gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

Transkrypt

1 GAL II A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri liniow. Stwierdzenie 20.2 Przesuni cie w anicznej przestrzeni euklidesowej jest izometri. Denicja 20.3 Symetri wzgl dem hiperpªaszczyzny A nazywamy symetri przestrzeni E(R n ) wzgl dem podprzestrzeni A wymiaru n 1 wzdªu» A. Macierz symetrii wzgl dem hiperpªaszczyzny w ukªadzie bazowym A = (p ; α 1, α 2,..., α n ) jest M(f) A A = , gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n i A = p + lin{α 2, α 3,..., α n }. Obrotem w przestrzeni E(R n ) nazywamy tak izometri, która w pewnym ukªadzie bazowym A = (p ; α 1, α 2,..., α n ), gdzie wektory α i tworz baz cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ortonormaln przestrzeni E n, ma macierz M(f) A A = ϕ nazywamy k tem obrotu za± W = p + lin{α 3,..., α n } osi obrotu. Twierdzenie 20.4 Niech f : H H b dzie izometri przestrzeni anicznej. Wówczas f ma punkt staªy lub prost niezmiennicz na której f jest przesuni ciem. Dokªadniej p E(R n ) α S(R n ) f(p) = p k R f(p + kα) = p + kα + α. Dowód: Niech f L(E n ; E n ) b dzie pochodn f. Deniujemy podprzestrze«u = {α E n f (α) = α} oraz W = U. Wówczas E n = U W jest rozkªadem na podprzestrzenie niezmiennicze. Ponadto ker(f id) = U i (f id)(w ) W wi c (f id) jest izomorzmem przestrzeni W. Niech f(θ) = θ + α + β, gdzie α U i β W. Zatem istnieje γ W taki,»e (f id)(γ) = β. Teraz dla punktu p = θ + γ i r R otrzymujemy: f(p + rα) = f(θ + γ + rα) = f(θ) + f (γ + rα) = θ + α + β + (γ β + rα) = θ + γ + (r + 1)α = p + (r + 1)α Je»eli α = θ to p jest punktem staªym za± je»eli α θ to p + lin{α} jest» dan prost..

2 GAL II A. Strojnowski str.46 Lemat 20.5 Niech f b dzie izometri przestrzeni E(R n ) bez punktów staªych. Wówczas istnieje baza ortonormalna A = (α 1,..., α n ) i taki ukªad bazowy B = (p ; α 1,..., α n ) w którym macierz f ma posta 0 A θ T. 0 θ 1 Dowód: Niech p + lin{α} b dzie prost niezmiennicz na której f dziaªa jako przesuni cie o wektor α. Wybieramy tak baz ortonormaln A = (α 1,..., α n ) przestrzeni T (H) by α 1 = 1 α α. Podprzestrze«W = lin{α 2,..., α n } = lin{α 1 } jest f niezmiennicza bo jest prostopadªa do przestrzeni niezmienniczej lin{α 1 }. Teraz, dla a = α mamy f(p) = p + aα 1 i M(f) A A = w bazie (α 2,..., α n ). 0 A θ T 0 θ 1 gdy A jest macierz f W Denicja 20.6 Izometri f przestrzeni E(R n ) nazywamy parzyst, gdy wyznacznik funkcji pochodnej det f = 1 a nieparzyst, gdy wyznacznik funkcji pochodnej det f = 1. Stwierdzenie 20.7 Obrót jest izometri parzyst za± symetria wzgl dem hiperpªaszczyzny jest izometri nieparzyst.

3 GAL II A. Strojnowski str.47 Klasykacja izometrii przestrzeniach anicznych E n dla n 3. Z punktem staªym wymiar parzyste nieparzyste 1 identyczno± symetria ±rodkowa 2 obrót cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 symetria osiowa obrót cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 symetria pªaszczyznowa obrót z odbiciem cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0

4 GAL II A. Strojnowski str.48 Bez punktu staªego n parzyste nieparzyste 1 przesuni cie brak 2 przesuni cie symetria z po±lizgiem obrót z po±lizgiem a 0 cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 symetria pªaszczyznowa z po±lizgiem a Wykªad 21 Przestrzenie metryczne. Denicja 21.1 Przestrzeni metryczn nazywamy niepusty zbiór P wraz z funkcj ϱ : P P R + w liczby rzeczywiste nieujemne speªniaj c warunki: 1) p,q P ϱ(p, q) = 0 p = q. 2) p,q P ϱ(p, q) = ϱ(q, p). 3) p,q,s P ϱ(p, q) + ϱ(q, s) ϱ(p, s). Funkcj ϱ nazywamy metryk. Przykªad 21.2 { Niech P b dzie niepustym zbiorem. Okre±lmy funkcj ϱ wzorem: 0 p = q ϱ(p, q) = 1 p q. Wówczas ϱ jest metryk zwan dyskretn. Twierdzenie 21.3 Odlegªo± w przestrzeniach anicznych euklidesowych jest metryk - zwan metryk euklidesow. Przykªad 21.4 Przykªadami metryk na R n s : 1) Metryka miejska, ϱ M ((p 1, p 2,..., p n ), (q 1, q 2,..., q n )) = p 1 q 1 + p 2 q p n q n.

5 GAL II A. Strojnowski str.49 2) Metryka Max M ((p 1, p 2,..., p n ), (q 1, q 2,..., q n )) = Max{ p i q i ; 1 i n}. 3) Metryka w zªa kolejowego. Twierdzenie 21.5 a) Dla dowolnych p, q R n zachodzi: M (p, q) q p ϱ M (p, q) nm (p, q). b) Metryki: euklidesowa, miejska i Max wyznaczaj t sam topologi. c) Metryki: euklidesowa i w zªa kolejowego nie wyznaczaj tej samej topologii. Stwierdzenie 21.6 Podprzestrzenie przestrzeni metrycznych s przestrzeniami metrycznymi. Dokªadniej: Niech {X; ϱ} b dzie przestrzeni metryczn z metryk ϱ za± Y b dzie niepustym podzbiorem X. Wówczas {Y : ϱ Y } wraz z metryk ϱ obci t do Y jest przestrzeni metryczn. Denicja 21.7 Izometri nazywamy przeksztaªcenie mi dzy dwiema przestrzeniami metrycznymi zachowuj ce odlegªo±. Dokªadniej: Je»eli {P 1 ; ϱ 1 } i {P 2 ; ϱ 2 } to f : P 1 P 2 jest izometri gdy p,q P1 ϱ 1 (p, q) = ϱ 2 (f(p), f(q)). Twierdzenie 21.8 Izometrie s przeksztaªceniami ró»nowarto±ciowymi. Twierdzenie 21.9 Zªo»enie izometrii jest izometri. Twierdzenie Izometrie przestrzeni R n z metryk euklidesow s przeksztaªceniami anicznymi. Przykªad Niech X = [A, B] b dzie odcinkiem domkni tym w przestrzeni E(R n ) za± Y = [A, B) X. Wówczas wªo»enie f : Y X jest izometri, nie jest na (nie jest surjekcj ) ale jest epimorzmem w kategorii przestrzeni metrycznych. Dokªadniej: Dla dowolnej przestrzeni metrycznej Z i izometrii g 1, g 2 : X Z zachodzi g 1 f = g 2 f g 1 = g 2. Twierdzenie Izometrie s przeksztaªceniami ci gªymi. Wielomiany n zmiennych Denicja Algebr wielomianów zmiennych x 1, x 2,..., x n o wspóªczynnikach z ciaªa K nazywamy przestrze«liniow K[x 1, x 2,..., x n ] nad ciaªem K o bazie zªo»onej z wyra»e«x i 1 1 x i 2 n, gdzie i 1, i 2,..., i n s liczbami naturalnymi za± jednomian x 0 1x x 0 n = 1 uto»samiamy z jedynk ciaªa K. Wielomianem nazywamy ka»dy wektor czyli sko«czon kombinacj liniow w(x) = w(x 1, x 2,..., x n ) = i 1,i 2,...,i n k i1,i 2,...,i n x i1 1 x i 2 n Iloczynem wielomianów okre±lamy przez iloczyn elementów bazy zgodnie ze wzorem: x i 1 1 x in n x j 1 1 x j x jn n = x i 1+j 1 1 x i 2+j xn in+jn, a nast pnie rozszerzamy na wszystkie wielomiany stosuj c rozdzielno± mno»enia wzgl dem dodawania.

6 GAL II A. Strojnowski str.50 Denicja Stopniem wielomianu w(x) = i 1,i 2,...,i n k i1,i 2,...,i n x i 1 1 x i 2 n nazywamy najwi ksz z liczb i 1 + i i n, dla których wspóªczynnik k i1,i 2,...,i n 0 i oznaczamy st w(x). Je»eli w(x) = θ jest wielomianem zerowym to przyjmujemy st w(x) =. Twierdzenie Niech w(x), v(x) K[x 1, x 2,..., x n ]. Wówczas: 1) st (w(x) + v(x)) max (st w(x), st v(x)). 2) st (w(x) v(x)) = st w(x) + st v(x).