POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ MECHANICZNY TECHNOLOGICZNY Katdra Wytrzymałości Matriałów i Mtod Komputrowych Mchaniki Rozprawa doktorska Tytuł: Optymalizacja układów powirzchniowych z wykorzystanim algorytmów wolucyjnych mgr inż. Mirosław Szczpanik Promotor: prof. dr hab. inż. Tadusz Burczyński Gliwic 2003
Spis trści Spis trści 1 Wprowadzni 3 1.1 Wstęp... 3 1.2 Cl i tza rozprawy... 9 1.3 Przgląd trści rozprawy... 10 2 Mtoda lmntów skończonych dla układów powirzchniowych 11 2.1 Wprowadzni... 11 2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz... 13 2.2.1 Sformułowani zagadninia brzgowgo dla tarcz... 13 2.2.2 Sformułowani słab dla zagadninia brzgowgo torii sprężystości. 15 2.2.3 Równania mtody lmntów skończonych... 18 2.2.4 Funkcj intrpolacyjn trójkątngo i prostokątngo lmntu skończongo... 20 2.2.5 Macirzowa postać równań MES... 24 2.2.6 Agrgacja lmntów skończonych... 26 2.3 Mtoda lmntów skończonych dla płyt... 27 2.3.1 Sformułowani zagadninia brzgowgo dla płyt... 27 2.3.2 Elmnty płytow trójkątny i prostokątny... 30 2.3.3 Macirz sztywności lmntu płytowgo... 33 2.4 Mtoda lmntów skończonych dla powłok... 34 2.4.1 Powłoka jako zbiór płaskich lmntów... 34 2.4.2 Trójkątny lmnt powłokowy... 35 2.4.3 Macirz sztywności lmntu powłokowgo... 36 3 Algorytmy wolucyjn 37 3.1 Wprowadzni... 37 3.2 Prosty algorytm wolucyjny... 40 3.3 Opratory wolucyjn... 43 3.4 Mtody slkcji... 47 4 Mtoda optymalizacji wolucyjnj układów powirzchniowych 49 4.1 Wprowadzni... 49 4.2 Ida mtody optymalizacji... 51
Spis trści 4.3 Odwzorowani chromosomu na dyskrtny obszar konstrukcji... 54 4.4 Sformułowani zadania optymalizacji wolucyjnj... 55 4.5 Przygotowani obszaru konstrukcji do tapu analizy za pomocą MES... 58 4.5.1 Dyskrtna rprzntacja konstrukcji... 58 4.5.2 Analiza struktury odwzorowanj na podstawi chromosomu... 58 4.6 Procdura dodatkowa wspomagająca optymalizację topologiczną konstrukcji. 64 4.7 Optymalizacja rozmiszcznia matriałów... 68 4.8 Procdury intrpolacyjn... 69 4.8.1 Procdura intrpolacji funkcji dwóch zminnych... 69 4.8.2 Procdura intrpolacji funkcji trzch zminnych... 72 4.9 Algorytm optymalizacji wolucyjnj układów powirzchniowych... 75 4.10 Zastosowani profsjonalngo oprogramowania w optymalizacji... 80 5 Przykłady optymalizacji wolucyjnj konstrukcji tarczowych 81 5.1 Optymalizacja wspornika tarczowgo... 81 5.2 Optymalizacja ramy rowrowj... 86 6 Przykłady optymalizacji wolucyjnj konstrukcji płytowych 91 6.1 Optymalizacji płyty kwadratowj... 91 6.2 Optymalizacji płyty prostokątnj... 105 7 Przykłady optymalizacji wolucyjnj konstrukcji powłokowych 112 7.1 Optymalizacji stojaka powłokowgo... 112 7.2 Optymalizacji wspornika powłokowgo... 122 7.3 Optymalizacji wspornika zdrzaka samochodowgo... 129 7.4 Optymalizacja flgi samochodowj... 135 8 Podsumowani i wnioski 147 Bibliografia 150 Strszczni 159 Summary 160
Wprowadzni Rozdział 1 Wprowadzni 1.1 Wstęp W ciągu ostatnich lat obsrwuj się znacząc zaintrsowani zagadniniami optymalizacji układów i procsów, w tym takż optymalizacji konstrukcji. W latach 1995 2003 odbyło się 5 światowych kongrsów World Congrss of Structural and Multidisciplinary Optimization, poświęconych tym zagadniniom. Ciągły rozwój mtod optymalizacji wiąż się z ogromnym postępm w informatyzacji badań naukowych. Możliwość korzystania z coraz lpszych komputrów jst przyczyną skoku ilościowgo, wyrażającgo się nizwykl szybkim wykonywanim obliczń. Z faktm tym wiąż się takż skok jakościowy, cchujący się stworznim nowych możliwości optymalizacji konstrukcji dużych i skomplikowanych w sposób bardzij dokładny, z uwzględninim wilu wariantów obciążń, ukształtowania, połączń, stanów pracy, związany z konicznością dysponowania ni tylko odpowidnio szybkim i pojmnym komputrm, al równoczśni dobrym programm. Obraz ogromngo rozwoju optymalizacji na przstrzni ostatnich dwudzistu lat uzyskać można na podstawi prac wilu badaczy tj dzidziny, wśród których znaczący wkład w rozwój mtod optymalizacji, między innymi, wniśli: Achtzigr [1], Anagnostou [2], Bndsø [6][7][8], Burczyński [11][13][15][16][25], Dms [31], Eschnaur [34][35], Gutkowski [43][44], Haftka [45], Hajla [46], Jnsn [49], Kirsch [52][53], Mróz [60], Olhoff [64][65], Osyczka [25][68], Pdrsn [70], Rozvany [77][78], Taylor [64][90]. 3
1.1 Wstęp Mtody optymalizacji pozwalają na znalzini optymalngo rozwiązania zadania. Ogóln zadani optymalizacji moż być postawion następująco: poszukiwan jst optimum funkcji lub funkcjonału, spłniając zadan warunki ograniczając w pwnym obszarz rozwiązań dopuszczalnych. Najczęścij zadani to sprowadza się do poszukiwania kstrmum funkcji z ograniczniami. W mchanic i budowi maszyn mtody optymalizacji wspomagają procs projktowania, umożliwiając dobór optymalnj postaci konstrukcyjnj oraz matriału, i dając w wyniku rozwiązani najfktywnijsz, spłniając wszystki stawian wymogi. Procs tn przbiga drogą racjonalngo poszukiwania optymalngo rozwiązania poprzz zastosowani odpowidnij mtody optymalizacji, ni zaś drogą prób i błędów, czy optymalizacji wariantowj, polgającj jdyni na wyborz najlpszgo rozwiązania spośród kilku przygotowanych projktów. W litraturz dotyczącj zastosowań optymalizacji w mchanic rozważa się optymalizację układów jdno- dwu i trójwymiarowych. Zadania optymalizacji dotyczą najczęścij, w przypadku konstrukcji jdnowymiarowych (kratownic, ramy), poszukiwania najkorzystnijszgo doboru paramtrów przkrojów oraz rozmiszcznia prętów. W przypadku konstrukcji dwuwymiarowych - czyli układów powirzchniowych, któr dfiniujmy jako układy mchaniczn z ciągl rozłożoną masą, o grubości znaczni mnijszj od pozostałych dwóch wymiarów (tarcz, płyty, powłoki) - oraz konstrukcji trójwymiarowych, zadania optymalizacji dotyczą poszukiwania najlpszgo kształtu zarówno brzgu zwnętrzngo jak i brzgów wwnętrznych oraz prawidłowgo rozmiszcznia i doboru matriału. Chcąc poddać układ mchaniczny procsowi optymalizacji nalży okrślić zbiór paramtrów okrślających konstrukcję. Jako lmnty tgo zbioru możmy wyróżnić kształt i wymiary gomtryczn konstrukcji, własności matriałow oraz warunki brzgow i obciążnia. Na podstawi tgo zbioru można drogą analizy wytrzymałościowj (np.: za pomocą mtody lmntów brzgowych lub mtody lmntów skończonych) okrślić paramtry stanu w postaci pól przmiszczń, odkształcń i naprężń. Z zbioru paramtrów konstrukcji wybiramy paramtry, któr będą ulgać zmianom w trakci procsu optymalizacji. Paramtry t noszą nazwę zminnych projktowych. Mając okrślony zbiór zminnych projktowych nalży jasno okrślić cl prowadzonj optymalizacji poprzz sformułowani krytrium optymalizacji. Matmatycznym zapism krytrium optymalizacji jst funkcja lub funkcjonał clu. Funkcja clu jst zalżna od zminnych projktowych, przy czym w większości zagadniń z zakrsu mchaniki, zalżności tj ni da się przdstawić w sposób jawny, a jdyni pośrdnio poprzz rozwiązani zagadninia brzgowgo odpowiadającgo modlowi matmatycznmu konstrukcji. W procsi optymalizacji dążymy do znalzinia najlpszgo zbioru zminnych projktowych, dla którgo funkcja clu osiąga wartość kstrmalną przy wprowadzonych ograniczniach. 4
1.1 Wstęp Wśród zagadniń optymalizacji układów mchanicznych wyróżnić można cztry główn kirunki: (i) optymalizację własności matriałowych (ang. matrial optimization), (ii) optymalizację wymiarów poprzcznych (ang. siz optimization), (iii) optymalizację kształtu (ang. shap optimization) oraz (iv) optymalizację topologiczną (ang. topology optimization). Optymalizacja własności matriałowych dotyczy zagadniń, w których jako zminn projktow wybiran są wilkości opisując własności matriału (np. moduł Younga, moduł Kirchoffa, współczynnik Poissona lub inn charaktrystyki dla matriałów anizotropowych). Optymalizacja wymiarów poprzcznych bardzo często dotyczy układów jdnowymiarowych, w których zmiani podlgają przkroj prętów. W przypadku układów powirzchniowych typową zminną projktową jst grubość układu. W optymalizacji kształtu za zminn projktow najczęścij przyjmuj się paramtry pozwalając strować kształtm brzgu układu. W przypadku układów jdnowymiarowych są to współrzędn końców prętów. W układach dwu lub trójwymiarowych, których brzg jst modlowany z wykorzystanim nowoczsnych narzędzi, takich jak krzyw i powirzchni Bzira [69], krzyw i powirzchni typu B- splin [69] oraz krzyw i powirzchni typu NURBS [71], za zminn projktow przyjmować można tzw. punkty kontroln krzywych bądź powirzchni. Główna zalta tgo typu podjścia polga na ogromnych możliwościach strowania kształtm konstrukcji za pomocą niwilkij liczby zminnych projktowych. Optymalizacja topologiczna dotyczy zagadniń, w których następuj zmiana topologii układu. W ciągu ostatnich dwudzistu lat można zauważyć trzy kirunki rozwoju mtod optymalizacji topologicznj. W pirwszych pracach pod pojęcim optymalizacji topologicznj rozumiano zadania optymalizacji, których clm było poszukiwani jak najkorzystnijszgo rozkładu prętów w układach prętowych (ang. layout optimization). Istnij wil prac z tgo zakrsu, np.: Achtzigr [1], Dms [31], Kirsch [52][53], Mróz [60], Pragr [75], Rozvany [77][78]. Zminnymi projktowymi w tgo typu zagadniniach są paramtry opisując położni prętów w konstrukcji, pol przkroju poprzczngo czy pozycj połączń prętów. Drugi typ optymalizacji topologicznj dotyczy układów mchanicznych dwu- i trójwymiarowych, w których za zminn projktow przyjmowan są własności matriału oraz jgo rozmiszczni. Do rozwiązania tgo typu zagadniń stosuj się mtodę homognizacji. Podjści to wprowadzili i rozwinęli Bndsø i Kikuchi [6][7][8]. Opracowali oni mtodę bazującą na minimalizacji podatności struktury, którą z powodznim zastosowali do różnych problmów optymalizacji topologicznj. W praktyc tgo podjścia obszar struktury jst dyskrtyzowany na lmnty skończon, przy czym każdy lmnt zawira mikrootwory okrślongo kształtu. Rozmiar i kształt mikrootworów w lmnci skończonym 5
1.1 Wstęp dtrminuj gęstość i rozkład matriału w tym lmnci. Procdury matmatyczn dtrminują w jaki sposób rozmiar i orintacja mikrootworów w każdym lmnci powinny się zminiać aby, podczas procsu optymalizacji, malała podatność struktury. W procsi itracyjnym powstają konstrukcj, charaktryzując się strukturą kompozytu. Podczas optymalizacji znajdowana jst optymalna topologia, gdy krytria optymalizacji, przy minimalizacji funkcji clu, są spłnion, chociaż ni ma żadnj gwarancji, ż otrzymywana w rzultaci topologia jst optymalna w snsi globalnym. Bndsø [7] udowodnił, ż początkowy nijdnorodny rozkład gęstości moż dawać w wyniku zbiżność do różnych optimów lokalnych. Pokazał takż, ż optymalna topologia jst zalżna od modlu mikrostruktury, zastosowango do opisu matriału kompozytowgo. Trzci typ optymalizacji topologicznj polga na wprowadzniu do układu otworów na podstawi spcjalnych krytriów, a następni prowadzniu równolgłj optymalizacji kształtu i położnia brzgów zwnętrznych i wwnętrznych układu. Twórcami tgo ujęcia byli Eschnaur [34][35], Schumachr [35][80]. Ujęci to połączon z algorytmm gntycznym rozwijan było przz Burczyńskigo i Kokota [15][16][56]. Z matmatyczngo punktu widznia tn typ optymalizacji topologicznj polga na zastąpiniu obszaru jdnospójngo obszarm wilospójnym. Innym znanym podjścim do problmatyki optymalizacji kształtu i topologii konstrukcji jst ujęci Anagnostou [2], który zdyskrtyzowanmu obszarowi ciała przypisał binarny modl matmatyczny, gdzi lmnty skończon mogą rprzntować matriał lub otwór. Optymalny rozkład matriału wwnątrz obszaru konstrukcji jst, w tym przypadku, znajdowany za pomocą symulowango wyżarzania [51]. Mtodę tą rozwinął Jnsn [49], który jako narzędzia optymalizacji użył algorytmu gntyczngo, tworząc binarną zro-jdynkową (0 otwór, 1 matriał) rprzntację zdyskrtyzowango obszaru optymalizowango ciała. Dzięki zastosowaniu algorytmu gntyczngo uzyskał on duż prawdopodobiństwo znalzinia rozwiązania optymalngo w snsi globalnym. Podjści to rozwijano dalj w wilu pracach [30][42][46][48][50]. Jszcz inn podjści zaproponowali Woon, Tong, Qurin i Stvn [92], znan jako Multi-GA Systm. Opira się ono na zastosowaniu, równoczśni pracujących i wyminiających informacj, dwóch różnych algorytmów gntycznych, z których jdn dcyduj o kształci brzgu zwnętrzngo konstrukcji, drugi zaś o rozmiszczniu i kształci otworów. Optymalizację układów mchanicznych przprowadzano do nidawna, główni wykorzystując mtody wymagając znajomości współczynników wrażliwości pirwszgo i wntualni drugigo rzędu [9][54][55][81][91] (mtoda warunków optymalności, mtoda najszybszgo spadku, mtoda Nwtona, mtoda gradintów sprzężonych, mtody zminnj mtryki). Nistty mtody t mimo swych niwątpliwych zalt mają pwn uwarunkowania, a mianowici w przypadku ich zastosowania: funkcja clu musi być ciągła, hsjan funkcji powinin być dodatnio okrślony, istnij duż 6
1.1 Wstęp prawdopodobiństwo zbiżności do optimum lokalngo, oblicznia przprowadzan są tylko z jdngo punktu startowgo, co zawęża obszar poszukiwań, wybór punktu startowgo moż mić wpływ na zbiżność mtody (np.: w przypadku mtody Nwtona). Mtody pozwalając na odnalzini, z dużym prawdopodobiństwm, optimum globalngo, nazywan są mtodami optymalizacji globalnj. Do tj grupy mtod nalżą algorytmy wolucyjn, opart na synttycznj torii wolucji, a więc na pwnych podobiństwach do świata organizmów żywych. Synttyczna toria wolucji, sformułowana w 1940 roku przz grupę wolucjonistów i gntyków, pogodziła odkryt przz G. Mndla prawa dzidziczności z torią wolucji opisaną przz Ch. Darwina i spowodowała prawdziwą rwolucję w biologii, która dała takż późnijsz rzultaty w świci tchniki [47] w postaci, początkowo rzadko stosowanych jdnak ciągl silni rozwijanych algorytmów wolucyjnych, opartych na zasadzi przżywania najbardzij dopasowanych osobników. W takich algorytmach populacja osobników (potncjalnych rozwiązań) podlga skwncji transformacji jdnoargumntowych (typu mutacji) i wiloargumntowych (typu krzyżowania). Osobniki populacji walczą o prztrwani (wybór do następngo pokolnia), w schmaci slkcji, ukirunkowanym na bardzij dopasowanych (o większj wartości funkcji clu - przystosowania). Algorytmy wolucyjn można rozumić jako uogólnini algorytmów gntycznych. Klasyczn algorytmy gntyczn oprują na ciągach binarnych, podczas gdy algorytmy wolucyjn na ciągach liczb rzczywistych. Algorytmy wolucyjn zawirają takż zróżnicowan opracj wolucyjn, podczas gdy klasyczn algorytmy gntyczn używają tylko binarngo krzyżowania i mutacji. Głównymi wadami algorytmów wolucyjnych są czasochłonność procsu optymalizacji oraz wolna zbiżność do optimum globalngo, po znalziniu się algorytmu w jgo pobliżu. Wadę związan z długim czasm przprowadzania optymalizacji można zmnijszyć stosując rozproszon algorytmy wolucyjn [17][18], zaś wadę związaną z wolną zbiżnością do optimum globalngo, stosując mtody hybrydow [24][66]. Zastosowaniu algorytmów gntycznych i wolucyjnych poświęcono wil prac. Dotąd były on stosowan m. in. do optymalizacji układów prętowych [23][43][44], optymalizacji kształtu i topologii układów sprężystych [13][56] oraz sprężystoplastycznych [20], optymalizacji i idntyfikacji w układach z pęknięciami [5][12][22], optymalizacji układów trmomchanicznych [14][32][33], optymalizacji i idntyfikacji w układach obciążonych dynamiczni [22][36][63][66][67], dostrajaniu siatki lmntów skończonych ciał drgających [19], optymalizacji ciał sprężystych 3D za pomocą MES [41][72][73][74], idntyfikacji zmian nowotworowych na podstawi tmpratury powirzchni tkanki [21][57], optymalizacji i idntyfikacji rozmiszcznia matriałów za pomocą MEB [36][37], czy optymalizacji wilokrytrialnj [68]. 7
1.1 Wstęp W ninijszj pracy podjęto próbę opracowania mtody optymalizacji, umożliwiającj przprowadzni równoczsnj optymalizacji kształtu, topologii, matriału lub/i grubości układów powirzchniowych (tarcz, płyty, powłoki), przy wykorzystaniu algorytmu wolucyjngo i mtody lmntów skończonych. Główną idą mtody jst wolucyjn strowani rozkładm własności mchanicznych lub/i grubości układu powirzchniowgo, zdyskrtyzowango za pomocą mtody lmntów skończonych, tak aby przyjęty funkcjonał jakości (funkcja przystosowania) osiągał minimum przy przyjętych ograniczniach. W czasi procsu wolucji zmiana własności mchanicznych matriału, poszczgólnych lmntów skończonych układu powoduj, ż początkowo jdnorodny matriał staj się matriałm przdziałami nijdnorodnym (optymalizacja matriału) lub/i początkowa stała grubość układu staj się przdziałami zminna (optymalizacja wymiarów poprzcznych). Ponadto część lmntów skończonych jst liminowana, w wyniku czgo następuj zmiana kształtu istnijącgo brzgu układu (optymalizacja kształtu) oraz gnrowan są now brzgi wwnętrzn, w wyniku czgo w układzi powstają otwory (optymalizacja topologiczna). Zastosowani algorytmu wolucyjngo ni wymaga obliczania współczynników wrażliwości i daj duż prawdopodobiństwo otrzymania rozwiązania globalngo. Dyskrtna rprzntacja obszaru układu powirzchniowgo, analizowana za pomocą mtody lmntów skończonych, jst immanntną cchą proponowanj mtody optymalizacji wolucyjnj i umożliwia zaadoptowani profsjonalngo oprogramowania MES, co w rzultaci umożliwia zastosowani mtody do optymalizacji złożonych i dużych zagadniń inżynirskich. Podstawy opracowanj mtody optymalizacji układów powirzchniowych, autor ninijszj rozprawy przdstawił w pracach własnych [26][27][28][29][83][84][85] [86][87][88][89]. Na podjęci tmatu rozprawy, oprócz aspktów naukowych, miały wpływ względy konstrukcyjn i konomiczn, wyrażając się konicznością oszczędzania matriałów konstrukcyjnych aspkt rozumiany i docniany dziś na całym świci zarówno przz producntów, konstruktorów, użytkowników jak i kologów. Z aspktm tym wiąż się uzyskiwani lżjszych konstrukcji i płnijsz wykorzystani własności wytrzymałościowych matriałów, z których są on wykonan. Można osiągnąć to, w wyniku coraz lpszgo poznawania własności matriałów, poprzz stosowani coraz dokładnijszych mtod analizy numrycznj konstrukcji i w dużj mirz poprzz zastosowani mtod optymalizacji konstrukcji, wśród których zaprzntowana w ninijszj pracy, jst narzędzim pozwalającym na komplksową optymalizację, zarówno gomtrii, jak i własności matriałowych układu. Praca została wykonana w ramach promotorskigo projktu badawczgo KBN nr 5T07A01324. 8
1.2 Cl i tza rozprawy 1.2 Cl i tza rozprawy Clm ninijszj rozprawy jst sformułowani, opracowani oraz implmntacja numryczna mtody optymalizacji wolucyjnj układów powirzchniowych, tj.: tarcz, płyt oraz powłok. Do analizy wytrzymałościowj takich układów zastosowana będzi mtoda lmntów skończonych. Zralizowani przyjętgo clu wymaga wykonania następujących zadań cząstkowych: Opracowani mtody optymalizacji wolucyjnj układów powirzchniowych. Opracowani algorytmu oraz programu komputrowgo optymalizacji wolucyjnj konstrukcji tarczowych. Opracowani algorytmu oraz programu komputrowgo optymalizacji wolucyjnj konstrukcji płytowych. Opracowani algorytmu oraz programu komputrowgo optymalizacji wolucyjnj konstrukcji powłokowych. Opracowani algorytmu umożliwiającgo wymianę danych pomiędzy programami komputrowymi optymalizacji wolucyjnj układów powirzchniowych oraz istnijącymi na rynku profsjonalnymi pakitami oprogramowań inżynirskich, jak np.: MSC PATRAN-NASTRAN czy CATIA. Z rozznania litraturowgo wynika, ż taki zakrs pracy przdstawiony został po raz pirwszy. Powyższ cl doprowadziły do sformułowania tzy rozprawy. Tza rozprawy Strowana algorytmm wolucyjnym skończni-lmntowa dystrybucja matriału i jgo własności mchanicznych w układach powirzchniowych takich jak tarcza, płyta czy powłoka jst podstawą skutcznj optymalizacji kształtu, topologii, matriału lub/i grubości dla przyjętych krytriów i ograniczń. 9
1.3 Przgląd trści rozprawy 1.3 Przgląd trści rozprawy Rozprawa składa się z sidmiu rozdziałów. W rozdzial pirwszym scharaktryzowano zagadninia będąc przdmiotm ninijszj rozprawy. Sformułowano cl i tzę rozprawy oraz zamiszczono krótki przgląd trści rozprawy. W rozdzial drugim zamiszczono opis mtody lmntów skończonych zastosowanj do rozwiązywania zagadniń brzgowych statycznj torii sprężystości dla układów powirzchniowych, tj.: tarcz w płaskim stani naprężnia/odkształcnia, zginanych płyt oraz powłok. W rozdzial trzcim scharaktryzowano algorytmy wolucyjn. Rozdział czwarty poświęcony został opisowi mtody optymalizacji wolucyjnj kształtu, topologii oraz własności matriałowych lub/i grubości układów powirzchniowych. W rozdzial tym przdstawiono idę mtody optymalizacji. Sformułowano zadani optymalizacji. Przdstawiono budowę chromosomu oraz funkcjonały optymalizacji wraz z ograniczniami. Zstawiono zastosowan opratory algorytmu wolucyjngo, omówiono procdury dodatkow wspomagając optymalizację oraz zastosowan procdury intrpolacyjn. Opisano postać algorytmu optymalizacji wolucyjnj układów powirzchniowych oraz przdstawiono możliwości jgo współpracy z istnijącym na rynku profsjonalnym oprogramowanim inżynirskim, jak np.: MSC PATRAN-NASTRAN czy CATIA. Koljn trzy rozdziały (piąty, szósty i siódmy) zawirają przykłady numryczn dotycząc optymalizacji układów powirzchniowych (koljno tarcz, płyt i powłok), opracowan dzięki zastosowaniu omówiongo, w rozdzial 4, algorytmu. W rozdzial ósmym dokonano podsumowania ninijszj rozprawy, przdstawiono wnioski wynikając z przprowadzonych badań. Wskazano równiż kirunki dalszych badań. Na końcu rozprawy zamiszczono strszczni rozprawy w języku polskim i angilskim. 10
Mtoda lmntów skończonych dla układów powirzchniowych Rozdział 2 Mtoda lmntów skończonych dla układów powirzchniowych 2.1 Wprowadzni W związku z wykorzystanim, w opracowanj mtodzi optymalizacji wolucyjnj, dyskrtnj rprzntacji obszaru konstrukcji, jako narzędzi analizy wytrzymałościowj, zastosowano mtodę lmntów skończonych. Mtoda lmntów skończonych stanowi więc nirozłączny składnik omawiango podjścia. W praktyc tgo podjścia obszar konstrukcji zostaj zdyskrtyzowany na lmnty skończon, któr mogą mić różn wartości modułów Younga lub grubości. W trakci procsu optymalizacji część lmntów skończonych moż zostać wyliminowana, w wyniku czgo następuj zmiana istnijącgo brzgu zwnętrzngo oraz powstają otwory. Podczas procsu optymalizacji następuj ponadto zmiana modułów Younga lub/i grubości na poszczgólnych lmntach skończonych układu, w wyniku czgo modyfikacji ulga rozkład matriału konstrukcji, oraz jj własności matriałow. Zmiana rozkładu matriału w układzi powirzchniowym, pociąga za sobą koniczność odpowidnij modyfikacji struktury siatki lmntów skończonych, która po odpowidnim przygotowaniu poddawana jst analizi za pomocą mtody lmntów skończonych. 11
2.1 Wprowadzni Obcni mtoda lmntów skończonych jst powszchni stosowanym narzędzim inżynirskim. Istnij wil pozycji, w których opisan zostały zarówno podstawy matmatyczn, jak i aspkty praktyczn mtody [4][76][94][95][96]. W ninijszym rozdzial omówion zostaną skończni lmntow modl dyskrtn tarczy, płyty i powłoki. Modl t są niodłącznym składnikim opisanj w rozdzial 4 mtody optymalizacji, w którj dystrybucja własności mchanicznych matriału w postaci modułu Younga lub/i grubości w obrębi każdgo lmntu, strowana jst za pomocą algorytmu wolucyjngo. 12
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz 2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz 2.2.1 Sformułowani zagadninia brzgowgo dla tarcz Rozważamy lmnt konstrukcyjny (tarczę) zajmujący obszar Ω, ograniczony brzgim Γ, w którym dwi cchy wymiarow są znaczni większ od trzcij, zaś kirunk obciążnia lży w płaszczyźni okrślonj przz współrzędn dwóch pirwszych wymiarów (rys. 2.1.1) [4]. y F 0 n y n n x g g p 0 a) x Rys. 2.1.1: Tarcza w płaskim stani: a) naprężnia, b) odkształcnia b) Jżli grubość tarczy g jst stosunkowo duża w porównaniu z pozostałymi jj wymiarami, to będzimy mili do czyninia z płaskim stanm odkształcnia (rys. 2.1.1b), w którym wszystki składow tnsora stanu odkształcnia są nizrow z wyjątkim γ = γ = 0, γ = γ = 0, ε = 0 (2.2.1) xz zx yz zy z w przciwnym wypadku z płaskim stanm naprężnia (rys. 2.1.1a), w którym zrow składow stanu naprężnia to τ = τ = 0, τ = τ = 0, σ = 0 (2.2.2) xz zx yz zy z Składow stanu naprężnia i odkształcnia są związan rlacją, która w postaci macirzowj przybira formę σx d11 d12 0 εx { σ} = [ D]{ ε} lub σ y d21 d22 0 = εy τ 0 0 d γ xy 33 xy gdzi [D] jst macirzą sprężystości, którj lmnty mają postać: dla płaskigo stanu odkształcnia E(1 ν) νe d11 = d22 = 2, d12 = d21 = 2, d33 = G 1 ν 2ν 1 ν 2ν dla płaskigo stanu naprężnia E d11 = d22 =, d, 2 12 = d21 = ν d11 d33 = G 1 ν (2.2.3) (2.2.4) (2.2.5) 13
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz Równania Navira-Lamgo, opisując dwuwymiarow zagadnini brzgow w przmiszczniach, można wyrazić w sposób następujący B 1 u υ u υ d11 + d12 d33 + + Xρ = 0 x x y y y x u υ u υ d33 + d12 + d22 + Yρ = 0 x y x y x y B 3 gdzi: u = ( x, y), υ = ( x, y) - funkcj okrślając przmiszcznia, ρ - gęstość. B 2 B 4 (2.2.6) Równania (2.2.6) nalży uzupłnić warunkami brzgowymi na brzgu Γ=Γ1 Γ 2. Warunki t przyjmują postać: przmiszczń u = u, υ = υ na brzgu Γ 1 (2.2.7) gdzi: u, υ - zadan przmiszcznia obciążń powirzchniowych q = σ n + τ n = q q = τ n + σ n = q nx x x yx y nx ny xy x y y ny gdzi: na brzgu Γ 2 (2.2.8) q i q są zadanymi składowymi sił powirzchniowych na brzgu Γ, 2 nx ny natomiast n = cos( xn) i n = cos( yn) są kosinusami kątów zawartych między x y normalną n do brzgu Γ i osiami x i y. Poniważ składow stanu naprężnia występując w zalżnościach (2.2.8) zalżą przz (2.2.3) od odkształcń, a odkształcnia przz zalżności u x, u y, u υ ε = ε = γ xy = + (2.2.9) x y y x od przmiszczń, więc warunki brzgow (2.2.8) można wyrazić wprost przz przmiszcznia u υ u υ q = d + d n + d + n x y y x u υ u υ q = d + n + d + d n y x x y nx 11 12 x 33 y nx 33 x 11 12 y (2.2.10) Układ równań różniczkowych Navira-Lamgo (2.2.6) wraz z warunkami brzgowymi (2.2.7) i (2.2.8) lub (2.2.10) tworzy zagadnini brzgow torii sprężystości [62] dla zagadniń dwuwymiarowych. Rozwiązani tgo zadania dla dowolngo kształtu obszaru Ω można uzyskać tylko w postaci przybliżonj korzystając z mtod komputrowych, np. mtody lmntów skończonych. 14
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz 2.2.2 Sformułowani słab dla zagadninia brzgowgo torii sprężystości Dwuwymiarowy obszar Ω dzilimy na skończoną liczbę lmntów skończonych N Ω, = 1,2,..., N, przy czym Ω= Ω. Najczęścij stosowanymi lmntami w przypadku tarcz są lmnty trójkątn i czworokątn (rys. 2.2.2). y n j i x Rys. 2.2.2: Dyskrtyzacja obszaru tarczy lmntami skończonymi trójkątnymi i prostokątnymi Dyskrtyzacja obszaru moż pociągać za sobą nidokładności rozwiązania wynikając z często nidokładngo odwzorowania kształtu obszaru lmntami skończonymi Ω, = 1,2,..., N. Dlatgo równania Navira-Lamgo (2.2.6) mogą ni być dokładni spłnion na lmntach, tzn. ( B1) + ( B2) + Xρ = Rx 0 x y (2.2.11) ( B3) + ( B4) + Yρ = Ry 0 x y gdzi u υ u υ u υ B1 = d11 + d12, B1 = B3 = d33 +, B4 = d12 + d22 (2.2.12) x y y x x y Zalży nam na takim sformułowaniu przybliżongo rozwiązania, aby rsidua Rx i Ry były jak najbliższ zru. W tym clu żądamy, aby całki ważon okrślon na objętości każdgo lmntu V równały się zru w R dv = 0, w RydV = 0 (2.2.13) V 1 x 2 V gdzi: w1 i w2 - funkcj wagi, V - objętość -tgo lmntu skończongo. 15
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz Po wstawiniu zalżności (2.2.11) do całk ważonych (2.2.13) otrzymujmy ostatczni g w1 ( B1) ( B2) + Xρ dxdy 0 x y = Ω g w2 ( B3) + ( B4) + Yρ dxdy = 0 x y Ω Zastosowano tutaj zalżność g 2 /2 V Ω g Ω (2.2.14) () dv = () dz dx dy = g () dx dy (2.2.15) gdzi g jst grubością -tgo lmntu skończongo. W clu otrzymania sformułowania słabgo wykonujmy całkowani przz części całk ważonych (2.2.14). W tym clu korzystamy z tożsamości w1 B1 B1 w1 ( wb 1 1) = B1 + w1, -w1 = B1 ( wb 1 1) x x x x x x w1 B2 B2 w1 ( wb 1 2) = B2 + w1, -w1 = B2 ( wb 1 2) y y y y y y (2.2.16) w B 2 3 B3 w ( wb 2 2 3) = B3 + w2, -w2 = B3 ( wb 2 3) x x x x x x w2 B4 B4 w2 ( w2b4) = B4 + w2, -w2 = B4 ( w2b4) y y y y y y oraz z twirdznia Ostrogradskigo-Gaussa ( w B ) dxdy = w B n ds, ( w B ) dxdy = w B n ds 1 1 1 1 x 1 2 1 2 x y Ω Γ Ω Γ ( w B ) dxdy = w B n ds, ( w B ) dxdy = w B n ds 2 3 2 3 x 2 4 2 4 x y Ω Γ Ω Γ gdzi Γ jst brzgim lmntu skończongo Ω. Po zastosowaniu wyrażń (2.2.16) i (2.2.17), równania (2.2.14) przyjmują postać w1 u υ w1 u υ g d11 + d12 + d33 + w1 Xρ dxdy x x y y y x Ω u υ u υ g w1 d11 + d12 nx + d33 + ny ds= 0 x y y x Γ w2 u υ w2 u υ g d33 + + d11 + d22 wy 2 ρ dxdy x y x y x y Ω u υ u υ g w2 d33 + nx + d11 + d22 ny ds= 0 y x x y Γ y y (2.2.17) (2.2.18) 16
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz Poniważ wyrażnia podcałkow w całkach okrślonych na krawędziach Γ lmntów brzgowych zalżą od sił powirzchniowych (2.2.10) więc sformułowani słab zagadninia brzgowgo torii sprężystości przyjmuj ostatczni postać w1 u υ w1 u υ g d11 + d12 + d33 + w1 X ρ dxdy g w1q nxds = 0 x x y y y x Ω Γ w2 u υ w2 u υ g d33 + + d12 + d22 w2y ρ dxdy g w2qnyds = 0 x y x y x y Ω Γ (2.2.19) Sformułowani słab (2.2.19) moż być takż zapisan za pomocą postaci dwuliniowj B( w, u ) i liniowj l( w) gdzi B( w, u) = l( w ) (2.2.20) w1 u υ w1 u υ g d11 + d12 + d33 + dxdy x x y y y x Ω B( w, u ) = (2.2.21) w2 u υ w2 u υ g d33 + + d12 + d22 dxdy x y x y x y Ω ( ) l w [ ρ] g w1x dxdy + g w1q nxds Ω Γ = g [ w2y ρ] dxdy + g w2qnyds Ω Γ (2.2.22) przy czym: w = ( w1, w2), u = ( u, υ). Tak zapisan sformułowani słab nazywa się często sformułowanim wariacyjnym równań (2.2.6). Forma dwuliniowa moż być takż zapisana za pomocą składowych stanu naprężnia i odkształcnia ( ) σ ( ) ε( ) σ ( ) ε ( ) B w, u = g u w dω= g u w dω (2.2.23) ij ij Ω Ω natomiast forma liniowa l w = g ρ XwdΩ+ g q wds ( ) i i ni i Ω Γ (2.2.24) Funkcja wagi w (zwana takż funkcją tstującą) moż być traktowana jako wariacja przmiszcznia, tzn. w = δ u (2.2.25) gdzi symbol δ oznacza wariację. 17
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz Wówczas sformułowani wariacyjn (2.2.20), gdy forma dwuliniowa B (, ) jst symtryczna, przyjmuj postać B δu, u l δu = (2.2.26) lub ( ) ( ) 0 δ J ( u) = 0 (2.2.27) gdzi 1 J ( u) = B( u, u) l( u ) (2.2.28) 2 jst funkcjonałm, który wyraża całkowitą nrgię potncjalną układu sprężystgo. Wyrażni (2.2.27) jst znan jako twirdzni o minimum nrgii potncjalnj, któr mówi, ż wśród wszystkich dopuszczalnych przmiszczń u = ( u, υ), spłniających warunki brzgow, pol przmiszczń rzczywistych zapwnia minimalną wartość całkowitj nrgii potncjalnj J ( u ). Równani mtody lmntów skończonych często w litraturz wyprowadza się korzystając ni z sformułowania słabgo, lcz z twirdznia o minimum nrgii potncjalnj δ J ( ) = 0 u. Po zastosowaniu zalżności (2.2.23) i (2.2.24) przy (2.2.25) równani (2.2.26) w notacji inżynirskij w zapisi macirzowym przyjmuj postać T δε x σ x T T u X u qxn g δε y σ y dxdy g ρ dxdy g ds = 0 υ Y υ q Ω Γ yn δγ xy τ xy (2.2.29) 2.2.3 Równania mtody lmntów skończonych Pol przmiszczń na każdym lmnci skończonym pomocą wilomianów U i V gdzi: n n = jψ j = υ jψ j j= 1 j= 1 j i j ψ j U u u ( x, y), V v ( x, y) Ω możmy aproksymować za (2.2.30) u υ - wartości węzłow przmiszczń, ( x, y) - funkcj intrpolacyjn (funkcj kształtu), których postać zalży od przyjętgo rzędu intrpolacji oraz rodzaju lmntu skończongo, n liczba węzłów na lmnci skończonym Ω. Po podstawiniu wyrażnia aproksymującgo (2.2.30) do formy słabj (2.2.29) otrzymujmy 18
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz n n w ψ 1 j ψ j d 11 u j + d 12 υ j + x j= 1 x j= 1 y g dxdy g wq ds= 0 g 1 nx n n Ω w ψ 1 j ψ j Γ + d 33 u j + υj w 1 X ρ y j= 1 y j= 1 x Ω n n w ψ 2 j ψ j d 33 u j + υ j + x j= 1 y j= 1 x ψ ψ + + n n w2 j j d 12 u j d 22 υ j y j= 1 x j= 1 y (2.2.31) dxdy g w2qnyds = 0 Γ wy 1 ρ W clu uproszcznia zapisu w równaniach (2.2.31) oraz dalszych pominięto indks przy wartościach węzłowych przmiszczń i funkcjach intrpolacyjnych. Stosując ujęci Ritza, dla n niwiadomych przmiszczń węzłowych u j i n niwiadomych przmiszczń węzłowych υ j, przyjmujmy odpowidnio n nizalżnych funkcji wagowych w1: w1 = ψ1, ψ2, ψ3,..., ψ n, oraz n nizalżnych funkcji w2 w2 = ψ1 ψ2 ψ3 ψ n :,,,...,. Po podstawiniu funkcji intrpolacyjnych w mijsc funkcji wagowych w równaniach (2.2.31) oraz po uporządkowaniu wyrażń uzyskujmy dla wi = ψ i n ψ ψ i j ψ ψ i j d11 + d33 uj + j= 1 x x y y g dxdy g ψ q ds= 0 g i nx n ψ j ψ Ω ψ i ψ i j Γ + d12 + d33 υj + ψixρ j= 1 x y y x Ω n ψ ψ i j ψ ψ i j d33 + d12 uj + j= 1 x y y x i ny 0 n ψ ψ i j ψ ψ dxdy g ψ q ds = i j Γ + d33 + d22 υj + ψiy ρ j= 1 x x y y (2.2.32) Równania (2.2.32) możmy przdstawić w postaci macirzowj {} u 11 12 1 [ K ] [ K ] { Q } 21 22 = 2 (2.2.33) [ K ] [ K ] {} υ { Q } gdzi lmnty macirzy sztywności dla zagadniń dwuwymiarowych mają postać 19
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz { u} = [ u, u,..., u ], { υ} = [ υ, υ,..., υ ] 1 i T 1 2 n 1 2 T n 11 i j i j Kij = g d11 + d33 dxdy x x y y Ω 12 21 i j i j Kij = Kij = g d12 + d33 dxdy x y y x Ω 22 i j i j Kij = g d33 + d22 dxdy x x y y Ω Q = Ω ψ ψ ψ ψ ψ ψ g ψ X ρdxdy + g ψ q ds i i nx Γ Q = gψ Yρdxdy+ gψ q ds 2 i i i ny Ω Γ ψ ψ ψ ψ ψ ψ (2.2.34) Równani (2.2.33) możmy zapisać inaczj [ K ]{ u } = { Q } (2.2.35) gdzi {} u { u } = - macirz kolumnowa wartości węzłowych przmiszczń, {} υ 11 12 [ K ] [ K ] [ K ] = 21 22 - macirz sztywności lmntu skończongo, [ K ] [ K ] 1 { Q } { Q } = 2 - macirz kolumnowa sił węzłowych. { Q } Konkrtna postać macirzy sztywności zalży od przyjętych funkcji intrpolacyjnych. 2.2.4 Funkcj intrpolacyjn trójkątngo i prostokątngo lmntu skończongo Aproksymacja pól przmiszczń uxy (, ) i υ ( xy, ) na lmnci skończonym Ω za pomocą wilomianów U ( x, y) i V ( x, y ) (2.2.30) powinna spłniać następując warunki: U i V powinny być różniczkowaln tyl razy, il tgo wymaga sformułowani słab (2.2.29), wilomiany powinny być zupłn, wszystki wyrazy wilomianów powinny być liniowo nizalżn. 20
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz Trójkątny lmnt skończony Rozważamy trójkątny lmnt skończony z liniowymi funkcjami intrpolacyjnymi, czyli najprostszy lmnt skończony stosowany w analizi tarcz przy użyciu MES. Do wyznacznia postaci funkcji kształtu posłużymy się wilomianm u = u( x,y ) U ( x,y)=c + c x+ c y (2.2.36) j 1 1 1 2 3 gdzi trzy stał ci ( i= 1,2,3) okrślają gomtrię lmntu. Wartości przmiszczń wirzchołków trójkąta obliczamy następująco u1 = u( x1, y1) = c1 + c2x1+ c3y1 u2 = u( x2, y2) = c1 + c2x2 + c3y2 u = u( x, y ) = c + c x + c y 3 3 3 1 2 3 3 3 lub w postaci macirzowj u1 1 x1 y1 c1 u 2 1 x2 y = 2 c2 u 3 1 x3 y 3 c 3 W clu oblicznia wartości stałych ci ( i= 1,2,3) nalży odwrócić macirz współczynników. Po odwrócniu macirzy (2.2.38) uzyskamy α1 α2 α3 1 1 [ A] = β1 β2 β 3 2A γ 1 γ 2 γ 3 (2.2.37) (2.2.38) (2.2.39) gdzi A = ( α1 + α2 + α3)/2 jst polm -tgo lmntu trójkątngo, natomiast stał αi, βi, γ i obliczamy z wzorów α = x y x y α = x y x y α = x y x y β1 = y2 y3, β2 = y3 y1, β3 = y1 y2 γ = x x, γ = x x, γ = x x 1 2 3 3 2, 2 3 1 1 3, 3 3 2 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1 Traz stał ci ( i= 1,2,3) obliczamy z równania c1 α1 α2 α3 u1 1 c 2 β1 β2 β = 3 u2 2A c 3 γ1 γ 2 γ 3 u 3 1 {} c [ A] {} u Po podstawiniu wzoru (2.2.41) do (2.2.36) otrzymujmy = lub (2.2.40) (2.2.41) 1 U = [( α u + α u + α u ) + ( β u + β u + β u ) x+ 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2A 3 + ( γ1u1+ γ 2u2+ γ3u3) y] = uiψi ( x, y) i= 1 (2.2.42) 21
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz gdzi ψ i - funkcj intrpolacyjn lmntu trójkątngo. Ogólny wzór na funkcj intrpolacyjn lmntu trójkątngo zapiszmy następująco 1 ( ψi = αi + βi x+ γ i y ) i= 1,2,3 (2.2.43) 2A gdzi współczynniki αi, βi, γ i są okrślon wzorami (2.2.40). Odpowidni pochodn cząstkow liniowych funkcji intrpolacyjnych występujących w macirzy sztywności wynoszą ψ i βi ψi γi =, = (2.2.44) x 2A y 2A Liniow funkcj kształtu dla lmntu trójkątngo przdstawiono na rys. 2.2.3. y 1 3 2 x 1 3 3 3 1 1 1 1 1 2 2 2 Rys. 2.2.3: Postaci funkcji intrpolacyjnych dla trójkątngo lmntu skończongo Ich własności są następując ψ ( x, y ) = δ ( i, j = 1,2,3) i j j ij 3 3 3 ψi ψi ψ i i= 1 i= 1 x i= 1 y = 1, = 0, = 0 (2.2.45) Opisany lmnt nazywamy lmntm trójkątnym o stałym polu odkształcń (CST- Constant Strain Triangl), poniważ odkształcnia ( εx, εy, γ xy) na całym obszarz lmntu są stał. Fakt tn wynika z stałych wartości pirwszych pochodnych funkcji intrpolacyjnych. 22
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz Prostokątny lmnt skończony Innym powszchni stosowanym lmntm tarczowym jst prostokąt (rys. 2.2.4). y y 4 3 a 1 b 2 x Rys. 2.2.4: Prostokątny lmnt skończony x Przyjmujmy następującą postać wilomianu intrpolacyjngo w lokalnym układzi współrzędnych u ( x, y) U ( x, y) = c + c x + c y + c xy (2.2.46) 1 2 3 4 Przmiszcznia wirzchołków lmntów wynoszą u = U(0,0) = c, u = U( ab, ) = c+ ca+ cb+ cab 1 1 3 1 2 3 4 u = U( a,0) = c + c a, u = U(0, b) = c + c b 2 1 2 4 1 3 Następni rozwiązujmy układ równań (2.2.47) względm niznanych stałych u u u u u u + u u c u c c c a b ab (2.2.47) 1 2 4 1 3 4 1 2 1 = 1, 2 =, 3 =, 4 = (2.2.48) Po podstawiniu równań (2.2.48) do wilomianu (2.2.46) otrzymujmy x y x y x x y x y U( x, y) = u1 1 + + u2 + u3 + a b a b a a b a b (2.2.49) 4 y x y i + u4 = u1ψ 1 + u2ψ2 + u3ψ3 + u4ψ4 = uiψ b a b i= 1 gdzi x y x y ψ1 = 1 1, ψ2 = 1 a b a b (2.2.50) x y x y ψ3 =, ψ4 = 1 ab a b Ogóln wyrażni na i-tą funkcję intrpolacyjną możmy zapisać w postaci: ψ x y + x + x y + y a b i 1 i i i (, ) = ( 1) 1 1 (2.2.51) 23
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz Graficzni funkcj intrpolacyjn przdstawiono na rys. 2.2.5, a ich własności są następując ψ ( x, y ) = δ ( i, j = 1,2,3,4) 4 i= 1 i i i ij ψ = 1 i (2.2.52) 4 3 4 3 1 1 1 2 1 2 4 3 1 1 4 3 1 2 1 2 Rys. 2.2.5: Postaci funkcji intrpolacyjnych dla prostokątngo lmntu skończongo 2.2.5 Macirzowa postać równań MES Pol przmiszczń dla lmntu skończongo o n liczbi węzłów można przdstawić w postaci u1 u 2 n u jψ j u j= 1 ψ1 ψ2... ψn 0 0...0 un u= = = = v 0 0...0 ψ ψ... ψ υ n 1 2 n 1 υψ j j j= 1 υ 2 ψ 0 ψ 0... ψ 2 1 2 n = υ2 = Ψ 0 ψ1 0 ψ2...0 ψ n 0 u1 υ 1 u un υ n [ ]{ } υ n (2.2.53) 24
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz Pola odkształcń i naprężń na lmnci skończonym Ω są obliczan następująco εx σ x { ε } = εy = [ B ]{ u }, { σ } = σ y = [ D ][ B ]{ u } (2.2.54) γ xy τ xy gdzi [ B ] = [ T]{ ψ } (2.2.55) przy czym [ T ] jst macirzą liniowych opratorów różniczkowych 0 x [ T ] = 0 y y x Wariacj przmiszczń i odkształcń są okrślon za pomocą rlacji δ u = [ ψ ]{ δu }, { δε} = [ B ]{ δu } δυ Po podstawiniu powyższych wyrażń do wzoru (2.2.29) otrzymujmy T T ρ X g { δu }[ B ][ D ][ B ]{ u } dxdy g { δu } [ ψ ] dxdy ρy Ω Ω T q T nx g { δu } [ ψ ] ds= 0 q Γ ny lub ( ) (2.2.56) (2.2.57) (2.2.58) T { δ u } [ K ]{ u } { Q } = 0 (2.2.59) Poniważ równani (2.2.59) jst prawdziw dla dowolnj wariacji { δ u }, więc wyrażni w nawiasi powinno być równ zru. Stąd gdzi [ K ]{ u } = { Q } (2.2.60) [ K ] = g [ B ] [ D ][ B ] dxdy (2.2.61) Ω T jst macirzą sztywności lmntu skończongo rzędu 2n 2n, T ρ X T qnx { Q } = g [ ψ ] dxdy + g [ ψ ] ds = 0 ρy q Ω Γ ny jst macirzą sił węzłowych. (2.2.62) 25
2.2 Mtoda lmntów skończonych dla tarcz Jżli w wzorz na macirz sztywności (2.2.61) wyrażni podcałkow jst stał, to macirz sztywności lmntu przyjmuj postać T [ K ] = ga[ B] [ D][ B] (2.2.63) gdzi macirz sprężystości dla płaskigo stanu naprężnia wyraża się wzorm 1 ν 0 E [ D ] = ν 1 0 2 (2.2.64) 1 ν 1 ν 0 0 2 zaś dla płaskigo stanu odkształcnia jst postaci ν 1 0 1 ν E(1 ν) ν [ D ] = 1 0 (1 ν)(1 2 ν) 1 ν (2.2.65) + 1 2ν 0 0 2(1 ν ) 2.2.6 Agrgacja lmntów skończonych Etap agrgacji polga na połączniu wszystkich lmntów skończonych w jdn modl obszaru dyskrtyzowango. Przprowadza się go żądając spłninia dwóch warunków, mianowici zgodności przmiszczń w węzłach i równowagi sił w węzłach. W rzultaci otrzymuj się układ równań algbraicznych w postaci [ K]{ U} = { Q} (2.2.66) lub w innj formi 11 12 1 1 [ K ] [ K ] { U } { Q } 21 22 2 = 2 (2.2.67) [ K ] [ K ] { U } { Q } 1 gdzi macirz { U } zawira znan przmiszcznia okrślon przz warunki brzgow, natomiast Macirz układ. Macirz a znając 2 { U } jst macirzą zawirającą poszukiwan przmiszcznia węzłow. 1 { Q } zawira niznan siły węzłow (rakcj), a 2 { U } obliczamy z zalżności (2.2.67) 2 22 1 2 21 1 { U } [ K ] ({ F } [ K ]{ U }) 1 { Q } zadan siły obciążając = (2.2.68) 2 1 { U } obliczamy macirz { Q } 1 11 1 12 2 { Q } [ K ]{ U } [ K ]{ U } = + (2.2.69) 26
2.3 Mtoda lmntów skończonych dla płyt 2.3 Mtoda lmntów skończonych dla płyt 2.3.1 Sformułowani zagadninia brzgowgo dla płyt Płytą nazywamy bryłę matrialną o jdnym wymiarz (grubość) dużo mnijszym od pozostałych, obciążoną prostopadl do płaszczyzny środkowj. Sposób obciążnia i podparcia powoduj, ż w ogólności płyta jst dwukirunkowo zginana i skręcana [93]. Przyjmijmy, ż osi współrzędnych x i y lżą w poziomj, środkowj płaszczyźni płyty, przchodzącj przz środk jj grubości g, a oś z jst skirowana w dół (rys. 2.3.1). Obciążni przypadając na jdnostkę powirzchni płyty okrśla funkcja qxy. (, ) y z x Ω n y q(x,y) n n x g Γ Rys. 2.3.1: Płyta zginana Ugięci płyty o dowolnym kształci okrśla równani Zofii Grmain, któr możmy zapisać w postaci: 4 4 4 wxy (, ) wxy (, ) wxy (, ) D + 2 D + D = q( x, y), 4 2 2 4 x x y y ( x, y) Ω (2.3.1) gdzi D jst sztywnością płyty na zginani i wyraża się wzorm: D = Eg 3 2 12(1 ν ) (2.3.2) Równani to nalży uzupłnić odpowidnimi warunkami brzgowymi na Ω = Γ. Typow warunki brzgow przdstawia rys. 2.3.2. 27
2.3 Mtoda lmntów skończonych dla płyt a) Podparci swobodn (np. wzdłuż osi y) x b) Utwirdzni (np. wzdłuż osi y) x y Warunki brzgow dla x = 0, w = 0 i M x = 0 y Warunki brzgow w dla x = 0, w = 0 i = 0 x Rys. 2.3.2: Typow warunki brzgow płyty Znając ugięci wxy (, ), można obliczyć odkształcnia i naprężnia w płyci. Stan naprężnia jst okrślony przz siły wwnętrzn. Wprowadzimy macirz kolumnow uogólnionych naprężń i odkształcń 2 w 2 x Mx( x, y) κ x( x, y) 2 w { σ( xy, )} = M y( xy, ), { ε( xy, )} = κ y( xy, ) = 2 (2.3.3) y Mxy ( x, y) 2 χ( x, y) 2 w 2 xy gdzi: Mx i M y - momnty gnąc, M xy - momnt skręcający, κx i κ y- funkcj krzywizn, χ - funkcja zwichrznia. Związki fizyczn są traz okrślon następująco σ = D ε (2.3.4) { } [ ]{ } gdzi macirz sprężystości ma postać 1 ν 0 3 Eg [ D] = ν 1 0 2 12(1 ν ) 0 0 (1 ν )/2 (2.3.5) Zastosowani mtody lmntów skończonych do wyznacznia ugięć płyty wxy (, ) [4] polga w pirwszym tapi na podzial dwuwymiarowgo obszaru Ω na lmnty skończon Ω, = 1,2,..., N. Podobni jak w przypadku dwuwymiarowych zagadniń brzgowych torii sprężystości przy dyskrtyzacji płyty możmy stosować lmnty trójkątn (rys. 2.3.4) lub prostokątn (rys. 2.3.3). Równani (2.3.1) jst spłnion na lmnci w sposób przybliżony. Całka ważona okrślona na lmnci skończonym Ω ma postać 4 4 4 w w w υ D + 2D + D q dxdy 0 4 2 2 4 = (2.3.6) x x y y Ω 28
2.3 Mtoda lmntów skończonych dla płyt gdzi υ = υ( x, y) jst funkcją wagi. Całkując wyrażni (2.3.6) przz części, otrzymujmy sformułowani słab dla płyty, któr charaktrystyczni wykazuj obniżon wymagania związan z różniczkowalnością ugięcia wxy (, ) gdzi n 2 2 2 2 2 2 υ w υ w υ w υ D + 2 D + D υq 2 2 2 2 dxdy x x xy xy y y Ω M M x xy M yx M y υ + nx + + ny ds+ x y x y Γ υ υ + ( Mn x x + Mxyny) + ( M yxnx + Mn y y) ds= 0 x y x Γ i n są kosinusami kirunkowymi normalnj do brzgu. y (2.3.7) Pochodn funkcji wagi względm współrzędnych x i y zminimy na pochodn względm lokalnych współrzędnych: normalnj n i stycznj s υ υ n υ x ny, υ υ = = n υ x ny (2.3.8) x n s y s n Korzystając z zalżności (2.3.8), możmy całki brzgow w sformułowaniu słabym (2.3.7) przkształcić do postaci υ υ υ Tds n + Mn + Mns ds (2.3.9) n s Γ Γ gdzi: Tn = Txnx + Tyny 2 2 Mn = Mxnx + M yny + 2Mxynxny M M M n n M n n 2 2 ns = ( y x ) x y + xy ( x y ) Całkując przz części drugi składnik w drugij całc (2.3.9), otrzymujmy gdzi V skręcającgo υ M V ds n υ n n Γ M s ns n = Tn + jst rakcją będącą kwiwalntm siły poprzcznj n M ns na brzgu. (2.3.10) (2.3.11) T i momntu Występując w sformułowaniu słabym drugi pochodn ugięć i funkcj intrpolacyjn powinny być tak dobran, aby na granicach sąsiadujących lmntów osiągnąć ciągłość ugięć i pirwszych pochodnych. Przyjmując jako paramtry węzłow kąty obrotów w w ϑy = i ϑx =, można wymusić spłnini tgo warunku w punktach węzłowych. x y 29
2.3 Mtoda lmntów skończonych dla płyt Przyjmijmy następującą aproksymację ugięć płyty na lmnci skończonym. n A (, ) jψ j(, ) = [ ψ ] k{ } k j= 1 k= 1 (2.3.12) w x y x y gdzi j, j = 1,2,..., n, są uogólnionymi przmiszczniami węzłowymi, któr w k-tym węźl są zstawion w macirz kolumnową w k { } k = ϑxk (2.3.13) ϑ yk ψ j, j = 1,2,..., n, są funkcjami intrpolacyjnymi zstawionymi dla każdgo k-tgo węzła w macirz wirszową [ ψ ], zawirającą trzy lmnty. k 2.3.2 Elmnty płytow - trójkątny i prostokątny Elmnt prostokątny posiada A=4 węzły i n=12 paramtrów, natomiast lmnt trójkątny A=3 i n=9. Funkcję aproksymacji ugięć w przypadku lmntu prostokątngo (rys. 2.3.3) przyjmujmy w postaci wilomianu o n=12 paramtrach w( xy, ) = c+ cx+ cy+ cx + cxy+ cy + cx + 2 2 3 1 2 3 4 5 6 7 2 2 3 3 3 cx 8 y cxy 9 c10 y c11xy c12 xy + + + + + (2.3.14) W przypadku lmntu trójkątngo (rys. 2.3.4) wilomian ma n=9 paramtrów w( xy, ) = c+ cx+ cy+ cx + cxy+ cy + c( xy+ xy) + cx + cy (2.3.15) 2 2 2 2 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y s y z x x s ϑ ϑ x4 y 4 ϑ y 3 ϑ x3 w 4 w 3 ξ b ϑ x1 Ω ϑ x2 ϑ y1 w 1 ϑ y2 w 2 Rys. 2.3.3: Elmnt płytowy prostokątny 30
2.3 Mtoda lmntów skończonych dla płyt ϑ y3 ϑ x3 w 3 ϑ x1 Ω y z x ϑ x2 ϑ y1 w 1 ϑ y2 w 2 Rys. 2.3.4: Elmnt płytowy trójkątny Współczynniki c, i= 1,2,..., n, wilomianów są okrślon z warunków zgodności i przmiszczń uogólnionych (2.3.13) w punktach węzłowych k = 1,2,..., A. Funkcj intrpolacyjn dla lmntu prostokątngo można przdstawić w postaci 1 2 2 [ ψ ] k = [( ξξ 1)( 1)(2 ), 2 k + ηηk + + ξξk + ηηk + ξ + η aξ ξξ ξξ ηη 2 k( k + 1) ( k 1)( k + 1), bη ξξ ηη ηη 2 k( k + 1)( k + 1) ( k 1)] (2.3.16) x xs y ys gdzi ξ =, η= są bzwymiarowymi współrzędnymi lokalnymi na a b lmnci skończonym. W przypadku lmntu trójkątngo funkcj intrpolacyjn przyjmują postać gdzi 2 2 2 2 ψ k = Lk + LkLk+ 1 + LkLk+ 2 LkLk+ 1 LkLk+ 2 [ ] [, L k b ( L L + 0,5 L L L ) b ( L L + 0,5 L L L ), 2 2 k+ 2 k k+ 1 k k+ 1 k+ 2 k+ 1 k+ 2 k k k+ 1 k+ 2 c ( LL + 0,5 LL L ) c ( L L + 0,5 LL L )] 2 2 k+ 2 k k+ 1 k k+ 1 k+ 2 k+ 1 k+ 2 k k k+ 1 k+ 2 ak + bkx+ cky = 2A a = x y x y, b = y y, c = x x k k+ 1 k+ 2 k+ 2 k+ 1 k k+ 1 k+ 2 k k+ 2 k+ 1 (2.3.17) (2.3.18) Omawian lmnty, zarówno prostokątny jak i trójkątny, są lmntami nidostosowanymi. W przypadku obu lmntów jst wprawdzi zapwniona zgodność ugięć wzdłuż boków, gdyż zminiają się on wdług funkcji trzcigo stopnia, która jst okrślona jdnoznaczni przz cztry paramtry (dwa ugięcia i dwa kąty nachylnia stycznj wzdłuż boków), brak jst jdnak zgodności nachylń stycznych w kirunkach normalnych do boków. Nachylni stycznj wzdłuż boku, jako pochodna kirunkowa, w w powstaj z kombinacji pochodnych i. Nachylnia normaln opisuj funkcja x y 31
2.3 Mtoda lmntów skończonych dla płyt drugigo stopnia, z którą związan są dwa paramtry, tj. dwi wartości pochodnych normalnych w węzłach. Brak zgodności nachylń w kirunku normalnym do boków powoduj niciągłość odkształcń (krzywizn). W związku z tym powirzchnia ugięć ni jst gładka. Fragmnt powirzchni ugięć dla przykładu lmntu prostokątngo przdstawia rys. 2.3.5. Mimo nidostosowania zastosowani zarówno prostokątngo, jak i trójkątngo lmntu skończongo daj w praktycznych zastosowaniach poprawn wyniki, któr przy zagęszczniu dyskrtyzacji układu dążą do wartości dokładnych. Rys. 2.3.5: Powirzchnia ugięć w przypadku nidostosowango lmntu prostokątngo Jako przykłady lmntów płytowych dostosowanych można wyminić: lmnt prostokątny o cztrch węzłach i szsnastu paramtrach, po cztry paramtry 2 w w w w każdym węźl w,,,. Pol przmiszczń opisuj wilomian trzcigo x y x y stopnia, lmnt prostokątny o cztrch węzłach i dwudzistu cztrch paramtrach, po szść 2 2 2 w w w w w w każdym węźl w,,,,,. Pol przmiszczń opisuj 2 2 x y x y x y wilomian piątgo stopnia, lmnt trójkątny o szściu węzłach i dwudzistu jdn paramtrach, po szść 2 2 2 w w w w w w węzłach wirzchołkowych w,,,,, i po jdnym w węzłach 2 2 x y x y x y w środku boków w (pochodna normalna). Pol przmiszczń opisuj płny n wilomian piątgo stopnia, zawirający dwadziścia jdn składników. 32
2.3 Mtoda lmntów skończonych dla płyt 2.3.3 Macirz sztywności lmntu płytowgo Po podstawiniu zalżności (2.3.11) do (2.3.7) w mijsc (2.3.9) otrzymujmy dla υ = ψ i [ K ]{ } = { f } + { Q } (2.3.19) gdzi lmnty macirzy sztywności lmntu skończongo płyty mają postać 2 2 2 2 2 2 ψ ψ i j ψ ψ i j ψ ψ i j Kij = D + 2 + dxdy 2 2 2 2 x x xy y y Ω (2.3.20) gdzi D jst sztywnością lmntu płyty na zginani, ma stałą wartość dla lmntu i wyraża się wzorm: 3 Eg D = (2.3.21) 2 12(1 ν ) natomiast lmnty macirzy sił węzłowych wyrażają się następująco ψ i fi = qψidxdy, Qi = ψivn Mn ds n (2.3.22) Ω Γ Znając wartości węzłow ugięć, można traz obliczyć odkształcnia { ε } = [ B] k{ } k (2.3.23) gdzi macirz gomtryczna ma postać 2 2 2 T [ ψ ] k [ ψ ] k [ ψ ] k [ B] k =,, 2 2 (2.3.24) x y x y Naprężnia obliczamy następująco { σ } = [ D ]{ ε } = [ D ][ B] { } (2.3.25) k k Macirz sztywności [ K ] ma wymiary n n, czyli 12 12 dla lmntu prostokątngo, 9 9 dla lmntu trójkątngo płyty. Macirz ta moż być przdstawiona takż w następującj postaci [ K ] 11 [ K ] 12 [ K ] 13 [ K ] 14 [ K ] 21 [ K ] 22 [ K ] 23 [ K ] 24 [ K ] = [ B ][ D][ B ] dxdy = (2.3.26) [ K ] 31 [ K ] 32 [ K ] 33 [ K ] 34 Ω [ K ] 41 [ K ] 42 [ K ] 43 [ K ] 44 przy czym T [ K ] = [ B] [ D][ B] dxdy (2.3.27) kl k l Ω 33
2.4 Mtoda lmntów skończonych dla powłok 2.4 Mtoda lmntów skończonych dla powłok 2.4.1 Powłoka jako zbiór płaskich lmntów Powłoką nazywamy bryłę ograniczoną dwima powirzchniami, przy czym odlgłość między tymi powirzchniami grubość powłoki, g jst znaczni mnijsza od pozostałych wymiarów. Stan naprężnia w powłoc jst łącznym stanm płytowym i tarczowym [93]. Dlatgo do analizy powłok za pomocą mtody lmntów skończonych można zastosować płaski lmnty skończon, któr łączą w sobi cchy lmntu płaskigo torii sprężystości i lmntu płytowgo [4]. Prowadzi to do aproksymacji powirzchni zakrzywionj w sposób ciągły za pomocą powirzchni utworzonj z płaskich lmntów trójkątnych i prostokątnych (rys. 2.4.1). Zastosowani takich lmntów skończonych pociąga za sobą dodatkow błędy wynikł z odstępstwa od rzczywistj gomtrii powłoki. Błędy t można jdnak ograniczyć stosując odpowidnio gęstą dyskrtyzację układu. a) y z x TARCZA PŁYTA POWŁOKA + b) y z x TARCZA PŁYTA POWŁOKA Rys. 2.4.1: Aproksymacja powirzchni zakrzywionj płaskimi lmntami skończonymi a) prostokątnymi, b) trójkątnymi 34
2.4 Mtoda lmntów skończonych dla powłok 2.4.2 Trójkątny lmnt powłokowy Przy podzial dowolnych powłok na płaski lmnty skończon stosujmy bardzo często lmnty trójkątn (pwn powłoki, np. o kształci cylindrycznym, można dobrz przdstawić za pomocą lmntów prostokątnych lub czworobocznych). Są to lmnty osimnasto- paramtrow, posiadając po szść paramtrów w każdym węźl (rys.2.4.2) T { } = [ u, υ, w, ϑ, ϑ, ϑ ] dla k = 1,2,3 (2.4.1) k k k k xk yk zk ϑ z3 w 3 υ 3 ϑ y3 u 3 ϑ x3 ϑ x1 Ω u1 u2 y z x ϑ x2 υ 1 w 1 υ 2 w 2 ϑ y1 ϑ ϑ z1 y2 ϑ z2 Rys. 2.4.2: Trójkątny lmnt powłokowy Dwi pirwsz współrzędn uk i υ k opisują przmiszcznia k-tgo węzła w płaszczyźni lmntu i okrślają stan tarczowy. Następn trzy współrzędn wk, ϑxk, ϑ yk okrślają typowy dla płyty stan zgięciowy. Ostatnia współrzędna ϑ zk opisująca dodatkowy obrót została wprowadzona, poniważ powirzchnia powłoki jst zakrzywiona i lmnty ni lżą w jdnj płaszczyźni. Przmiszcznia liniow lmntu powłokowgo są aproksymowan następująco u ( x, y, z) 3 υ ( xyz,, ) = [ φ ] k{ } k (2.4.2) k = 1 w ( x, y, z) gdzi macirz funkcji intrpolacyjnych [ φ ] o wymiarach 3 6 ma postać k tarcza [ ψ ] k 0 0 [ φ ] k = pyta (2.4.3) 0 [ ψ ] k 0 tarcza pyta Podmacirz [ ψ ] k i [ ψ ] k są funkcjami intrpolacyjnymi dla lmntu tarczowgo i płytowgo. Macirz odkształcń i naprężń są dla powłoki złożnim odpowidnich macirzy dla tarczy i płyty 35