Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 4. 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI SZCZEGÓLNE 4.. Wpływ temperatury rzy obczanu uładów statyczne newyznaczanyc naeży pamętać, że obcążena tae ja temperatura (ogrzane równomerne nerównomerne), osadane podpór (nowe ątowe), czy też błędy montażowe wywołują oprócz przemeszczeń onstrucj taże sły wewnętrzne. Wszyste wpływy zewnętrzne ujęte są w uładze równań anoncznyc w symbou R. Wartośc współczynnów R w przypadu dzałana na onstrucję temperatury wyznaczamy w dwóc etapac: najperw anazujemy wpływ temperatury rozłożonej równomerne na wysoośc przeroju t 0, a potem wpływ temperatury rozłożonej nerównomerne. Zajmjmy sę przypadem, gdy pręt doznaje nerównomernego ogrzana o temperaturę =t d t g. Taa sytuacja występuje, gdy od dołu pręta dzała nna temperatura nż od góry. Na początu naeży wyznaczyć wartośc przęsłowyc, przywęzłowyc momentów zgnającyc da bee: obustronne utwerdzonej, jednostronne utwerdzonej podpartej na podporze śzgowej (rys. 4.). t g t d t g t d t g t d Rys. 4.. Ułady statyczne newyznaczane obcążone temperaturą Do rozwązana be newyznaczanej obcążonej temperaturą zastosujemy znaną nam metodę sł. Obczena różną sę neco w zaeżnośc od warunów brzegowyc: a) da uładu obustronne utwerdzonego przyjmujemy uład podstawowy ja na rys. 4.. t g t d X X 3 X Rys. 4.. Uład podstawowy Scemat podstawowy uzupełna uład równań anoncznyc: { X X 3 X 3 t=0 X X 3 X 3 t =0 3 X 3 X 33 X 3 3 t =0 (4.) w tórym: Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... t = s t t Wyonujemy wyresy momentów od nadczbowyc sł w stanac jednostowyc: ds (4.) X = [-] X = [-] 0 X 3 = [-] 3 Rys. 4.3. Stany jednostowe W ceu obczena całe z oczynów momentów sorzystamy z metody Wereszczagna - ora. Z rysunu 4.3 wdać, że dzałane sły X 3 = ne wywołuje momentu zgnającego, a zatem poszczegóne współczynn z ndesem 3 będą równe zeru. = 3 = 3 3 = = = = rzyjmując założene, że done włóna ogrzane są wyższą temperaturą d g otrzymujemy: t = t t t = t Uład równań anoncznyc zmnejsza swój wymar 3 =0 : { X X t =0 X X t =0 (4.3) odstawając wyznaczone współczynn t otrzymujemy: Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 3 { 3 3 X X X = t X = t (4.4) Z drugego równana uładu (4.4) wyznaczamy: X = t X (4.5) Następne podstawamy otrzymaną zaeżność na X do perwszego równana obczamy równane z jedną newadomą. 3 3 X t X = t 3 3 X t 3 4 X t = 3 X =0 X =0 (4.6) odstawając X =0 do jednego z równań uładu (4.4) ostateczne otrzymujemy: X = t t = t t (4.7) Wyres momentu zgnającego da be obustronne utwerdzonej obcążonej różncą temperatur przedstawono na rys. 4.4. α t Δ t t g t d t (n) 4.4. Wyres momentu zgnającego w bece obustronne utwerdzonej Warto zauważyć, że wyres momentów w uładze newyznaczanym jest po strone zmnejszej d g. Z uwag na fat, że X =0 można przypuszczać, że dzałane temperatury w bece z podporą śzgową wywoła ta sam moment zgnający. b) da uładu jednostronne utwerdzonego z przegubem naeży rozwązać zadane dwurotne newyznaczane t g t d X X Rys. 4.5. Uład podstawowy Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 4 Uład podstawowy uzupełnają warun na przemeszczena: { X X t =0 X X t =0 (4.8) w tóryc wyrazy wone czymy ja poprzedno: t = s t Wyonujemy wyresy momentów w stanac jednostowyc: ds (4.9) X = [-] 0 X = [-] Rys. 4.6. Stany jednostowe W ceu obczena współczynnów sorzystamy z metody Wereszczagna - ora. Z rysunu 4.6 wyna, że dzałane sły X = ne wywołuje momentu zgnającego, a zatem poszczegóne współczynn z ndesem będą równe zeru. Natomast: a da t d g : = 3 = 3 3 t = t Uład równań anoncznyc ograncza sę do jednego równana =0 : X t =0 X = t (4.0) odstawając wyznaczone wcześnej współczynn otrzymujemy wartość nadczbowej reacj: X = t 3 = 3 3 t (4.) Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 5 Wyres momentu zgnającego da be jednostronne utwerdzonej obcążonej różncą temperatur przedstawono na rys. 4.7. 3 α t Δ t 3 α t Δ t Rys. 4.7. Wyres momentu zgnającego w bece jednostronne utwerdzonej Korzystając z metody sł wyznaczyśmy rozład momentów zgnającyc, a co za tym dze wzory transformacyjne na przęsłowe, przywęzłowe momenty zgnające powstałe od nerównomernego ogrzana. Ostateczne wyn zestawono w tabe 4., gdze podano wyresy momentów po strone włóen rozcąganyc, a zna we wzorac podano zgodne z zasadam metody przemeszczeń. Tabea 4.. Wzory transformacyjne od nerównomernego ogrzana (t d > t g) Scemat be Wzór transformacyjny t g t d α t Δ t t = t = t t t g t d α t Δ t t = t = t t t g 3 α t Δ t t = 3 t t d t =0 Uład prętowy obcążony termczne o dowonym rozładze temperatur na wysoośc przeroju podześmy na przypade dzałana t 0. oneważ oreśśmy już wpływ zajmemy sę dzałanem temperatury t 0. Z założeń metody przemeszczeń wyna, że gdy na uład prętowy dzałają bodźce zewnętrzne, mogą wystąpć jedyne przemeszczena nowe prostopadłe do os pręta ub przemeszczena ątowe. Jedna ogrzane równomerne powoduje wydłużena prętów, a co za tym dze, powstane dodatowyc reacj momentów. Ta wpływ mus zostać oneczne uwzgędnony. Aby wyznaczyć wartośc tyc momentów musmy znaeźć reację pomędzy ątam obrotów cęcw prętów 0, a wywołującą je temperaturą. Zaeżnośc te wyznaczymy w oparcu o zasady łańcuca nematycznego. Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 6 y x y α α 0 S S x n S y Rys. 4.8. Łańcuc nematyczny da obcążena termcznego x Równana łańcuca nematycznego mogą być zapsane da dowonej czby prętów pod warunem, że podobne ja w przypadu obcążena zewnętrznego, srajne węzły ne doznają przemeszczeń. Zgodne z rys. 4.8 wsute dzałana temperatury nastąp wydłużene pręta. Nowy wymar pręta wynos: = 0 (4.) gdze: 0 = t t 0 (4.3) Łańcuc nematyczny tworzony jest da uładu podstawowego, bez wprowadzena wymuszonyc przesuwów jednostowyc w podporac. o myśowej zamane uładu prętowego na uład wetorów możemy zapsać: = S (4.4) Soro suma wetorów jest równa pewnej wartośc wypadowej, to sumy rzutów tyc wetorów na ażdą z os będą równe wetorom sładowym tej wypadowej. amy zatem podstawowe równana łańcuca nematycznego przed obcążenem temperaturą: x =S x cos =S x (4.5) y =S y sn =S y (4.6) W wynu dzałana temperatury uład prętowy doznaje przemeszczeń, powstają nowe ąty nacyena prętów do pozomu. = 0 (4.7) Zna ujemny przy ące obrotu cęcwy pręta 0 wyna z tego, że ma on przecwną srętność nż ąt merzony w uładze prawosrętnym. Kąt jest dodatn, gdy obraca pręt zgodne z rucem wsazówe zegara. oneważ srajne węzły ne doznają przemeszczeń, równana łańcuca nematycznego da uładu odształconego przyjmują postać: Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 7 cos =S x (4.8) sn =S y (4.9) o podstawenu weośc (4.) (4.7) do równań saarnyc (4.8) (4.9) otrzymujemy: cos 0 =S x (4.0) sn 0 =S y (4.) o wyorzystanu zaeżnośc trygonometrycznyc na różncę ątów: cos cos 0 sn sn 0 cos cos 0 sn sn 0 =S x (4.) sn cos 0 cos sn 0 sn cos 0 cos sn 0 =S y (4.3) oneważ da małyc ątów: to: cos 0 sn sn 0 cos sn 0 0 cos 0 cos 0 sn = cos sn 0 cos = sn o wyreśenu weośc małyc 0, zaps uega srócenu: sn 0 cos =0 (4.4) cos 0 sn =0 (4.5) odstawając do powyższyc równań weośc (4.5) (4.6) otrzymujemy zaeżnośc: w tóryc zgodne z (4.3): y 0 x =0 (4.6) x 0 y =0 (4.7) x = x t t y = y t t Ostateczne otrzymujemy wzory, z tóryc wyczymy rzeczywste wartośc ątów obrotu cęcw da ażdego pręta, w rame poddanej dzałanu równomernego ogrzana. Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 8 y 0 x t t=0 (4.8) x 0 y t t=0 (4.9) 4.. Wpływ osadana podpór Zajmjmy sę teraz anazą uładu, tórego podpory uegły przemeszczenu nowemu, bądź ątowemu. Wsute osadana podpór uład doznaje przemeszczeń, a co za tym dze, pojawają sę sły wewnętrzne. Aby wyznaczyć wartośc momentów zgnającyc, musmy znaeźć reację pomędzy ątam obrotów cęcw prętów, a wywołującym je przemeszczenam podpór. Zaeżnośc te wyznaczymy z łańcuca nematycznego. Będze to łańcuc neco odmenny od tego, tóry zapsaśmy da obcążena zewnętrznego ub termcznego. oprzedno załadaśmy, że równana łańcuca nematycznego mogą zostać zapsane jedyne da uładu prętowego, tórego srajne węzły ne doznają przemeszczeń. Teraz jedna przemeszczena srajnyc węzłów występują, datego też muszą zostać uwzgędnone w równanu łańcuca nematycznego. y x y α α W n n 0 W 0 S S y S x Rys. 4.9. Łańcuc nematyczny da osadana podpór x oneważ łańcuc nematyczny tworzony jest da uładu, tórego podpory 0 n doznały przemeszczeń, możemy zapsać po myśowej zamane uładu prętowego na uład wetorów: ub naczej: W 0 = S W n W 0 W n = S (4.30) rzyjmując oznaczene u da współrzędnej zgodnej z osą x przemeszczena podporowego v da współrzędnej zgodnej z osą y, możemy zapsać równane (4.30) w postac saarnej, posługując sę współrzędnym wetorów: cos u o u n =S x (4.3) sn v o v n =S y (4.3) o przemeszczenu uładu prętowego w wynu osadana podpór nowe ąty nacyena prętów do pozomu Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 9 wynoszą: = (4.33) Zna ujemny przy ące obrotu cęcwy pręta przyjęty uład współrzędnyc (prawosrętny). o podstawenu weośc (4.33) do równań saarnyc (4.3) (4.3) otrzymujemy: wyna z tego, że ma on przecwną srętność nż cos u o u n =S x (4.34) sn v o v n =S y (4.35) o wyorzystanu zaeżnośc trygonometrycznyc na różncę ątów mamy: cos cos sn sn u o u n =S x (4.36) sn cos cos sn v o v n =S y (4.37) oneważ da małyc ątów: sn cos onadto da onfguracj początowej obowązuje (4.5) (4.6), to cos sn u 0 u n = cos sn cos v 0 v n = sn o uproszczenac otrzymujemy: sn =u n u o (4.38) cos =v n v o (4.39) odstawając do powyższyc równań weośc (4.5) (4.6) otrzymujemy zaeżnośc: y =u n u o (4.40) x =v n v o (4.4) Ostateczne otrzymaśmy wzory, z tóryc wyczymy rzeczywste wartośc ątów obrotu cęcw da ażdego pręta w uładze podstawowym w rame, tórej podpory uegną przemeszczenu nowemu. Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 0 Jeże natomast mamy do czynena z osadanem ątowym, to wartość tego przemeszczena naeży podstawć wprost do wzoru transformacyjnego pręta, tóry docodz do podpory. Wartośc przęsłowyc, przywęzłowyc momentów zgnającyc możemy obczyć ze wzorów transformacyjnyc wyorzystując wyznaczone ąty. 4.3. Symetra w metodze przemeszczeń Jeże uład o dużej czbe newadomyc jest ustrojem o symetrycznej budowe, to obcążene zewnętrzne tego uładu można rozbć na dwe grupy: obcążene symetryczne wzgędem os symetr uładu oraz antysymetryczne wzgędem tej os. Tae podejśce znaczene upraszcza rozwązane netóryc zadań. oś symetr = + DOWOLNE OBCIĄŻENIE = OBCIĄŻENIE SYETRYCZNE + ANTYSYETRYCZNE Rys. 4.0. odzał obcążena W ceu poazana zaeżnośc pomędzy odpowednm przemeszczenam wywołanym jedną z tyc dwóc grup obcążeń rozwążemy nesompowany przyład. rzyład Wyznaczene przemeszczeń w symetrycznej rame przedstawonej na rys. 4.. obcążene: - symetryczne φ φ - antysymetryczne 4 4 [m] 4 [m] 4 Rys. 4.. Scemat uładu Rys. 4.. Uład podstawowy z podzeonym obcążenem Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... Narysujmy wyresy od obrotów jednostowyc: 4 [m] φ = 4 Rys. 4.3. Stan φ = Obczmy reacje r od przemeszczeń jednostowyc r = =4 r = =4 r =r = 4 [m] 4 Rys. 4.4. Stan φ = φ = Obcążene zewnętrzne podzeone na symetryczne antysymetryczne daje różne wyresy momentów: 8 8 8 8 φ S φ S Rys. 4.5. Wyresy momentów od obcążena symetrycznego 8 8 φ A φ A 8 8 Rys. 4.6. Wyresy momentów od obcążena antysymetrycznego r S = 8 r A = 8 r S = 8 r A = 8 Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... Uład równań anoncznyc da obcążena symetrycznego prowadz do zaeżnośc {4 S S = 8 S 4 S = 8 Da obcążena antysymetrycznego otrzymujemy 4 S S = S S 4 {4 A A = 8 A 4 A = 8 4 A A = A A 4 S = S A = A o zaznaczenu otrzymanyc zaeżnośc na scemace ramy można sformułować wnos. φ s =0 w s =0 φ A φ s S φ s φ A S φ A =φa φ s = - φs Rys. 4.7. rzemeszczena ramy od danyc grup obcążeń rzemeszczena otrzymane w rame obcążonej w sposób symetryczny są symetryczne wzgędem przyjętej os symetr (deformacja uładu jest symetryczna). Natomast obcążene antysymetryczne wywołuje przemeszczena o tyc samyc wartoścac ecz przecwnyc znaac (deformacja antysymetryczna): przemeszczena ponowe z jednej strony w górę, z drugej w dół (ryge boczne), obroty z jednej strony do środa ramy, z drugej na zewnątrz, przemeszczena pozome w stronę os symetr ub na zewnątrz (słupy). Warto zauważyć, że obrót przeroju w os symetr (węzeł S) przy obcążenu symetrycznym wynos zero, a przy obcążenu antysymetrycznym przerój ten ne przemeszcza sę w pone. Zaeżnośc te wyorzystamy w ceu uproszczena obczeń zawartyc w następnym przyładze. Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 3 rzyład Uproszczene modeu obczenowego w symetrycznej rame nematyczne newyznaczanej obcążonej w sposób dowony (rys. 4.8). φ 3 φ 3 Δ q φ q φ φ φ Δ Δ Rys. 4.8. Scemat uładu Rys. 4.9. Uład podstawowy Uład jest 9-co rotne nematyczne newyznaczany. Rozwązane uładu 9 równań z 9 newadomym byłoby dość łopotwe. Aby uproścć rozwązane rozbjmy ramę na dwa scematy: obcążony symetryczne obcążony antysymetryczne (jest to możwe, poneważ geometra uładu posada oś symetr). q q q q Rys. 4.0. Obcążene symetryczne Rys. 4.. Obcążene antysymetryczne Z poprzednego przyładu wemy, że przy tyc scematac obcążeń zacodzą pewne reacje pomędzy odpowednm przemeszczenam: Tabea 4.. Reacje pomędzy przemeszczenam da obcążena symetrycznego S S = S S = S S 3 = 3 da obcążena antysymetrycznego A A = A A = A A 3 = 3 Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 4 da obcążena symetrycznego S S = da obcążena antysymetrycznego A A = S =0 A 0 Wyorzystując te zaeżnośc w obu przypadac możemy rozwązać tyo połowę ramy przy zacowanu odpowednc warunów brzegowyc na os symetr. Teraz wystarczy obczyć przemeszczena w ramac o scematac poazanyc na rys. 4. 4.3. q q Rys. 4.. Scemat uładu da obcążena symetrycznego Rys. 4.3. Scemat uładu da obcążena antysymetrycznego rzemeszczena da drugej połowy ramy w obu przypadac (wartośc z prmam) wyznaczamy z warunów z tabe 4.. Dysponując wszystm wartoścam przemeszczeń tworzymy wyresy momentów da obcążena symetrycznego antysymetrycznego w całyc ramac, a następne sumujemy oba rozwązana aby uzysać ostateczny wyres momentów. rzedstawony w przyładze sposób rozwązana ram o budowe symetrycznej (obcążene może być dowone) będze zawsze ta sam. Odmenne ub probematyczne może być tyo przyjęce warunów podparca przeroju eżącego na os symetr w zaeżnośc od budowy ramy. rzedstawmy ten probem w dwóc następnyc przyładac. rzyład 3 rzyjęce modeu obczenowego da połowy ramy gdy na os symetr ramy znajduje sę słup (rys. 4.4). Rys. 4.4. Scemat ramy Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 5 Obcążene przedstawmy jao sumę obcążena symetrycznego antysymetrycznego. Rys. 4.5. Scemat uładu obcążonego symetryczne Rys. 4.6. Scemat uładu obcążonego antysymetryczne Z uładu podstawowego (rys. 4.7) wemy, że naeży obczyć 0 przemeszczeń. φ 3 φ 3 φ 4 φ Δ φ Δ φ φ Δ Rys. 4.7. Uład podstawowy Zgodne z zasadą superpozycj przemeszczena są sumą weośc powstałyc od poszczegónyc obcążeń. = A S onadto muszą być spełnone zwąz pomędzy przemeszczenam: Tabea 4.3. Reacje pomędzy przemeszczenam da obcążena symetrycznego S S = S S = S S 3 = 3 da obcążena antysymetrycznego A A = A A = A A 3 = 3 S 4 =0 A 4 0 Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 6 da obcążena symetrycznego S S = da obcążena antysymetrycznego A A = S =0 A 0 Z uwag na symetryczne obcążene przerój środowy ne może sę obrócć an przemeścć w pozome, ponadto słup unemożwa ponowe przemeszczene, datego przyjmujemy pełne utwerdzene na os symetr. Wtedy słup środowy można pomnąć w obczenac. rzy obcążenu antysymetrycznym przeroje eżące na os symetr mogą sę obracać przemeszczać w pozome. onadto słup środowy ma wpływ na te przemeszczena. Anazując połowę ramy przy obcążenu antysymetrycznym, trzeba uwzgędnć jedną drugą sztywnośc pręta środowego. rzemeszczena obczymy da ram o następującyc scematac: Rys. 4.8. Scemat uładu da obcążena symetrycznego Rys. 4.9. Scemat uładu da obcążena antysymetrycznego rzyład 4 Anaza scematu obczenowego ramy z przegubem na os symetr (rys. 4.30). Rys. 4.30. Scemat ramy Anaze poddamy uład obcążony oejno symetryczne antysymetryczne. Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 7 Rys. 4.3. Scemat uładu obcążonego symetryczne Rys. 4.3. Scemat uładu obcążonego antysymetryczne Uład podstawowy uzysujemy po wprowadzenu 0 węzów (0 newadomyc). φ 3 φ 3 φ Δ φ Δ 3 Δ φ φ Δ Rys. 4.33. Uład podstawowy Jedna zwąz pomędzy przemeszczenam w uładac symetrycznyc (tabea 4.4) Tabea 4.4. Reacje pomędzy przemeszczenam da obcążena symetrycznego S S = S S = S S 3 = 3 S S = da obcążena antysymetrycznego A A = A A = A A 3 = 3 A A = S =0 A 0 S 3 0 A 3 =0 pozwaają rozwązać dwe ramy (połowy ram) z pęcoma newadomym ażda: Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 8 Rys. 4.34. Scemat uładu da obcążena symetrycznego Rys. 4.35. Scemat uładu da obcążena antysymetrycznego Na os symetr znajduje sę przegub, datego ne można boować obrotu środowego przeroju. Gdy sły dzałają symetryczne na całą ramę przerój środowy przemeszcza sę tyo w pone, zaś przy obcążenu antysymetrycznym przemeszcza sę tyo w pozome. Anazując połowę ramy da ażdego scematu obcążena wystarczy wprowadzć tyo jeden węz odpowedno w pozome ub w pone. 4.4. Zmenna sztywność prętów Bardzo często w onstrucjac ramowyc spotya sę ułady zbudowane z prętów o różnyc sztywnoścac. Sztywność może sę zmenać równeż na długośc pręta, przy czym zmana ta może być cągła ub soowa. J J J 3 Rys. 4.36. Rama złożona z prętów o różnyc sztywnoścac Jeże mamy do czynena z prętem, tórego sztywność zmena sę na długośc soowo, to połączene eementów o różnyc sztywnoścac tratujemy jao dodatowy węzeł wewnętrzny. J J a b Rys. 4.37. ręt o zmennej soowo sztywnośc W tam węźe mamy dwa newadome przemeszczena: ąt obrotu przeroju oraz przesuw. Aby utworzyć uład podstawowy metody przemeszczeń naeży oba te przemeszczena zaboować (rys. 4.38). Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 9 φ J J a Δ b Rys. 4.38. Uład podstawowy da pręta o zmennej sztywnośc Jeże natomast sztywność zmena sę w sposób cągły na długośc pręta (rys. 4.39), to musmy w obczenac zastosować pewne przybżena. J J Rys. 4.39. ręt o cągłej zmane sztywnośc ręt ta dzemy na odcn (m jest c węcej, tym obczena będą doładnejsze). Każdy odcne tratujemy ja osobny pręt, o uśrednonej sztywnośc. J śr J śr J śr3 J śr4 Rys. 4.40. odzał pręta na odcn o różnej sztywnośc Na styu poszczegónyc odcnów mamy, podobne ja da pręta o sztywnośc zmennej soowo, dwa newadome przemeszczena. 4.5. Wzory transformacyjne da prętów podpartyc sprężyśce Zastanówmy sę ja wpływ ma podparce sprężyste uładu na wartość przęsłowyc, przywęzłowyc momentów zgnającyc. ożemy wyróżnć podatność nową ątową podpory. κ [N/m] χ [Nm/rad] ub χ [Nm/rad] Rys. 4.4. odpory sprężyste χ Spróbujmy zatem wyznaczyć wartośc momentów przywęzłowyc wywołane dzałanem ąta obrotu φ w podporze da be z rys. 4.4. W obczenac można zastosować dwa podejśca: metodę sł oraz zasadę superpozycj sutów. Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 0 4.5.. etoda sł φ κ Rys. 4.4. Bea jednostronne utwerdzona podparta sprężyśce Do obczena wartośc momentu powstałego w wynu obrotu podpory ( ) zastosujemy metodę sł. oneważ bea jest jednorotne statyczne newyznaczana, przyjmujemy uład podstawowy przedstawony na rys. 4.43. X κ Rys. 4.43. Uład podstawowy Uład podstawowy uzupełna równane anonczne: X =0 (4.4) Wyonujemy wyres momentu od nadczbowej reacj w stane jednostowym X = : X =[-] κ [-] Rys. 4.44. Stan X = W ceu obczena całe we wzorac na przemeszczena sorzystamy z metody Wereszczagna - ora. = s = 3 ds R R = 3 (4.43) (4.44) Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... Tyo podpora doznaje obrotu, datego: = R = = (4.45) odstawając powyższe wyn do równana anoncznego możemy obczyć wartość nadczbowej reacj X. Wprowadzając do zapsu współczynn 3 X =0 (4.46) K = 3 (4.47) otrzymujemy: 3 K 3 X = 3 K X = o przeształcenu możemy zapsać wartość nadczbowej X = 3 K a ostateczne da = nadczbowa, tóra jest równa momentow przywęzłowemu wynos: X = = 3 K K 3 (4.48) gdze: K = 3 4.5.. Zasada superpozycj Spróbujmy rozwązać ten sam probem orzystając z zasady superpozycj sutów. Wartość przęsłowego, przywęzłowego momentu zgnającego możemy zapsać jao wartość momentu oreśonego da podpory nepodatnej uzupełnonej o stan, tóry powstane w wynu sprężystego podparca. = (4.49) Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... Zajmjmy sę najperw sładnem równana obczonym da podpory nepodatnej. Sorzystamy przy tym ze znanyc nam wzorów transformacyjnyc, przyjmując, że tyo podpora doznaje obrotu =, =0 : = 3 = 3 (4.50) Następne obczmy wartość momentu, tóry powstane w wynu podparca sprężystego. = 3 (4.5) gdze ąt obrotu cęcwy pręta wynos: = (4.5) to przemeszczene ońca be, tóre powstane z uwag na podparce w punce podporą sprężystą o sztywnośc. =R (4.53) odstawając wartośc (4.5) (4.53) do równana (4.5) otrzymujemy: = 3 = 3 = 3 R (4.54) Zapsując równane sumy momentów wzgędem puntu otrzymujemy wartość reacj w podporze : =0 R = (4.55) o podstawenu równana (4.55) do (4.54) otrzymujemy: Wprowadzając podstawene: otrzymujemy: = 3 = 3 3 K = 3 = 3 K (4.56) Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 3 Następne możemy wyonać sumowane momentów zgodne z równanem (4.49). = 3 3 K (4.58) rzeształcena prowadzą do zapsu 3 K = 3 z tórego otrzymujemy ostateczną wartość przęsłowego, przywęzłowego momentu zgnającego. = 3 K K 3 (4.59) o przeprowadzenu obczeń z wyorzystanem dwóc różnyc metod otrzymaśmy dentyczne wyn. Obczena możemy przeprowadzć anaogczne da różnyc typów podparca sprężystego (nowego ub ątowego) w jednej ub obydwóc podporac. Ka z nc, z wyorzystanem zasady superpozycj, przedstawono w ponższyc przyładac. rzyład 5 Wyznaczene wartośc momentów przywęzłowyc da be z rys. 4.45 doznającej obrotu w podporze. φ κ Rys. 4.45. Bea utwerdzona z podporą śzgową podparta sprężyśce Rozwązujemy zadane orzystając z zasady superpozycj: = = erwsze sładn obu równań to wartośc obczone z wzorów transformacyjnyc da podpór nepodatnyc. oneważ tyo podpora doznaje obrotu, przyjmemy =0. = 4 (4.60) = (4.6) Następne wyznaczamy wartośc momentów, tóre powstaną w wynu obecnośc podpory sprężystej. Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 4 gdze ąt obrotu cęcwy pręta wynos podobne ja poprzedno: = = 6 (4.6) = = R (4.63) Wartość reacj R w podporze sprężystej obczymy zapsując równane sumy momentów wzgędem puntu. κ R Rys. 4.46. Reacja R w podporze sprężystej =0 R = (4.64) o podstawenu równana (4.64) do (4.63) otrzymamy wartość tórą podstawamy do równana (4.6): Wprowadzając podstawene otrzymamy: = = = 6 3 K = 3 = = 6 K (4.65) Następne sumujemy odpowedne momenty zgodne z zasadą superpozycj. = 4 6 K (4.66) = 6 K (4.67) Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 5 o dodanu obu równań stronam otrzymamy: Dasze przeształcena prowadzą do równana: = 6 K = 6 tóre podstawamy do równań (4.66) (4.67) ostateczne: = 4 = 6 K 6 6 K 6 = 4 9 = 8 K K K = 4 K = K K K K K 3 K K 6 K odstawając φ =, otrzymamy szuane wartośc momentów przywęzłowyc: = 4 K 3 K = K 6 K (4.68) (4.69) rzyład 6 Wyznaczene wartośc momentu przywęzłowego (φ ) da be z rys. 4.47. φ χ Rys. 4.47. Bea jednostronne utwerdzona z podporą o podatnośc ątowej Rozwązujemy zadane orzystając z zasady superpozycj: = Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 6 erwszy sładn równana obczamy z wzorów transformacyjnyc da podpory nepodatnej. oneważ tyo podpora doznaje obrotu, przyjmemy =0. = 3 (4.70) Następne wyznaczamy wartość momentu powstałego w wynu obecnośc podpory o podatnośc ątowej: = 3 (4.7) Wymuszony ąt obrotu φ podpory przedstawono na rysunu 4.48. Obrót podpory o ąt φ zgodny z rucem wsazówe zegara daje ujemny moment przywęzłowy. φ Jego wartość χ Rys. 4.48. Zaeżność mędzy momentem przywęzłowym a obrotem podpory sprężystej = (4.7) podstawamy do równana (4.7) = 3 (4.73) a następne sumujemy równana (4.70) (4.73) zgodne z zasadą superpozycj: Wprowadzając podstawene = 3 3 K = (4.74) otrzymujemy = 3 3 K Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 7 Dasze przeształcena prowadza do zapsu = 3 K K 3 (4.75) Jeś przyjmemy, że φ =, otrzymamy ostateczną wartość momentu przywęzłowego: = 3 K K 3 (4.76) rzyład 7 Wyznaczene wartośc momentu przywęzłowego da be z rys. 4.49 wywołanego obrotem podpory w węźe. φ χ Rys. 4.49. Bea obustronne utwerdzona z podporą o podatnośc ątowej Rozwążmy zadane ponowne orzystając z zasady superpozycj: = = omenty to momenty wyznaczone da be o nepodatnyc podporac: = 4 (4.77) = (4.78) natomast momenty to dodatowe momenty spowodowane obecnoścą podpory sprężystej. = (4.79) = 4 (4.80) gdze wymuszony ąt obrotu φ w podporze wynos: Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 8 = (4.8) Zna - w równanu (4.8) wyna z tego, że moment ma przecwny zwrot do ąta obrotu φ. Jest to wyjaśnone na rys. 4.48. na przyładze węzła ewego. o zsumowanu równań (4.77) (4.79), oraz (4.78) (4.80) zgodne z zasadą superpozycj, otrzymamy: = 4 = 4 Ze wzoru (4.83) wyznaczamy wartość momentu : (4.8) (4.83) 4 = = 4 Doonując podstawena K = =K upraszczamy zaps: = K K 4 Ostateczne, po srócenu przez, otrzymujemy wartość momentu przywęzłowego : = K K 4 (4.84) Teraz podstawmy wyrażene (4.84) do wzoru na (4.8). ostateczne = 4 = 4 K = 4 K K = 4 K = 4 K 4 K K 4 = 4 K 3 K 4 (4.85) Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 9 Jeś podstawmy wartość φ = do wzorów (4.84) (4.85), otrzymamy wzory transformacyjne: = 4 K 3 K 4 = K K 4 (4.86) (4.87) Zastanówmy sę jeszcze nad jednym przyładem. Bea o dentycznym scemace statycznym ja na rysunu 4.49, tym razem doznaje obrotu o ąt φ. φ χ Zauważmy, że rozwązane tego zadana będze anaogczne ja poprzednego, datego ne wyonamy ponowne obczeń, a jedne zaprezentujemy ostateczne wzory transformacyjne. = = 4 K K 4 K K 4 Jeś przyjmemy φ =, otrzymamy: = K K 4 = 4 K K 4 (4.88) (4.89) W tabe 4.3. zestawono wartośc przywęzłowyc momentów zgnającyc, w zaeżnośc od sposobu podparca be, wywołane jednostowym przemeszczenam węzłów podporowyc. Tabea 4.3. Wzory transformacyjne da podparca sprężystego Scemat be φ = κ Wzór transformacyjny = 3 K K 3 =0 Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater
Część 4. RAY OBCIĄŻONE TERICZNIE, OSIADANIE ODÓR ORAZ RZYADKI... 30 Scemat be Wzór transformacyjny φ = = 4 K 3 K κ = K 6 K χ φ = = 3 K K 3 =0 φ = χ = 4 K 3 K 4 = K K 4 W powyższyc wzorac współczynn K K oznaczają: K = 3 K = Dobra D., Dzaewcz Ł., Jambroże S., Komosa., ołajcza E., rzybysa., Sysa A., Wdowsa A. Amaater