II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

Transkrypt

1 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

2 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa rozkład zmiennej losowej parametry rozkładu- wartość oczekiwana, dystrybuanta, wariancja, kwantyle Przykłady rozkładów typu skokowego: rozkład dwupunktowy, rozkład Bernoulliego Przykłady rozkładów typu ciągłego: jednostajny, normalny, t-studenta, χ 2,F-Fishera

3 STATYSTYKA.Statystyka jest zarówno nauką, techniką, jak i sztuką-nowo odkrytą logiką traktowania niepewności i podejmowania roztropnych decyzji C. Radharkrishma Rao, Statystyka i prawda, PWN Warszawa 1994, s. 65

4 EKSPERYMENT LOSOWY (DOŚWIADCZENIE LOSOWE ) RANDOM EXPERIMENT Rachunek prawdopodobieństwa jest integralną częścią statystyki, zwłaszcza wnioskowania statystycznego. Doświadczenie losowe jest to proces, którego wynikiem jest jeden z kilku możliwych i którego nie można z pewnością przewidzieć. Przykłady: DOŚWIADCZENIE WYNIK 1. Rzut monetą orzeł (O), reszka (R) 2. Rzut kostką 1, 2, 3, 4, 5, 6 parzysta liczba oczek, nieparzysta liczba oczek 3. Losowanie Toto-Lotka szóstka liczb: ze zbioru {1,2 49} 4. Narodziny chłopiec, dziewczynka, bliźniaki itp 5. Notowania dzienne kursu zł wzrost, spadek, stagnacja

5 ZDARZENIA LOSOWE EVENT Zbiór zdarzeń elementarnych (Przestrzeń zdarzeń elementarnych); Sample space (list of simple events) - Zbiór wszystkich prostych wyników doświadczenia losowego. Wyniki muszą być wykluczające się i wyczerpujące wszystkie możliwości. Ω ={e 1, e 2,. } Zdarzenie losowe (event) - Podzbiór zbioru zdarzeń losowych: A, B, A Ω ; B Ω e i є A mówimy, że zaszło A ( e i - sprzyja A) Ω zdarzenie pewne A zdarzenie przeciwne do A Ω =Ø zdarzenie niemożliwe e i є A B zaszło A lub B e i є A B zaszło A i B

6 ZMIENNA LOSOWA Ω ={e 1, e 2,. } f: Ω R Przykłady: 1) Rzut monetą: zdarzeniu orzeł przypisujemy 0; zdarzeniu reszka przypisujemy 1. 2) Analog. losowanie wyrobów: zdarzeniu brak (wadliwy) - 0, dobry 1 3) Rzut kostką wyrzucenie 1 1, 2 2 itd 4) Odcinek [a, b] na osi liczbowej wybór punktu o współrzędnej x przypisujemy np. wartość x ; wartość sin 2 (3x+17) itp. GDY WARTOŚCI ZMIENEJ LOSOWEJ X SĄ IZOLOWANYMI PUNKTAMI NA OSI LICZBOWEJ TO ZMIENNA LOSOWA JEST DYSKRETNA (SKOKOWA). NATOMIAST GDY STANOWI ZBIÓR CIĄŁY (np. wszystkie punkty odcinka) TO JEST ONA CIĄGŁĄ

7 PRAWDOPODOBIEŃSTWO DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA (DLA X TYPU SKOKOWEGO) KLASYCZNA równych szans Gdy eksperyment losowy ma n równoprawdopodobnych wyników, to prawdopodobieństwo danego jest p(e i )=1/n CZESTOTLIWOŚCIOWA (EKSPERYMENTALNA) Przyjmuje, że prawdopodobieństwo danego zdarzenia jest równe częstotliwości jego zajścia w wielokrotnie powtarzanym doświadczeniu losowym p(a) = f(a) MATEMATYCZNA Spełnione są warunki: 1)p(Ω) =1 2)0 p(a) 1 dla każdego A 3)p( A n )=Σp(A n ) dla dowolnego ciągu, parami rozłącznych A 1, A 2,.

8 PRAWDOPODOBIEŃSTWO (c.d) A= {e 1, e 2,, e k } p(a) = 1-p(A ) Zdarzenia A i B są niezależne, gdy:

9 GĘSTOŚĆ PRAWDOPODOBIEŃSTWA

10 Wartość oczekiwana A)X- typu dyskretnego: B) X-typu ciągłego: Prawa dla EX: 1. E( c )= c 2. E(cX)= ce(x) 3. E(X Y)=E(X) E(Y) 4. E(XY)=E(X)E(Y) gdy X i Y niezależne zmienne losowe 5. Y=g(X) to:

11 WARIANCJA A) X-typu dyskretnego: 2 =E(X-EX) 2 B) X-typu ciąglego: σ- ODCHYLENIE STANDARDOWE

12 DYSTRYBUANTA A) X-typu dyskretnego: F(t) : R => [0, 1] B) X-typu ciągłego:

13 DYSTRYBUANTA

14 KWANTYLE Kwantylem rzędu p (0 <p < 1) zmiennej losowej ciągłej nazywamy liczbe x p, spełniającą którykolwiek z równoważnych warunków: F(x p ) = p ; p(x< x p ) = p; Jeśli p=0.5 to x p nosi nazwę mediany

15 ROZKLAD ZMIENNEJ LOSOWEJ DYSKRETNEJ A) X-typu dyskretnego: p i = f(x i ) nosi nazwę rozkładu zmiennej losowej typu dyskretnego Przykłady: a) Rozkład dwupunktowy (zero-jedynkowy), wylosowanie braku x= 0, wylosowanie dobrego wyrobu x=1, p- prawdopodobieństwo wylosowania dobrego, jego rozkład: x i 0 1 p i 1-p p b) Dwumianowy (binomialny, Bernoulliego) gdzie 0<p<1 X={0, 1, 2, k} k- liczba sukcesów w losowaniu n-krotnym ze zwracaniem dla k=1 jest to rozkład dwupunktowy EX=np,

16 ROZKŁAD BERNOULLIEGO- przykłady

17 ROZKŁAD BERNOULLIEGO- przykłady c.d

18 ROZKŁAD BERNOULLIEGO- przykłady c.d ROZKŁAD GRANICZNY (rozkład normalny)

19 ROZKŁAD HIPERGEOMETRYCZNY Populacja generalna jest zbiorem N-elementowym, którego elementy mają jedną z dwóch cech np. dobry lub zły. niech M oznacza liczbę elementów o cesze dobry. Prawdopodobieństwo wylosowania elementu dobrego w pojedynczym losowaniu wynosi więc: Losujemy n-elementów bez zwracania, określamy zmienną losową dla próby przez k liczba dobrych elementów w próbie ( k=0, 1, 2.n). Wówczas: p k = f(k) Nosi nazwę rozkładu hipergeometrycznego o parametrach: N, M, n

20 ROZKŁAD POISSONA k={0, 1, 2,.} Rozkład dyskretny o nieskończonej liczbie wartości (k- dowolna liczba całkowita k 0 Dla dużych n rozkład Bernoulliego upodabnia się do rozkładu Poissona, see Tab. k Rozkład Bernoulliego: n=50; p=0,02 0,364 0,372 0,186 0,061 0,014 0,003 0,000 p k Rozkład Poissona: 0,368 0,368 0,184 0,061 0,015 0,003 0,001

21 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ CIĄGŁEJ Dla zmiennej losowej ciągłej : p(x=x i ) =0 Tylko : p( a< X <b ) może być różne od zera f(x) - funkcja gęstości prawdopodobieństwa 1. f(x) 0 2. Całkowite pole pod krzywą f(x) wynosi 1 (warunek normalizacji) :

22 ROZKŁAD JEDNOSTAJNY (UNIFORM DISTRIBUTION) a x b µ

23 ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA) - < x <

24 ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA)

25 ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSA)

26 ROZKŁAD NORMALNY STANDARYZOWANY N(µ, σ) N (0,1)

27 ROZKŁAD NORMALNY STANDARYZOWANY N(O,1) KORZYŚCI STANDARYZACJI- NIE MA POTRZEBY STWARZANIA OSOBNYCH TABLIC WARTOŚCI DLA POSZCZEGÓLNYCH ROZKŁADÓW N(µ,σ), WYSTARCZY DLA JEDNEGO: N(0,1) (STANDARYZOWANEGO)

28 WARTOŚCI DLA ROZKŁADU NORMALNEGO Wartości funkcji f(x) oraz F(t) można otrzymać z: Ze wzorów ( z definicji) Z tablic, są tablice dla rozkładu N(0,1) Z programów komputerowych np. EXCEL Program EXCEL oferuje następujące opcje: 1.ROZKŁAD.NORMALNY 2.ROZKŁAD.NORMALNY.ODW 3.ROZKŁAD.NORMALNY.S 4.ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW Otworzyć EXCELA, Formuly, Wstaw funkcję, Statystyczne

29 WARTOSCI N(µ,σ) z EXCELA ROZKŁAD. NORMALNY zwraca dla N(µ, σ ) wartości: A) f(x) : wstawić do okienek x : wartość liczbową x ; Średnia: µ Odchylenie_std: σ Skumulowany : 0 ( lub FAŁSZ) B) F(t): wstawić do okienek x : wartość liczbową t ; Średnia: µ Odchylenie_std: σ Skumulowany : 1 ( lub PRAWDA)

30 WARTOSCI N(µ,σ) z EXCELA ROZKŁAD.NORMALNY.ODW zwraca dla N(µ, σ ) wartości x dla danej dystrybuanty F(x) = Prawdopodobieństwo (see Rys) wstawić do okienek: Prawdopodobieństwo: wartość pola (α lub α/2) Średnia: µ Odchylenie_std: σ 1-α

31 WARTOSCI N(µ,σ) z EXCELA ROZKŁAD.NORMALNY.S Zwraca wartość dystrybuanty F(z) w rozkładzie standaryzowanym N(0,1) dla danego z wstawić do okienka z : wartość liczbową z ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODWR Zwraca podobnie jak ROZKŁAD.NORMALNY.ODWR (rozkładu N(µ, σ ) wartości z dla danej dystrybuanty F(z) = Prawdopodobieństwo dla rozkładu N(0,1) (see Rys) wstawić do okienka: Prawdopodobieństwo: wartość pola (α lub α/2)

32 ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW