Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( ) = +, c) n = m = 3, ϕ( ) = e) n = 4, m = 3, ϕ( f) n = 4, m = 3, ϕ( g) n = m = 4, ϕ( h) n = m = 4, ϕ( ) = ) = ) = ) = + + 3 + 5 + + 3 + 5 + 3 + + + + + 3 + + 3 + 4 + +. i) n = m = 3, ϕ( ) = 3 + W prpadku, gd preksałcenie ϕ jes preksałceniem liniowm, badać c jes o monomorfim, epimorfim. () Niech a, a, a,..., a n K, n N. Wkaać, że ψ : KX m K n+ określone worem:,, ψ(w(x)) = w(a ), w(a ),..., w(a n ) dla w(x) KX m, jes preksałceniem liniowm. Sprawdić, że gd a, a, a,..., a n są parami różne, o: a) ψ jes na m n, b) ψ jes różnowarościowe m n. (3) Wkaać, że jeżeli ϕ : K K jes preksałceniem liniowm, o isnieje a K akie, że ϕ(v) = av dla każdego v K. Dla jakich a preksałcenie dane akim worem jes monomorfimem, epimorfimem? (4) Ciało C licb espolonch można roparwać jako presreń wekorową nad ciałem C (on. C ) ora jako presreń wekorową nad ciałem R licb recwisch (on. C R ). Wkaać, że f : C C, f() =, jes endomorfimem presreni C R, ale nie jes endomorfimem presreni C.
(5) Sprawdić, c odworowanie ślad macier r : Kn n K określone worem a a a n a r a a n n...... = a ii i= a n a n a nn jes preksałceniem liniowm. (6) a) W presreni R niech U będie podbiorem, łożonm ciągów spełniającch warunek Cauch ego: (a n ) U ε> N N p>n q>n a p a q < ε. Wkaać, że U jes podpresrenią i odworowanie ϕ : U R określone worem ϕ((a n )) = lim (a n) jes preksałceniem liniowm. n b) Niech ψ : R R będie odworowaniem określonm pre warunek: n (b n ) = ψ((a n )) n N b n = a k (cli ψ((a n )) = (a, a +a, a +a +a 3,...)). Sprawdić, że ψ jes preksałceniem liniowm. C ψ jes monomorfimem? epimorfimem? C preksałcenie odwrone do ψ jes preksałceniem liniowm? c) Niech W = ψ (U). Sprawdić, że wór σ((a n )) = określa odworowanie σ : W R i że σ jes preksałceniem liniowm. Sprawdić, że σ = ϕ ψ. (7) Sprawdić, że dla dowolnch licb recwisch a, b, a < b odworowanie C (a, b) R presreni funkcji ciągłch określone worem f n= b a a n k= f()d jes preksałceniem liniowm. (8) Smbolem C n (a, b) onacam presreń funkcji recwisch określonch na prediale (a, b) i mającch pochodne ciągłe do rędu n włącnie. Sprawdić, że dla każdego n > odworowanie C n (a, b) C n (a, b) określone worem f f jes preksałceniem liniowm. C jes ono epimorfimem? monomorfimem? (9) Niech V ora W będą presreniami liniowmi nad ciałem K, a ϕ : V W odworowaniem. Wkresem odworowania ϕ nawam biór Γ ϕ = {(v, ϕ(v)) V W : v V }. Wkaać, że ϕ jes preksałceniem liniowm wed i lko, gd Γ ϕ jes podpresrenią presreni liniowej V W. () Niech V ora W będą presreniami liniowmi nad ciałem K, i niech ϕ : V W będie preksałceniem liniowm. Niech ϕ : V V W będie określone worem ϕ(v) = (v, ϕ(v)), a π : V W W worem π(v, w) = w. Sprawdić, że ϕ i π są preksałceniami liniowmi, ϕ jes monomorfimem, π jes epimorfimem i że π ϕ = ϕ. () Wkaać, że dla dowolnego preksałcenia liniowego ϕ : V W isnieje presreń liniowa Z ora epimorfim κ : V Z i monomorfim ϕ : Z W akie, że ϕ = ϕ κ. Dla jakiego preksałcenia liniowego ϕ można amienić miejscami słowa epimorfim ora monomorfim?
3 () Prpuśćm, że V, W, W są presreniami liniowmi nad ciałem K. Funkcję f : V W W można apisać pr pomoc par funkcji f : V W ora f : V W worem f(v) = (f (v), f (v)). Wkaać, że f jes preksałceniem liniowm wed i lko wed, gd f i f są preksałceniami liniowmi. (3) Załóżm, że A, B, C są biorami, B, C A ora V jes presrenią liniową. a) Pokaać, że odworowanie Φ B : V A V B, f f B dla f V A, jes preksałceniem liniowm. Kied jes o epimorfim, a kied monomorfim? b) Z punku (a) ora popredniego adania wnika, że Φ : V A V B V C dane worem Φ(f) = (Φ B (f), Φ C (f)) dla f V, jes preksałceniem liniowm. Kied Φ jes monomorfimem, a kied epimorfimem? (4) Niech V, V, V, W będą presreniami liniowmi ora niech V = V V. Pokaać, że dla dowolnch preksałceń liniowch ϕ i : V i W, i =,, isnieje dokładnie jedno preksałcenie liniowe ϕ : V W akie, że ϕ Vi = ϕ i. Jeżeli V = W ora ϕ = Id V, ϕ = Id V o ϕ nawam smerią wględem V wdłuż (albo równolegle do) V. Jeżeli naomias ϕ = Id V, a ϕ jes endomorfimem erowm, o ϕ nawam ruem presreni V na V wdłuż (albo równolegle do) V. (5) Wkaać, że: a) jeśli V = V V, o V = V V, b) jeśli V = V V n, o V = V V n. (6) Znaleźć jądra i obra preksałceń liniowch adań, 3, 7 ora. (7) Znaleźć jądro i obra smerii (ruu) wlędem V (na V ) wdłuż V. (8) Preksałcenie liniowe ϕ : K K 3 dane jes worem ϕ( ), lin( ), lin( a) obra podpresreni: K, lin( { K : + 3 = }; ) = ), + 3 3. Wnacć: b) preciwobra podpresreni: K 3, { }, lin( ), lin( ), 3 lin( 3 ), { K 3 : + + = }. 3 (9) Prpuśćm, że ϕ : V W jes preksałceniem liniowm, X jes podpresrenią presreni V, a Y jes podpresrenią presreni W. a) Wkaać, że (i) ϕ (ϕ(x)) = X+Kerϕ, (ii) ϕ(ϕ (Y )) = Y Imϕ. b) Sformułować warunek koniecn i wsarcając na o, ab (i) ϕ (ϕ(x)) = X, (ii) ϕ(ϕ (Y )) = Y. c) Jaki warunek musi spełniać ϕ, ab dla każdej podpresreni X presreni V achodiła równość ϕ (ϕ(x)) = X? d) Jaki warunek musi spełniać ϕ, ab dla każdej podpresreni Y presreni W achodiła równość ϕ(ϕ (Y )) = Y?
4 () Wiadomo, że preksałcenie liniowe ϕ : V W spełnia warunki: ϕ(α ) = β + β + 3β 3, ϕ(α ) = 4β + 5β + 6β 3, ϕ(α 3 ) = 7β + 8β + 9β 3 ora że (α, α, α 3 ) jes baą V, a (β, β, β 3 ) jes baą W. Oblicć wmiar obrau i wmiar jądra preksałcenia ϕ. () Niech ϕ i ψ będą odworowaniami K K akimi, że: ϕ((a, a, a 3,...)) = (, a, a, a 3,...), ψ((a, a, a 3,...)) = (a, a 3, a 4,...). a) Sprawdić, że ϕ i ψ są endomorfimami presreni K. b) Oblicć ϕ ψ i ψ ϕ. c) Sprawdić, c ϕ lub ψ jes monomorfimem, epimorfimem, iomorfimem. () C isnieje preksałcenie liniowe ϕ : R 3 R 3 spełniające warunki: a) ϕ( ) =, ϕ( ) =, ϕ( ) =, ϕ( ) = ; b) ϕ( ) =, ϕ( ) = 3, ϕ( ) = 4 4 ; 3 4 c) ϕ( ) =, ϕ( ) = 3, ϕ( ) = 4 4 ; 3 4 d) ϕ( ) =, ϕ( ) = 3? W prpadku pownej odpowiedi preanaliować licbę rowiąań i naleźć wór prnajmniej jednego akiego preksałcenia liniowego. (3) Skonsruować preksałcenie liniowe τ : R 3 R 3 spełniające warunki: τ( ) = τ( ) = τ τ = id R 3. Wnacć wór analicn preksałcenia τ. (4) Znaleźć wór analicn: a) smerii presreni R wględem lin( ) i wdłuż lin( ); b) smerii presreni R 3 wględem lin( ) i wdłuż lin( c) ruu presreni R na lin( ) wdłuż lin( ); 3 );
d) ruu presreni R 3 na lin( ) wdłuż lin( ). (5) Podać wór analicn preksałcenia liniowego ψ : R 3 R 3, o kórm wiadomo, że Kerψ = lin( ) ora Imψ = lin( ). C rowiąanie jes jedne? (6) Prpuśćm, że V jes presrenią liniową nad ciałem K, w kórm +. Załóżm, że ϕ ora ψ są endomorfimami presreni V. a) Wkaać, że ϕ ϕ =Id V wed i lko wed, gd isnieją podpresrenie U ora U presreni V akie, że ϕ jes smerią wględem U i wdłuż U. b) Wkaać, że ψ ψ = ψ wed i lko wed, gd isnieją podpresrenie U ora U presreni V akie, że ψ jes ruem V na U wdłuż U. (7) Załóżm, że ciało K ma q elemenów ora n N. Oblicć, ile jes a) różnch preksałceń liniowch K n K n ; b) różnch iomorfimów liniowch K n K n, gd: (i) n =, (ii) n =, (iii) n = 3, (iv) n jes dowolne. (8) Niech V będie presrenią liniową nad K, a odworowanie f : V V niech spełnia warunek: f(u + v) = f(u) + f(v) dla dowolnch u, v V. a) Wkaać, że jeśli K = Q lub K = Z p, o f jes preksałceniem liniowm. b) Podać prkład ciała K i presreni liniowej nad nim, gdie analogicn reula nie achodi. (9) Niech V ora W będą presreniami liniowmi nad ciałem K. Preksałcenie f : V W nawam jednorodnm sopnia, gd f(av) = af(v) dla każdch a K ora v V. a) Wkaać, że f jes liniowe, gd dim V. b) Wskaać presrenie V i W ora preksałcenie f : V W jednorodne sopnia akie, że dim V = ora f nie jes preksałceniem liniowm. (3) Ciało C jes presrenią liniową nad Q (on. C Q ) ora ciało R jes presrenią liniową nad Q (on. R Q ). Wkaać, że presrenie C Q ora R Q są iomorficne. (3) Wkaać, że jeżeli U ora U są podpresreniami presreni V, o 5 (U + U )/(U U ) = U /(U U ) U /(U U ). (3) Niech v,..., v m będą wekorami presreni V, naomias U niech będie podpresrenią presreni V. Pokaać, że (v + U,..., v m + U) jes liniowo nieależnm układem wekorów presreni V/U wed i lko wed, gd lin(v,..., v m ) U = {θ} i (v,..., v m ) jes układem liniowo nieależnm. (33) W presreni K 3 wbrano ba A 3 = ( naomias w presreni K 4 wbrano ba A 4 = ( ) ora B 3 = ( ), ) ora B 4 =
6 ( ). Znaleźć macier preksałcenia liniowego ϕ : Kn K m w baach A n ora B m (A n ora A m ; B n ora B m ; B n ora A m ), jeżeli: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + c) n = 4, m = 3, ϕ( + ) = + 3 + 5, d) n = 4, m = 3, ϕ( ) = + e) n = 3, m = 4, ϕ( + 3 ) = + + f) n = 3, m = 4, ϕ( + 3 ) = + + 3 + + 4 + (34) Niech a, a,..., a m K, n, m N. Znaleźć macier preksałcenia liniowego ψ : KX n K m+ określonego worem: + 3 + 5, ψ(w(x)) = (w(a ), w(a ),..., w(a m )) dla w(x) KX n w baach: (, X, X,..., X n ) presreni KX n wielomianów sopnia n ora baie sandardowej presreni K m+. Jak się a macier nawa, gd n = m? (35) Niech V = RX n, naomias preksałcenie δ : V V niech prporądkowuje wielomianowi jego pochodną. Pokaać, że δ jes endomorfimem presreni V ora naleźć macier δ w baie: a) (, X, X,..., X n ), b) (, X c, (X c),..., (X c)n ), gdie c jes usaloną licbą recwisą.! n! (36) Niech V będie podpresrenią presreni C (R) wsskich funkcji recwisch ciągłch ropięą pre cos ora sin, a preksałcenie δ niech będie preksałceniem, prpisującm funkcji jej pochodną. Sprawdić, że δ jes endomorfimem presreni V ora naleźć jego macier wględem ba (cos, sin ). a b (37) Wbierm A = K c d i określm odworowanie : K K worem ψ(b) = BA dla B K. Wkaać, że ψ jes endomorfimem presreni K i naleźć macier ego endomorfimu wględem ba (E, E, E, E ). (38) Niech ϕ : K 3 V będie ruem, a ψ : K 3 K 3 smerią wględem V i wdłuż V, gdie: a) V = lin(ε, ε ), V = lin(ε + ε 3 ), b) V = lin(ε, ε ), V = lin(ε + ε 3 ), c) V = lin(ε + ε, ε ), V = lin(ε + ε 3 ). W każdm prpadku naleźć macier ϕ w baach (ε, ε, ε 3 ) presreni K 3 ora (ε, ε ) presreni V. Znaleźć macier ψ w baach (ε, ε, ε 3 ) ora (ε, ε, ε + ε 3 ) presreni K 3. Zwrócić uwagę, że ψ jes endomorfimem presreni K 3 i naleźć macier ego endomorfimu w baie (ε, ε, ε 3 ). (39) Niech f : V W W, f(v) = (f (v), f (v)) będie preksałceniem liniowm adania, Zesaw??, sr. 3. Niech A i będie macierą f i w baach A presreni V ora B i presreni
W i. Znaleźć macier preksałcenia f w baach A presreni V ora (B {θ}) ({θ} B ) presreni W W. (4) Niech ϕ : V V W, ϕ(v + v ) = ϕ (v ) + ϕ (v ), będie preksałceniem liniowm adania 4, Zesaw??, sr. 3. Niech A i będie macierą ϕ i w baach A i presreni V i ora B presreni W. Znaleźć macier ϕ wlędem ba A A presreni V V ora B presreni W. (4) Preksałcenie liniowe ϕ : K K 3 wględem ba ( ma macier.znaleźć wór (analicn) na ϕ( 3, (4) Endomorfim ψ presreni K ma w baie (ε, ε, ε + ε 3 ) macier analicn opisując ψ. (43) Endomorfim ψ presreni R 3 ma w baie (ε ε, ε, ε + ε 3 ) macier ). ) ora ( 3 4 3 7. Znaleźć wór. Znaleźć ) baę jądra i baę obrau preksałcenia ψ. C wekor należ do jądra ψ? Jaki jes obra wekora? (44) Niech A będie macierą preksałcenia liniowego γ : V W wględem ba A presreni V ora ba B presreni W. Jak się mieni macier A, gd: a) w baie A amienim i- wekor j-m? b) w baie A asąpim i- wekor jego ilocnem pre skalar a? c) w baie A dodam do j-ego wekora wekor i- pomnożon pre skalar a? d) w baie B amienim k- wekor l-m? e) w baie B asąpim k- wekor jego ilocnem pre skalar a? f) w baie B dodam do l-ego wekora wekor k- pomnożon pre skalar a? (45) Niech A będie macierą endomorfimu γ presreni V wględem ba A presreni V. Jak się mieni macier A, gd: a) w baie A amienim i- wekor j-m? b) w baie A asąpim i- wekor jego ilocnem pre skalar a? c) w baie A dodam do j-ego wekora wekor i- pomnożon pre skalar a? (46) Endomorfim γ presreni R 4 ma wględem ba sandardowej macier 3 5 3. Znaleźć możliwie sbko macier γ wględem ba: 3 a) (ε, ε 3, ε, ε 4 ), b) (ε, ε + ε, ε + ε + ε 3, ε + ε + ε 3 + ε 4 ).
8 (47) Endomorfim λ presreni V nawam homoeią, jeżeli isnieje skalar a aki, że λ(v) = av dla każdego v V. Wkaać, że a) λ jes homoeią λ ϕ = ϕ λ dla każdego ϕ End(V ), b) λ jes homoeią λ ma aką samą macier wględem każdej ba V. (48) Macier preksałcenia ϕ : K 3 K 3 w baie (ε, ε, ε 3 ) ma posać a), b), c) Jakie własności preksałcenia ϕ można sąd odcać? (49) Udowodnić, że macier preksałcenia ϕ : K n K n w baie (ε, ε,..., ε n ) A C a) ma posać dla pewnej macier A sopnia k ϕ(lin(ε B, ε,..., ε k )) lin(ε, ε,..., ε k ); A b) ma posać dla pewnej macier A sopnia k i pewnej macier B sopnia n k B ϕ(lin(ε, ε,..., ε k )) lin(ε, ε,..., ε k ) i ϕ(lin(ε k+,..., ε n )) lin(ε k+,..., ε n ). (5) W presreni R n dane są ba A ora B. Onacm pre E baę sandardową (ε, ε,..., ε n ). Znaleźć maciere prejścia od E do A, od E do B, od A do E ora od A do B, gd: 3 a) n =, A = (, ), B = (, ); 5 6 4 b) n = 3, A = ( 8 6 6 7 9 3 ), B = ( 3 ); 7 3 7 c) n = 4, A = ( ), B = ( W każdm powżsch prpadków apisać wekor ε + + n ε n jako kombinację liniową wekorów ba A. (5) Niech A = (α, α, α 3 ), B = (β, β, β 3 ) będą baami presreni C 3. Znaleźć macier smerii wględem V = lin(α, α ) i wdłuż V = lin(α 3 ) w baie B, gd α =. Podobnie dla ruu na V wdłuż V ( porako-, β = β = β 3 = wanego jako odworowanie C 3 C 3 ). (5) Oblicć współrędne wekora w baie ( jeśli charakerska ciała K jes różna od i od 3.. α = ). 3 α 3 = 4 ) presreni K4
9 (53) Napisać wor na mianę współrędnch wekorów pr prejściu od ba ( ) do ba ( ) presreni K4 jeśli charakerska ciała K jes różna od. (54) Korsając woru na mianę macier endomorfimu pr mianie ba naleźć macier preksałcenia ϕ : K 3 K 3 w baie (ε, ε + ε 3, ε + ε ) wiedąc, że macierą preksałcenia ϕ w baie a) (ε, ε, ε 3 ), b) (ε + ε, ε, ε 3 ) jes macier 3.