Teoria grafów i sieci 1 / 58
|
|
|
- Janina Dąbrowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Teoria grafów i sieci 1 / 58
2 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo Pascalu, 4 T.Cormen, Ch.E.Leiserson, R.L.Rivest, Wprowadzenie do algorytmów, 5 Libura, Sikorski Wykªady z matematyki dyskretnej.cz.ii: Teoria grafów, 6 G.Caldarelli, A.Vespignani Large Scale Structure and Dynamics of Complex Networks: From Information Technology to Finance and Natural Science, 7 M. van Steen, Graph Theory and Complex Networks: An Introduction, 8 2 / 58
3 grafu nieskierowanego Grafem nieskierowanym nazywamy uporz dkowan trójk : G = V, E, γ gdzie: V niepusty zbiór wierzchoªków grafu G, E zbiór kraw dzi grafu G, γ funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v V } wszystkich podzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V. 3 / 58
4 grafu nieskierowanego Grafem nieskierowanym nazywamy uporz dkowan trójk : G = V, E, γ gdzie: V niepusty zbiór wierzchoªków grafu G, E zbiór kraw dzi grafu G, γ funkcja ze zbioru E w zbiór {{u, v} : u, v V } wszystkich podzbiorów jedno lub dwuelementowych zbioru V. Je»eli e E oraz γ (e) = {p, q}, to elementy p i q nazywamy ko«cami kraw dzi e. 4 / 58
5 Przykªad Niech G = V, E, γ, gdzie V = {1, 2,...8}, E = {a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m}, za± funkcja γ okre±lona jest za pomoc tabeli e a b c d f g h γ (e) {1, 2} {2} {2, 3} {4} {3, 6} {6, 7} {5, 6} k l m {2, 5} {1, 5} {1, 5} 5 / 58
6 Przykªad Niech G = V, E, γ, gdzie V = {1, 2,...8}, E = {a, b, c, d, e, f, g, h, k, l, m}, za± funkcja γ okre±lona jest za pomoc tabeli e a b c d f g h γ (e) {1, 2} {2} {2, 3} {4} {3, 6} {6, 7} {5, 6} k l m {2, 5} {1, 5} {1, 5} W praktyce cz sto wykorzystujemy graczn reprezentacj grafu 1 a m l k d b c 3 2 f 8 4 h 5 6 g 7 Je»eli γ (e) = {p, p} = {p}, to kraw d¹ e nazywamy p tl. Je»eli kraw dzie e i f s ró»ne (e f ) i γ (e) = γ (f ), to nazywamy je kraw dziami wielokrotnymi (równolegªymi). 6 / 58
7 Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 7 / 58
8 Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 1 Kraw dzie a i b s kraw dziami s siednim lub przylegªymi (maj wspólny wierzchoªek y). 8 / 58
9 Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 1 Kraw dzie a i b s kraw dziami s siednim lub przylegªymi (maj wspólny wierzchoªek y). 2 Wierzchoªki x, y (oraz y i z) s wierzchoªkami s siednimi. 9 / 58
10 Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 1 Kraw dzie a i b s kraw dziami s siednim lub przylegªymi (maj wspólny wierzchoªek y). 2 Wierzchoªki x, y (oraz y i z) s wierzchoªkami s siednimi. 3 Wierzchoªek x (a tak»e y) jest incydentny do kraw dzi a (jest ko«cem tej kraw dzi) 10 / 58
11 Je»eli w grae G, a i b nie s kraw dziami równolegªymi oraz γ (a) = {x, y} i γ (b) = {y, z}, to mówimy,»e: 1 Kraw dzie a i b s kraw dziami s siednim lub przylegªymi (maj wspólny wierzchoªek y). 2 Wierzchoªki x, y (oraz y i z) s wierzchoªkami s siednimi. 3 Wierzchoªek x (a tak»e y) jest incydentny do kraw dzi a (jest ko«cem tej kraw dzi) W przypadku, gdy nie ma w grae G kraw dzi wielokrotnych, to funkcja γ jest ró»nowarto±ciowa. 11 / 58
12 Graf prosty Graf bez kraw dzi wielokrotnych i p tli nazywamy grafem prostym. 3 f b a d 4 e c / 58
13 Graf prosty Graf bez kraw dzi wielokrotnych i p tli nazywamy grafem prostym. a d f 4 3 b e c 1 2 W przypadku grafów prostych denicja grafu sprowadza si do podania zbioru wierzchoªków V i kraw dzi w postaci {p, q}, gdzie p, q V, np. na rysunku zamiast pisa γ (a) = {1, 3} b dziemy pisa a = {1, 3}. 13 / 58
14 Graf prosty Graf bez kraw dzi wielokrotnych i p tli nazywamy grafem prostym. a d f 4 3 b e c 1 2 W przypadku grafów prostych denicja grafu sprowadza si do podania zbioru wierzchoªków V i kraw dzi w postaci {p, q}, gdzie p, q V, np. na rysunku zamiast pisa γ (a) = {1, 3} b dziemy pisa a = {1, 3}. W dalszej cz ±ci graf prosty b dziemy zapisywali jako G = V, E przyjmuj c,»e E = {{p, q} : p, q V }. 14 / 58
15 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). Liczb wierzchoªków stopnia k oznaczamy D k (G) i dla ka»dego grafu deniujemy ci g stopni wierzchoªków grafu G (D 0 (G), D 1 (G), D 2 (G),...). 15 / 58
16 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). Liczb wierzchoªków stopnia k oznaczamy D k (G) i dla ka»dego grafu deniujemy ci g stopni wierzchoªków grafu G (D 0 (G), D 1 (G), D 2 (G),...). Stopniem grafu G nazywamy liczb (G) = max deg (v). v V Stopie«grafu jest wi c równy najwy»szemu ze stopni jego wierzchoªków. 16 / 58
17 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). Liczb wierzchoªków stopnia k oznaczamy D k (G) i dla ka»dego grafu deniujemy ci g stopni wierzchoªków grafu G (D 0 (G), D 1 (G), D 2 (G),...). Stopniem grafu G nazywamy liczb (G) = max deg (v). v V Stopie«grafu jest wi c równy najwy»szemu ze stopni jego wierzchoªków. Wierzchoªek stopnia zerowego nazywamy wierzchoªkiem izolowanym. 17 / 58
18 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae nieskierowanym Liczb kraw dzi incydentnych do danego wierzchoªka v (z p tlami liczonymi podwójnie) nazywamy stopniem wierzchoªka v i oznaczamy deg(v). Liczb wierzchoªków stopnia k oznaczamy D k (G) i dla ka»dego grafu deniujemy ci g stopni wierzchoªków grafu G (D 0 (G), D 1 (G), D 2 (G),...). Stopniem grafu G nazywamy liczb (G) = max deg (v). v V Stopie«grafu jest wi c równy najwy»szemu ze stopni jego wierzchoªków. Wierzchoªek stopnia zerowego nazywamy wierzchoªkiem izolowanym. Wierzchoªek stopnia pierwszego nazywamy wierzchoªkiem ko«cowym lub wisz cym. 18 / 58
19 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku 19 / 58
20 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 20 / 58
21 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 21 / 58
22 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 3 deg (x 1) = 2 i deg (x 2) = 5, deg (x 3) = 4 i deg (x 8) = 3 22 / 58
23 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 3 deg (x 1) = 2 i deg (x 2) = 5, deg (x 3) = 4 i deg (x 8) = 3 4 ci g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast puj cy (2, 2, 1, 1, 1, 1) 23 / 58
24 Przykªad Rozwa»my graf: f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 Na rysunku 1 wierzchoªki izolowane, to x 5 i x 7 2 wierzchoªki wisz ce to x 4 i x 6 3 deg (x 1) = 2 i deg (x 2) = 5, deg (x 3) = 4 i deg (x 8) = 3 4 ci g stopni wierzchoªków tego grafu jest nast puj cy (2, 2, 1, 1, 1, 1) 5 stopie«tego grafu wynosi (G) = 5 24 / 58
25 Kraw dzie szeregowe Mówimy,»e dwie nierównolegªe kraw dzie s kraw dziami szeregowymi, je»eli ich wspólny wierzchoªek jest stopnia drugiego. f x 1 x 2 a b e d c x 8 h x 3 g x 5 x 4 x6 x 7 25 / 58
26 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. 26 / 58
27 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to 27 / 58
28 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku 28 / 58
29 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku 29 / 58
30 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e 30 / 58
31 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka q 31 / 58
32 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka q ªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka q 32 / 58
33 Graf skierowany Grafem skierowanym lub digrafem G (directed graph) nazywamy uporz dkowan trójk G = V, E, γ, gdzie V jest niepustym zbiorem wierzchoªków, E zbiorem kraw dzi skierowanych (ªuków), γ odwzorowaniem zbioru E w zbiór V V. Je±li e (e E) jest ªukiem grafu G i γ(e) = (p, q) ((p, q) V V ), to p nazywamy pocz tkiem ªuku q nazywamy ko«cem ªuku o ªuku e mówimy równie»,»e ªuk e biegnie od wierzchoªka p do wierzchoªka q ªuk e wychodzi z wierzchoªka p i wchodzi do wierzchoªka q ªuk e jest incydentny z wierzchoªka p i jest incydentny w wierzchoªek q 33 / 58
34 Graf skierowany Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p tl. 34 / 58
35 Graf skierowany Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p tl. Je»eli e, k E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to kraw dzie e i k nazywamy równolegªymi lub wielokrotnymi. 35 / 58
36 Graf skierowany Analogicznie, jak w przypadku grafu nieskierowanego mamy Je»eli γ(e) = (p, p), to e nazywamy p tl. Je»eli e, k E oraz γ(e) = (p, q) i γ(k) = (p, q), to kraw dzie e i k nazywamy równolegªymi lub wielokrotnymi. Je»eli G jest grafem prostym (bez p tli i kraw dzi równolegªych), to przeksztaªcenie γ jest ró»nowarto±ciowe a graf G mo»emy oznacza jako G = V, E. 36 / 58
37 Przykªad We¹my graf G = V, E, γ, w którym dane s zbiory: V zbiór wierzchoªków, E zbiór ªuków oraz funkcja γ postaci e a b c d e f g γ(e) (x, y) (z, y) (z, y) (u, y) (u, x) (z, u) (x, z) h k l m (y, y) (z, w) (w, x) (x, w) w k z m g f c b l e u d x a y h 37 / 58
38 Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym Liczb kraw dzi skierowanych g wychodz cych z wierzchoªka x m nazywamy stopniem wyj±ciowym l tego wierzchoªka i oznaczamy degout(x). x a w k e f u z c d b y h 38 / 58
39 Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym Liczb kraw dzi skierowanych g wychodz cych z wierzchoªka x m nazywamy stopniem wyj±ciowym l tego wierzchoªka i oznaczamy degout(x). x a w k e f u z c d b y h degout(x) = 3, degout(u) = 2, degout(z) = 4, degout(w) = 1, degout(y) = 1, 39 / 58
40 Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym w k z m g f c b l e u d x a y h Liczb ªuków wchodz cych do wierzchoªka x nazywamy stopniem wej±ciowym wierzchoªka x i oznaczamy degin(x). degout(x) = 3, degout(u) = 2, degout(z) = 4, degout(w) = 1, degout(y) = 1, 40 / 58
41 Stopie«wyj±ciowy i wej±ciowy wierzchoªka w grae skierowanym w k z m g f c b l e u d x a y h Liczb ªuków wchodz cych do wierzchoªka x nazywamy stopniem wej±ciowym wierzchoªka x i oznaczamy degin(x). degout(x) = 3, degin(x) = 2, degout(u) = 2, degin(u) = 1, degout(z) = 4, i degin(z) = 1, degout(w) = 1, degin(w) = 2, degout(y) = 1, degin(y) = 5, 41 / 58
42 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae skierowanym Stopniem wierzchoªka deg(x) w grae skierowanym nazywamy sum stopni wej±ciowych i wyj±ciowych wierzchoªka x. deg(x) = degout(x) + degin(x) 42 / 58
43 Stopie«wierzchoªka i stopie«grafu, w grae skierowanym Stopniem wierzchoªka deg(x) w grae skierowanym nazywamy sum stopni wej±ciowych i wyj±ciowych wierzchoªka x. deg(x) = degout(x) + degin(x) Stopie«grafu (G) okre±lamy jako maksymalny stopie«wierzchoªka w tym grae, czyli (G) = max u V deg(u) 43 / 58
44 ródªo i uj±cie w grae skierowanym ródªem w digrae nazywamy wierzchoªek, do którego nie wchodzi»aden ªuk. Wierzchoªek u jest w digrae ¹ródªem wtedy i tylko wtedy gdy degin(u) = 0 44 / 58
45 ródªo i uj±cie w grae skierowanym ródªem w digrae nazywamy wierzchoªek, do którego nie wchodzi»aden ªuk. Wierzchoªek u jest w digrae ¹ródªem wtedy i tylko wtedy gdy degin(u) = 0 Wierzchoªek digrafu, który nie jest pocz tkiem»adnego ªuku nazywamy uj±ciem. Wierzchoªek t jest uj±ciem wtedy i tylko wtedy, gdy degout(t) = 0 45 / 58
46 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 46 / 58
47 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 47 / 58
48 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 48 / 58
49 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = = 2 49 / 58
50 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = = 2 50 / 58
51 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = = 2 Stopie«grafu wynosi (G) = max u V deg(u) = 3 51 / 58
52 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = = 2 ródªem w grae G s wierzchoªki a i c. Stopie«grafu wynosi (G) = max u V deg(u) = 3 52 / 58
53 Przykªad a b c d e Stopnie wierzchoªków w grae wynosz deg(a) = degout(a) + degin(a) = = 1 deg(b) = degout(b) + degin(b) = = 3 deg(c) = degout(c) + degin(c) = = 2 deg(d) = degout(d) + degin(d) = = 2 deg(e) = degout(e) + degin(e) = = 2 Stopie«grafu wynosi ródªem w grae G s wierzchoªki a i c. Uj±ciem jest wierzchoªek e. (G) = max u V deg(u) = 3 53 / 58
54 Grafy wa»one, sieci Grafem wa»onym nazywamy graf, w którym ka»dej kraw dzi 6 przyporz dkowana jest liczba 2 2 rzeczywista zwana wag tej kraw dzi. Funkcj w nazywamy funkcj wagow. w : E R 54 / 58
55 Grafy wa»one, sieci Grafem wa»onym nazywamy graf, w którym ka»dej kraw dzi 6 przyporz dkowana jest liczba 2 2 rzeczywista zwana wag tej kraw dzi. Funkcj w nazywamy funkcj wagow. w : E R Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s sieci. W teorii grafów terminami okre±laj cymi w zeª jest wierzchoªek, a ª cze jest kraw dzi. 55 / 58
56 Grafy wa»one, sieci Grafem wa»onym nazywamy graf, w którym ka»dej kraw dzi 6 przyporz dkowana jest liczba 2 2 rzeczywista zwana wag tej kraw dzi. Funkcj w nazywamy funkcj wagow. w : E R Wa»nym zastosowaniem grafów wa»onych s sieci. W teorii grafów terminami okre±laj cymi w zeª jest wierzchoªek, a ª cze jest kraw dzi. 56 / 58
57 Wa»ony stopie«wierzchoªka deg(v) = 3 deg w (v) = = 10 Niech G = (V, E, w) b dzie grafem wa»onym z funkcj wagow w, wówczas stopniem wa»onym wierzchoªka v V nazywamy sum wag kraw dzi wychodz cych z wierzchoªka i oznaczamy deg w (v). deg w (v) = deg(v) i=1 w(v, u i ) 57 / 58
58 Dzi kuj za uwag!!! 58 / 58
Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów
Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.
c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw
Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za
Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009
Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie
Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.
1: i podstawowe Spis Zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu s siedztwo i incydencja izomorzm grafów stopnie wierzchoªków (w tym wej±ciowy i wyj±ciowy), lemat
Podstawowepojęciateorii grafów
7 Podstawowepojęciateorii grafów Wiele sytuacji z»ycia codziennego mo»e by w wygodny sposób opisanych gracznie za pomoc rysunków skªadaj cych si ze zbioru punktów i linii ª cz cych pewne pary tych punktów.
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
10a: Wprowadzenie do grafów
10a: Wprowadzenie do grafów Spis zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu drogi i cykle, spójno± w tym sªaba i silna drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci
c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie
8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Stereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje
9: (grafy skierowane) Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe, Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2
Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Digraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.
Wykład 1. Wprowadzenie do teorii grafów
Wykła 1. Wprowazenie o teorii grafów 1 / 111 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka la programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowazenie o algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B. Wright;
Szeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013
Wykªad nr 6 11 kwietnia 2013 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja PP O3 C max : bierzemy
Minimalne drzewa rozpinaj ce
y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska
Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone
c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie
7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,
Teoria grafów i sieci 1 / 188
Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem
12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach
12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3:
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
![1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,](/thumbs/93/111864182.jpg "1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,")
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.
Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Algorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych Cz ± druga Prowadz cy: dr Andrzej Mróz, Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika 1 / 82 Rekurencja Procedura (funkcja) rekurencyjna wywoªuje sam siebie.
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze
Elementy teorii grafów, sposoby reprezentacji grafów w komputerze dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 2013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Najkrótsze drogi w grafach z wagami
Najkrótsze drogi w grafach z wagami Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziaªania
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie
Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.
11: Twierdzenia Minimaksowe Spis zagadnie«wst p: Kojarzenie Maª»e«stw i i twierdzenia minimaksowe i pokrycia (Tw. Gallai) w grafach (tw. Berge'a) w grafach dwudzielnych (tw. Königa, ) Pokrycia macierzy
Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Algorytmy i Struktury Danych
Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez
c Marcin Sydow Podstawy Grafy i Zastosowania Kod Prüfera 3: Drzewa Drzewa ukorzenione * Drzewa binarne Zastosowania Podsumowanie
Grafy i Grafy i 3: Spis zagadnie«grafy i drzewo i las: denicja, charakteryzacje, wªasno±ci kodowanie Prüfera i zliczanie drzew etykietowanych (tw. Cayleya) drzewa drzewa zliczanie drzew binarnych (tw.
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Najkrótsze drogi w grafach z wagami
Najkrótsze drogi w grafach z wagami dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu) 013 Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A
RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Egzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si
Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana
GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,
Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
Egzaminy i inne zadania. Semestr II.
Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«ze Wst pu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Ponadto doª czyªem szereg zada«, które pojawiaªy si
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n
GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri
Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
METODY ALGORYTMICZNE W BADANIACH SIŠY NIEREGULARNO CI GRAFÓW
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wydziaª Matematyki i Informatyki Maciej Kalkowski METODY ALGORYTMICZNE W BADANIACH SIŠY NIEREGULARNO CI GRAFÓW rozprawa doktorska Promotor: prof. dr hab. Michaª Karo«ski
Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3}
Grafy Definicja grafu nieskierowanego. Grafem nieskierowanym nazywamy uporządkowaną trójkę: gdzie: V- niepusty zbiór wierzchołków grafu G E- zbiór wszystkich krawędzi grafu G - funkcja ze zbioru E w zbiór
istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Algorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
Grafy i Zastosowania. 6: Najkrótsze ±cie»ki. c Marcin Sydow. Najkrótsze cie»ki. Warianty. Relaksacja DAG. Algorytm Dijkstry.
6: ±cie»ki Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3: dowolny graf () ±cie»ki dla wszystkich
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Badanie grafów ci ciwowych w j zyku Python
Uniwersytet Jagiello«ski w Krakowie Wydziaª Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Maªgorzata Olak Nr albumu: 1087242 Badanie grafów ci ciwowych w j zyku Python Praca magisterska na kierunku Informatyka
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
Teoria mnogo±ci Twierdzenia podziaªowe Piotr Zakrzewski Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Toru«, 31 sierpnia 2009 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb