częstotliwości można wrazić liczbą wmierną. Przpadek dwóch ruchów harmonicznch (o jednakowej amplitudzie), którch częstości różnią się nieznacznie: dudnienia: w cos t cos cos t t cos t
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak SKŁDNIE DRGŃ HRMONICZNYCH Jeśli różnica faz (t)- (t) drgań składowch zmienia się z upłwem czasu w sposób dowoln, to amplituda drgań wpadkowch zmienia się z upłwem czasu i nie ma sensu w ogóle mówić o składaniu amplitud. Jest to tzw. niekoherentne składanie drgań. Drgania tpu: nazwam modulowanmi. t t cos t t ) modulowana faza (częstość) FM: const ) modulowana amplituda M: const d t dt ma
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak NLIZ HRMONICZN naliza harmoniczna to sposób na przedstawienie złożonch drgań modulowanch w postaci szeregu prostch drgań harmonicznch. G. Fourier: dowolne drganie złożone można przedstawić jako sumę prostch drgań harmonicznch o wielokrotnościach pewnej podstawowej częstości kątowej : N t n sin n t n n0 W ogólnm przpadku, liczba wrazów w szeregu Fouriera jest nieskończona (możem wted przejść do całek zamiast sum), ale istnieją takie drgania, dla którch szeregi Fouriera nie zawierają pewnch wrazów.
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH Załóżm, że punkt materialn uczestnicz jednocześnie w dwóch drganiach harmonicznch, odbwającch się z jednakowmi częstościami w dwóch kierunkach wzajemnie prostopadłch: t sin t t sin t
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak t SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH sin t t sin t ) Początkowe faz obu drgań są jednakowe: Można tak ustawić odczt czasu, żeb bł równe zeru: Dzieląc stronami: 0 - linia prosta
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak t SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH sin t t sin t ) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa : Dzieląc stronami: - linia prosta
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak t SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH sin t t sin t 3) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa /: Wted: t cost t sin t I ostatecznie: - elipsa Punkt porusza się po tej elipsie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara;
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak t SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH sin t t sin t 4) Początkowa różnica faz obu drgań jest równa 3 / : Wted: t cos t t t sin I ostatecznie: - elipsa również elipsa, ale o obiegu zgodnm z ruchem wskazówek zegara;
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak SKŁDNIE PROSTOPDŁYCH DRGŃ HRMONICZNYCH Inne różnice faz również elips, ale o osiach nie pokrwającch się z osiami układu współrzędnch. W przpadku ogólnm dowolne częstości, amplitud, faz mam do cznienia z tzw. figurami Lissajous.