Stateczność układów ramowych

Transkrypt

1 tateczność układów ramowych

2 PRZYPONIENIE IŁ KRYTYCZN DL POJEDYNCZYCH PRĘTÓW

3 tateczność ustrou tateczność ustrou est to zdoność ustrou do zachowana nezmennego położena (kształtu) ub nacze mówąc układ po usunęcu obcążena powraca do stanu równowag. tan równowag bez obcążena d Obcążene odkształcena, ae układ est w stane równowag Neznaczny wzrost obcążena w zwązku z tym odkształcena, ae układ est w stane nada równowag Powrót do poprzedne wartośc obcążena zmneszene odkształcena Usunęce obcążena w przypadku układu Capeyrona (zachowane sprężystośc) powrót fo perwotnego kształtu 3

4 tateczność ustrou Utrata statecznośc ustrou następue, gdy newek wzrost sły (obcążena) powodue znaczne odkształcena brak możwośc powrotu do stanu równowag tan równowag bez obcążena kr kr d Obcążene odkształcena, ae układ est w stane równowag Neznaczny wzrost obcążena powodue znaczny wzrost odkształcena utratę równowag. ła, przy które układ może być w stane równowag ub może przy ne nastąpć wyboczene, nazywamy słą krytyczną. 4

5 ła krytyczna Formy wyboczena µ ła krytyczna kr π w µ w µ µ/3 µ/ 5

6 RÓWNNIE LINII UGIĘCI PRĘT W RIE PODCZ WYBOCZENI, POWODOWNEGO IŁĄ ŚCIKJĄCĄ 6

7 Ops zagadnena Probem statecznośc początkowe sprowadza sę do obczena sły krytyczne da układu obcążonego wyłączne słam normanym, ścskaącym ub rozcągaącym, kedy ne ma sł przęsłowych an żadnych nnych obcążeń, wywołuących zgnane. Utrata statecznośc następue kedy sła osągne taką wartość, że przemeszczena ramy będą narastały w sposób neogranczony przy ne zmenaące sę wartośc obcążena. Rozwązuąc zadana poszukwać będzemy namnesze wartośc sły przy które nastąp utrata statecznośc. 7

8 Wyznaczene równana pręta ścskanego zgnanego d u ϕ y y ϕ T u d T Równana równowag pręta Y : T T 0 : T d u u ły wewnętrzne w przekrou T ( ) y ( )( ) 0 gdze d( u u ) 0 gdze dy 0 Zaeżnośc różnczkowe pomędzy słam wewnętrznym?????????? y y( ) 8

9 Zaeżnośc różnczkowe pomędzy słam wewnętrznym bez wyboczena y q () y q () Wycnek bek N T q () y q () d d d O N dn T dt Równana równowag da wycnka X 0 N q ( ) d ( N dn ) 0 Y 0 T q y ( ) d ( T dt ) 0 o 0 d T d qy ( ) d ( d ) 0 Z powyższych równań otrzymuemy d d d d T dt d q y ( ) 9

10 Zaeżnośc różnczkowe pomędzy słam wewnętrznym z wyboczenem W dowonym przekrou sła normana wynos N y d d Równana równowag momentu da wycnka o 0 T d N dy ( d ) 0 Wycnek bek T Po podzeenu przez d z ostatnego równana otrzymuemy: N dy d d O N dn T dt d d d d T T N dy d dy d 0

11 Wyznaczene równana pręta ścskanego zgnanego d u ϕ y y ϕ T u d T Równana równowag pręta Y : T T 0 oment zgnaący w przekrou ( ) T y ( u u ) 0 : T Zaeżnośc różnczkowe pomędzy słam wewnętrznym d dy T d d

12 Wyznaczene równana pręta ścskanego zgnanego d d T T y y u u ϕ ϕ Z równowag pomędzy słam zewnętrznym u u T ( ) 0 : u u T czy sły wewnętrzne w przekrou wynoszą ( ) ( ) u u y y u u ( ) y T oment zgnaący w przekrou

13 Wyznaczene równana pręta ścskanego zgnanego d u ϕ y y ϕ T u d Z proporc (tw. Taesa) otrzymuemy u u y y y y oment zgnaący w przekrou wynoszą ( ) y ( u u ) ( u u ) T ( ) y 3

14 Wyznaczene równana pręta ścskanego zgnanego d u ϕ y y ϕ T u d Zaeżność pomędzy równanem n ugęca momentem d y d oment zgnaący est opsany równanem Równane różnczkowe ugęca pręta ma postać: d y 0 y d Ważne: y to odegłość od cęcwy do punktu ugęca czy przesunęca węzłów ne maą wpływu na wartość y T ( ) ( ) y 4

15 Rozwązane równana całka ogóna d y Równane różnczkowe: 0 y d Całka ogóna est rozwązanem równana różnczkowego: d y y 0 y'' k y 0 gdze d Równane po wykonanu podstawena y(t)e r ma formę r k 0 czy 4k < 0 a rozwązane ma dwa perwastk zespoone b 4k 4 k r r k a b r 4k 4 k r k a Rozwązane ma postać y e r β r β 0 β k ( C ( β) C sn( β) ) cos k a po podstawenu β otrzymuemy całkę ogóną równana y o C ( k) C sn( k) cos 5

16 Rozwązane równana całka szczegóna ostateczny wynk Równane różnczkowe: d y y d Poneważ z prawe strony est weoman perwszego stopna, to całką szczegóną est także weoman : y B s ξ gdze ξ Całka ogóna est rozwązanem równana różnczkowego: ub y o C ( k) C sn( k) cos ( ξ ) sn( ξ ) y o C cos C gdze Ostateczne rozwązane ma postać y y o y s ( ξ ) C sn( ξ ) B y C cos ξ k 6

17 Równana sł wewnętrznych Równane ugęca y C cos( ξ ) C sn( ξ ) ξ B Równane kąta nachyena os dy C sn( ξ ) C cos( ξ ) d Równane momentu zgnaącego d y ( ) d d y ( ) ( ξ ) ( ξ ) C cos C sn d 3 d ( ) ( ) dy d y dy T 3 d d d d Wyprowadzene równana sły tnące 3 3 T ( ) ( ) ( ) C sn ξ C cos ξ C sn( ξ ) C cos( ξ ) T ( ) ( C sn( ξ ) C cos( ξ )) ( C sn( ξ ) C cos( ξ )) T ( ) ( C ( ) C ( )) sn cos T ( ) 7

18 IŁ KRYTYCZN DL BELKI WOBODNIE PODPRT CZYLI PRĘT POJEDYNCZEGO 8

19 Rozwązane da bek swobodne podparte Całka ogóna est równanem różnczkowym ugęca bek ścskane swobodne podparte, bo 0 0 d y y d y Całka ogóna C ( k) C sn( k) cos d y y 0 d y Wyznaczene stałych całkowana na podstawe warunków brzegowych: da 0 y0, da y0 ( k 0) C sn( 0) 0 C cos k 0 C C 0 ( k ) C ( k ) 0 C cos sn 9

20 Rozwązane da bek swobodne podparte Wyznaczene stałych poega na znaezenu rozwązana układu równań ( k ) C sn( k ) 0 C cos C C 0 0 cos( k) sn( k) C 0 C ub w zapse macerzowym 0 Równane est prawdzwe, gdy współczynnk C 0 C 0 (równane os proste, neodkształcone), ub gdy wyznacznk ze współczynnków przy newadomych est równy 0 cos ( k) sn( k) 0 0 ( k) 0 sn( k) 0 cos 0

21 Rozwązane da bek swobodne podparte Całka ogóna est równanem różnczkowym ugęca bek ścskane swobodne podparte, bo 0 0 ( k) 0 sn( k) 0 cos y y C ( k) C sn( k) cos czy rozwązanem est na ugęca, utworzona, gdy est spełnony warunek sn ( k) 0 czy, gdy sła przyme wartość nazywaną krytyczną sn() [ o ] a na ugęca mała kształt snusody będze opsana funkcą y sn k πn da n ( k) kr k πn n π π

22 WYZNCZNIE IŁY KRYTYCZN DL RY

23 Rozwązane zagadnena metodą przemeszczeń 3 Równana metody przemeszczeń powstaą w wynku dodawana reakc ze stanów ednostkowych, gdze obcążenam są ednostkowe przemeszczena (przesunęca ub obroty) na kerunkach przemeszczeń różnych od zera. 3 B Układ podstawowy metody przemeszczeń UPP 3

24 Rozwązane zagadnena metodą przemeszczeń stan ϕ Obcążene reakce da stanu ϕ R () R () ϕ 3 R 3 () B Reakce będą sę różnły od reakc od obcążena statycznego w zakrese nowym, bo uwzgędnamy odkształcene spowodowane słą krytyczną na początku e dzałana czy, gdy ne nastąp eszcze znszczene konstrukc. 4

25 Rozwązane zagadnena metodą przemeszczeń stan ϕ Odkształcene wykres momentów wywołane obrotem ednostkowym 3 ϕ 3 B B Wykresy momentów zgnaących wywołane obcążenam geometrycznym na prętach poddanych dzałanu sły są krzywonowe, a na pozostałych prętach prostonowe. 5

26 Rozwązane zagadnena metodą przemeszczeń stan ϕ Obcążene reakce da stanu ϕ R () R () 3 R 3 () ϕ B 6

27 Rozwązane zagadnena metodą przemeszczeń stan ϕ Odkształcene wykres momentów wywołane obrotem ednostkowym 3 3 ϕ B B Wykresy momentów zgnaących wywołane obcążenam geometrycznym na prętach poddanych dzałanu sły są krzywonowe, a na pozostałych prętach prostonowe. 7

28 Rozwązane zagadnena metodą przemeszczeń stan 3 Obcążene reakce da stanu 3 R 3 () R 3 () 3 R 33 () 3 B 8

29 Rozwązane zagadnena metodą przemeszczeń stan 3 Odkształcene wykres momentów wywołane obrotem ednostkowym B B Wykresy momentów zgnaących wywołane obcążenam geometrycznym na prętach poddanych dzałanu sły są krzywonowe, a na pozostałych prętach prostonowe. 9

30 Rozwązane zagadnena metodą przemeszczeń Po wyznaczenu sł wewnętrznych, a następne reakc, wyznaczamy równana równowag da poszczegónych kerunków przemeszczeń. R R 3 R 3 ϕ ϕ R R 3 R 3 B koro reakca R () est wywołana obrotem ednostkowym, to rzeczywsta reakca wynos R () ϕ uma reakc, wywołanych rzeczywstym przesunęcam, mus być równa zero bo ne ma obcążeń, które by wywołały reakce węzłowe R ( ) ϕ R ( ) ϕ R ( ) B R R R 33 B 3 30

31 Rozwązane zagadnena metodą przemeszczeń Po wyznaczenu sł wewnętrznych, a następne reakc, wyznaczamy równana równowag da poszczegónych kerunków przemeszczeń. r r 3 R 3 ϕ ϕ R R 3 R 3 B B uma reakc na kerunku ϕ R ϕ R ϕ R ( ) ( ) ( ) uma reakc na kerunku ϕ R ϕ R ϕ R ( ) ( ) ( ) R R R 33 3 uma reakc na kerunku 3 R ϕ R ϕ R ( ) ( ) ( ) B 3

32 Układ równań metodą przemeszczeń Neoznaczony układ równań czy z neskończoną czbą rozwązań abo ze współczynnkam przy newadomych, z których wyznacznk est równy zero. Układ równań R ( ) ϕ R ( ) ϕ R3 ( ) 3 0 R ( ) ϕ R ( ) ϕ R3 ( ) 3 0 R ( ) ϕ R ( ) ϕ R ( ) 0 Układ równań w zapse macerzowym Z rozwązanem R R R 3 ( ) R ( ) R3 ( ) ( ) R ( ) R3( ) ( ) R ( ) R ( ) R R R 3 ( ) R ( ) R3 ( ) ( ) R ( ) R3( ) ( ) R ( ) R ( ) 3 33 ϕ ϕ 3 kr 0 3

33 WYZNCZNIE RÓWNŃ LINII UGIĘCI DL PRZYKŁDOWEGO ELEENTU ROWEGO 33

34 Wyznaczane stałych równana pręt obustronne zamocowany d u ϕ y y ϕ T T u d T Warunk brzegowe: ( ξ ) C sn( ξ ) B y C cos ξ dy d C sn( ξ ) C cos( ξ ) Da 0 Da y 0 y 0 dy ϕ d dy ϕ d k k dξ d ξ ( ) d ξ d 34

35 Wyznaczane stałych równana pręt obustronne zamocowany d u ϕ y y ϕ T u d T Da 0 y 0 0 C cos0 C sn( 0) 0 B dy ϕ ϕ C sn 0 d Da ξ ( 0) C cos( ) 0 C B ϕ C y 0 dy d ϕ 0 ( ) C sn( ) B ( ) C cos( ) C cos ϕ C sn 35

36 Wyznaczane stałych równana pręt obustronne zamocowany d u ϕ y y ϕ T u d T Równana, opsuące stałe otrzymane na podstawe warunków brzegowych. d cos sn 0 C B C ϕ ( ) C sn( ) B 0 C cos ϕ C sn ( ) C cos( ) C C ϕ ϕ B C ϕ C ( ) ( ) ( cos( ) sn( )) ϕ ( sn( ) ) d( ) ( sn s( ) cos( ) ) ϕ ( cos( ) ) d( ) 36

37 Równana ugęca momentu zgnaącego Równane ugęca y C ( ) C sn( ) B cos ξ ξ ξ Równane kąta nachyena os dy d Równane momentu zgnaącego C sn ( ξ ) C cos ( ξ ) d y ( ) d y d cos ( ) C ( ξ ) C sn( ξ ) ( ) T 3 d ξ 37

38 REKCJE WĘZŁOWE I WYKREY IŁ WEWNĘTRZNYCH PRZY RÓśNYCH WRUNKCH BRZEGOWYCH 38

39 Wyznaczene reakc węzłowych d u u ϕ d y y ϕ T omenty w węzłach na podstawe równana momentu zgnaącego d y C cos ξ C sn ξ d ( ) ( ) ( ) ( ξ 0) C ( ξ ) ( ) ( ) C cos sn C Reakce T T na podstawe równań równowag T T ( u u ) 0 : T C sn Y : T T 0 ( cos( )) C ( ) u u T 39

40 Pręt obustronne zamocowany u ϕ u ϕ T T gdze: b ( ) d c s ϕ c ϕ u ( ) ϕ s( ) r( ) ϕ ( ) ( ) r( ) u u u c ( ) ( ) ( sn cos ) s( ) d 3 sn r( ) s( ) c( ) ( ) d d T r T r ϕ ( ) ( sn ) ( ) ( cos ) ( ) ϕ r( ) ϕ b( ) d u ( ) r( ) ϕ b( ) ( ) ( cos) sn u u u 40

41 Pręt obustronne zamocowany - wykresy od przesunęca u T T 0 c 0 r s Kształt pręta wywołany przesunęcem ( ) 0 s ( ) 0 r ( ) u 0 ( ) 0 c( ) 0 r( ) 0 T r 0 T r( ) 0 r( ) 0 b( ) ( ) 0 r( ) 0 b( ) r( ) b( ) - 3 r( ) T b( ) 3 Wykres sł tnących est stały mmo, że wykres momentu zgnaącego est krzywonowy, bo T ( ) d d ( ) dy d 4

42 Pręt obustronne zamocowany -wykresy od obrotu ϕ T T Kształt pręta wywołany obrotem 0 0 c 0 0 s c 0 r ( ) s( ) 0 r( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 T r 0 0 T r r 0 b ( ) r( ) 0 b( ) ( ) ( ) ( ) c( ) r( ) ϕ - s( ) 4 T r( )

43 Pręt obustronne zamocowany z przesuwem po prawe Wartośc reakc węzłowych gdze: cos sn u ϕ ϕ II II ( c ( ) ϕ s ( ) ϕ ) II II ( s ( ) ϕ c ( ) ϕ ) II II c ( ) s ( ) sn T T 0 0 T 0 chemat podpory bokuące tyko obrót 43

44 Pręt obustronne zamocowany, ae z przesuwem -wykresy od przesunęca u obrotu ϕ Przesunęce z ewe strony ne zmena kształtu pręta II II ( c ( ) 0 s ( ) 0) II II s ( ) 0 c ( ) 0 ( ) T 0 Kształt pręta wywołany obrotem u 0 0 T 0 T II II ( c ( ) s ( ) 0) II II ( s ( ) c ( ) 0) cos sn II c ( ) II s ( ) sn ϕ c II ( ) ( ) T 0 s II 44

45 Pręt zamocowany z edne strony przegubowo z druge u ϕ u T T 0 Wartośc reakc węzłowych gdze: 0 c I u u I ( ) ϕ c ( ) sn sn cos I I c ( ) r ( ) T c I T c ϕ r 3 cos sn cos I u u I ( ) ϕ r ( ) u u I ( ) ( ) 45

46 Pręt zamocowany z edne strony przegubowo z druge -wykresy od przesunęca u T T Kształt pręta wywołany przesunęcem 0 c T c T c I 0 I ( ) 0 c ( ) 0 0 I ( ) 0 r ( ) I I ( ) 0 r ( ) I u c I ( ) r I ( ) - 3 T r I ( ) 3 46

47 Pręt zamocowany z edne strony przegubowo z druge -wykresy od obrotu ϕ T T Kształt pręta wywołany obrotem 0 c I T c I T c r I 0 0 I ( ) c ( ) 0 0 I ( ) r ( ) 0 0 I ( ) ( ) ( ) c I ϕ c I ( ) - 47 T c I ( )

48 Pręt wspornkowy u ϕ T 0 0 T Wartośc reakc węzłowych III ( c ( ) ϕ ) gdze: III c ( ) sn cos T T 48

49 Pręt wspornkowy Przesunęce z ewe strony ne zmena kształtu pręta czy 0 0 T T 0 0 T 0 Kształt pręta wywołany obrotem u ϕ 0 0 T III ( c ( ) ϕ ) 0 Kształt wykresu momentów zgnaących odpowada kształtow ugęca pręta ( ) c III T 0 49

50 Pręt obustronne przegubowo zamocowany u u Wartośc reakc węzłowych 0 T 0 T Równane momentu w przekrou T u u ( ) T y y u u T u u u u u u u u T ϕ 0 ϕ 0 50

51 Pręt obustronne zamocowany przegubowo -wykresy od przesunęca u Kształt pręta wywołany przesunęcem 0 0 u T T Kształt wykresu momentów zgnaących odpowada kształtow ugęca pręta po odęcu częśc nowe przesunęca, bo ( ) y T T T 3 5

52 Pręt obustronne zamocowany przegubowo -wykresy od obrotu ϕ T T Kształt pręta wywołany przesunęcem 0 0 Kształt wykresu momentów zgnaących odpowada kształtow ugęca pręta po odęcu częśc nowe przesunęca, bo ( ) y T T T Obrót ne wywołue sł tnących, bo na przykład d T ( ) d d ( ) dy d( y) d dy d 0 5