Funkcje wielu zmiennych różniczkowalność

Transkrypt

1 Funcje weu zmennyc różnczowaność Zajmemy sę teraz różnczowanem funcj weu zmennyc. Zacznemy od pojęca pocodnej cząstowej, bo jest ono najważnejszym zarazem najprostszym z tyc, tórym przyjdze nam sę zająć. W tym wyładze, jeś ne pszemy wyraźne, że jest naczej funcja f : G R będze oreśona na zborze otwartym G R. Będzemy stara sę przeneść twerdzena użyteczne da optymazacj funcj o wartoścac rzeczywstyc, czy da znajdowana c wartośc najmnejszyc najwęszyc. W netóryc przypadac pojęce pocodnej cząstowej nam wystarczy, a w netóryc zmuszen zostanemy do użyca pojęca różncz funcj, tórego zdefnowane cwowo odładamy. Defncja pocodnej cząstowej Pocodna cząstową perwszego rzędu odwzorowana f : G R ze wzgędu na zmenną f( p+ e ) f( p), 1, w punce p G, nazywamy grancę m, o e stneje; 0 e R to wetor, tórego wszyste współrzędne z wyjątem -tej są równe 0 a -ta równa jest 1: e = (0,,...0,1,0,...,0). Tę pocodną cząstową oznaczamy symboem f ( p ), zamast δ f arcacznego oznaczena stosowanego jeszcze dzsaj (główne przez fzyów) - ( p ). δ Przyłady Nec f ( ) = e. Z defncj pocodnej cząstowej wyna, że f( + e1) f( ) f( 1+, 2, 3, 4) f( 1, 2, 3, 4) f ( ) = m = m = e ( e ) = m = m = Pocodną f 1 funcj f obczamy tratując 1 jao argument funcj przy jednoczesnym tratowanu zmennyc 2, 3, 4 jao stałyc (parametrów). Lcząc anaogczne, otrzymujemy jeszcze trzy równośc (proszę sprawdzć!) f ( ) = 6, ( ), 4 f = e f 3 = e 4 3 ( ). r rcosϕ 2. Nec f = - tym razem współrzędne puntów pszemy ponowo, co ϕ r snϕ ja sę późnej oaże - ma sens. Obczmy pocodną wzgędem zmennej r. 1

2 r+ r ( r+ )cosϕ rcosϕ cosϕ f f r ϕ ϕ ( r )snϕ rsnϕ snϕ cosϕ fr m m + m = = = =. ϕ snϕ Teraz oe na pocodną wzgędem zmennej ϕ. r r rcos( ϕ+ ) rcosϕ f f r rsn( ) rsn f m ϕ+ ϕ m ϕ+ ϕ ϕ = = = ϕ 0 0 2r sn( ϕ + )sn rcos( ϕ+ ) rcosϕ m m r snϕ = = =. rsn( ϕ+ ) rsnϕ m 2r sn cos( ϕ + ) r cosϕ 0 m Wdzmy, że w przypadu odwzorowana o wartoścac w R 2 otrzymaśmy wetor a ne czbę. Rezutat ten jest doładne ta, ja naeżało sę spodzewać. Jeże funcja o wartoścac w przestrzen R ma w jamś punce pocodną wzgędem tórejś ze swyc zmennyc, to ta pocodna cząstowa jest wetorem wymarowym. Właścwe na tym można by zaończyć, ae warto jeszcze otrzymany rezutat znterpretować fzyczne Można myśeć, że wartoścą funcj f jest punt 0 płaszczyzny oddaony o r od puntu ub wetor zaczynający sę w punce 0 0 r rcosϕ ończący sę w punce f = - tratujemy węc czby r ϕ 0 ϕ r snϕ jao tzw. współrzędne begunowe puntu płaszczyzny. Przy obczanu pocodnej wzgędem r tratujemy zmenną ϕ jao stałą. Możemy nterpretować zmenną r jao czas. Po zmane czasu o znajdujemy sę w r+ ( r+ )cosϕ punce f =. Znaeźśmy sę węc w punce eżącym na ϕ ( r+ )snϕ tej samej półprostej wycodzącej z puntu 0, ae w nnej odegłośc od 0 początu uładu współrzędnyc. Zmana odegłośc równa jest zmane czasu. Wobec tego prędość saarna pownna być równa 1, a wetor prędośc pownen być równoegły do półprostej, po tórej porusza sę punt. Wetor cosϕ 0 jest równoegły do półprostej wycodzącej z puntu snϕ 0 r cosϕ przecodzącej przez punt. Jego długość wynos 1. Jest to tzw. wetor r snϕ prędośc wetorowej poruszającego sę puntu. Podobne można znterpretować pocodną wzgędem ϕ. Tym razem r sę ne zmena, natomast zmena sę ąt 0 ja tworzy wetor o początu 0 ońcu r cosϕ z osą odcętyc (pozomą r snϕ 2

3 osą uładu współrzędnyc). W tej sytuacj ϕ oznacza zarówno czas ja ten ąt. 0 Wobec tego ruc odbywa sę po oręgu o środu 0 promenu r. Cwowa prędość wetorowa jest węc wetorem stycznym do tego oręgu. Długość tego wetora wynos r, bo prędość ątowa jest równa 1. Wetorow r rsnϕ fϕ = przysługują obe te własnośc. To właśne jest wetor ϕ r cosϕ prędośc w tym rucu w momence ϕ. 0, jes =0=y 3. Nec f = y y, jes 0 ub y y Funcja ta ne jest cągła w punce 0 1, bowem da 0 mamy f = jednocześne f 0. 0 = Oznacza to, że jeś zbżamy sę do puntu wędrując wzdłuż prostej o równanu y =, to wartośc badanej funcj ne dążą 0 do 0 = f. Jest to jedyny punt necągłośc tej funcj. Zbadamy teraz 0 westę stnena pocodnyc cząstowyc funcj f. We wszystc puntac z wyjątem puntu 0 pocodne cząstowe stneją, co wyna z twerdzeń 0 pozwaającyc na obczane pocodnej funcj jednej zmennej rzeczywstej. Równeż w punce 0 funcja f ma pocodne cząstowe. Wyażemy to. 0 0 f f Mamy m 0 = m = 0. Wyazaśmy, że f = 0. W ta sam sposób wyazujemy, że f y = 0. Zauważmy jeszcze, że jeś 0 ub y y y 0, to f = - wyna to z twerdzena o pocodnej orazu dwu y ( + y ) 3 2 y funcj jednej zmennej. Anaogczne f. y = Zacęcamy y ( + y ) studentów do samodzenego sprawdzena tyc wzorów oraz do sprawdzena, że 0 pocodne cząstowe, tóre właśne znaeźśmy są necągłe w punce. 0 Przyład 3. poazuje, że stwerdzene stnena pocodnyc w jamś punce, a nawet w całej dzedzne funcj ne pozwaa jeszcze zbyt wee na temat tej funcj wywnosowaćza stnena pocodnyc cząstowyc ne wyna nawet cągłość funcj. Jasne jest 3

4 , ze potrzebne nam są własnośc na stwerdzane cągłośc funcj co węcej na stwerdzane, że jej zacowane w małym otoczenu puntu różnczowanośc jest w przybżenu tae ja funcj nowej. To jest podstawowa dea w racunu różnczowym. Stosowaśmy rozumowana oparte na tej właśne de weorotne w przypadu funcj jednej zmennej. To one doprowadzły nas do sformułowana twerdzeń pozwaającyc na ustaane w jac przedzałac funcja różnczowana jest monotonczna, w jac puntac może meć oane estrema td. Musmy podobne rozumowana przeneść na funcje weu zmennyc. Podamy teraz defncję różnczowanośc funcj weu zmennyc warune oneczny wystarczający da różnczowanośc. Defncja funcj różnczowanej w punce Funcja f : G R jest różnczowana w punce p G wtedy tyo wtedy, gdy stneje f( p+ ) f( p) L przeształcene nowe L : R R, tae, że m = 0. Wtedy 0 przeształcene nowe L nazywamy różnczą funcj w punce p oznaczamy symboem Df ( p ) ub df ( p ) ub f '( p ). Studenc ambtn sprawdzą, że z warune nałożony na różnczę może być spełnony przez co najwyżej jedno przeształcene nowe. PREMIA za dowód tego stwerdzena. Warune wystarczający da różnczowanośc Jeś funcja f : G R oreśona na otwartym podzborze przestrzen R ma pocodne cząstowe wzgędem zmennyc 1, 2,..., w ażdym punce pewnej u otwartej Bp (, ε ) o środu w punce p wszyste one są cągłe punce p to funcja jest różnczowana w punce p zacodz następujący wzór: Df ( p ) = f ( p) 1 1+ f ( p) f ( p ). Dowód tego twerdzena pomjamy, można go znaeźć np. w znaomtej sążce Andrzej Brcoc Anaza Matematyczna. Funcje weu zmennyc PWN Szczegóne stotnym przypadem są funcje weu zmennyc o wartoścac rzeczywstyc tam tyo sę zajmujemy. W tym przypadu często mówmy o gradence funcj zamast o jej różnczce w punce. Defncja gradentu funcj o wartoścac rzeczywstyc Jeś f : G R jest funcja oreśoną na podzborze otwartym G przestrzen R różnczowaną w punce p G, to gradentem funcj f w punce p nazywamy ta wetor grad f ( p ), że da ażdego wetora R zacodz równość Df ( p ) = grad f ( p). Różnca mędzy gradentem różnczą wydaje sę różncą mnmaną: codz o to, że gradent jest wetorem -wymarowym, natomast różncza jest przeształcenem nowym z przestrzen R w jednowymarową przestrzeń R. 4

5 Poneważ stosujemy standardowe bazy w przestrzen R, węc współrzędne wetora grad f ( p ) są równe odpowednm współrzędnym Df ( p ). To nasz wybór, naturany w przypadac rozpatrywanyc w tym wyładze. Gdybyśmy jedna rozważa weste ogónejsze ne byłoby żadnego,,naturanego wyboru bazy, pojęce standardowej bazy stracłoby sens utożsamane gradentu z różnczą za pomocą współrzędnyc ne byłoby możwe. Pocodna cząstowa obczana jest po to, by uzysać nformacje o tym ja zmena sę funcja w erunu jednej z os uładu współrzędnyc. Różnczę, o e stneje obczamy po to, by dowedzeć sę ja zacowuje sę funcja w całym otoczenu puntu. Pojęcem pośrednm jest pocodna erunowa. Defncja pocodnej erunowej Pocodną erunową funcj f : G R w punce p w erunu wetora v nazywamy f( p+ tv) f( p) grancę m, jeś ta granca stneje. Tę pocodną oznaczamy symboem t 0 t f v ( p ). Jest jasne, że uogónśmy pojęce pocodnej cząstowej f ( p) = f ( ). e p Pocodna erunowa w erunu wetora v obczana jest po to, by ocenć tempo zman funcj w otoczenu puntu p na prostej przecodzącej przez punt p równoegłej do wetora v. W puntac różnczowanośc funcj, pocodną erunową można neraz łatwej znaeźć po obczenu różncz funcj nż orzystając bezpośredno z jej defncj. Twerdzene o stnenu pocodnej erunowej a puntac różnczowanośc funcj Jeś funcja f : G R jest różnczowana w punce p G, v R, to funcja na w punce p pocodną erunową w erunu wetora v zacodz równość f ( p ) = Df( p v ) v. Dowód. Mamy f( p+ tv f( p) f( p+ tv) f( p) Df( p)( tv) tv m = m + Df ( ) = Df ( ) t 0 t t 0 pv t t pv v Sorzystaśmy tu z tego, że wyrażene jest ogranczone, węc po pomnożenu przez wyrażene dążące do 0 oraz z tego, że Df ( p)( tv) = tdf ( p) v oczywśce z tego, że f jest f( p+ tv) f( p) Df( p)( tv) różnczowana w punce p, z czego wyna, że m = 0. t 0 tv W ten sposób zaończyśmy dowód tego twerdzena. Z tego twerdzena wyna w szczegónośc, że przy ustaonym punce p pocodna f v ( p ) jest nową funcją wetora v, pod warunem różnczowanośc funcj f w punce p. Na zaończene wyładu powtórzmy: z różnczowanośc funcj w punce wyna stnene pocodnyc erunowyc w tym punce we wszystc erunac, w szczegónośc stnene pocodnyc cząstowyc. Z stnena pocodnyc cząstowyc ne 5

6 wyna nawet cągłość funcj wdześmy to na przyładze 3. Można podać przyład funcj, tóra w pewnym punce ma pocodne we wszystc erunac to równe 0 jednocześne ne jest cągła w tym punce. Oznacza to, że zbadane zacowana sę funcj na prostyc przecodzącyc przez dany punt to jedyne wstęp do zbadana zacowana sę tej funcj w otoczenu tego puntu. Tyc west ne będzemy doładne anazować, bo to wyracza znaczne poza potrzeby nżynera. 6