Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Transkrypt

1 Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych Ω Doświadczenie losowe realizacja określonego zespołu warunków wraz z góry określonym zbiorem wyników Zdarzenie losowe A jest podzbiorem zbioru zdarzeń elementarnych Ω W Z W SEI Statystyka 16

2 Prawdopodobieństwo (definicja aksjomatyczna) jest funkcją określoną na zbiorze zdarzeń losowych: 1 P (A) 0, 1 2 P (Ω) = 1 3 P (A B) = P (A) + P (B), o ile A B = Prawdopodobieństwo (definicja klasyczna) Jeżeli Ω składa się z n jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo zdarzenia A składającego się z k zdarzeń elementarnych wyraża się wzorem P (A) = k n Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem realizacji zdarzenia B: P (A B) = P (A B) P (B) (P (B) > 0) W Z W SEI Statystyka 17

3 Prawdopodobieństwo całkowite Jeżeli zdarzenia B 1,, B n są takie, że B i B j = dla wszystkich i j, B 1 B n = Ω oraz P (B i ) > 0 dla wszystkich i, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi P (A) = P (A B 1 )P (B 1 ) + + P (A B n )P (B n ) Twierdzenie Bayesa P (B k A) = P (B k )P (A B k ) P (A B 1 )P (B 1 ) + + P (A B n )P (B n ) Niezależność zdarzeń Zdarzenia A oraz B są niezależne, jeżeli Równoważnie P (A B) = P (A)P (B) P (A B) = P (A) P (B A) = P (B) W Z W SEI Statystyka 18

4 Zmienna losowa (cecha) Funkcja o wartościach rzeczywistych określona na zbiorze zdarzeń elementarnych Rozkład zmiennej losowej Zbiór wartości zmiennej losowej oraz prawdopodobieństwa z jakimi są te wartości przyjmowane Przykład Jednokrotny rzut kostką Zmienna losowa: ilość wyrzuconych oczek Zbiór wartości: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Rozkład (kostka uczciwa) x i p i 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Rozkład (kostka nieuczciwa) x i p i 1/24 1/24 1/24 1/24 1/6 2/3 W Z W SEI Statystyka 19

5 Zmienna losowa skokowa (dyskretna) jest to zmienna, której zbiór wartości jest skończony lub przeliczalny Jeżeli x 1 oraz x 2 są kolejnymi wartościami zmiennej losowej skokowej, to nie przyjmuje ona żadnych wartości między x 1 a x 2 Przykłady Rzut kostką, liczba bakterii, ilość pracowników Zmienna losowa ciągła jest to zmienna przyjmująca wszystkie wartości z pewnego przedziału (najczęściej zbioru liczb rzeczywistych) Jeżeli x 1 oraz x 2 są dwiema wartościami zmiennej losowej ciągłej, to może ona przyjąć dowolną wartość między x 1 a x 2 Przykłady Wzrost, ciężar paczki towaru, wydajność pracowników W Z W SEI Statystyka 20

6 Dystrybuanta F jest funkcją określoną na zbiorze liczb rzeczywistych R wzorem F (x) = P {X x}, x R Najważniejsze własności dystrybuanty 1 0 F (x) 1 2 F ( ) = 0, F ( ) = 1 3 dystrybuanta jest funkcją niemalejącą 4 P {a < X b} = F (b) F (a) Funkcja (gęstości) rozkładu prawdopodobieństwa f jest funkcją określoną na zbiorze liczb rzeczywistych R wzorem f(x) = { F (x), jeżeli F (x) istnieje 0, w przeciwnym przypadku Najważniejsze własności funkcji gęstości 1 f(x) 0 2 P {a < X b} = b a f(x)dx W Z W SEI Statystyka 21

7 Skokowa zmienna losowa Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa Dystrybuanta W Z W SEI Statystyka 22

8 Ciągła zmienna losowa Funkcja gęstości F (b) F (a) a Dystrybuanta b W Z W SEI Statystyka 23

9 Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych Wartość oczekiwana (średnia) Wartość oczekiwana EX zmiennej losowej X jest liczbą charakteryzującą położenie zbioru jej wartości EX = { xi p i dla zmiennej skokowej xf(x)dx dla zmiennej ciągłej Prawo wielkich liczb: X 1 + X X n n EX Wariancja Wariancja D 2 X zmiennej losowej jest liczbą charakteryzującą rozrzut zbioru jej wartości wokół wartości średniej EX D 2 X = { (xi EX) 2 p i (x EX) 2 f(x)dx W Z W SEI Statystyka 24

10 Odchylenie standardowe Odchylenie standardowe DX zmiennej losowej X jest liczbą charakteryzującą rozrzut zbioru jej wartości wokół wartości średniej EX DX = D 2 X Kwantyl rzędu p zmiennej losowej X jest to taka liczba x p, że F (x p ) = p Frakcja Jeżeli A jest danym podzbiorem zbioru wartości zmiennej losowej X, to frakcją nazywamy liczbę p = P {X A} Asymetria (skośność) Liczba γ 1 charakteryzująca niejednakowość rozproszenia wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej W Z W SEI Statystyka 25

11 Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa X ma rozkład D(p), jeżeli P {X = 1} = p = 1 P {X = 0} EX = p D 2 X = p(1 p) Doświadczenie Bernoulliego Wykonujemy dwuwynikowe doświadczenie Wyniki nazywane są umownie sukces oraz porażka Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p (porażki: 1 p) Niech zmienną losową X będzie uzyskanie sukcesu Zmienna losowa X ma rozkład D(p) Przykłady Płeć osoby Wadliwość produktu W Z W SEI Statystyka 26

12 Rozkład dwumianowy Zmienna losowa X ma rozkład B(n, p), jeżeli P n,p {X = k} = ( ) n p k (1 p) n k, k = 0, 1,, n k EX = np D 2 X = np(1 p) Schemat Bernoulliego Zmienną losową o rozkładzie D(p) obserwujemy n krotnie w sposób niezależny Niech zmienną losową X będzie ilość sukcesów Zmienna losowa X ma rozkład B(n, p) Przykłady Ilość nasion, z których wzeszły rośliny Ilość wadliwych produktów Popularność danej osobistości publicznej P n,p {X = k} = P n,1 p {X = n k} W Z W SEI Statystyka 27

13 Przykład Niezaliczalność klasówki jest równa 30% Obliczyć prawdopodobieństwo, że na dziesięć wylosowanych klasówek będzie co najwyżej jedna niepozytywna Doświadczenie Bernoulliego: ocena klasówki Sukces klasówka niezaliczona; p = 03 X liczba niezaliczonych klasówek wśród dziesięciu wylosowanych P 10,03 {X 1} = P 10,03 {X = 0} + P 10,03 {X = 1} Tablice: Q(k; n, p) = n P n,p {X = i} i=k P 10,03 {X 1} = 1 Q(2; 10, 03) = P 10,03 {X = 1} = Q(1; 10, 03) Q(2; 10, 03) = = W Z W SEI Statystyka 28

14 Rozkład Poissona Zmienna losowa X ma rozkład P o(λ), jeżeli P λ {X = k} = λk k! e λ, k = 0, 1, EX = λ D 2 X = λ Przykłady Ilość wad na metrze kwadratowym produkowanego materiału Ilość klientów przybywających do sklepu w jednostce czasu W Z W SEI Statystyka 29

15 Przykład Ile średnio powinno przypadać rodzynków na bułeczkę, by prawdopododobieństwo, że w bułeczce znajdzie się co najmniej jeden rodzynek, było nie mniejsze niż 099? X ilość rodzynków w bułeczce X P o(λ), λ =? Znaleźć takie λ, że P λ {X 1} 099 Tablice: Q(k; λ) = P λ {X = i} i=k Q(1; λ) 099 = λ = 48 Obliczenia: P {X 1} = 1 P {X = 0} = 1 e λ e λ 001 = λ log 001 = W Z W SEI Statystyka 30

16 Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ 2 ) o wartości średniej µ i wariancji σ 2, jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem f µ,σ 2(x) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2, < x < EX = µ D 2 X = σ 2 Przykłady Błędy pomiarowe Ciężar ciała Zawartość białka w mięsie Standardowy rozkład normalny: N(0, 1) Dystrybuanta F (x) standardowego rozkładu normalnego (N(0, 1)) jest stablicowana F (x) = 1 F ( x) W Z W SEI Statystyka 31

17 Rozkład normalny µ = 0 µ = 1 µ = 1 σ = 05 σ = 10 σ = 20 W Z W SEI Statystyka 32

18 Jeżeli X N(µ, σ 2 ), to Standaryzacja Z = X µ σ N(0, 1) { ( a µ P {X (a, b)} = P Z σ, b µ )} σ ( ) ( ) b µ a µ = F F σ σ Przykład Dla zmiennej losowej X N(10, 16) obliczyć P {X (8, 14)} P {X (8, 14)} = P { Z ( 8 10, 4 = F (1) F ( 05) = ( ) = )} W Z W SEI Statystyka 33

19 Prawo trzech sigm P { X µ < σ} = P { X µ < 2σ} = P { X µ < 3σ} = µ µ σ µ + σ µ 2σ µ + 2σ µ 3σ µ + 3σ W Z W SEI Statystyka 34

20 Pożyteczne przybliżenia X B(n, p), n duże, p małe X P o(np) X B(n, p), n duże, p około 05 X N(np, np(1 p)) X P o(λ), λ duże X N(λ 05, λ) lub X N ( ) λ, 1 4 W Z W SEI Statystyka 35