MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI

MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI

. Ziory. Dziłi ziorch. Ziór, elemet zioru pojęci pierwote. Jeśli x leży do ( jest elemetem ) zioru A, to piszemy x A, jeśli y ie leży do zioru A, piszemy y A. Kżdy ziór jest wyzczoy przez swoje elemety. Ziór skończoy ziór o skończoej liczie elemetów. Ziór pusty ( symol ) ziór, do którego ie leży żde elemet. Ziór ieskończoy ziór, który ie jest i skończoy, i pusty. Rówość ziorów: A = B (dl kżdego x : x A x B ) Zwierie się ziorów, podziory: A B ( dl kżdego x: x A x B ) Ziory rozłącze - ziory ie mjące żdego elemetu wspólego. Sum ziorów A B: Iloczy ziorów A B: Różic ziorów A \ B: x A B ( x A lu x B ) x A B ( x A i x B ) x A \ B ( x A i x B ) Dopełieie zioru A ( symol A ): Jeśli wszystkie rozptrywe przez s ziory są podziormi ustloego zioru X, to ziór X zywmy przestrzeią. Jeśli X jest przestrzeią i A X, to A = X \ A Iloczy krtezjński ( produkt ) ziorów A B: Prę elemetów (x,y), w której wyróżioo elemet x jko pierwszy zywmy prą uporządkową. ( x, y ) A B ( x A i y B ) Zestwieie iektórych prw rchuku ziorów: zw prw treść prw przemieość dodwi A B = B A przemieość iloczyu A B = B A łączość dodwi (A B) C = A (B C) łączość iloczyu (A B) C = A (B C) rozdzielość możei względem dodwi (A B) C =(A C) (B C) rozdzielość dodwi względem możei (A B) C =(A C) (B C) prw de Morg (A B) = A B (A B) = A B

. Ukłdy rówń i ierówości. Wrtość ezwzględ liczy rzeczywistej = gdy 0 gdy < 0 Nierówości z wrtością ezwzględą x <, to x ( -, ) x >, to x ( -, - ) (, ) x, to x [ -, ] x, to x ( -, - ] [, ) Rozwiązywie ukłdów rówń liiowych Rozwiąziem ukłdu rówń liiowych ( stopi pierwszego ) z dwiem iewidomymi zywmy kżdą uporządkową prę licz spełijących o rówi ukłdu. Dy jest ukłd rówń Wyzczikmi ukłdu zywmy liczy: W = W x = W y = c c x + x + c c y = c y = c = - ; = c - c ; = c - c ; Ukłd rówń (*) zywmy ukłdem rówń: ) iezleżych W 0, to ukłd m dokłdie jedo rozwiązie de wzormi: x = W W x, y = W W y, geometryczą iterpretcją ukłdu są dwie proste przecijące się, ) zleżych W = 0 i W x = 0 i W y = 0, to ukłd m ieskończeie wiele rozwiązń ( x, y ) tkich, że x R, y = x + c ; geometryczą iterpretcją ukłdu są dwie proste pokrywjące się; c) sprzeczych W = 0 i W x 0 lu W y 0, ziór rozwiązń ukłdu jest ziorem pustym, geometryczą iterpretcją ukłdu są dwie róże proste rówoległe. (*) 3

3. Fukcj kwdrtow. Fukcją kwdrtową ( trójmiem kwdrtowym ) zywmy fukcję f określoą wzorem postci f(x) =x +x+c, gdzie,, c R i 0. Koiczą postcią trójmiu kwdrtowego zywmy postć f (x) = x +, 4 gdzie = -4c. Liczę zywmy wyróżikiem trójmiu. Miejsc zerowe fukcji kwdrtowej: fukcj kwdrtow m dw róże miejsc zerowe x, x wtedy i tylko wtedy, gdy >0, wtedy + x =, x =, fukcj kwdrtow m dokłdie jedo miejsce zerowe x wtedy i tylko wtedy, gdy =0, x =, fukcj kwdrtow ie m miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy <0. Iloczyow postć fukcji kwdrtowej: jeżeli >0, to trójmi kwdrtowy y = x +x+c ( 0) moż przedstwić w postci iloczyu y = (x-x )(x-x ), gdzie x, x ozczją miejsc zerowe trójmiu; jeżeli =0, to trójmi kwdrtowy y= x +x+c ( 0) moż przedstwić w postci iloczyu y = (x-x ), gdzie x jest miejscem zerowym trójmiu. Wzory Viete Jeżeli trójmi kwdrtowy y= x +x+c ( 0) m miejsce zerowe (dw lu jedo) x, x, to x + x =, c x x =. Wykres fukcji kwdrtowej y= x +x+c, gdzie 0, jest krzywą zwą prolą. Wierzchołek proli m współrzęde: W =,. 4 Dl < 0 wierzchołek proli jest mksimum fukcji kwdrtowej, tomist dl > 0 wierzchołek proli jest miimum fukcji kwdrtowej. > 0 >0 > 0 < 0 < 0 < 0 < 0 = 0 > 0 < 0 = 0 > 0 4

4. Wielomiy Wielomiem stopi jedej zmieej zywmy fukcję W:R R określoą wzorem postci: gdzie 0,,,..., R i 0, N. W(x)= 0 + x+ x +...+ x, Liczy 0,,,..., zywmy współczyikmi wielomiu W. Dw wielomiy są rówe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego smego stopi i mją rówe współczyiki przy odpowiedich potęgch zmieej. Wielomi W jest podziely przez wielomi W jeśli istieje wielomi Q tki, że W(x) = W (x) Q(x) dl kżdego x R. Dl kżdej pry wielomiów W i W tkich, że stopień wielomiu W jest dodti, istieje dokłdie jede ukłd wielomiów Q i R, dl których W(x)=W (x) Q(x)+R(x) ( dl kżdego x R ) i stopień wielomiu R jest miejszy od stopi wielomiu W lu wielomi R jest zerowy. Wielomi R zyw się resztą z dzielei wielomiu W przez wielomi W. W(r). Reszt z dzielei wielomiu W przez dwumi postci ( x r ), gdzie r R, jest rów liczie Twierdzeie Bézout. Licz jest pierwistkiem wielomiu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomi W jest podziely przez dwumi ( x ). Jeżeli licz wymier q p jest miejscem zerowym wielomiu W(x)=0 + x+ x +...+ x, gdzie 0, to q jest dzielikiem współczyik, zś p jest dzielikiem współczyik 0. 5

5. Fukcj wykłdicz i logrytmicz Fukcją wykłdiczą jedej zmieej zywmy fukcję f: ( R ) R + określoą wzorem postci: Włsości fukcji wymierej: f ( x ) = x, gdzie R +. Fukcj f ( x ) = x przyjmuje tylko wrtości dodtie; Fukcj f ( x ) = x jest rosąc gdy > ; Fukcj f ( x ) = x jest stł gdy = ; Fukcj f ( x ) = x jest mlejąc gdy 0 < <. Rówi i ierówości wymiere: Jeżeli > 0 i orz x = y to x = y; Jeżeli > orz x > y ( x < y ) to x > y ( x < y ); Jeżeli > orz x y ( x y ) to x y ( x y ); Jeżeli 0 < < orz x > y ( x < y ) to x < y ( x > y ); Jeżeli 0 < < orz x y ( x y ) to x y ( x y ). Logrytm dodtiej liczy przy podstwie ( > 0 i ) jest to wykłdik potęgi, do której leży podieść, żey otrzymć : log = z z =. Z określei logrytmu wyik, że log = 0, log =. Fukcją logrytmiczą jedej zmieej zywmy fukcję f: ( R + ) R określoą wzorem postci: f ( x ) = log x, gdzie R + \{}. Włsości fukcji wymierej: Fukcj f ( x ) = log x jest rosąc gdy > ; Fukcj f ( x ) = log x jest mlejąc gdy 0 < <. Twierdzei o logrytmch: Jeśli,, c R + i, to log ( c) = log + log c orz log = log - log c; c Jeśli, R +, i r R, to log r = r log ; Jeśli,, x R +, i, to log = logx logx ( zmi podstwy logrytmu ). 6

6. Fukcje trygoometrycze Jeśli α jest mirą kąt skierowego XOP = α, P jest dowolym puktem końcowego rmiei tego kąt ( P O, x i y są współrzędymi P, PO = r, to y si α =, cos α = x y, tg α = ( gdy x 0 ), ctg α = x ( gdy y 0 ). r r x y Związki między fukcjmi tego smego kąt x: si x + cos x =, dl x R, tg x = ctg x = si x, dl x (k+) Π, k C, cos x cos x, dl x kπ, k C, si x tg x ctg x =, dl x k Π, k C. Fukcje trygoometrycze kąt podwójego: si x = si x cos x, cos x = cos x - si x = - si x = cos x, tg x tg x =, dl x (k+) Π i x (k+) Π, k C, tg x 4 ctg x = ctg x, dl x k Π, k C. ctg x Fukcje trygoometrycze są okresowe. Okresem zsdiczym fukcji sius i cosius jest Π, okresem zsdiczym fukcji tges i cotges jest Π. Rówi trygoometrycze są to rówi, w których iewidome występują pod zkmi fukcji trygoometryczych. Tel zwier rozwiązi jprostszych rówń trygoometryczych: Rówie Rozwiązie x 0 jedye rozwiązie rówi leżące do przedziłu si x =, < x = kπ+(-) k x 0, k C ( Π ), Π cos x =, < x = kπ ± x 0, k C ( 0, Π ) tg x =, R x = kπ + x 0, k C ( Π ), Π ctg x =, R x = kπ + x 0, k C ( Π,0) ( 0, Π ) 7

7. Fukcje wymiere. Rówi i ierówości wymiere. Fukcją wymierą jedej zmieej zywmy fukcję F: ( R \ A ) R określoą wzorem postci: W(x) F( x) =, W (x) gdzie W i W są wielomimi, zś A jest ziorem wszystkich miejsc zerowych wielomiu W. Rówiem wymierym zywmy rówie postci: W(x) = 0, W (x) gdzie W i W są wielomimi. W(x) Rozwiąziem rówi = 0 zywmy kżdą liczę r, dl której W (r) 0 i W(r)=0. W (x) Nierówością wymierą zywmy ierówość postci W(x) W (x) gdzie W i W są wielomimi. Nierówości W(x) W(x) W(x) > 0, lu < 0, lu 0, lu 0, W (x) W (x) W (x) W(x) W (x) W(x) > 0, < 0 W (x) są rówowże odpowiedio ierówościom w postci iloczyu: W(x) W (x)>0, W(x) W (x)<0. Ntomist ierówości W(x) W (x) są rówowże odpowiedio ukłdom: W(x) W (x) 0 W (x) 0 W(x) 0, 0 W (x), W(x) W (x) 0 W (x) 0. 8

8. Ciągi Zsd idukcji mtemtyczej ( zupełej ) Jeżeli twierdzeie, które dotyczy licz turlych, jest () prwdziwe dl ustloej liczy turlej 0, () jeżeli dl kżdej liczy turlej k 0 z złożei prwdziwości twierdzei dl k wyik, że jest oo prwdziwe dl liczy stępej k +, to twierdzeie jest prwdziwe dl kżdej liczy turlej 0. Ciągiem ieskończoym zywmy fukcję określoą ziorze licz turlych dodtich ( N \ { 0 } ). Wrtości tej fukcji zywmy wyrzmi ciągu i ozczmy f ( ) =. Jeżeli wyrzy ciągu są liczmi rzeczywistymi, to ciąg zywmy ciągiem liczowym. Ciąg o wyrzch,,...,,... ozczmy ( ). Ciąg liczowy ( ) zywmy: ciągiem rosącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{0} zchodzi < + ; ciągiem mlejącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{0} zchodzi > + ; ciągiem iemlejącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{0} zchodzi + ; ciągiem ierosącym wtedy i tylko wtedy gdy dl kżdego N\{0} zchodzi +. Ciągi rosące lu mlejące zywmy mootoiczymi. Grice ciągu Licz g jest gricą ciągu liczowego ( ) wtedy i tylko wtedy, gdy do kżdego otoczei liczy g leżą wszystkie wyrzy tego ciągu z wyjątkiem skończoej ich ilości. lim = g g < ε. ε> 0 M > M Ciąg liczowy ( ) jest rozieży do + wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej liczy A wszystkie wyrzy tego ciągu oprócz skończoej ich ilości są większe od A.. lim = + > A. A M > M Ciąg liczowy ( ) jest rozieży do - wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej liczy B wszystkie wyrzy tego ciągu oprócz skończoej ich ilości są miejsze od B.. lim = + < B. Prwdziwe są stępujące twierdzei:. Jeżeli lim = i lim =, to: lim ( + B M > M ) ) = +, ) lim ( ) =, c) lim ( ) =, d) jeżeli lim 0, to =. Jeżeli dl kżdego N\{0} > 0 i lim = 0, to lim = +. 3. Jeżeli dl kżdego N\{0} < 0 i lim = 0, to lim =. 4. Jeżeli lim =, to lim = 0. 5. Jeżeli lim = 0 i ciąg ( ) jest ciągiem ogriczoym, to lim ( ) = 0.. 9

9. Ciągi rytmetyczy i geometryczy Ciąg rytmetyczy Ciąg ( ) zywmy rytmetyczym wtedy i tylko wtedy, gdy różic między dowolym wyrzem ciągu wyrzem ezpośredio go poprzedzjącym, jest stł dl dego ciągu. + - = r Dl dowolego ciągu ( ) przez S ozczmy sumę pierwszych wyrzów tego ciągu, tz. S = + +... +. Jeżeli ciąg ( ) jest ciągiem rytmetyczym o różicy r, to prwdziwe są wzory: dl kżdego N\{0} = + ( ) r, dl kżdego N\{0} = + +, dl kżdego N\{0} S = + = + ( )r. Ciąg geometryczy Ciąg ( ) zywmy geometryczym wtedy i tylko wtedy, gdy 0 i ilorz dowolego wyrzu tego ciągu i wyrzu ezpośredio go poprzedzjącego, jest dl dego ciągu stły. + = q Jeżeli ciąg ( ) jest ciągiem geometryczym o ilorzie q 0, to prwdziwe są wzory: dl kżdego N\{0} = q -, dl kżdego N\{0} = - +, q jeżeli q, to S = q jeżeli q =, to S =. Dl ciągu geometryczego ( ) spełijącego wruek q < zchodzi: lim = 0, lim S = lim q = q q., 0

0. Gric fukcji. Fukcje ciągłe.. Gric fukcji w pukcie Licz g jest gricą fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) tkiego, że x D f, x x 0 i lim x = x 0 jest lim f (x ) = g.. Grice jedostroe fukcji w pukcie ) Liczę zywmy gricą lewostroą fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f, x < x 0 i lim x = x 0 jest lim f (x ) =. ) Liczę zywmy gricą prwostroą fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f, x > x 0 i lim x = x 0 jest lim f (x ) =. c) Istieie gric jedostroych fukcji w pukcie x 0 i ich rówość jest rówowż istieiu gricy fukcji w pukcie x 0. 3. Gric iewłściw fukcji w pukcie ) Fukcj f m w pukcie x 0 gricę iewłściwą + wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) tkiego, że lim x = x 0, x D f i x x 0 jest lim f (x ) = +. ) Fukcj f m w pukcie x 0 gricę iewłściwą - wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) tkiego, że lim x = x 0, x D f i x x 0 jest lim f (x ) =. 4. Twierdzei o gricy fukcji w pukcie Jeżeli lim f (x) = i x x 0 x x 0 lim g(x) =, to: x x 0 ) lim (f (x) + g(x)) = +, ) lim (f (x) g(x)) =, x x 0 x x 0 c) lim (f (x) g(x)) =, d) jeżeli 0, to lim 5. Gric fukcji w + orz w - x x 0 f (x) g(x) ) Mówimy, że gricą fukcji y = f(x) w + jest licz g wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f i lim x = + jest lim f (x ) = g. ) Mówimy, że gricą fukcji y = f(x) w - jest licz g wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego ciągu ( x ) spełijącego wruki x D f i lim x = jest lim f (x ) = g. 6. Ciągłość fukcji Fukcj f jest ciągł w pukcie x 0 D f wtedy i tylko wtedy, gdy istieje gric fukcji w pukcie x 0 i lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Fukcj f jest ciągł w ziorze Z D f wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągł w kżdym pukcie zioru Z. Jeżeli fukcje f i g są ciągłe w pukcie x 0, to fukcje f + g, f - g, f g też są ciągłe w tym pukcie, i jeżeli g(x 0 ) 0, to fukcj g f też jest ciągł w x 0. =.

. Pochod fukcji i jej zstosowi Ilorzem różicowym fukcji f odpowidjącym przyrostowi rgumetu x = x x 0, gdzie f (x 0 + x) f (x 0 ) x 0, x D f i x 0 x, zywmy liczę. x f (x 0 + x) f (x 0 ) Jeżeli przy powyższym istieje gric lim i jest licz skończoą, to tę x 0 x liczę zywmy pochodą fukcji w pukcie x 0 i ozczmy f (x 0 ). Jeżeli fukcj m pochodą w pukcie x 0, to mówimy, że jest w tym pukcie różiczkowl. Jeżeli fukcj y = f(x) jest określo w pewym otoczeiu puktu x 0 i m w tym pukcie pochodą, to prost o rówiu: y = f (x) ( x x 0 ) + f(x 0 ) jest prostą styczą do wykresu fukcji f w pukcie P ( x 0, f(x 0 ) ). f (x 0 ) jest tgesem kąt chylei tej styczej do osi 0X. Jeżeli przez X ozczymy ziór tych rgumetów, dl których istieje pochod fukcji f, wówczs fukcję, któr kżdemu x X przyporządkowuje liczę f (x) zywmy pochodą fukcji f. Dziedzią fukcji f jest ziór X. Jeżeli fukcje f i g są różiczkowle w ziorze X, to: ) ( k f ) = k f, dl k R ) ( f + g ) = f + g c) ( f - g ) = f - g d) ( f g ) = f g + g f ' f f ' g g' f e) = g g Pochode iektórych fukcji: ) ( c ) = 0 ) ( x m ) = m x m-, dl m W \{0} c) ( si x ) = cos x d) ( cos x ) = - si x e) ( tg x ) = cos x f) ( ctg x ) = - si x Jeśli fukcj f jest różiczkowl w kżdym pukcie pewego zioru X R, fukcj g w kżdym pukcie y 0 = f(x) zioru wrtości fukcji f, to dl x X pochod fukcji złożoej h = g f rów się iloczyowi pochodej fukcji zewętrzej g i pochodej fukcji wewętrzej f: ( g f ) (x) = g (f(x)) f (x). Jeżeli fukcj f jest różiczkowl w ziorze Z D f i pochod fukcji f jest różiczkowl, to pochodą fukcji f zywmy drugą pochodą fukcji f i ozczmy f.

. Bdie fukcji. Twierdzei o mootoiczości fukcji Niech fukcj f ędzie różiczkowl w przedzile (, ), wtedy dl kżdego x (, ) - jeżeli f (x) > 0, to fukcj f jest rosąc w przedzile (, ); - jeśli f jest rosąc w przedzile (, ), to f (x) 0; - jeżeli f (x) < 0, to fukcj f jest mlejąc w przedzile (, ); - jeśli f jest mlejąc w przedzile (, ), to f (x) 0.. Ekstremum fukcji Mówimy, że fukcj m w pukcie x 0 D f miimum ( mksimum ), jeśli dl kżdego x leżącego do pewego otoczei puktu x 0 zwrtego w dziedziie fukcji zchodzi f(x) > f(x 0 ) ( f(x) < f(x 0 ) ). Mksimum i miimum zywmy ekstremum fukcji. Wruek koieczy ekstremum. Jeżeli fukcj f m ekstremum w pukcie x 0 (, ) i jest w tym pukcie różiczkowl, to f (x 0 ) = 0. Wruek wystrczjący ekstremum. Jeżeli fukcj f m pochodą w pewym otoczeiu puktu x 0, przy czym f (x) > 0 gdy x < x 0 i f (x) < 0 gdy x > x 0 to w pukcie x 0 fukcj f m mksimum; jeżeli tomist f (x) < 0 gdy x < x 0 i f (x) > 0 gdy x > x 0 to w pukcie x 0 fukcj f m miimum. 3. Njmiejsz i jwiększ wrtość fukcji w przedzile Mówimy, że fukcj f określo w przedzile <, > osiąg w tym przedzile wrtość jwiększą ( jmiejszą ), jeśli istieje pukt x 0 <, > tki, że dl kżdego x <, > i x x 0 spełioy jest wruek f(x) f(x 0 ) ( f(x) f(x 0 ) ). Ay wyzczyć jwiększą ( jmiejszą ) wrtość fukcji w przedzile <, >, leży zleźć wszystkie mksim ( miim ) lokle w tym przedzile orz oliczyć f() i f(); jwiększ ( jmiejsz ) z tych licz jest liczą poszukiwą. 4. Asymptoty wykresu fukcji Prostą, której odległość od wykresu dej fukcji f zmierz do zer w ieskończoości zywmy symptotą wykresu fukcji f. Prostą o rówiu x = zywmy symptotą pioową wykresu fukcji f, jeżeli fukcj f jest określo przyjmiej z jedej stroy puktu orz lim f (x) = ± lo lim f (x) = ±. f (x) Jeżeli istieją skończoe grice lim = m orz lim [f (x) mx] = x ± x x ± y = mx+ zywmy symptotą ukośą ( lo poziomą przy m = 0 ) wykresu fukcji f. x + x, to prostą o rówiu 3

. Bdie fukcji cd. 5. Schemt di fukcji 5. Wyzczmy dziedzię fukcji 5. Oliczmy grice końcch dziedziy 5.3 Wyzczmy symptoty wykresu fukcji 5.4 Wyzczmy pierwszą pochodą i jej dziedzię 5.5 Oliczmy miejsc zerowe pierwszej pochodej 5.6 Określmy zk pierwszej pochodej, wyzczmy przedziły mootoiczości i ekstrem fukcji 5.7 Wyzczmy pukty przecięci wykresu fukcji z osimi ukłdu współrzędych i wrtości fukcji w puktch wyzczoych w 5.5, 5.6 5.8 Ziermy wyiki z poprzedich puktów w teli 5.9 Szkicujemy wykres fukcji 4

3. Fukcj homogrficz Fukcją homogrficzą zywmy fukcję postci x+ f(x) = cx+ d gdzie c 0 i d - c 0. d Dziedzią fukcji homogrficzej jest ziór D = R \. c Wykresem fukcji homogrficzej jest hiperol. d Proste o rówich x = orz y = są symptotmi tej hiperoli. c c hiperol o rówiu y = x hiperol o rówiu y = - x x+ Ay rysowć fukcję homogrficzą musimy jej postć f(x) = przeksztłcić do postci cx+ d u u f(x) = t+, wtedy wykres fukcji y = przesuwmy o wektor [ -w, t ]. x+ w x d c Pochod fukcji homogrficzej jest rów f (x) =, poiewż z złożei liczik (cx + d) jest róży od zer, więc pochod fukcji ie przyjmuje wrtości rówej zero, czyli fukcj homogrficz ie posid ekstremum. Zk pochodej zleży od zku liczik ( czyli wyrżei d - c ). Wyik z tego, że: d d fukcj homogrficz jest w przedziłch ( -, ) orz (, + ) rosąc, gdy d - c > 0, c c d d fukcj homogrficz jest w przedziłch ( -, ) orz (, + ) mlejąc, gdy d - c < 0. c c 5

4. Geometri litycz wektory, proste Współrzędymi wektor u r w prostokątym ukłdzie współrzędych XOY zywmy miry jego skłdowych. Jeżeli pukt A( x A, y A ) jest początkiem, pukt B( x B, y B ) jest końcem wektor u r, to współrzędymi wektor u r są liczy: = x B - x A, = y B - y A. Zpisujemy to symoliczie: u r [, ] lu u r = [, ]. Jeżeli wektor u r = [, ], to długość wektor u r wyrż się wzorem: r u = + Jeżeli pukt A( x A, y A ) i pukt B( x B, y B ), to środek S odcik AB m współrzęde: x x x S = + B A y, y S = + B y A. Jeśli α jest mirą kąt skierowego uporządkowej pry iezerowych wektorów ( u r, v r ) współrzędych u r = [, ], v r = [, ], to: + cos α = r r, si α = r r. u v u v Jeżeli wektory u r i v r mją współrzęde u r = [, ], v r = [, ], to ich iloczy sklry wyrż się wzorem u r v r = +. Wyzczikiem iezerowej pry wektorów u r i v r o współrzędych u r = [, ], v r = [, ] zywmy liczę d( u r, v r ) = = -. Jeżeli pukty A( x A, y A ), B( x B, y B ) i C( x C, y C ) są wierzchołkmi trójkąt, to pole trójkąt ABC wyrż się wzormi: P = d(ab, AC) = d(ba, BC ) = d(ca, CB ), P = x y x y ) + (x y x y ) + (x y x y ). ( A B B A B C C B C A A C Współczyikiem kierukowym prostej ieprostopdłej do osi OX zywmy tges kąt chylei tej prostej do osi OX. Rówiem kierukowym prostej l ieprostopdłej do osi OX zywmy rówie postci y = x+, gdzie ozcz współczyik kierukowy prostej l, zś rzędą puktu, w którym l przeci oś OY. Jeżeli pukty A( x A, y A ) i B( x B, y B ) leżą do prostej l, to rówie prostej l m postć: y A y B y - y A = ( x x A ), gdy x A x B, lu x x A B ( y - y A ) ( x A x B ) ( y A y B ) ( x x A ) = 0. Kżde rówie postci Ax+By+C = 0, gdzie A +B 0 jest rówiem ogólym prostej. Wektor u r = [ A, B ] jest wektorem prostopdłym do tej prostej. Odległość puktu P ( x 0, y 0 ) od prostej o rówiu Ax+By+C = 0 wyrż się wzorem: Ax 0+ By 0+ C d =. A + B Wruki rówoległości prostych Dwie proste o rówich y = x + i y = x + są rówoległe wtedy i tylko wtedy, gdy =. Dwie proste o rówich Ax+By+C = 0 i A x+b y+c = 0 są rówoległe wtedy i tylko wtedy, gdy AB BA = 0. Wruki prostopdłości prostych Dwie proste o rówich y = x + i y = x + są prostopdłe wtedy i tylko wtedy, gdy = -. Dwie proste o rówich Ax+By+C = 0 i A x+b y+c = 0 są prostopdłe wtedy i tylko wtedy, gdy AA + BB = 0.. 6

5. Geometri litycz krzywe stopi drugiego Okrąg Rówie okręgu o środku (, ) i promieiu r m postć ( x ) + ( y ) = r. Rówie postci x + y -x y + c = 0 przedstwi okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy + c > 0, promieiem okręgu jest r = + c, zś środkiem pukt (, ). Rówie styczej do okręgu o środku (, ) i promieiu r w pukcie ( x 0, y 0 ) leżącym do okręgu, m postć ( x 0 )( x )+( y 0 )( y ) = r. Elips Niech de ędą dw pukty F, F orz licz dodti tk, że > F F. Elipsą zywmy ziór tych wszystkich puktów P płszczyzy, dl których PF + PF =. Jeśli pukty F, F leżą do osi OX, zś początek ukłdu współrzędych jest środkiem odcik F F, to x y rówie elipsy m postć + =, gdzie = c i c = OF. Elips t m środek symetrii w pukcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY. x0 x y0 y Rówie styczej do elipsy w pukcie ( x 0, y 0 ) leżącym do elipsy, m postć: + =. Pukty F, F zywmy ogiskmi elipsy. Cięciwą elipsy zywmy kżdy odciek, którego końce leżą do elipsy. Średicą elipsy zywmy kżdą cięciwę, do której leży środek symetrii elipsy. Osią wielką zywmy jdłuższą z jej średic. Osią młą zywmy jkrótszą z jej średic. Wierzchołkmi elipsy zywmy pukty wspóle elipsy i jej osi symetrii. Mimośrodem elipsy zywmy liczę e = c, zś kierowicmi elipsy proste o rówich: x = i x = -. c c Hiperol Niech de ędą dw pukty F, F orz licz dodti tk, że < F F. Hiperolą zywmy ziór tych wszystkich puktów P płszczyzy, dl których PF - PF =. Jeśli pukty F, F leżą do osi OX, zś początek ukłdu współrzędych jest środkiem odcik F F, to x y rówie hiperoli m postć =, gdzie = c i c = OF. Hiperol t m środek symetrii w pukcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY. x0 x y0 y Rówie styczej do hiperoli w pukcie ( x 0, y 0 ) leżącym do hiperoli, m postć: =. Pukty F, F zywmy ogiskmi hiperoli. Asymptotmi hiperoli są elipsy proste o rówich: y = x i y = - x. Prol Jest to krzyw, któr w pewym ukłdzie XOY m rówie y = px, gdzie p 0, p jest prmetrem p proli. Pukt F =,0 jest ogiskiem proli. Prost o rówiu x = - jest kierowicą proli. Pukt ( 0, 0 ) jest wierzchołkiem proli. Prol jest ziorem wszystkich puktów płszczyzy rówo odległych od jej ogisk i od jej kierowicy. Jedyą osią symetrii proli jest prost OX. Rówie styczej do proli y = px w pukcie ( x 0, y 0 ) leżącym do proli, m postć: y y 0 = p ( x + x 0 ). 7

6. Plimetri - włsości podstwowych figur plimetryczych Odległość puktu od prostej. Odległość puktu od figury iepustej długość promiei jwiększego otoczei kołowego tego puktu wewątrz którego ie m puktów tej figury. Gdy otoczeie tkie ie istieje, odległość jest zerem. Odległość puktu od prostej rów się odległości tego puktu od jego rzutu prostokątego tę prostą. Położeie prostej m względem okręgu o(a,r). m jest styczą do o(a,r) odl. A od m = r, m jest sieczą o(a,r) odl. A od m < r, m jest zewętrzą dl o(a,r) odl. A od m > r. Stycz do okręgu (tz. prost mjąc z im dokłdie jede pukt wspóly) jest prostopdł do promiei łączącego pukt styczości ze środkiem okręgu. Dw okręgi. Jeśli okręgi o(a,) i o(b,) są róże i, to o(a,) i o(b,) są wzjemie zewętrze AB > +, o(a,) i o(b,) są zewętrzie stycze AB = +, o(a,) i o(b,) przeciją się - < AB < +, o(a,) i o(b,) są wewętrzie stycze - = AB, o(b,) k(a,) - > AB. Związki mirowe w trójkącie prostokątym. Jeśli AC CB i CD AB, to = c DB, siα=, cosα=, tgα=, ctgα=, = c AD, c c = c si α = tg α, h = AD DB, = c cos α = ctg α, c = + (tw. Pitgors), c= Związki mirowe w dowolym trójkącie. Wzór siusów: c = = = r, gdzie r długość promiei okręgu opisego ABC. si α si β si γ Wzór cosiusów: = + c - c cosα. Symetrle wszystkich oków trójkąt przeciją się w jedym pukcie O, który jest środkiem okręgu przechodzącego przez pukty A, B, C, czyli okręgu opisego tym trójkącie. c Długość promiei opisego trójkącie r =, gdzie S jest polem trójkąt; 4S Dwusiecze wszystkich kątów wewętrzych trójkąt przeciją się w jedym pukcie, który jest środkiem okręgu styczego do wszystkich oków trójkąt, czyli okręgu wpisego w trójkąt. S Długość promiei okręgu wpisego w trójkąt ρ =, gdzie S pole, p połow owodu trójkąt. p Odciek łączący środki dwu oków trójkąt jest rówoległy do trzeciego oku i rówy jego połowie. siα = cosα. 8

6. Plimetri - włsości podstwowych figur plimetryczych cd. Njwżiejsze widomości o wielokątch. Czworokąt wielokąt o czterech okch. Sum mir kątów wewętrzych dowolego czworokąt jest rów 360 O. Trpez czworokąt mjący przyjmiej dw oki rówoległe. Trpez rówormiey trpez mjący dw oki przeciwległe ierówoległe i rówe. Jeżeli w trpezie dw przeciwległe oki ie są rówoległe, to. sum kątów wewętrzych leżących przy kżdym z tych oków jest kątem półpełym,. odciek łączący środki tych oków jest rówoległy do podstw (tz. oków rówoległych), jego długość rów się połowie sumy długości ou podstw. W trpezie rówormieym kąty przy kżdej podstwie są przystjące. Trpez rówormiey m jedą oś symetrii. Czworokąt wpisy w okrąg i czworokąt opisy w kręgu. Czworokąt wypukły moż wpisć w krąg sumy mir kątów przeciwległych w tym czworokącie są rówe(kżd z ich jest rów 80 o ). Czworokąt wypukły moż opisć kręgu sumy długości oków przeciwległych w tym czworokącie są rówe. Odciki, proste i kąty w związku z okręgiem Kąt między cięciwą i styczą Kąt ostry między cięciwą i styczą przechodzą przez koiec cięciwy jest rówy połowie kąt środkowego opowidjącego cięciwie. Kąt środkowy i kąty wpise oprte tym smym łuku Wszystkie kąty wpise okrąg i oprte tym smym łuku są rówe kżdy z ich jest rówy połowie kąt środkowego oprtego tym łuku Kąt wpisy w półokrąg (oprty średicy) jest prosty. 9

7. Rchuek prwdopodoieństw Komitoryk Permutcje kżdy - wyrzowy ciąg utworzoy ze wszystkich elemetów elemetowego zioru. P =!! Komicje kżdy k - elemetowy podziór - elemetowego zioru. C k = = k k!( k)! Wricje ez powtórzeń kżdy k - wyrzowy ciąg utworzoy z różych elemetów -! elemetowego zioru. V k = ( k)! Wricje z powtórzeimi kżdy k - wyrzowy ciąg utworzoy z elemetów - elemetowego k k zioru. W = Włsości prwdopodoieństw P(A) 0, P( ) = 0, P(Ω) =, jeżeli A B to P(A) P(B), dl kżdego A Ω jest P(A), P(A ) = - P(A), P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Klsycz defiicj prwdopodoieństw Jeżeli wszystkie zdrzei elemetre są jedkowo prwdopodoe to prwdopodoieństwo kżdego zdrzei A jest ilorzem liczy zdrzeń sprzyjjących temu zdrzeiu przez liczę wszystkich zdrzeń elemetrych. P(A) = gdzie A - licz zdrzeń sprzyjjących zdrzeiu A, Ω - licz wszystkich zdrzeń elemetrych. A, Ω Prwdopodoieństwo wrukowe Prwdopodoieństwo zdrzei A pod wrukiem zjści zdrzei B jest to licz P(A B) P(A / B) = P(B) Prwdopodoieństwo cłkowite ( zupełe ) Jeśli B, B,...,B są zdrzeimi wyłączjącymi się prmi orz ich sum jest zdrzeiem pewym, to dl dowolego zdrzei A zchodzi wzór: P(A) = P(A / B ) P(B ) + P(A / B ) P(B ) +... + P(A / B ) P(B ) Niezleżość zdrzeń Zdrzei A i B zywmy iezleżymi, jeżeli P(A B) = P(A) P(B). W przeciwym przypdku mówimy, że zdrzei A i B są zleże. Schemt Beroulliego ciąg powtórzeń tego smego doświdczei Prwdopodoieństwo otrzymi dokłdie k sukcesów w próch Beroulliego wyosi: P (k) = p k q -k, k gdzie p prwdopodoieństwo sukcesu, q = - p - prwdopodoieństwo porżki, k = 0,,...,. 0

S P I S T R E Ś C I. ZBIORY. DZIAŁANIA NA ZBIORACH.. UKŁADY RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI. 3 3. FUNKCJA KWADRATOWA. 4 4. WIELOMIANY 5 5. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA 6 6. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE 7 7. FUNKCJE WYMIERNE. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYMIERNE. 8 8. CIĄGI 9 9. CIĄGI ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY 0 0. GRANICA FUNKCJI. FUNKCJE CIĄGŁE.. POCHODNA FUNKCJI I JEJ ZASTOSOWANIA. BADANIE FUNKCJI 3. BADANIE FUNKCJI CD. 4 3. FUNKCJA HOMOGRAFICZNA 5 4. GEOMETRIA ANALITYCZNA WEKTORY, PROSTE 6 5. GEOMETRIA ANALITYCZNA KRZYWE STOPNIA DRUGIEGO 7 6. PLANIMETRIA - WŁASNOŚCI PODSTAWOWYCH FIGUR PLANIMETRYCZNYCH 8 6. PLANIMETRIA - WŁASNOŚCI PODSTAWOWYCH FIGUR PLANIMETRYCZNYCH CD. 9 7. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 0