Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych

Transkrypt

1 Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa,

2 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p, 1 q, s > 0 Przykªad: przestrze«höldera dla p = q = B s,, 0 < s < 1 Ci gªe wªo»enia: (przyjmujemy p = 2) B s 2,q B s 2, B s 2 2, B s 1 2,, s 2 > s 1

3 Gªadko± funkcji w znaczeniu przestrzeni Biesowa B s 2 2, B s 1 2,, s 2 > s 1 Zatem, gdy f L 2 (R), mamy: f nale»y do wszystkich przestrzeni B s 2, f nie nale»y do»adnej przestrzeni B s 2, istnieje parametr s taki,»e dla wszystkich s < s, f B s 2, dla wszystkich s > s, f / B s 2,.

4 Parametr gªadko±ci Denicja 1 Niech f L 2 (R). Wtedy s = s (f ) = sup{s > 0 : f B2, (R)} s nazywamy parametrem gªadko±ci funkcji f, gdzie sup{ } = 0, sup{(0, )} =. Przykªad: X ruch Browna [Ciesielski, Kerkyacharian, Roynette 1993] Je±li s < 1/2, to X (t) B s p,q(0, 1), p, q 1, p.w. Je±li s > 1/2, to X (t) / B s p,q(0, 1), p, q 1, p.w.

5 Analiza wieloskalowa Denicja 2 Analiz wieloskalow nazywamy ci g (V j ) j Z podprzestrzeni domkni tych w L 2 (R) speªniaj cy nast puj ce warunki: V 1 V 0 V 1..., { } 2. span V j = L 2 (R) oraz j Z V j = {0}, j Z 3. f V j f (2 j ) V 0, 4. f V 0 f ( k) V 0, k Z, 5. istnieje funkcja φ V 0, nazywana funkcj skaluj c, taka,»e ukªad {φ( k)} k Z jest baz ortonormaln w V 0.

6 r-rma Niech φ b dzie funkcj skaluj c, za± ψ odpowiadaj c jej falk. Denicja 3 Mówimy,»e analiza wieloskalowa jest r-regularna (r-rma), gdzie r N, je±li funkcja skaluj ca speªnia D α φ(x) C m (1 + x ) m (1) dla ka»dego m N oraz dla ka»dego multiindeksu α = (α 1,..., α n ), takiego»e α r.

7 Przestrze«funkcji gi tych (splajnów) Niech a > 0, p = 0, 1, 2,.... S p (az) przestrze«funkcji gi tych (splajnów) rz du p z w zªami w az, tj. przestrze«funkcji okre±lonych na R klasy C p 1, b d cych wielomianami stopnia co najwy»ej p po obci ciu do ka»dego odcinka [aj, a(j + 1)] dla j Z. Niech S p 2 (az) = Sp (az) L 2 (R).

8 p-sma Twierdzenie 1 Istnieje funkcja φ S p 2 (Z) maj ca wªasno± spadku eksponencjalnego, tj. φ(x) Ce γ x C,γ>0 x R taka,»e ukªad {φ( m)} m Z jest baz ortogonaln w przestrzeni S p 2 (Z). Twierdzenie 2 Dla ka»dego p = 0, 1, 2,... przestrzenie V j = S p 2 (2 j Z), gdzie j Z, tworz analiz wieloskalow (p-sma).

9 Falka Franklina-Strömberga S, (p = 1) Rysunek: Falka Franklina-Strömberga, p = 1 Ma wªasno± spadku eksponencjalnego α,β>0 x R S(x) < βe α x. (2)

10 Wªasno± falek splajnowych Niech φ p funkcja skaluj c tworz ca p-sma, ψ p falk splajnow stowarzyszona z φ p. Obie funkcje maj spadek eksponencjalny wraz ze wszystkimi pochodnymi do rz du p 1: C,γ>0 x R D m φ p (x) < Ce γ x, m = 0, 1, 2,..., p 1.

11 Rzuty ortogonalne Oznaczamy przez P (h), h > 0, rzut ortogonalny funkcji f L 2 (R) P (h) f (x) = R K h (x, y)f (y)dy, gdzie K h jest j drem zdeniowanym nast puj co: K h (x, y) = 1 h k Z ( x ) ( y ) φ h k φ h k. Ponadto niech P j = P (2 j ), Q j = P j+1 P j, j Z.

12 Charakteryzacja przestrzeni Biesowa Niech dana b dzie r-rma (p-sma). f B s 2, (R) dla 0 < s < r [Meyer 1992] f B s 2, (R) dl (0 < s < p + 1/2) [Ciesielski 1975] f L 2 (R) i sup 2 js Q j f 2 <. (3) j 0

13 Wyznaczanie parametru gªadko±ci Twierdzenie 3 Niech f L 2 (R) oraz r-rma, taka»e 0 < s < r lub p-sma, taka»e 0 < s < p + 1/2. Wtedy dla j {l : Q l f 2 0} mamy lim inf j log 2 Q j f 2 j = s. (4) [K. Dziedziul, M. Kucharska, B. Wolnik (2011), Estimation of the smoothness of density, J.Nonparametric Statistics 23, str ] [B. miel, K. Dziedziul (2011), Density smoothness estimation, (w recenzji)]

14 Estymator g sto±ci Niech X 1, X 2,..., b dzie ci giem niezale»nych zmiennych losowych o tym samym rozkªadzie o nieznanej funkcji g sto±ci f L 2 (R). Dla parametru h > 0 oraz wielko±ci próby n deniujemy estymator g sto±ci f h,n (x) = 1 n K h (x, X i ). n i=1 Dla h = 2 j oraz odpowiedniej wielko±ci próby oznaczamy f 2 j,n r dla r-rma, f j = dla p-sma, f 2 j,n p gdzie n r 2 2j(r+1/2) i n p 2 2j(p+1).

15 Estymacja parametru gªadko±ci Twierdzenie 4 (Jarz bkowska, Meller) Niech dana b dzie p-sma lub r-rma, gdzie funkcja skaluj ca φ ma spadek eksponencjalny. Niech X 1, X 2,, b dzie ci giem niezale»nych zmiennych losowych o nieznanej funkcji g sto±ci f L 2 (R). Wtedy dla 0 < s < p + 1/2 lub 0 < s < r oraz j {l : f l f l 1 2 0} lim inf j log 2 f j f j 1 2 j = s p.w. (5)

16 Twierdzenie 5 (Jarz bkowska, Meller) Niech dana b dzie funkcja okre±lona na R { 0, dla x a g a (x) = 1, poza tym, (6) gdzie a R oraz H = v 1 g a 1 + v 2g a v ng an, (7) gdzie a i R, v i R \ {0}, i = 1, 2,..., n, speªniaj warunki: a 1 < a 2 <... < a n, v 1 + v v n = 0. Wtedy H L 2 (R) i s (H) = 1/2. Ponadto, je±li rozwa»ymy falk Franklina-Strömberga S, wtedy dla funkcji H otrzymujemy log 2 Q j (H) 2 lim j j = s.

17 Z Twierdzenia 4 i Twierdzenia 5 otrzymujemy nast puj cy wniosek. Wniosek 1 Niech dana jest SMA rz du 1 i niech X 1, X 2,... b dzie ci giem zmiennych losowych niezale»nych o jednakowym rozkªadzie z funkcj g sto±ci f L 2 (R) zadan wzorem (7). Wówczas log lim 2 f j f j 1 2 j j = 1 2 = s p.w. (8)

18 Dzi kuj za uwag.

19 Bibliograa [1] B. miel, K. Dziedziul (2011), Density smoothness estimation, (w recenzji) [2] K. Dziedziul, M. Kucharska, B. Wolnik (2011), Estimation of the smoothness of density, J.Nonparametric Statistics 23, str [3] N. Jarz bkowska, M. Meller (2012), Estimation of smoothness parameter by spline wavelet, (w recenzji)