Pojęcie przestrzeni probabilistycznej

Pojęcie przestrzeni probabilistycznej Definicja (przestrzeni probabilistycznej) Uporządkowany układ < Ω, S, P> nazywamy przestrzenią probabilistyczną jeśli (Ω) Ω jest niepustym zbiorem zwanym przestrzenia zdarzeń elementarnych, (S) rodzina zbiorów S P(Ω) (P(X) jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru X) spełnia warunki S. Ω S, S2. dla dowolnego ciągu A, A 2,...,A n,... zbiorów naleŝących do S A A 2... A n... S, S3. dla dowolnych zbiorów A, B S, A B S, (P) P:S <0,> jest funkcją zwaną rozkładem prawdopodobieństwa, przyporządkowującą zbiory z rodziny S liczbom rzeczywistym, spełniającą warunki; P. dla kaŝdego A Ω, P(A) 0, P2. P(Ω) =, P3. dla dowolnego ciągu A, A 2,...,A n,... zbiorów parami rozłącznych naleŝących do S P(A A 2... A n...) = P(A ) P(A 2 )... P(A n ).... Wtedy rodzinę S nazywamy ciałem przeliczalnie addytywnym zdarzeń lub σ-ciałem (czyt.: sigma ciałem), elementy S nazywamy zdarzeniami losowymi, a wartość rozkładu prawdopodobieństwa dla danego zdarzenia prawdopodobieństwem tego zdarzenia. Zdarzenia Ω,, nazywamy odpowiednio: pewnym, niemoŝliwym. JeŜeli A jest zdarzeniem losowym, to A =Ω A jest zdarzeniem losowym, nazywamy je zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A. Eksperyment (obserwację) nazywamy losowym (losową) jeśli moŝemy opisać go (ją) jako przestrzeń probabilistyczną, w której elementy przestrzeni zdarzeń elementarnych interpretujemy jako rozłączne wyniki eksperymentu (obserwacji), nazywając je zdarzeniami elementarnymi, a badane podczas eksperymentu (obserwacji) dobrze określone zbiory wyników są interpretacją zdarzeń losowych i dlatego nazywane są zdarzeniami losowymi lub przypadkowymi.

Twierdzenie W dowolnej przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P>, dla dowolnych zdarzeń losowych A, B : ) P( ) = 0, 2) P(A ) = P(A), 3) JeŜeli A B, to P(B) P(A), 4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), 5) P(A) + P(B) P(A B), 6) JeŜeli A B, to P(A B) = P(B) P(A). Twierdzenie 2 W dowolnej przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P>, dla dowolnego stępującego ciągu zdarzeń losowych {B n } (tj. B n+ B n ), takiego Ŝe zachodzi równość P3* I = n B n = B S, lim P(B n ) = P(B), n ponadto warunki P3 i P3* są równowaŝne. Dyskretne modele przestrzeni probabilistycznych Definicja 2 Klasyczne prawdopodobieństwo Niech Ω = {ω, ω 2,, ω n }, S = P (Ω).Określmy funkcję P:S <0,> następująco: dla dowolnego zbioru A P (Ω) P(A) = A /n, gdzie A jest liczbą elementów w zbiorze A. Zachodzi wtedy Twierdzenie 3 Układ <Ω, S, P> jest przestrzenią probabilistyczną. Wartość P(A) = A /n nazywamy prawdopodobieństwem klasycznym zdarzenia losowego A, mówimy, Ŝe: prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A i liczby wszystkich zdarzeń. Opisaną w twierdzeniu przestrzeń probabilistyczną nazywa się schematem klasycznym losowania lub klasycznym schematem probabilistycznym, a przestrzeń probabilistyczną < Ω, S, P> - klasyczną przestrzenią probabilistyczną

Definicja 3 Schemat losowania bez zwracania i ze zwracaniem Niech będzie dany n-elementowy zbiór {a, a 2,, a n }, który nazywać będziemy populacją generalną. Dowolny k-elemntowy ciąg elementów populacji generalnej nazywać będziemy próbką o liczebności k. JeŜeli ten ciąg (próbkę) tworzymy w ten sposób, Ŝe kaŝdy element ciągu wybieramy ze zbioru powstałego z populacji generalnej przez usunięcie juŝ wcześniej wybranych elementów ciągu, to nazywamy go próbką bez zwracania. Jest ona po prostu róŝnowartościowym ciągiem. Liczba wszystkich k-wyrazowych próbek bez zwracania, zwana jest w kombinatoryce liczbą k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń (V n k ), wynosi V n k = n(n-)(n-2) (n-k+). Dla k=n, V n n = *2*...*n = n!. JeŜeli próbka powstaje w ten sposób, Ŝe kaŝdy element ciągu po wybraniu z populacji generalnej zostaje zapamiętany i zwrócony z powrotem, co oznacza, Ŝe następny element ciągu wybieramy z tego samego zbioru co poprzedni element, to taką próbkę nazywamy próbka ze zwracaniem. Liczba wszystkich k-wyrazowych próbek ze zwracaniem, zwana jest w kombinatoryce liczbą k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami (W n k ), wynosi W n k =n k. Schemat klasyczny losowania dla Ω ={wszystkie próbki bez zwracania} nazywamy schematem losowania bez zwracania. Schemat klasyczny losowania dla Ω ={wszystkie próbki ze zwracaniem} nazywamy schematem losowania ze zwracaniem. Liczba k-elementowych próbek bez zwracania róŝniących się tylko porządkiem elementów (wtedy nazywamy je permutacjami k-elementowego zbioru) wynosi k! = *2*...*k. Liczba sposobów wyboru próbek róŝniących się tylko składem (liczba kombinacji) wynosi V k k n /k! =, n k 0. n Definicja 5 Rozkład hipergeometryczny Dana jest n-elementowa populacja generalna oraz jej n -elementowy podzbiór C elementów posiadających pewną wyróŝnioną cechę. Liczba wszystkich k- elementowych kombinacji posiadających dokładnie k 0 elementów ze zbioru C wynosi n k n n k k Niech Ω = {k-elementowe kombinacje populacji generalnej}, ponadto niech dla dowolnego k, k k 0, zbiór G k kombinacji k-elementowych posiadających.

dokładnie k elementów zbioru C jest generatorem ciała przeliczalnie addytywnego S. Z określenia generatorów G k wynika, Ŝe są one rozłączne, a więc kaŝdy element S jest zbiorem pustym lub sumą generatorów. Aby określić rozkład prawdopodobieństwa P wystarczy zastosować schemat klasyczny prawdopodobieństwa: P(A) = A / Ω, n gdzie A S, Ω =, a dla generatorów Gk k n k n n k k P(G k ) =P n, n (k,k) = Wtedy Twierdzenie 4 Układ <Ω, S, P> jest przestrzenią probabilistyczną. n /. k Schemat Bernoulliego Przypuśćmy, Ŝe z populacji generalnej składającej się z dwóch elementów {0,} pobieramy próbkę ze zwracaniem o liczebności r. Niech Ω jest zbiorem wszystkich takich próbek, S = P (Ω), a p jest dowolną liczba z przedziału (0,). Określmy funkcję P:S <0,> następująco: () jeŝeli w próbce ω Ω jest dokładnie k jedynek, to P({ω}) = p k (-p) r-k, (2) P(A) = P({ω}) ω A (3) jeŝeli A jest zbiorem do którego naleŝą tylko próbki zawierające dokładnie k Wtedy jedynek, to P(A) = P(k,r) = r k p k (-p) r-k. Twierdzenie 5 Układ <Ω, S, P> jest przestrzenią probabilistyczną. Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie 6 JeŜeli B jest zdarzeniem losowym w klasycznej przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P> oraz P(B) 0, a S B = {S S: S B}. Określmy funkcję P B : S B <0,> następująco: dla S S B P B (S) = S / B. Wtedy. Układ <B,S B, P B > jest przestrzenią probabilistyczną. Gdy oznaczmy dla dowolnego A S, P B (A B) = P(A B), wtedy P(A B) = P(A B)/P(B).

2. Układ < Ω, S, P B >, gdzie P B (A) =P(A B)/P(B), dla dowolnego A S, jest przestrzenią probabilistyczną. Twierdzenie 7 Niech B jest zdarzeniem losowym w przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P> oraz P(B) 0. Oznaczmy przez S B rodzinę zbiorów {S S: S B} oraz P B (S) = P(S)/P(B).. Układ <B,S B, P B > jest przestrzenią probabilistyczną. 2. Układ < Ω, S, P B >, gdzie dla A S, P B (A) =P(A B)/P(B), jest przestrzenią probabilistyczną. Definicja 6 Niech A i B są zdarzeniami losowymi w przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P> oraz P(B) 0. Oznaczmy P(A B) = P(A B)/P(B). Wtedy P(A B) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B, a dla przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P B > funkcję P B określoną dla A S wzorem P B (A) =P(A B)/P(B),nazywamy warunkowym rozkładem prawdopodobieństwa. Zdarzenia niezaleŝne Definicja 7 Niech A i B są zdarzeniami losowymi w przestrzeni probabilistycznej < Ω, S, P> oraz P(B) 0 oraz P(A B) = P(A). Wtedy mówimy, Ŝe zdarzenie A niezaleŝny od zdarzenia B. Twierdzenie 8 JeŜeli zdarzenia A niezaleŝny od zdarzenia B. to P(A B) = P(A)P(B). Stąd wynika, Ŝe Twierdzenie 9 Jeśli P(A) 0 i P(B) 0, to zdarzenie A nie zaleŝy od zdarzenia B zdarzenie B nie zaleŝy od zdarzenia A. Twierdzenie 0 Jeśli P(A) 0 i P(B) 0 oraz P(A B) = P(A)P(B), to zdarzenie A nie zaleŝy od zdarzenia B.

Definicja 8 Jeśli zdarzenia A i B spełniają warunek P(A B) = P(A)P(B), to zdarzenia te nazywamy niezaleŝnymi. Twierdzenie Jeśli zdarzenia A i B są niezaleŝne, to P(A B) = P(A) + P(B) + P(A)P(B). Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym (całkowitym) Definicja 9 Zdarzenia A i, gdzie i przebiega przeliczalny zbiór, tworzą w przestrzeni probabilistycznej <Ω,, S, P> układ zupełny, gdy są parami rozłączne oraz = Ω.. U i I A i Twierdzenie 2 Niech zdarzenia A i, gdzie i przebiega przeliczalny zbiór I, tworzą w przestrzeni probabilistycznej <Ω,, S, P> układ zupełny oraz dla kaŝde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo niezerowe. Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego B P(B) = P(A i ) P(B A i ). i I Twierdzenie Bayesa Twierdzenie 3 Niech zdarzenia A i, gdzie i przebiega przeliczalny zbiór I, tworzą w przestrzeni probabilistycznej <Ω,, S, P> układ zupełny oraz dla kaŝde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo niezerowe. Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A i P(A i ) = P(A i ) P(B A i ) / P(A i ) P(B A i ). i I Prawdopodobieństwo P(B A i ) nazywamy a posteriori, a prawdopodobieństwo P(A i ) a priori. Przypomnienie niektórych definicji Definicja 0 (przestrzeni metrycznej) Układ < X, d>, gdzie X jest niepustym zbiorem, a funkcja d:x X R + {0} spełnia dla dowolnych x, y X warunki () d(x,y) 0 i d(x,y) = 0 x=y, (2) d(x,y) = d(y,x),

(3) d(x,y) + d(y,z) d(x,z), nazywamy przestrzenią metryczną. Dla dowolnego x 0 X oraz liczby r>0, zbiór K(x 0, r) = {x X: d(x 0, x)<x}, nazywamy kulą otwartą o środku x 0 i promieniu r. Dowolny podzbiór F X, taki Ŝe dla dowolnego x 0 A istnieje liczba r>0 spełniająca warunek K(x 0, r) A, nazywamy zbiorem otwartym w przestrzeni metrycznej <X,d>. Zbiory borelowskie i ciało zbiorów borelowskich Definicja (ciało zbiorów borelowskich) Niech <X,d> jest dowolnie ustaloną przestrzenią metryczną. Rodzinę B(X) zbiorów, do której naleŝą wszystkie zbiory otwarte w tej przestrzeni metrycznej, spełniającą warunki B. X B(X), B2. dla dowolnego ciągu A, A 2,...,A n,... zbiorów naleŝących do B(X) A A 2... A n... B(X), B3. dla dowolnych zbiorów A, B B(X), A B B(X), nazywamy ciałem zbiorów borelowskich. JeŜeli najmniejszą rodziną zbiorów borelowskich spełniającą warunki B-B3 oraz zawierającą rodzinę zbiorów B 0 jest B(X), to rodzinę B 0 nazywamy zbiorem generatorów B(X), a o zbiorach borelowskich mówimy, Ŝe są generowane przez generatory. Twierdzenie 4 Niech <X,d> jest przestrzenią metryczna, gdzie X= R n, d(x,y) = x y (przestrzeń ta, rozwaŝana jako n-wymiarowa przestrzeń wektorowa, zwana jest przestrzenią euklidesową), dla x,y R n. Wtedy ciało zbiorów borelowskich B(X) jest generowane, przez n-wymiarowe otwarte kostki postaci (a, ) (a 2, )... (a n, ) lub postaci (-,a ) (-,a 2 )... (-,a n ) gdzie a, a 2,..., a n R. Uwaga: B(R n ) będziemy utoŝsamiali z ciałem zbiorów borelowskich określonym na n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej Zmienne losowe n-wymiarowe Definicja 2 ( jednowymiarowej zmiennej losowej) Dowolną funkcję X:Ω R określoną dla jakiejś przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> nazywamy jednowymiarową zmienna losową, gdy x R {ω Ω:: X(ω)<x} S.

Jeśli nie będzie to prowadziło do nieporozumień, będzie moŝna, dla formuły Φ(X), takiej Ŝe A={ω Ω : Φ(X(ω)) } S, pisać zamiast P(A), P(ΦX)). Definicja 3 (n-wymiarowej zmiennej losowej) Dowolną funkcję X:Ω R n określoną dla jakiejś przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> nazywamy n-wymiarową zmienna losową, lub wektorem losowym, gdy istnieje taki układ (X,X 2,X n ) jednowymiarowych zmiennych losowych, Ŝe (x,x 2,,x n ) R n {ω Ω:: X(ω) = (X (ω),x 2 (ω),...,x n (ω)), X (ω)<x,..., X n (ω)<x n } S. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej i dystrybuanta zmiennej losowej Definicja 4 (rozkładu prawdopodobieństwa jednowymiarowej zmiennej losowej) Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową. Funkcję P X : B(R) <0,> nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa jednowymiarowej zmiennej losowej, gdy dla dowolnego A B(R), {ω Ω:: X(ω) A} S oraz P X (A) = P({ω Ω:: X(ω) A}). Twierdzenie 5 Układ <R, B(R),P X > jest przestrzenią probabilistyczną. Definicja 5 (rozkładu prawdopodobieństwa n-wymiarowej zmiennej losowej) Niech funkcja X:Ω R n określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest n-wymiarową zmienna losową (wektorem losowym). Funkcję P X : B(R n ) <0,> nazywamy rozkładem prawdopodobieństwa n-wymiarowej zmiennej losowej, gdy dla dowolnego A B(R n ), {ω Ω:: X(ω) A} S oraz P X (A) = P({ω Ω:: X(ω) A}).

Twierdzenie 6 Układ <R n, B(R n ),P X > jest przestrzenią probabilistyczną. Definicja 6 (dystrybuanty jednowymiarowej zmiennej losowej) Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową. Funkcję F X : R <0,> określoną wzorem F X (x) =P({ω Ω : X(ω) < x} ), nazywamy dystrybuantą jednowymiarowej zmiennej X. Twierdzenie 7 Dystrybuanta F X : R <0,> jednowymiarowej zmiennej X :Ω R określonej na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> następujące własności: F. Dla liczb a, b R, takich Ŝe a < b, F X (b) F X (a), F2. lim F X(x) = 0 i x lim F X (x) =, x F3. Dla dowolnej liczby a : x a x a - oznacza, Ŝe liczby x dąŝą do a po wartościach x<a ). lim F X (x) = F X (a), (lewostronna ciągłość F X, Twierdzenie 8 Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową, a funkcja P X : B(R) <0,>, gdzie B(R) jest generowane przez wszystkie przedziały otwarte postaci (-,a), jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Wtedy dystrybuanta F X : R <0,> dla dowolnego x R wyraŝa się wzorem F4. F X (x) =P X ((-, x)), oraz dla liczb a, b R, takich Ŝe a < b, F5. P X (<a, b)) = F X (b) - F X (a). Twierdzenie 9 Niech funkcja F: R <0,> spełnia warunki F-F3, a B(R) jest ciałem borelowskim generowanym przez wszystkie przedziały otwarte postaci (-,a). Istnieje funkcja P: B(R) <0,>, taka, Ŝe P((-,x)) = F(x) oraz układ <R, B(R), P> jest przestrzenią probabilistyczną (zwany jest teŝ standardowym modelem przestrzeni probabilistycznej dla dystrybuanty F). Ponadto, funkcja toŝsamościowa X: R R jest zmienną losową w tej przestrzeni, taką Ŝe rozkład jej prawdopodobieństwa F X = F. Krótko: kaŝda funkcja spełniająca warunki F- F3 jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej w jakiejś przestrzeni probabilistycznej.

Istotą stosowania metod probabilistycznych w informatyce jest takie kodowanie danych opisujących przestrzeń probabilistyczną, aby reprezentacje danych opisywały pewien standardowy model przestrzeni probabilistycznej dla dobrze zbadanej przez matematyków funkcji o własnościach dystrybuanty F-F3. Dobór tej funkcji powinien być przetestowany przez zastosowanie stosownych testów zgodności. Badane w eksperymencie losowym własności powinny być opisywane przez poprawnie zbudowane w języku analizy matematycznej formuły Φ takie, Ŝe {x R: Φ(x) } B(R) jest zdarzeniem losowym w standardowym modelu <R, B(R), P> - mówimy wtedy o prawdopodobieństwie zdarzenia, w którym formuła Φ(x) jest prawdziwa, a prawdopodobieństwo to oznaczamy: P(Φ(x)) ( w ogólności, {x R n : Φ(x) } B(R n ) jest zdarzeniem losowym w standardowym modelu <R, Zmienna B(R n ), P>). losowa dyskretna Definicja 7 Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową, a funkcja P X : B(R) <0,> jest rozkładem prawdopodobieństwa jednowymiarowej zmiennej losowej. Zmienną losową X nazywamy dyskretną (typu skokowego), gdy istnieje przeliczalny zbiór S B(R) taki, Ŝe P X (S) = oraz x S {ω Ω:: X(ω) = x} S. Oznaczenie: f X (x) = P X ({ω Ω:: X(ω) = x}) Twierdzenie 20 Niech X :Ω R jest dyskretną zmienną losowa o rozkładzie prawdopodobieństwa P X : B(R) <0,> oraz zbiór S B(R) jest zbiorem przeliczalnym takim, Ŝe P X (S) =. Wtedy () dla kaŝdego przeliczalnego zbioru S B(R) takiego, Ŝe P X (S ) = jest S=S, (2) x S {ω Ω:: X(ω) = x} S, (3) jeŝeli A B(R) i A oraz A S, to P X (A) = f X (x), x S (4) jeŝeli A B(R), to P X (A) = P X (A S). Twierdzenie 2 JeŜeli F X : R <0,> jest dystrybuantą dyskretnej zmiennej losowej X :Ω R o rozkładzie prawdopodobieństwa P X : B(R) <0,>, określonej na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P>, oraz S 0 jest przeliczalnym zbiorem naleŝącym do B(R) takim, Ŝe P X (S 0 ) =, to dla dowolnego x R A. jeśli x S 0, to f X (x) = 0, B. F X (x) = n i= f X (y i ), dla S 0 = {y, y 2,..., y n }

C. F X (x) = = i f X (y i ), dla S 0 = {y, y 2,..., y n,...}. Ćwiczenie poszerzające wiedzę Korzystając z definicji przestrzeni probabilistycznej ustal następujące składniki wiedzy: warunki poprawności opisu zdarzenia elementarnego warunki poprawności opisu zdarzenia losowego komputerowa implementacja przeliczalnie addytywnego ciała zdarzeń losowych: implementacja w arkuszu kalkulacyjnym (ewentualnie w znanym studentom języku programowania) list danych jako zbiorów oraz implementacja działań na zbiorach częstość występowania zdarzenia a prawdopodobieństwo błędne rozumienie przypadkowości (losowości) - nieprzewidywalność, Paradoks Bertranda ciało zbiorów borelowskich, zmienne losowe w przestrzeniach probabilistycznych Zmienna losowa ciągła Definicja 8 (zmiennej losowej ciągłej) Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową, a funkcja F: R <0,> jej dystrybuantą. Zmienną X nazywamy ciągłą lub typu ciągłego, jeśli istnieje taka funkcja f: R R, Ŝe dla kaŝdego x jest x F(x) = f ( u) du. Funkcję f nazywamy gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X lub krótko: gęstością. Twierdzenie 22 Niech funkcja X:Ω R określona na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> jest jednowymiarową zmienna losową typu ciągłego oraz posiada rozkład prawdopodobieństwa P X :B(R ) <0,>, a funkcja F: R <0,> jej dystrybuantą. Będziemy, dla formuły Φ(X), takiej Ŝe A={ω Ω : Φ(X(ω)) } S, pisać zamiast P(A), P(Φ(X)). Zachodzą następujące równości: (0) dla dowolnego zdarzenia losowego A S, dla obszaru całkowania X(A) B(R ) mamy P(A) = X ( A) f ( u) du,

() P(a X < b)= P(<a,b))= P((a,b)) =P(<a,b>) = a F(+ )=, (2) F (x) = f(x) = b P((a,b>) = F(b) F(a) = f ( u) du, uwaga: a moŝe a wynosić - oraz b moŝe wynosić +, wtedy F(- )=0, lim x 0 P(x X < x+ x)/ x, + (3) f ( u) du =, (4) dla kaŝdej liczby rzeczywistej a P(X=a) = 0. Uwaga: w celu rozróŝnienia oznaczeń funkcji rozkładu prawdopodobieństwa danej zmiennej losowej X oraz funkcji gęstości tego rozkładu od oznaczeń tego typu funkcji dla innych zmiennych losowych, będziemy uŝywali oznaczeń, jak x we wzorze: F X (x) = f ( u) du. X Definicja 9 (funkcji dystrybuanty) Dowolna funkcję F: R <0,>, spełniającą następujące własności: F. Dla liczb a, b R, takich Ŝe a < b, F(b) F(a) funkcja F zwana jest wtedy niemalejącą, F2. lim F (x) = 0 i x lim F (x) =, x F3. Dla dowolnej liczby a : lim F (x) = F (a), x a nazywamy funkcją dystrybuanty. Jeśli ponadto istnieje taka funkcja f: R R +, Ŝe dla kaŝdego x jest x F(x) = f ( u) du, to tę funkcję rozkładu nazywamy bezwzględnie ciągłą. Twierdzenie 23 (o przestrzeni probabilistycznej indukowanej przez bezwzględnie ciągłą funkcję rozkładu) x Dla dowolnej bezwzględnie ciągłej funkcji rozkładu F(x) = f ( u) du oraz dowolnego ciała borelowskiego B(R ), jeśli funkcja P: B(R ) <0,>, dla dowolnego A B(R ), określona jest wzorem P(A) = A <R, B(R), P> jest przestrzenią probabilistyczną. f u) du (, to układ

Twierdzenie 24 Niech funkcje X:Ω R, Y:Ω R określone na przestrzeni probabilistycznej <Ω, S, P> są jednowymiarowymi zmiennymi losowymi typu ciągłego, a g:r R jest dowolną róŝnowartościową funkcją róŝniczkowalną o ciągłej pierwszej pochodnej g (x) 0, dla kaŝdego x R. JeŜeli zmienna losowa Y=g(X), to jej gęstość f Y (y) = f X (g - (y))/ g (g - (y)) dla inf g( x) < y < sup g( x), x R x R 0 w pozostałych przypadkach. Definicja 20 (kwantylu i mody) Liczbę x p spełniającą, dla funkcji rozkładu F i liczby p <0,>, równość F(x p )=p, nazywamy kwantylem rzędu p (p-kwantem) funkcji rozkładu. Dla p=/2 kwantyl nazywamy medianą funkcji rozkładu, a dla p=/4: kwartylem. Jeśli gęstość f(x) funkcji rozkładu F(x) ma lokalne maksimum w punkcie x 0, to x 0 nazywamy modą f(x).