AGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH. MACIERZE Mcierzą o wymirch m (m ) zywmy prostokątą tblicę której elemetmi jest m liczb rzeczywistych mjącą m wierszy i kolum postci A m m kolumy wiersze m Stosujemy zpis A [ ij ] m lub [ ij ] A lub A Pierwszy ideks elemetu mcierzy ij określ w którym wierszu mcierzy jest te elemet. Drugi ideks elemetu mcierzy ij określ w której kolumie mcierzy jest te elemet. Mcierz której wszystkie elemety są rówe zywmy mcierzą zerową. Gdy wymiry tej mcierzy wyikją z kotekstu lub są ieistote to stosujemy wtedy uproszczoy zpis A. Mcierz w której jest tylko jed kolum zywmy mcierzą kolumową lbo wektorem. Jeśli elemet mcierzy r wiersz m to mcierz zywmy mcierzą kwdrtową stopi. i j r kolumy A Elemety mcierz kwdrtow stopi... stowią przekątą tej mcierzy. Śldem mcierzy kwdrtowej A zywmy sumę elemetów jej przekątej co zpisujemy tr A... Mcierz kwdrtow [ ] ij A jest digol jeśli dl i j tz. elemety poz przekątą są rówe. Stosujemy ozczeie A dig... ). ij (
A mcierz digol stopi Mcierz digol jest jedostkow jeśli ii dl i... tz. wszystkie elemety przekątej są rówe. A mcierz jedostkow stopi Mcierz jedostkową stopi ozczmy I lub I (moż też spotkć ozczeie lub E ). Elemety mcierzy jedostkowej możemy zpisć z pomocą symbolu Kroecker δ ij gdzie gdy i j δ ij. Wtedy I [ δ ij ]. gdy i j Mcierz kwdrtow [ ] ij A jest (gór) trójkąt jeśli dl i > j tz. elemety pod przekątą są rówe. Alogiczie jeśli dl i < j tz. elemety d przekątą są rówe to mcierz jest (dol) trójkąt. A ij A ij E mcierz trójkąt ( gór) mcierz trójkąt ( dol) Zpis mcierzowy Przykłd (wektor produkcji) Piekri wypiek: chleb stropolski chleb bltoowski bułki pryskie i kjzerki. Pewego di I zmiie wypieczoo: szt. chleb stropolskiego szt. chleb bltoowskiego szt. bułek pryskich szt. kjzerek. Wielkości te możemy zpisć wektorowo.
w I i zywć wektorem produkcji (istot jest iformcj jk jest iterpretcj poszczególych skłdowych). W tej smej piekri II zmiie wektor produkcji wyglądł stępująco: w II ( trzeciej skłdowej ozcz że II zmiie ie wypieko bułek pryskich) Ntomist dl III zmiy wektor produkcji był stępujący: w III Zuwżmy że sum tych wektorów w w jest wektorem produkcji cłodobowej. I w II w III Przykłd (mcierz produkcji) I II III oddziły produkcji dej firmy A B C D produkty produkowe przez te oddziły w ciągu jedej zmiy. Niech w I wii wiii - wektory produkcji poszczególych oddziłów Jeśli wektory te zestwimy w jedą mcierz to otrzymmy mcierz produkcji cłej firmy M [ ij ] ilość i - tego produktu wytwrzego przez j - ty oddził ij p.
M I II III A B C D Produkt Oddz. Uwg. Np. - ozcz że II oddził ie wytworzył i jedej jedostki produktu A. Mcierz produkcji dobowej jest rów sumie mcierzy produkcji dl poszczególych zmi. Przykłd (mcierz jedostkowych kosztów trsportu) Dwie cemetowie I II zoptrują w cemet cztery wytwórie betou. Jedostkowe koszty trsportu (koszt [zł] przewozu toy) do poszczególych odbiorców dl cemetowi I wyoszą odpowiedio dl cemetowi II:. Koszty te możemy zpisć w postci mcierzy kosztów jedostkowych: k Dziłi mcierzch Możeie mcierzy przez liczbę Niech A [ ij ] m wytwórie betou (odbiorcy) c liczb rzeczywist. cemetowie (dostwcy) Wtedy ca [ c ij ] m (możymy przez c wszystkie elemety tej mcierzy). Przykłd Trspoowie mcierzy Niech A [ ij ] m T wtedy [ ji ] m ( ) ( ) A (wiersze mcierzy A zpisujemy jko kolumy mcierzy A T ). Zuwżmy że (A T ) T A. Przykłd T Dodwie (odejmowie) mcierzy Niech A [ ij ] m B [ b ij ] m (rozmiry mcierzy muszą być zgode)
wtedy [ ] m ij b ij B A ± ± (dodjemy (odejmujemy) odpowiedie elemety mcierzy). Przykłd 9 Przykłd Mcierze produkcji dl poszczególych trzech zmi firmy są stępujące: M M M Zuwżmy że oddził II ie prcuje trzeciej zmiie oddził III ie prcuje drugiej i trzeciej zmiie Wyzczymy mcierz M produkcji tygodiowej tej firmy (zkłdmy że w ciągu pięciu di roboczych produkcj jest idetycz). ) ( M M M M Możeie mcierzy Niech [ ] mr ik A [ ] r b kj B (liczb kolum pierwszej mcierzy musi być rów liczbie wierszy drugiej mcierzy) wtedy m r k ik b kj B A (możymy wiersze pierwszej mcierzy przez kolumy drugiej mcierzy). Niekiedy wygodie jest zpisywć możeie mcierzy w stępujący sposób (schemt Flk):
Przykłd Niech A B Wyzczymy iloczy tych mcierzy (możeie to jest wykole bowiem mcierz A m kolumy mcierz B m wiersze). Stosujemy zpis (schemt Flk): poszczególe elemety mcierzy AB otrzymujemy możąc odpowidjący temu elemetowi wiersz mcierzy A przez zjdującą się d im kolumę mcierzy B. p. (-)(-) 9 Przykłd Firm produkuje wyroby A B stosując trzy rodzje surowców S S S. Normę zużyci surowców moż zpisć w tbeli p. Surowiec (kg) Wyrób A Wyrób B S S S lub w postci mcierzy wyroby N surowce te wymiry muszą być rówe AB A B 9
Zjąc wektor plowej produkcji dobowej p. w możemy wyzczyć (możąc mcierz orm zużyci surowców przez wektor produkcji) wektor zużyci surowców. Z N w zużycie poszczególych surowców Ozcz to że by zrelizowć zplową produkcję leży codzieie zpewić kg surowc S kg surowc S i kg surowc S. Potęg mcierzy k Jeśli A jest mcierzą kwdrtową stopi to A A A... A. k Włsości ) możeie mcierzy jest łącze tz. A(BC) (AB)C dltego zpis ABC jest jedozczy b) możeie mcierzy jest rozdziele względem dodwi tz. A ( B C) AB AC ( A B) C AC BC c) możeie mcierzy ie jest przemiee d) AI A IA A o ile wymiry mcierzy umożliwiją możeie e) (AB) T B T A T f) tr(ab) tr(ba) tr(a B) tra trb (A B mcierze kwdrtowe stopi ). Obliczie wyzczik mcierzy Wyzczik obliczmy tylko dl mcierzy kwdrtowych (jest to liczb przyporządkow mcierzy kwdrtowej). Wyzcziki mcierzy iskiego stopi moż liczyć stępująco: Dl mcierzy stopi : det[] b Dl mcierzy stopi : det c d c b d d - cb Dl mcierzy stopi (metod Srrus): det d g b e h c f i det d g b e h c f d i g b e h ei bfg cdh - gec - hf - idb. Dl mcierzy dowolego stopi (>) wyzczik moż rozwijć (twierdzeie plce ) względem wybrego wiersz lub wybrej kolumy (jlepiej wybrć wiersz lub kolumę z jwiększą liczbą zer). Dopełieie lgebricze elemetu ij jest rówe ( i j ) det Aij gdzie A ij jest mcierzą otrzymą z mcierzy A przez skreśleie i tego wiersz orz j tej kolumy.
Uwg Jeśli w dowolej mcierzy A wybierzemy dowole k wierszy i k kolum to elemety zjdujące się ich przecięciu tworzą mcierz kwdrtową stopi k. Wyzczik tej mcierzy zywmy miorem stopi k. Ztem det A jest miorem stopi. Twierdzeie plce Wyzczik mcierzy A jest rówy sumie iloczyów elemetów dowolego wiersz (kolumy) tej mcierzy przez ich dopełiei lgebricze tj. i i i det A i ( ) det Ai i ( ) det Ai... i ( ) det Ai dl i tego wiersz j j j det A j ( ) det A j j ( ) det A j... j ( ) det Aj dl j tej kolumy Twierdzeie plce pozwl sprowdzić obliczie wyzczik mcierzy stopi do obliczi wyzczików mcierzy stopi p. rozwiięcie wyzczik czwrtego stopi względem pierwszego wiersz m postć det A ij Przykłd Obliczymy wyzczik mcierzy wiersz. rozwijjąc go względem drugiego det (-) (-) (-) () 9 Dw pierwsze skłdiki rozwiięci zostły pomiięte bo są rówe zero. Uwg Jeśli wyzczik mcierzy jest rówy zero to mcierz zywmy osobliwą. Jeśli wyzczik mcierzy jest róży od zer to mcierz jest ieosobliw. Włsości wyzczik ) deta deta T b) jeśli mcierz A jest stopi to dl dowolej stłej mmy det(a) deta c) detab detadetb
d) dl mcierzy ieosobliwej A mmy deta T A > e) jeśli w mcierzy A jest wiersz (kolum) złożoy z smych zer to deta f) jeśli w mcierzy A są jedkowe wiersze (kolumy) to deta g) jeśli wiersz (kolumę) mcierzy A pomożymy przez dowolą liczbę rzeczywistą to wyzczik powstłej mcierzy będzie rówy wyzczikowi mcierzy A pomożoemu przez tę liczbę h) jeśli w mcierzy A zmieimy miejscmi dw wiersze (kolumy) to wyzczik powstłej mcierzy będzie rówy deta i) wyzczik mcierzy ie ulegie zmiie jeśli do pewego wiersz (kolumy) dodmy iy wiersz (kolumę) pomożoy przez liczbę różą od zer. j) wyzczik mcierzy trójkątej (pod przekątą sme zer) jest rówy iloczyowi elemetów przekątej. Uwg ) opercje wierszch (kolumch) o których mow w puktch g) h) i) zywmy opercjmi elemetrymi b) Włsość i) pozwl uprościć liczeie wyzczik mcierzy jeśli wykomy tkie opercje elemetch wiersz (kolumy) które wyzerują pewą liczbę elemetów. Przykłd Obliczymy wyzczik mcierzy kolumie. det det zerując iektóre elemety w trzeciej (-) (-) (-) (-) - -(-) () (strzłki wskzują który wiersz jest dodwy (po ewetulym pom-ożeiu przez liczbę) do wskzego wiersz iy sposób zpisu to p. I w II w - I w III w ). Wyzczie mcierzy odwrotej Niech A będzie mcierzą kwdrtową stopi. Mcierzą odwrotą do mcierzy A jest mcierz A - spełijąc wruki: A - A A A - I Gdzie I jest mcierzą jedostkową stopi. 9
Włsość: tylko dl mcierzy ieosobliwych istieje mcierz odwrot. Mcierz odwrotą moż wyzczyć stępująco: Sposób I (metod dopełień lgebriczych): [ ] T A D A A det gdzie A D jest mcierzą dopełień lgebriczych elemetów mcierzy A. Uwg W szczególym przypdku gdy mmy ieosobliwą mcierz stopi : A d c b to c b d cb d A Przykłd Wyzczymy mcierz odwrotą do mcierzy A. Zuwżmy że deta więc A - istieje. A - T T Sposób II (metod przeksztłceń elemetrych) Włsość A mcierz ieosobliw I mcierz jedostkow. Jeśli [I B] otrzymmy z pomocą opercji elemetrych wierszch mcierzy [A I] to B A -. Przykłd Wyzczymy mcierz odwrotą do mcierzy A deta ztem A jest mcierzą ieosobliwą.
A I przeksztłceie wi wiii wii wi wii wiii wiii wi wiii wii I A - Ztem A Włsość mcierzą odwrotą do mcierzy jedostkowej jest t sm mcierz tz. I - I ( dig (... )) ( ) ( )...( ) ) dig (A - ) - A (A - ) T (A T ) - (AB) - (B) - (A) - det (A - ) (deta) -. Rząd mcierzy Niech A będzie dowolą mcierzą. Rzędem mcierzy A jest stopień jwiększej podmcierzy kwdrtowej ieosobliwej otrzymej z A przez wykreśleie pewej liczby wierszy i (lub) kolum czyli mksymly stopień ieosobliwego mior tej mcierzy. Rząd mcierzy będziemy ozczć rza lub ra. Uwg ) Rząd mcierzy jest rówy zero tylko dl mcierzy zerowej b) Rząd mcierzy jedostkowej stopi jest rówy c) Rząd mcierzy A T jest rówy rzędowi mcierzy A d) Rząd mcierzy ie może przekrczć żdego z wymirów mcierzy e) Jeśli mcierz kwdrtow jest ieosobliw to jej rząd jest rówy stopiowi tej mcierzy f) Jeśli dowoly wiersz mcierzy pomożymy przez stłą różą od zer i dodmy do iego wiersz to rząd mcierzy ie ulegie zmiie. Jeśli zmieimy dw wiersze między sobą miejscmi to rząd mcierzy ie ulegie zmiie. Podobe opercje moż wykoywć kolumch mcierzy. g) Jeśli wykreślimy wiersz (kolumę) złożoy z smych zer to rząd ie ulegie zmiie.
Przykłd Rząd mcierzy A jest rówy bo wykreśljąc kolumy i otrzymmy podmcierz kwdrtową stopi ieosobliwą. Przykłd Wyzczymy rząd mcierzy A Wykoując elemetre dziłi wierszch (ptrz włsość f) powyższej uwgi) dążymy do uzyski pod przekątą elemetów zerowych. rza rz rz Njpierw dodliśmy I wiersz do III wiersz stępie II wiersz pomożyliśmy przez (-) i dodliśmy do III wiersz. MACIERZE - Zdi Zdie ) Niech A B C Wyzcz mcierz A T B - C T. b) Wyzcz mcierz X wiedząc że ` ( ) T X (odp. ) b) X ) Zdie Przyjmując mcierz produkcji dobowej (ptrz przykłd) M
i wiedząc że wektor ce jedostkowych (tys. zł) dl produktów A B C D m postć p wykoując możeie W M T p wyzcz wektor wrtości produkcji. Który oddził m jmiejszą wrtość produkcji? (odp. W jmiejszą wrtość produkcji m oddził trzeci) Zdie ) Dl mcierzy A i B wyzcz iloczyy AB i BA b) Niech A B wyzcz AB BA (AB) T i B T A T c) Wyzcz mcierz X jeśli [ ] [ ] T T X (odp. ) AB BA ; b) AB BA ; (AB) T B T A T ; c) X ) Zuwż że możeie mcierzy ie jest przemiee. Zuwż że spełio jest włsość (AB) T B T A T Zdie Uzsdić że dl mcierzy kwdrtowych zchodzi włsość tr(ab) tr(ba) Zdie Oblicz AB i BA jeśli A
) B b) B b c) B (odp. ) AB BA b) AB b b b BA b b b c) AB BA ) Zdie Oblicz ) b) c) (odp. ) b) ) ( c) ) ( ) Zdie Oblicz ) ( A f jeśli A (odp. 9 ) Zdie Oblicz wyzcziki mcierzy: A B C D (odp. deta detb detc detd )
Zdie 9 Oblicz wyzcziki mcierzy: A 9 9 B (odp. deta - detb -99) Zdie Sprwdź że ( ) T A T B BA ) det( dl dowolych ieosobliwych mcierzy stopi. Zdie Rozwiąż rówie: (odp. - ) Zdie Wyzcz (jeżeli istieje) mcierz odwrotą do mcierzy: ) ; b) ; c) ; d) ; e). (odp. ) b) c) d) e) )
Zdie Wyzcz (stosując jedą i drugą metodę) mcierz odwrotą do mcierzy: A B I. (odp. A - B - I - I) Zdie Wyzcz mcierz X jeśli ) X b) [ ] X c) X d) X e) X f) X g) T T X (odp. ) X b) [ ] X c) X d) X e) X f) X g) X ) Zdie Zleźć rząd mcierzy: ) ;b) ; c) ; d) e) f) g) ;h) [ ] ; i) [ ] ; j) (odp. ) b) c) d) e) f) g) h) i) j) )
Zdie Wyzcz rząd mcierzy c A c w zleżości od prmetru c. (odp. rza gdy c lub c - rza dl pozostłych c) Zdie Ile powiie wyosić wyzczik mcierzy A spełijącej rówie A A T. (odp. lub ) Zdie Oblicz ) det b) det (odp. ) b)!) UKŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH Ukłd rówń liiowych postć mcierzow Ukłd rówń liiowych m postć ogólą:... b... b (*)... m m... m bm ij współczyiki; i iewidome; b j wyrzy wole liczb iewidomych; m liczb rówń Jeśli A [ ij ] m mcierz współczyików b X M wektor iewidomych; B M wektor wyrzów wolych b m to powyższy ukłd rówń moż zpisć w postci mcierzowej AX B Jeśli B to ukłd zywmy jedorodym. Mcierzą rozszerzoą ukłdu (*) zywmy mcierz M [A B] (do mcierzy współczyików dopisujemy kolumę wyrzów wolych)
Ukłd liczb (... ) spełijących kżde rówie ukłdu (*) zywmy rozwiąziem tego ukłdu. Ukłd rówń liiowych może być: ozczoy (m dokłdie jedo rozwiązie) ieozczoy (m ieskończeie wiele rozwiązń) sprzeczy (ie m żdego rozwiązi). Uwg Ukłd jedorody ie może być sprzeczy (m przyjmiej rozwiązie zerowe). Włsości ukłdu rówń liiowych chrkteryzuje podstwie rzędu mcierzy współczyików A i rzędu mcierzy rozszerzoej M twierdzeie Kroecker - Cpellego: Twierdzeie Jeśli rza rzm to ukłd (*) jest sprzeczy (ie m żdego rozwiązi). Jeśli rza rzm to ukłd (*) jest ozczoy (m dokłdie jedo rozwiązie). Jeśli rza rzm < to ukłd (*) jest ieozczoy (m ieskończeie wiele rozwiązń). W osttim przypdku iewidome dzielimy iewidome bzowe i prmetry. Rozwiązie zleży od - rza prmetrów tomist liczb iewidomych bzowych jest rów rza. Metody rozwiązywi ukłdów rówń liiowych. Metod mcierzow X A - B (moż stosowć gdy m i deta wtedy ukłd jest ozczoy). Przykłd z y z z y Rozwiązie. A deta T A B z y X Ztem rozwiąziem tego ukłdu rówń są liczby y z - fkt te możemy sprwdzić podstwijąc te liczby do rówń ukłdu i porówć stroy.
. Metod wyzczikow Twierdzeie Crmer Jeśli m i deta wtedy ukłd jest ozczoy (ukłd Crmer) orz: W W W W... W W gdzie W deta W j deta j j... A j mcierz otrzym z A przez zstąpieie j-tej kolumy przez kolumę wyrzów wolych. Uwg Jeśli W i co jmiej jede wyzczik W j to ukłd jest sprzeczy. Jeśli W W W... W to ukłd jest sprzeczy lub ieozczoy. Przykłd Rozwiązie. y z z y z A deta W W W W ztem y z.. Metod elimicji Guss Przeksztłcei elemetre ukłdu rówń liiowych. ) możeie rówi przez liczbę różą od zer b) zmi kolejości rówń w ukłdzie c) dodie do dowolego rówi iego rówi tego ukłdu pomożoego przez dowolą liczbę. Wykoywie przeksztłceń elemetrych dym ukłdzie rówń ie zmiei zbioru jego rozwiązń (otrzymujemy ukłd rówowży demu). W przypdku zpisu mcierzowego powyższe opercje wykoujemy wierszch mcierzy rozszerzoej. Stosując opercje elemetre wierszch mcierzy rozszerzoej przeksztłcmy mcierz rozszerzoą do postci: 9
gdzie ~ ~ ~ ~ ~... ~ ~ ~ ~ ~ r ~ r... ~ b ~ b... r r.............................. ~ ~ ~ rr rr... r ~ b~ r b r..................... b ~... r........................... ~ rr ; r rza Jeśli dl pewego i... k b ~ ri to ukłd sprzeczy ~ Jeśli dl i... k b ri i r < to ukłd ieozczoy zmiee r r... przyjmujemy że są prmetrmi (mogą przyjmowć dowole wrtości) i przy wyzcziu iewidomych bzowych przeosimy je prwą stroę trktując jk wyrzy wole iewidome... r przyjmujemy że są bzowe i obliczmy ich wrtość rozpoczyjąc od jiższego rówi różego od zer (obliczoe wrtości podstwimy do kolejych rówń). ~ Jeśli dl i... k b ri i r to ukłd ozczoy wszystkie iewidome są bzowe i obliczmy ich wrtość rozpoczyjąc od jiższego rówi różego od zer. Przykłd Rozwiązie. M Po zstosowiu przeksztłceń elemetrych otrzymmy: ~ M przyjmujemy że są bzowe przyjmujemy że są prmetrmi z rówi II obliczmy z rówi I po podstwieiu obliczmy k
Uwg W przypdku ukłdu ieozczoego moż rozptrywć róże ukłdy iewidomych bzowych (wszystkich tkich ukłdów jest jwyżej ). Rozwiązie ukłdu r ieozczoego jest rozwiąziem bzowym jeśli pod prmetry podstwimy wrtość zero. Rozwiązi bzowe są przydte w zgdieich optymlizcji. Rozwiązi bzowe ukłdu ieozczoego Z metody Guss wyik istieie rozwiązi bzowego (pod prmetry podstwimy zer). Rozwiązń bzowych może być wiele. Aby otrzymć ie rozwiązie bzowe leży przyjąć że w owym rozwiąziu bzowym jede z dotychczsowych prmetrów będzie zmieą bzową jed z dotychczsowych zmieych bzowych będzie prmetrem. Nstępie pod owe prmetry podstwimy wrtość i rozwiązujemy otrzymy ukłd rówń liiowych. Możliwe są dwie sytucje: otrzymy ukłd jest ozczoy i otrzymujemy owe rozwiązie bzowe otrzymy ukłd jest ieozczoy lub sprzeczy wtedy leży szukć iego rozwiązi bzowego. Wszystkich rozwiązń bzowych ie może być więcej iż. r Przykłd Rozptrzmy ukłd rówń: Mcierz rozszerzo tego ukłdu jest rów jest to ukłd ieozczoy r rza rzm. Niech zmiee bzowe; prmetry rozwiązując ukłd: otrzymmy rozwiązie bzowe ( ). Rozptrzmy owy ukłd iewidomych zmiee bzowe; prmetry wtedy odpowiedi ukłd: jest sprzeczy ztem ukłd te ie dje rozwiązi bzowego. Rozptrzmy owy ukłd iewidomych zmiee bzowe; prmetry wtedy odpowiedi ukłd: dje rozwiązie bzowe ( ). Przykłd Wyzczyć wszystkie rozwiązi bzowe dl ukłdu rówń:
Uwg. Wszystkie możliwości jłtwiej rozptrzyć wypełijąc tbelkę: Zmiee bzowe () () () () () () Zmie e W tym celu rozwiązujemy ukłdy rówń: () () () () () () wyiki wpisujemy do tbelki Zmiee bzowe () () () () () () Zmiee Ztem rozwiązi bzowe są stępujące: (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ). UKŁADY RÓWNAŃ - Zdi Zdie Rozwiąż ukłd rówń metodą mcierzy odwrotej: ) b) c) d) 9 e) f) (odp. ) () b) () c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( )) Zdie Rozwiąż ukłdy rówń z zdi metodą Crmer.
Zdie Rozwiąż ukłdy rówń metodą Crmer: ) b) (odp. ) ( ) b) ( )) Zdie Sprwdź czy stępujące ukłdy rówń są sprzecze: ) b) c) Zdie Rozwiąż ukłd rówń metodą elimicji Guss: ) b) c) d) e) 9 (odp. ) ukłd ieozczoy p. prmetr b) ukłd ozczoy c) ukłd ieozczoy p. prmetry d) ukłd sprzeczy e) ukłd ieozczoy p. prmetry ) Zdie Przelizuj rozwiązlość stępujących ukłdów rówń z prmetrem: ) k k b) k k k c) k (odp. ) ukłd ieozczoy dl k dl pozostłych k ukłd ozczoy b) ukłd ieozczoy dl k i k dl pozostłych k ukłd ozczoy c) ukłd ieozczoy dl k dl pozostłych k ukłd ozczoy) Zdie Czy dy ukłd rówń m rozwiązi iezerowe:
) b) c) d) (odp. ) tk b) ie c) tk d) ie) Zdie Rozwiąż ukłdy rówń jedorodych: ) b) (odp. ) ukłd ieozczoy p. prmetr b) ukłd ozczoy ) Zdie 9 Npisz ukłd rówń którego jedyym rozwiąziem są liczby ( ). Zdie Npisz ukłd rówń ieozczoych którego jedym z rozwiązń są liczby ( ). Zdie Wyzczyć wszystkie rozwiązi bzowe dl ukłdu rówń: () (b) (odp. ) ( ) ( 9 ) ( ) ( ) ( 9) ( ) b) (; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; -) (; ; ; ; ) ( ; -; 9; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; ) (; ; ; ; ))
Zdi powtórzeiowe. Zdie. d) Niech A B wyzcz AB BA Odp. ) AB BA. Zdie. Oblicz wyzcziki mcierzy: A B C D Odp. deta detb detc detd -. Zdie. Wyzcz mcierz odwrotą do mcierzy: A B Odp. A - B - Zdie. Wyzcz rząd mcierzy: A B C Odp. ra rb rc. Zdie. Rozwiąż ukłd rówń: ) b)
c) d) e) ) ukł. ozczoy - b) ukł. ozczoy c) ukł. ieozczoy p. - prmetr d) ukł. sprzeczy e) ukł. ieozczoy p. - prmetr. Zdie. Wyzcz mcierz X jeśli ) X b) [ ] X Odp. ) X b) [ ] 9 X