STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa

2 treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych

3 Zanim zajmiemy się wnioskowaniem statystycznym musimy uświadomić sobie, Ŝe nigdy w 100% nie będziemy pewni czy jest ono prawdziwe czy fałszywe. MoŜemy tylko takiego czy innego wyniku wnioskowania oczekiwać z określonym prawdopodobieństwem. To znaczy, Ŝe rezultat wnioskowania jest zdarzeniem losowym. Musimy zatem zapoznać się z pojęciem zdarzenia losowego i jego prawdopodobieństwa. Zdarzenia losowe (przypadkowe) to takie zdarzenia, które w danym kompleksie warunków mogą zajść lub nie zajść i mają określone prawdopodobieństwo zajścia lub niezajścia. W kaŝdym eksperymencie (doświadczeniu, badaniu) statystycznym moŝna wyróŝnić zbiór wszystkich moŝliwych, oddzielnych i nie dających rozłoŝyć się na prostsze wyników obserwacji. Zbiór taki nazywamy zbiorem zdarzeń elementarnych. Np. rzut kostką: ZZE to 1,,3,4,5,6 ale uzyskanie jednego z tych moŝliwych zdarzeń jest zdarzeniem losowym.

4 Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest teoretycznym odpowiednikiem (względnej) częstości empirycznej (empirycznego prawdopodobieństwa). Definicja klasyczna (na podstawie Laplace`a 181) Prawdopodobieństwem P zdarzenia losowego A nazywamy iloraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A oraz liczby wszystkich zdarzeń elementarnych, jednakowo moŝliwych i wzajemnie się wykluczających. P ( A) a a + b P ( A) 1 P( B) 1 P( A) 0

5 Definicja matematyczna (na podstawie von Misesa) Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest granicą do jakiej dąŝy częstość empiryczna, przy załoŝeniu, Ŝe liczebność jednostek obserwacji dąŝy do nieskończoności. lim n p i P( A) Definicja współczesna (na podstawie Kołmogorowa) (Prawdopodobieństwo jest tu rozumiane jako miara na podzbiorach zbioru zdarzeń elementarnych. Definicja zapisywana jest w formie aksjomatów wynikających z teorii klasycznej Laplace`a) * KaŜdemu zdarzeniu losowemu A odpowiada określona liczba P(A) zwana prawdopodobieństwem zdarzenia losowego A zawierająca się w granicach przedziału liczbowego od 0 do 1 ( A) 1 0 P

6 ** Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego (obejmującego wszystkie elementy zbioru Ω) równa się jedności P( Ω) 1 *** JeŜeli A 1, A,..., A n,... jest ciągiem zdarzeń losowych parami wykluczających się, to prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń P ( A A + + A +...) P( A ) + P( A ) P( A ) n 1 n +

7 Prawo wielkich liczb leŝy u podstaw badania prawidłowości statystycznych. Po raz pierwszy opublikowane jako tzw. Złote twierdzenie Bernoulliego w 1713 roku. W okresach późniejszych bardziej uogólniane przez Poissona, Czebyszewa i innych. Wzrostowi liczby jednostek obserwacji (ściślej - liczby niezaleŝnych doświadczeń) odpowiada wzrastające prawdopodobieństwo zmniejszania się bezwzględnej róŝnicy między częstością empiryczną z próby a nieznanym co do poziomu prawdopodobieństwem danego zdarzenia losowego. lim n P { p P( A) ε} 1 i n i N p i

8 Na podstawie tego prawa formułowane są ogólniejsze twierdzenia dotyczące procesów masowych. Np.: DuŜa liczebność (masowość) próby powoduje, Ŝe odchylenia na (+) i na (-) między częstością empiryczną i prawdopodobieństwem mają tendencje do zmniejszania się. Tendencja ta nie występuje w przypadku małych prób. Prawo wielkich liczb moŝe być rozszerzane i na inne, poza prawdopodobieństwem, parametry zbiorowości generalnej. Np.: Wartość liczbowa średniej arytmetycznej z próby (x) jest tym lepszym oszacowaniem średniej populacji generalnej (µ) im liczebność losowej próby jest większa. { x } µ ε 1 lim P n (uogólnienie Czebyszewa)

9 Zmienne losowe: Zmienna losowa (X) jest teoretycznym odpowiednikiem (modelem) cechy statystycznej. Warianty cechy statystycznej pojawiają się z określoną częstością empiryczną (szereg rozdzielczy) a realizacjom zmiennej losowej odpowiadają prawdopodobieństwa wyznaczone przez odpowiednią funkcję. Definicja wg. podręcznika prof. Bruchwalda: Zmienną losową (X) nazywamy funkcję o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze zdarzeń elementarnych taką, Ŝe dla dowolnych stałych a < b jest określone prawdopodobieństwo, iŝ a < X < b. Podobnie jak w przypadku cech statystycznych zmienne losowe dzielimy na skokowe (dyskretne) (X s ) oraz ciągłe (X c ).

10 Skokowe to takie, których zbiór moŝliwych realizacji jest skończony (x 1, x, x 3,..., x k ) lub przeliczalny (x 1, x, x 3,...). ( X x ) p s i i P Czyli zmienna losowa skokowa przyjmuje wartości liczbowe (x i ) z prawdopodobieństwem (p i ) (gdzie i 1,, 3,..., k lub i 1,, 3,... ) Ciągłe to takie, dla których istnieje taka nieujemna funkcja f(x) zwana funkcją gęstości prawdopodobieństwa, Ŝe dla dowolnych przedziałów (x 1i < x i ) zachodzi: x P ( x X < x ) f ( x) dx p 1i c i i < x i 1i natomiast: P( X x ) 0 c i

11 Do metod prezentacji wnioskowania statystycznego niezbędne jest pojęcie rozkładu zmiennej losowej: W przypadku zmiennych losowych skokowych, odpowiednia dla danej zmiennej funkcja określa rozkład prawdopodobieństwa wszystkich moŝliwych realizacji tej zmiennej P(X s x i ) p i. Dla zmiennych losowych ciągłych funkcja określa gęstość prawdopodobieństwa, gdyŝ P(X c x i ) 0. Liczba wszystkich moŝliwych zdarzeń dla X c jest nieskończona. f ( x) lim x 0 P ( x < X < x + x) c x

12 WaŜnym pojęciem w statystyce jest dystrybuanta zmiennej losowej odpowiednik dystrybuanty empirycznej: - dla Xs (skokowej): F ( x) P( X x) P( X x ) - dla Xc (ciągłej): F s x x ( x) P( X < x) f ( x) dx c Dystrybuanta zmiennej losowej F(x) jest to prawdopodobieństwo tego, Ŝe ta zmienna losowa przyjmie wartości < x. i x s i

13 Wskaźniki charakteryzujące zmienne losowe: Wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) odpowiednik średniej arytmetycznej dla populacji: - dla (X s ): EX x s i p i ni 1 pi i µ N x n i N - dla (X c ): EX c + x f ( x) dx

14 Wariancja zmiennej losowej: - skokowej D X ( ) s xi EX s pi - ciągłej D X + c ) f ( x dx ( x EX ) c Teoretyczne rozkłady zmiennej losowej skokowej - rozkład dwumianowy: gdzie: q 1 - p k 0, 1,,..., n P ( ) k ( n k ) X k p q s n k

15 EX np D X npq DX npq Dwumian Newtona: przykłady: ( q + p) n n k k n ( n k) p 0,5 n 10 Binomial Distribution 0,5 0, Event prob.,trials 0,5,10 probability 0,15 0,1 0, x

16 p 0, n 10 Binomial Distribution probability 0,4 0,3 0, 0,1 Event prob.,trials 0,, x p 0,7 n 10 Binomial Distribution probability 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, x Event prob.,trials 0,7,10

17 p 0, n 50 0,15 probability 0,1 0,09 0,06 0,03 Binomial Distribution Event prob.,trials 0,, x inne rozkłady zmiennej losowej skokowej: - Poissona P k λ k ( ) λ X k e dla: k 0, 1,,... λ > 0 EX D X λ

18 geometryczny: ( X n) pq n 1 P dla: n 1,, 3,... EX 1 p 1 D X p p q 1-p Teoretyczne rozkłady zmiennej losowej ciągłej: - rozkład normalny: f ( x µ ) 1 σ ( x) e σ Π dla: < x < + σ > 0 EX µ DX σ

19 f(x) N(0;) z x µ σ σ σ f ( z) 1 Π e 1 z x µ f(z) N(0;1) F( z) 1 Π z e 1 z dz z

20 F(z) 1 F( z) 1 Π z e 1 z dz z Inne rozkłady zmiennej losowej ciągłej: - jednostajny - gamma - beta - wykładniczy

21 Przykłady: rozkład dwumianowy x i n i k i n i k i P(Xk) n suma µ σ k p nik N k n i EX p np EX n

22 rozkład normalny x i n i x gi x ig - µ z i (x gi -µ)/σ F(x gi ) F(x gi ) F(x gi-1 ) n i x< x> suma µ 7.80 σ.35

23 Porównanie częstości empirycznych z teoretycznymi n x ne ndw nnor

24 ne ndw ne nnor