Statystyka Astronomiczna

Transkrypt

1 Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości populacji na podstawie próbki, z użyciem rachunku prawdopodobieństwa; jednocześnie ocena wiarygodności wyniku

2 Rachunek prawdopodobieństwa Pojęcie prawdopodobieństwa; p-stwo warunkowe Zmienne losowe; dystrybuanta i rozkład p-stwa Charakterystyki rozkładów Funkcja charakterystyczna, funkcja tworząca Niektóre rozkłady prawdopodobieństwa, ich właściwości i zastosowania

3 1. Podstawy Zdarzenia elementarne i złożone Rachunek zdarzeń Pojęcie prawdopodobieństwa; definicje Prawdopodobieństwo warunkowe, wzory Bayesa

4 Zdarzenia Doświadczenie losowe - którego wyniku nie można przewidzieć Zdarzenia elementarne - możliwy wynik zdarzenia losowego. Nie wszystko można rygorystycznie zdefiniować. Przyjmijmy, iż istnieje pewien zbiór zdarzeń elementarnych. To może być np 6 możliwych rezultatów rzutu sześcienną kością do gry. Albo wynik 3 rzutów monetą. Albo zbiór punktów w kwadracie traktowanych jako możliwe położenia [środka] monety, która do niego wpadła. Zdarzenie elementarne może się realizować tylko na jeden sposób. (Np: otrzymanie jednego oczka przy rzucie kostką.) Zdarzenia złożone Zdarzenie złożone może realizować się na więcej niż jeden sposób. (Np: otrzymanie parzystej liczby oczek w rzucie kostką.)

5 Zdarzenia Przestrzeń zdarzeń elementarnych E Wszystkie zdarzenia elementarne tworzą przestrzeń z.e. oznaczaną E. Może ona zawierać skończoną lub nieskończoną liczbę elementów. Może być przeliczalna lub nie. Do E stosują się prawa rachunku zbiorów (teoria mnogości). Zdarzenie niemożliwe Zdarzenie, które nie może mieć miejsca, oznaczane. (Np: otrzymanie 7 oczek w rzucie sześcienną kostką.) Zdarzenie pewne Zdarzenie, które na pewno będzie miało miejsce. (Np: otrzymanie 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek w rzucie kostką.) Oznaczamy je E.

6 Rachunek zdarzeń A zawiera się w B Mówimy, że zbiór zdarzeń A zawiera się w zbiorze zdarzeń B, (A B), jeśli każde zdarzenie elementarne należące do A należy też do B. Suma zdarzeń Zdarzenie, które zachodzi, gdzy zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń A lub B nazywamy ich sumą (A B) (Np: że w rzucie kostką otrzymamy liczbę oczek podzielną przez 2 lub 3, to znaczy liczbę należącą do {2,4,6} lub {3,6}, czyli należącą do {2,3,4,6}.) Iloczyn zdarzeń Zdarzenie, które zachodzi gdy zachodzą jednocześnie A i B, nazywamy ich iloczynem (A B). (Np: że w rzucie kostką otrzymamy liczbę oczek podzielną przez 2 i 3, to znaczy liczbę należącą do {2,4,6} i {3,6} czyli {6}.)

7 Rachunek zdarzeń Różnica zdarzeń Zdarzenie, które zachodzi gdy zachodzi A, ale nie zachodzi B, nazywamy ich różnicą (A B). (Np: że w rzucie kostką otrzymamy liczbę oczek podzielną przez 2 ale nie przez 3, to znaczy liczbę należącą do {2,4,6} ale nie do {3,6} czyli {2,4}.) Zdarzenia rozłączne Jeśli zajście A wyklucza B, a zajście B wyklucza A, to mówimy, że są rozłączne. Iloczyn zdarzeń rozłącznych jest zdarzeniem niemożliwym (A B = ) Zdarzenie przeciwne do A Zdarzenie nie zawierające żadnych zdarzeń elementarnych należących do A i zawierające wszystkie pozostałe jest zdarzeniem przeciwnym do niego. Jeśli oznaczyny je A c to mamy A A c =, A A c = E Wzory de Morgana: (A c ) c = A ( ) c = E (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c

8 Rachunek zdarzeń Ciało zdarzeń K 1. Jeśli A, B,..., N należą do K, to ich suma też 2. Jesli A należy do K, to A c też 3. Zdarzenie niemożliwe należy do K Powyższe jest definicją ciała w zrozumieniu matematyki. (Ciało nie jest po prostu zbiorem zdarzeń elementarnych; jest zbiorem wszystkich podzbiorów przestrzeni E.) Dla skończonej liczby zdarzeń elementarnych N ciało zdarzeń składa się z 2 N podzbiorów E.

9 Definicja prawdopodobieństwa Klasyczna (Laplace) Jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych jest skończona i złożona z n rozłącznych, jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo zdarzenia A złożonego z m zdarzeń elementarnych należących do E wynosi: P(A) = m n Geometryczna Przypuśćmy, że położenie obiektu jest jednakowo możliwe w każdym punkcie ograniczonego obszaru S. Prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na znalezieniu obiektu w zawierającym się w S obszarze S A (S A S) dane jest przez: P(A) = µ(s A) µ(s) gdzie µ jest miarą. (Np miarą powierzchni, objętości, objętości w przestrzeni wielowymiarowej etc).

10 Definicja prawdopodobieństwa Statystyczna Dokonujemy długiej serii pomiarów/obserwacji. Przypuśćmy, że w serii o długości n zdarzenie A pojawiło się m razy. Jego prawdopodobieństwo szacujemy jako P(A) = m n (To trzeba sprawdzić! Fluktuacje stosunku m/n powinny maleć przy n.)

11 Definicja prawdopodobieństwa Aksjomatyczna (Kołmogorow) Funkcja P spełniająca: 1. Dla każdego A K zachodzi 0 P(A) 1 2. Jeśli E jest zdarzeniem pewnym to P(E) = 1 3. Jeśli A 1, A 2,... parami się wykluczają i należą do K, to P(A 1 A 2...) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... Wnioski P(A c ) = 1 P(A) P( ) = 0 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) A B P(A) P(B)

12 Definicja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo warunkowe Pytamy jakie jest prawdopodobieństwo A pod warunkiem, ze B zachodzi. To tak, jakby B stało się zbiorem wszystkich [interesujących] zdarzeń elementarnych, a zdarzenia A zachodzące pod warunkiem B to zbiór A B. Poszukiwane p-stwo warunkowe to: P(A B) = P(A B) P(B) P-stwo warunkowe mówi więc jaką częścią B jest A B. Wnioski P(A B) = P(B)P(A B) P(A B) = P(A)P(B A) A i B są niezależne jeśli P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) Dla zdarzeń niezależnych mamy P(A B) = P(A)P(B)

13 Wzór Bayesa Prawdopodobieństwo całkowite Jeśli B zachodzi jednocześnie z jednym i tylko jednym spośród rozłacznych A 1, A 2,..., A n to B jest sumą rozłąćznych iloczynów A 1 B, A 1 B,..., A n B i wobec tego P(B) = P(A 1 )P(B A 1 ) + P(A 2 )P(B A 2 ) P(A n )P(B A n ) (wzór na p-stwo całkowite). Stąd wzór Bayesa: P(A i B) = P(A i)p(b A i ) k P(A k)p(b A k )