Zestaw adań 5: Funkcjonał dwuliniowe i form kwadratowe () Sprawdić, c następujące odworowania ξ : R 3 R 3 R: x x a) ξ( x, c) ξ( x, x ) = xx + + ; b) ξ(, x ) = xx + 2 + ; d) ξ( x, x x ) = x + x + 2; ) = xx + x + ; e) ξ( x, x ) = 0; f) ξ( x, ) =. są funkcjonałami dwuliniowmi. Które nich są smetrcne? (2) Niech V = RX n będie prestrenią wektorową wielomianów stopnia n nad ciałem R licb recwistch. Odworowanie b : V V R określone jest worem b(f(x), g(x)) = f(x)g(x)dx. Wkaać, że b jest funkcjonałem dwuliniowm, smetrcnm, niedegenerowanm, dodatnio określonm. Wnacć macier b wględem ba, X,..., X n. (3) W prestreni ortogonalnej (Q 3, ξ) macier funkcjonału dwuliniowego ξ w baie jest równa: a) 2 2 2 2 b) B = ( 0, 2 0 3 3 0 3 2 c), ) 2 0 3 2 0 2 Znaleźć wór analitcn na ξ( x, x ). Znaleźć baę prostopadłą prestreni V. (4) Funkcjonał dwuliniow ξ : Q 4 Q 4 Q ma w baie kanonicnej (ε, ε 2, ε 3, ε 4 ) macier 0 0 0 2 0 0 3 0 4. Niech W = lin(ε, ε + ε 2 ). Znaleźć baę prostopadłą prestreni W. (5) Prestreń ortogonalną (K 3, ξ), w której ξ ma w baie (ε, ε 2, ε 3 ) macier 2 2 2 2 predstawić jako sumę prostą ortogonalną podprestreni niedegenerowanej i podprestreni całkowicie degenerowanej.
2 (6) Funkcjonał dwuliniow ξ : V V K ma w pewnej baie prestreni V macier a a a......... Oblicć wmiar V. a a (7) Niech char(f ) 2. Sprawdić, że a) jeśli ξ jest smetrcną formą dwuliniową nad F, q(α) = ξ(α, α) i ζ(α, β) = (q(α + β) 2 q(α) q(β)), to ζ = ξ; b) jeśli q jest formą kwadratową nad F, ξ(α, β) = (q(α + β) q(α) q(β)), N(α) = ξ(α, α), to 2 N = q. (8) Niech w prestreni Z5 2 forma kwadratowa wraża się worem ( ) x q = x 2 + 2. 2 2 a) Wnacć uupełnienie ortogonalne wektora ; ( ) 2 b) Wnacć dopełnienie ortogonalne prostej lin. (9) Niech w prestreni Z2 2 forma dwuliniowa ξ będie określona worem ( ) a c ξ, = b d a c b d. Wkaać, że (Z2 2, ξ) jest niedegenerowaną prestrenią ortogonalną, w której każd wektor jest iotropow. Wkaać, że ta prestreń nie ma ba prostopadłej. (0) Niech w prestreni R 2 forma kwadratowa wraża się worem: ( ) ( ) x x i) q = x 2 + 2x + 2 ii) q = x 2 + 2. a) Wnacć uupełnienie ortogonalne wektora ; ( ) b) wnacć wsstkie dopełnienienia ortogonalne prostej lin. () Niech (V, ξ) będie prestrenią ortogonalną, aś q ξ - formą kwadratową tej prestreni. Wkaać, że a) ξ(α, β) = 0 wted i tlko wted, gd q ξ (α + β) = q ξ (α) + q ξ (β); b) q ξ (α + β) + q ξ (α β) = 2(q ξ (α) + q ξ (β)) dla każdch α, β V ; c) q ξ (α) = q ξ (β) wted i tlko wted, gd ξ(α + β, α β) = 0; (2) a) Udowodnić, że dla dowolnej form dwuliniowej ξ i dowolnch wektorów α, β achodi tożsamość Cauch ego: q(α)(q(α)q(β) ξ(α, β)ξ(β, α)) = q(q(α)β ξ(α, β)α); b) wkaać, że dla dowolnch dwóch wektorów α i β dodatnio określonej prestreni ortogonalnej
3 (V, ξ) achodi nierówność Cauch ego: ξ(α, β) 2 q(α)q(β). (3) Znaleźć baę prostopadłą prestreni (Q 3, ξ) gd q x = + x + x. (4) Niech (V, ξ) będie niedegenerowaną prestrenią ortogonalną nad ciałem F, a v,..., v n - jej baą prostopadłą unormowaną. Niech W = {x v + + x n v n V : x + + x n = 0}. Wkaać, że następujące warunki są równoważne: a) char(f ) dieli n; b) W jest degenerowana; c) W W ; d) W jest degenerowana. (5) Macier funkcjonału dwuliniowego ξ : R 3 R 3 R w baie (ε + ε 2 + ε 3, ε + ε 3, ε 3 ) jest równa 0 0. Znaleźć uupełnienie ortogonalne: a) wektora 2 0, b) podprestreni lin( ), c) podprestreni Sol(X Z = 0). (6) Niech ξ będie wkłm ilocnem skalarnm w prestreni F n, a A - macierą o m wiersach i n kolumnach. Onacm W podprestreń F n generowaną pre transponowane wierse A, aś A - prekstałcenie liniowe v A v. Wkaać, że a) W = Ker(A ); b) (Ker(A )) = W ; c) dimw + dim(ker(a )) = n. Jaką własność musi mieć ciało F, żeb dla wsstkich m, n achodiła równość F n = W Ker(A )? (7) Oblicć (w ależności od parametru a) wmiar radkału prestreni ortogonalnej w której forma a a dwuliniowa ma wględem pewnej ba macier a........ a (8) W prestreni Fn n macier kwadratowch stopnia n nad ciałem F określam formę kwadratową worem q(a) = tr(a 2 ) (tr(a)) 2. Wkaać, że Fn n jest sumą prostą ortogonalną swoich podprestreni A n (F ) macier antsmetrcnch i S n (F ) macier smetrcnch. (9) W prestreni F2 2 macier kwadratowch stopnia 2 nad ciałem F określam formę kwadratową worem q(a) = det(a). Wkaać, że F2 2 jest sumą ortogonalną podprestreni S 2 (F ) macier smetrcnch i A 2 (F ) macier antsmetrcnch.
4 (20) W prestreni F n n macier kwadratowch stopnia n nad ciałem F określam formę kwadratową worem q(a) = tr(a A). Wkaać, że F n n jest sumą ortogonalną swoich podprestreni S n (F ) macier smetrcnch i A n (F ) macier antsmetrcnch. (2) Dwa układ wektorów (v, v 2,..., v k ) i (w, w 2,..., w k ) prestreni ortogonalnej (V, ξ) nawam wajemnmi wted i tlko wted, gd ξ(v i, w j ) = { 0 gd i j gd i = j. a) wkaać, że jeśli układ wektorów (v, v 2,..., v k ) i (w, w 2,..., w k ) są wajemne, to każd nich jest liniowo nieależn; b) wkaać, że jeśli układ wektorów (v, v 2,..., v k ) niedegenerowanej prestreni ortogonalnej jest liniowo nieależn, to istnieje dla niego układ wajemn; c) naleźć choć jeden układ wajemn dla (ε, ε 2 ) w prestreni (F 2, ξ) jeśli x x x c) q( ) = x 2 + 2 ; c2) q( ) = 2x 2 + x + 2 ; c3) q( ) = x ; d) podać prkład prestreni ortogonalnej i liniowo nieależnego układu wektorów, dla którego nie istnieje układ wajemn. e) wkaać, że układ wajemn baą jest baą. (22) Niech (v, v 2,..., v k ) i (w, w 2,..., w k ) będą wajemnmi baami niedegenerowanej prestreni ortogonalnej (V, ξ). Sprawdić, że: a) jeśli dwa endomorfim ϕ, ψ End(V ) mają własność: ba (ϕ(v ), ϕ(v 2 ),..., ϕ(v k )) i (ψ(w ), ψ(w 2 ),..., ψ(w k )) są wajemne, to det(ϕ) det(ψ) = ; b) endomorfim ϕ End(V ) taki, że ba (ϕ(v ), ϕ(v 2 ),..., ϕ(v k )) i (ϕ(w ), ϕ(w 2 ),..., ϕ(w k )) są wajemne, jest automorfimem ortogonalnm. (23) Sprawdić, że dla ustalonej macier A Fn n wór ξ(x, Y ) = tr(x AY ) określa funkcjonał dwuliniow w prestreni Fn n. Kied ten funkcjonał jest smetrcn? niedegenerowan? (24) Wkaać, że prestreń R 3 funkcjonałem dwuliniowm ξ : R 3 R 3 R danm którmkolwiek e worów: a) ξ( x, 2 ) = x + 2 + + x 2 + x 3 3, x 3 b) ξ( x, x 3 x 3 3 2 3 ) = (x )( 2 ) + (x x 3 )( 3 ) + x 3 3, jest prestrenią euklidesową, natomiast prestreń R 3 funkcjonałem dwuliniowm ξ : R 3 R 3 R danm którmkolwiek e worów: c) ξ( x, 2 ) = x + 2, d) ξ( x, x 3 3 2 3 ) = + x 2 + x 3 3,
e) ξ( x, x 3 2 3 ) = x + 2 + x 3 3 + + x 2 + x 3 + x 3. nie jest prestrenią euklidesową. Które tch prestreni są niedegenerowane? (25) W prestreniach ortogonalnch R 3 funkcjonałami dwuliniowmi ξ określonmi worami c), d), e) popredniego adania wskaać nieerowe podprestrenie całkowicie degenerowane. (26) Niech ξ : RX n RX n R będie prekstałceniem danm worem 5 ξ(f, g) = f(t)g(t)dt. Sprawdić, że (RX n, ξ) jest prestrenią euklidesową. Napisać macier ξ w baie (, X, X 2,..., X n ) dla n =, 2, 3, 4. (27) Niech I będie dowolnm niejednopunktowm prediałem domkniętm, a V niech będie dowolną skońcenie wmiarową podprestrenią prestreni C(I) i niech ξ(f, g) = f(t)g(t)dt. I Wkaać, że (V, ξ) jest prestrenią euklidesową. (28) Wkaać, że a) α β q(α + β) = q(α) + q(β); b) suma dwóch wektorów iotropowch jest wektorem iotropowm wted i tlko wted, gd składniki są do siebie prostopadłe. (29) Niech (V, ξ) będie dwuwmiarową niedegenerowaną prestrenią ortogonalną nad ciałem F w którm + 0. Wkaać, że następujące warunki są równoważne: i) (V, ξ) jest prestrenią iotropową; ii) istnieje baa prestreni V, wględem której macier funkcjonału ξ jest równa dla pewnego a F; iii) istnieje baa prestreni V, wględem której macier funkcjonału ξ jest równa ; iv) istnieje baa prestreni V, wględem której macier funkcjonału ξ jest równa ; v) det(x) = c 2 dla pewnego c F. Prestreń (V, ξ) spełniającą powżse warunki nawam płascną hiperbolicną. (30) Wkaać, że każda niedegenerowana prestreń ortogonalna jest iotropowa wted i tlko wted, gd awiera płascnę hiperbolicną.(niech α będie nieerowm wektorem iotropowm; oblicć dim(ker(ξ (α))); roważć wektor β V \Ker(ξ (α))). (3) Znaleźć baę prostopadłą prestreni (Q 3, ξ) gd q( x ) = + x + x. (32) Dana jest prestreń ortogonalna (V, ξ) nad ciałem Z 5 baą prostopadłą unormowaną v, v 2, v 3, v 4. Znaleźć choć jedną płascnę hiperbolicną U awartą w V. Sprawdić, c jej uupełnienie ortogonalne jest płascną hiperbolicną.
6 (33) Wkaać, że prestrenie ortogonalne (Z3 3, ξ) i (Z3 3, ζ) są iomorficne, gdie q ξ ( a b c ) = a 2 + b 2 + c 2 i q ζ ( a b ) = a 2 b 2 c 2. c 5 (34) Wkaać, że jeśli q(α) = q(β), to α + β α β. Sprawdić, że tak jest dla α = i 5 ( ) 0 β = na płascźnie R 7 2 e wkłm ilocnem skalarnm i narsować punkt P =, 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 Q =, R =, S = + ora odcinki P Q, P R, RS, QS i odcinki P S, RQ. 5 7 5 7 Oblicć wektor P S i RQ. Wkaać, że jeśli wektor α i β są iotropowe, to dla każdch skalarów a, b wektor aα + bβ i aα bβ są prostopadłe. (35) Wkaać, że prestreń ortogonalna (V, ξ) jest aniotropowa wted i tlko wted, gd nie ma podprestreni degenerowanch. (36) Prestreń ortogonalną (V, ξ) nawam hiperbolicną wted i tlko wted, gd jest ona sumą prostą ortogonalną płascn hiperbolicnch. Udowodnić, że nad ciałem o charakterstce różnej od 2 następujące warunki są równoważne: a) (V, ξ) jest hiperbolicna ; b) (V, ξ) jest niedegenerowana i istnieje podprestreń U prestreni V o własności U = U ; c) (V, ξ) jest niedegenerowana i istnieją podprestrenie U, W prestreni V takie, że V = U W, ξ U U jest erowa i ξ W W jest erowa. (37) Wkaać, że iotropowa prestreń ortogonalna ma baę łożoną wektorów iotropowch (wskaówka: ałożć niewprost, że biór wektorów iotropowch awiera się w hiperpłascnie α ). (38) Znaleźć rokład Witta prestreni Z3 4 e wkłm ilocnem skalarnm. (39) Udowodnić, że dla każdego prekstałcenia ortogonalnego f : (V, ξ) (W, ζ) achodi inkluja Ker(f) rad(v ). x x (40) Sprawdić, c prestrenie ortogonalne (R 2, ξ), (R 2, ζ) w którch q ξ ( ) = x 2 2, q ζ ( ) = + 2x + 2 są iomorficne. 0 (4) Pokaać, że maciere i 0 0 0 2 są podobne nad ciałami Z 7 i R, ale nie są podobne nad ciałami Z 3 i Q. (42) Niech A będie smetrcną macierą stopnia n nad ciałem F. Niech φ : F n F n będie endomorfimem o macier A w baie kanonicnej, ζ - formą dwuliniową o macier A wględem ba kanonicnej, ξ - wkłm ilocnem skalarnm. Wkaać, że: a) wektor własne endomorfimu φ należące do różnch wartości własnch są prostopadłe do siebie wględem ζ i wględem ξ; b) jeśli baa (v,..., v n ) prestreni F n jest baą prostopadłą arówno dla ζ jak i dla ξ, to jest to baa łożona wektorów własnch endomorfimu φ.
(43) Udowodnić, że prestrenie ortogonalne nad ciałem F, w którch funkcjonał dwuliniowe mają 0 a 0 maciere i są iomorficne wted i tlko wted, gd a jest sumą dwóch kwadratów elementów ciała F. 0 0 a 0 3 0 0 7 0 C maciere i ( i ) są podobne nad ciałem R? nad ciałem 0 0 3 0 0 7 Q? (Sprawdić, że licb 3 ora 7 nie są sumami dwóch kwadratów licb wmiernch). (44) Twierdenie Lagrange a głosi, że każda dodatnia licba wmierna jest sumą cterech kwadratów licb wmiernch. Wkaać, że dla każdej dodatniej licb wmiernej r prestrenie ortogonalne (Q 4, ξ) i (Q4, ζ), w którch funkcjonał dwuliniowe mają wględem ba kanonicnch maciere a I ora ri, są iomorficne. (Wskaówka: jeśli r = a 2 + b 2 + c 2 + d 2, to badać wektor b c, d b a d c, d c b a w prestreni macierą I). (45) Sprawdić, c prekstałcenia ϕ, ψ End(RX 5 ): ϕ(f(x)) = f( X); ψ(f(x)) = X 5 f( X ) są automorfimami ortogonalnmi prestreni ortogonalnej (RX 5, ξ), jeśli a) ξ(f, g) = f(t)g(t)dt; b) ξ(a 0 + a X + a 2 X 2 + a 3 X 3 + a 4 X 4 + a 5 X 5, b 0 + b X + b 2 X 2 + b 3 X 3 + b 4 X 4 + b 5 X 5 ) = 5 a i b i i=0 (46) C maciere 2 3 2 0 i 3 0 3 są podobne 3 3 0 5 a) nad ciałem licb recwistch? b) nad ciałem licb wmiernch? (47) Wkaać, że dla a, b F maciere ai i bi stopnia 2 są podobne nad ciałem F wted i tlko wted, gd ab jest sumą dwóch kwadratów w F. (48) Wkaać, że dla a F maciere I i ai stopnia 4 są podobne nad ciałem F wted i tlko wted, gd a jest sumą cterech kwadratów wciele F.(Wskaówka. Porównać adaniem e str. 6.) a 0 0 0 (49) Wkaać, że dla a, b F maciere I i 0 a 0 0 0 0 b 0 stopnia 4 są podobne nad ciałem F wted 0 0 0 b i tlko wted, gd a jest sumą cterech kwadratów i ab jest sumą dwóch kwadratów.. (50) Zbudować iomorfim prestreni ortogonalnch (V, ξ) i (W, ζ) nad ciałem Z 3 lub udowodnić, że nie są one iomorficne: a) ξ i ζ mają wględem pewnch ba maciere 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 0 odpowiednio; 7
8 b) ξ jest wkłm ilocnem skalarnm w V = Z 3 4, a q ζ (xw + w 2 + w 3 + tw 4 ) = x + t dla pewnej ba (w, w 2, w 3, w 4 ) prestreni W. (5) Niech (v, v 2,..., v n ) będie baą prostopadłą unormowaną prestreni ortogonalnej (V, ξ), a (u, u 2,..., u n ) - dowolnm układem wektorów. Udowodnić, że macier P = ξ(v i, u j ), jest macierą prejcia od (v, v 2,..., v n ) do (u, u 2,..., u n ). (52) Znaleźć baę ortogonalną prestreni ortogonalnej (V, ξ), jesli: a) V = R 3, a macier funkcjonału dwuliniowego ξ : R 3 R 3 R w baie (ε + ε 2 + ε 3, ε + ε 3, ε 3 ) jest równa 0 0 ; x b) V = R 4, a q ξ ( ) = 2x + x; t c) V = Z 3 5, a macier ξ w baie kanonicnej jest równa 0 0 0 x (53) Znaleźć baę prostopadłą unormowaną prestreni (Q 2, ξ) w której q( x baę prostopadłą unormowaną prestreń (Q 2, ξ), w której q(. ) = 2 +2 2. C ma ) = 7 + 7 2? (Wskaówka: adanie str. 7) (54) Metoda Jacobiego najdowania podobnej macier diagonalnej. a) Niech A i = G ξ (v,..., vi) będie macierą Grama układu pocatkowch i wektorów sporód wektorów v,..., v k, a u,..., u k będą wektorami otrmanmi v,..., v k a pomocą ortogonaliacji Grama. Wkaać, że jeśli v,..., v k są liniowo nieależne i lin(v,..., v k ) jest aniotropowa, to G ξ (u,..., u k ) jest macierą diagonalną mającą na prekątnej skalar det(a ), det(a 2) det(a ), det(a 3 ) det(a 2 ),..., det(a k ) det(a k ). a a b) Niech dla macier smetrcnej A = a ij stopnia n maciere A = a, A2 = 2, a 2 a 22..., A n = A mają wnacniki różne od 0. Udowodnić, że macier A i macier diagonalna, mająca na prekątnej skalar det(a ), det(a 2) det(a ), det(a 3) det(a 2 ),..., det(a n ) są macierami podobnmi. det(a n ) (55) Metoda Lagrange a najdowania podobnej macier diagonalnej. Niech w niedegenerowanej prestreni ortogonalnej (V, ξ) wór na wartość form kwadratowej q( x. x n ) = F (x,,..., x n )
w ależności od współrędnch w baie (v,..., v n ) dan będie wielomianem F (X, X 2,..., X n ) = a ij X i X j. Tworm ciąg wielomianów: krok. i) jeśli a 0, to () F (X, X 2,..., X n ) = a X 2 + dodając i odejmując ( 2a prepisujem wór w postaci i= j=i a i X X i + a ij X i X j ; j=i a i X X i ) 2 i onacając Y = X + 2a F (X, X 2,..., X n ) = b Y 2 + F (X 2,..., X n ) ( ) 2 gdie F (X 2,..., X n ) = a ij X i X j a a i X X i ; ii) jeśli a = 0, to j=i (2) F (X, X 2,..., X n ) = 2a a i X X i + a ij X i X j j=i 9 a i X i, b = a i jeśli k jest najmniejsm takim numerem, że a k 0 (dlacego istnieje takie k?), to onacam Z k = a i X i X, wlicam tej równości X k = (Z k + X a i X i ) a k i=k i=k+ i wstawiam do wielomianu F ; porądkujem otrmane wrażenie doprowadając je do postaci F (X, X 2,..., X n ) = X (Z k + X ) + F (X 2,..., X k, Z k, X k+,..., X n ) i to wrażenie prekstałcam jak w prpadku i). krok 2. po wkonaniu kroku. i uskaniu wrażenia F (X, X 2,..., X n ) = b Y 2 + F (X 2,..., X n ) stosujem krok. do woru F (X 2,..., X n ) na wartość form kwadratowej na wektore prestreni lin(v 2,..., v n ); uskane wrażenie F (X 2,..., X n ) = b 2 Y2 2 + F 2 (X 3,..., X n ) wstawiam do woru F (X, X 2,..., X n ) = b Y 2 + F (X 2,..., X n ) i uskujem wór F (X, X 2,..., X n ) = b Y 2 + b 2 Y 2 2 + F 2 (X 3,..., X n ). krok m. jeśli po wkonaniu kroków, 2,..., m mam wór F (X, X 2,..., X n ) = b Y 2 + + b m Y 2 m + F m (X m,..., X n ), to stosujem krok. do woru F m (X m,..., X n ) na wartość form kwadratowej na podprestreni lin(v m,..., v n ); reultat F m (X m,..., X n ) = b m Ym 2 + F m (X m+,..., X n ) wstawiam do
0 woru uskanego w kroku m. Ostatecnie po n krokach uskujem wór F (X, X 2,..., X n ) = b Y 2 + + b n Y 2 n. a) sprawdić, że macier diagonalna diag(b,..., b n ) jest macierą funkcjonału ξ wględem pewnej ba prostopadłej prestreni V ; b) sprawdić, że funkcjonał liniowe f,..., f n takie, że f i ( x i v i ) = Y i (x,..., x n ) dla i =, 2,..., n tworą baę prestreni sprężonej V. Stosując metodę Jacobiego i metodę Lagrange a naleźć dwoma sposobami macier funkcjonału dwuliniowego w pewnej baie prostopadłej i porównać objętoć obliceń: a) F (x, ) = + x + 2 ; b) F (x,, x 3 ) = x + x 3 + x x 3 c) F (x,, x 3 ) = 99 2x + 48x x 3 + 30x2 2 60 x 3 + 7x3 2 ; d) F (x,, x 3, x 4 ) = + 4x2 2 + 8x3 2 x4 2 4x + 6x x 3 2 x 3 + 2x 3 x 4 ; e) F (x,, x 3, x 4, x 5 ) = +4x2 2 +8x3 2 (56) Zbudować macier diagonalną podobną do macier a) 0 0 0 j= 4 4x +6x x 3 2 x 3 +2x 3 x 4 + x 5 x 4 x 5. ; b) 0 0 0 0 0 nad ciałem F. (57) Znaleźć prnajmniej jedną macier nieosobliwą P GL n (Q) taką, że macier P AP jest diagonalna, jeśli a) A = d) A = 0 2 2 0 2 3 2 0 2 0 0 2 0 2, b) A = 5 5, c) A =, e) A = 2 2 (58) Niech A będie macierą kwadratową stopnia n o wraach recwistch. Podać warunek koniecn i wstarcając na to, b równanie A = X X miało rowiąanie X GL n (R). (Wskaówka: jakie równoważne równanie spełnia niewiadoma Y = X? c to równanie ma wiąek iomorfimami prestreni ortogonalnch?). (59) Znaleźć prnajmniej jedną macier nieosobliwą P GL n (R) taką, że P P = A, jeśli a) A = 2 5, b) A = 2 2 2 3 C istnieje rowiąanie P GL 3 (Q)?, c) A = 2 3 (60) Znaleźć choć jedno rowiąanie X GL 4 (R) równaniax X =, d) A = 5 5 2 5 5 2 5 2 3 5 2 30 33 5 3 33 39..,.
(6) Sprawdić, że w prestreni F n e wkłm ilocnem skalarnm a b a) dla n = 2: wektorem prostopadłm do jest ; b a b) dla n = 3: wektorem prostopadłm do a b i d b e c f e jest a d c f c f ; a d b e c) dla dowolnego n: wektorem prostopadłm do v, v 2,..., v n jest ostatnia kolumna macier dołąconej do macier v v 2 v n.