Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni. Denicja Przestrzeni dwuwymiarow (pªaszczyzn ) (oznaczan przez R 2 ) nazywamy zbiór par uporz dkowanych (x, y), gdzie x, y R. R 2 = {(x, y) : x, y R}. Przestrzeni trójwymiarow (przestrzeni ) (oznaczan przez R 3 ) nazywamy zbiór uporz dkowanych trójek (x, y, z), gdzie x, y, z R. R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R}. Elementy (x, y) oraz (x, y, z) nazywamy punktami, odpowiednio, pªaszczyzny i przestrzeni. Liczby x, y i z nazywamy wspóªrz dnymi kartezja«skimi punktów. Denicja Odlegªo±ci punktów P 1 = (x 1, y 1 ) oraz P 2 = (x 2, y 2 ) na pªaszczy¹nie nazywamy liczb P 1 P 2 okre±lon wzorem P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Odlegªo±ci punktów P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) oraz P 2 = (x 2, y 2, z 2 ) w przestrzeni nazywamy liczb P 1 P 2 okre±lon wzorem P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 1

Denicja Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P 0 na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy zbiór O(P 0, r) = {P : P P 0 < r}. Otoczeniem punktu na pªaszczy¹nie jest koªo otwarte o ±rodku w P 0 i promieniu r. Otoczeniem punktu w przestrzeni jest kula otwarta o ±rodku w P 0 i promieniu r. Denicja S siedztwem o promieniu r > 0 punktu P 0 na pªaszczy¹nie lub w przestrzeni nazywamy zbiór S(P 0, r) = O(P 0, r) \ {x 0 }. S siedztwem punktu na pªaszczy¹nie jest koªo otwarte bez ±rodka. S siedztwem punktu w przestrzeni jest kula otwarta bez ±rodka. Uwaga Je±li promie«r nie b dzie istotny w rozwa»aniach, to b dziemy pisa krótko O(P 0 ) oraz S(P 0 ). Denicja Mówimy,»e zbiór A jest ograniczony, gdy istnieje punkt P 0 oraz r > 0 takie,»e A O(P 0, r), tzn.»e zbiór A mo»na zawrze w otoczeniu pewnego punktu z rozwa»anej przestrzeni. W przeciwnym przypadku zbiór A nazywamy nieograniczonym. Denicja Mówimy,»e P jest punktem wewn trznym zbioru A je±li istnieje otoczenie tego punktu zawarte w tym zbiorze, tzn. istnieje liczba r > 0 taka,»e O(P, r) A. Zbiór wszystkich punktów wewn trznych zbioru nazywamy jego wn trzem i oznaczamy przez IntA. Denicja Zbiór nazywamy otwartym, gdy ka»dy punkt tego zbioru jest jego punktem wewn trznym. 2

Denicja Mówimy,»e punkt P jest punktem brzegowym zbioru A, gdy w ka»dym otoczeniu tego punktu istniej punkty nale» ce do zbioru A i punkty do niego nienale» ce, tzn. gdy dla ka»dej liczby r > 0 zachodzi warunek O(P, r) A O(P, r) A. Brzegiem zbioru nazywamy zbiór jego punktów brzegowych. Brzeg zbioru A oznaczamy przez A. Denicja Mówimy,»e niepusty podzbiór pªaszczyzny jest obszarem, gdy jest otwarty i gdy ka»de dwa punkty tego zbioru mo»na poª czy ªaman. (Przykªadowo, poni»szy zbiór nie jest obszarem, mimo,»e jest zbiorem otwartym.) Denicja Obszar wraz z jego brzegiem nazywamy obszarem domkni tym. Funkcje wielu zmiennych Denicje podane w poprzedniej sekcji mo»na przenie± bez istotnych zmian do przestrzeni o wi kszej liczbie wymiarów ni» dwa (pªaszczyzna), czy te» trzy (przestrze«). Zdeniujmy wi c przestrze«n-wymiarow jako zbiór ci gów n-elementowych liczb rzeczywistych (x 1, x 2,..., x n ), tzn. R n = {(x 1, x 2,..., x n ) : x 1, x 2,..., x n R}. Denicja Funkcj n-zmiennych okre±lon na zbiorze D R n o warto±ciach w R nazywamy przyporz dkowanie ka»demu punktowi ze zbioru D dokªadnie jednej liczby rzeczywistej. Zbiór D nazywamy dziedzin funkcji. Funkcj tak oznaczamy przez f : D R lub w = f(x 1, x 2,..., x n ), gdzie (x 1, x 2,..., x n ) D. Warto± funkcji f w punkcie (x 1, x 2,..., x n ) oznaczamy przez f(x 1, x 2,..., x n ). 3

Dla n = 2 mamy funkcj dwóch zmiennych z = f(x, y). Dla n = 3 mamy funkcj trzech zmiennych w = f(x, y, z). Denicja Niech f b dzie funkcj okre±lon na podzbiorze przestrzeni R n. Je»eli dany jest tylko wzór okre±laj cy funkcj, to zbiór punktów przestrzeni, dla których wzór ten ma sens nazywamy dziedzin naturaln funkcji f. Funkcje dwóch zmiennych. Dla funkcji dwóch zmiennych zdeniujmy poj cie wykresu i poziomicy wykresu funkcji. Denicja Wykresem funkcji f dwóch zmiennych nazywamy podzbiór przestrzeni R 3 zdeniowany wzorem {(x, y, z) R 3 : z = f(x, y)}. Denicja Poziomic wykresu funkcji f odpowiadaj c poziomowi h R nazywamy podzbiór pªaszczyzny R 2 zdeniowany wzorem {(x, y) R 2 : f(x, y) = h}. 4

Wykresy wa»niejszych funkcji dwóch zmiennych (f : R 2 R) 1. Wykresem funkcji z = Ax + By + C jest pªaszczyzna o wektorze normalnym n = [ A, B, 1 ], przechodz ca przez punkt (0, 0, C). 2. Wykresem funkcji z = a(x 2 + y 2 ), gdzie a 0, jest paraboloida obrotowa, czyli powierzchnia obrotowa powstaªa z obrotu paraboli z = ax 2 (lub z = ay 2 ) wokóª osi Oz. 3. Wykresem funkcji z = ± R 2 x 2 y 2 jest górna lub dolna póªsfera o ±rodku w pocz tku ukªadu wspóªrz dnych i promieniu R > 0. 4. Wykresem funkcji z = k x 2 + y 2, gdzie k 0, jest sto»ek, czyli powierzchnia powstaªa z obrotu póªprostej z = kx, y = 0 dla x 0 wokóª osi Oz. 5

5. Wykresem funkcji z = h( x 2 + y 2 ), jest powierzchnia obrotowa powstaªa z obrotu wykresu funkcji z = h(x), y = 0, dla x 0 wokóª osi Oz. 6. Wykresem funkcji z = g(x) lub z = k(y) jest powierzchnia walcowa powstaªa z przesuni cia wykresu funkcji z = g(x) dla y = 0 równolegle do osi Oy lub wykresu funkcji z = k(y) dla x = 0 równolegle do osi Ox. Uwaga Wykres funkcji z = f(x a, y b) + c powstaje z wykresu funkcji z = f(x, y) przez przesuni cie o wektor v = [a, b, c]. 6

Wykres funkcji z = f(x, y) powstaje z wykresu funkcji z = f(x, y) przez symetryczne odbicie wzgl dem pªaszczyzny xoy. 7

Granice i ci gªo± funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e ci g punktów {P n } n N = {(x n, y n )} n N d»y do punktu P 0 = (x 0, y 0 ), co oznaczamy lim n P n = P 0 lub lim n (x n, y n ) = (x 0, y 0 ), wtedy i tylko wtedy, gdy lim n x n = x 0 (Oznacza to zbie»no± dla ka»dej wspóªrz dnej.) lim n y n = y 0. Denicja (Heinego) Niech funkcja f b dzie okre±lona przynajmniej na s siedztwie punktu (x 0, y 0 ). Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) granic wªa±ciw g R, co zapisujemy lim f(x, y) = g, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych ci gów punktów {(x n, y n )} n N S(x 0, y 0 ) zachodzi warunek [ ] [ ] lim (x n, y n ) = (x 0, y 0 ) = lim f(x n, y n ) = g. n n Uwaga Podobnie deniujemy granice niewªa±ciwe funkcji dwóch zmiennych. Przykªad Dla funkcji nie istnieje granica w punkcie (0, 0). f(x, y) = x2 + 3y 2 x 2 + y 2 Je»eli rozwa»ymy ci g punktów (x n, y n ) = punktu (0, 0) wzdªu» osi Ox. Je»eli natomiast rozwa»ymy ci g punktów (x n, y n) = ten d»y do punktu (0, 0) wzdªu» osi Oy. Otrzymujemy wtedy sprzeczno± z denicj Heinego, bo ( ) 1 n, 0, to lim (x n, y n ) = (0, 0) i ci g ten d»y do n ( 0, 1 ), to lim n n (x n, y n) = (0, 0), ale ci g lim f(x n, y n ) = lim n n ( 1 n ) 2 + 3 0 2 ( 1 ) 2 n + 0 2 = 1, lim n f(x n, y n) 0 2 + 3 ( 1 n = lim n 0 2 + ( ) 1 2 = 3. n 8 ) 2

Twierdzenie (o arytmetyce granic) Je»eli funkcje f i g maj w punkcie (x 0, y 0 ) granice wªa±ciwe, to: 1. lim [f(x, y) + g(x, y)] = lim [ 2. lim [f(x, y) g(x, y)] = f(x, y) 3. lim g(x, y) = lim f(x, y) f(x, y) + lim lim f(x, y) ] [, o ile lim lim g(x, y) g(x, y), lim g(x, y) g(x, y) 0. ], Denicja Niech funkcja f dwóch zmiennych b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu O(x 0, y 0 ). Mówimy,»e f jest ci gªa w punkcie (x 0, y 0 ), wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x, y) = f(x 0, y 0 ). Twierdzenie Je»eli funkcje f i g s ci gªe w punkcie (x 0, y 0 ), to tak»e funkcje f + g, f g, f g (o ile g 0) równie» s ci gªe w tym punkcie. 9